20以内破十法试题或20以内减法的简单方法。_会计_考试与招生资讯网
20以内破十法试题或20以内减法的简单方法。
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20以内破十法试题或20以内减法的简单方法。 【最佳答案】心算，且先算后一位，比如12+13=？就是先算后面的2+3=5，再看看要不要进位，这个不需要，那么再算前一位1+1=2结合起来就是25，就可以了！ 荐减法:方法|减法:试题|减法:运算|减法:函数|减法:口诀
一年级破十法练习题我女儿今年上一年级，数学学凑十法、破十法，我们小时候没有这个概念，女儿在学校又没有好好听老师讲，回来不会做。谁能帮帮我，顺便再给个破十法练习题。 【最佳答案】：9+2+1=？从题中看出，9+1可以变成10，那么10再加上2就是12。所以9+2+1=12。计算时，要观察一些数的个位，有没有几个能凑成整十或整百的，这叫凑十法。个位不够减时，就用10减去减数，剩下的数和个位上的数相加，即破十法。 荐练习题:下载|练习题:歌曲链接|练习题:答案|练习题:课件|练习题:高潮部分
一年级学生的10以内的口算有什么好的办法来教呢?孩子刚上一年级,口算能力不太好.有直观的教具时是可以算对的,可是要是没有了实物,就很不好算了.请问朋友们,有什么较好的方法来对他们进行口算训练呢?真心的谢谢浏览问题和提出解决办法的朋友们. 【最佳答案】浅谈提高口算能力的几点体会本学期初，接到教研室通知，一年级小朋友20以内加减法口算，要求达到每分钟12—15道，过关率为90%。而教科书上要求：单元结束时，绝大多数学生达到每分钟8题，期末时，绝大多数达到每分钟10题。当时我就犯傻了，这怎么可能达到呢？但是经过努力，事实证明是可能的。3月底，学校摸底时，我班平均水平已达到每分钟16道；5月底，区教研室钱老师亲自到我校，对一年级20以内加减法进行口算测试，结果过关率超过90%，且有好多小朋友每分钟超过了20道。那么我是如何去提高学生的口算能力呢？下面谈谈提高学生口算能力的肤浅体会：一、加强直观操作，帮助学生建立表象一年级学生的思维活动以具体形象思维为主要形式，是一个从直接感知实物过渡到表象的思维过程。因此，从认识10以内的数开始，我就十分注重直观教学：课前准备好学生平时喜爱的实物、图片，课堂上多让学生数一数小棒，数一数图片，数一数手指，帮助学生强化数感。然后进行分一分，合一合的训练，帮助学生建立表象。从而使学生在掌握10以内各数的同时，为口算10以内数的组成与分解打好扎实的基础。再通过分一分、合一合的直观操作活动建立表象，掌握10以内数的组成和分解，熟练地口算10以内加减法，为学习20以内的加减法打好了坚实的基础。二、注重算理教学，加快口算速度在口算教学中，让学生有效地掌握口算的基本方法的主要途径是教学生理解算理，因此在教学时，我十分重视算理教学。如在教学20以内的退位减法时，出示16－7，不要急于把现成的“破十减”灌输给学生，而要站在学生的角度审视问题。让学生用自己喜欢的方法探求解决问题的方法，有的学生会摆一摆学具，找出答案“我是这样想的，先算10－7＝3，再算3＋6＝9。”；“我是这样想的，先算16－6＝10，再算10－1＝9。”有的学生用扳手指数数，“我是这样想的，把16记在脑子里，伸出7个手指头，从16开始，一边屈指一边数，15、14……结果是9。”有的用“做减想加”来计算，“因为9＋7＝16，所以16－7＝9”；通过说理训练，方法活了，口算速度也加快了。三、注重算法多样化，实现学生对算法的自主优化。由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。在教学20以内退位减法时，有些学生喜欢用“破十减”、有些喜欢用“做减想加”。这时，在体会算法的基础上，让学生选择自己最喜欢的，实现学生对算法的“自主优化”，教师切不可“一刀切”，不然会适得其反。例如：我班有一个学生，他每次在口算退位减法时，总喜欢扳手指，我想改掉他这个“毛病”，于是利用中午休息时间个别对他进行“破十减”指导，结果越发糟糕，不但算得更慢而且错误率更高，还不如扳手指速度快。由此可见，教师要充分尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化，同时要引导学生在众多的算法中选择最适合于自己的方法，这样才能更好地促使学生的发展。四、持之以恒，才能有成效。口算的最终目的是让学生脱离算法达到脱口而出的境地，但这个目的不是一下子能达到的，是要通过反复训练才能达到熟练。具体练习时，应特别注意以下几个问题：1、讲究形式，激发兴趣美国心理学家布鲁纳认为：“学习的最好刺激是对所学知识的兴趣。”心理学也表明：兴趣是学生主动学习，积极思维探求知识的的强大内驱力。为了提高学生的口算兴趣，寓教于乐，要讲究训练形式的多样化：根据一年级小朋友的特点，多用游戏、比赛等方式，如“开火车”、“找朋友”、“摘苹果”、“对口令”等方法进行练习；用卡片、小黑板或扑克牌等通过视算报得数，结...... 荐口算:一年级|口算:计划|口算:训练|口算:心算|口算:除法【其他答案】浅谈提高口算能力的几点体会本学期初，接到教研室通知，一年级小朋友20以内加减法口算，要求达到每分钟12—15道，过关率为90%。而教科书上要求：单元结束时，绝大多数学生达到每分钟8题，期末时，绝大多数达到每分钟10题。当时我就犯傻了，这怎么可能达到呢？但是经过努力，事实证明是可能的。3月底，学校摸底时，我班平均水平已达到每分钟16道；5月底，区教研室钱老师亲自到我校，对一年级20以内加减法进行口算测试，结果过关率超过90%，且有好多小朋友每分钟超过了20道。那么我是如何去提高学生的口算能力呢？下面谈谈提高学生口算能力的肤浅体会：一、加强直观操作，帮助学生建立表象一年级学生的思维活动以具体形象思维为主要形式，是一个从直接感知实物过渡到表象的思维过程。因此，从认识10以内的数开始，我就十分注重直观教学：课前准备好学生平时喜爱的实物、图片，课堂上多让学生数一数小棒，数一数图片，数一数手指，帮助学生强化数感。然后进行分一分，合一合的训练，帮助学生建立表象。从而使学生在掌握10以内各数的同时，为口算10以内数的组成与分解打好扎实的基础。再通过分一分、合一合的直观操作活动建立表象，掌握10以内数的组成和分解，熟练地口算10以内加减法，为学习20以内的加减法打好了坚实的基础。二、注重算理教学，加快口算速度在口算教学中，让学生有效地掌握口算的基本方法的主要途径是教学生理解算理，因此在教学时，我十分重视算理教学。如在教学20以内的退位减法时，出示16－7，不要急于把现成的“破十减”灌输给学生，而要站在学生的角度审视问题。让学生用自己喜欢的方法探求解决问题的方法，有的学生会摆一摆学具，找出答案“我是这样想的，先算10－7＝3，再算3＋6＝9。”；“我是这样想的，先算16－6＝10，再算10－1＝9。”有的学生用扳手指数数，“我是这样想的，把16记在脑子里，伸出7个手指头，从16开始，一边屈指一边数，15、14……结果是9。”有的用“做减想加”来计算，“因为9＋7＝16，所以16－7＝9”；通过说理训练，方法活了，口算速度也加快了。三、注重算法多样化，实现学生对算法的自主优化。由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。在教学20以内退位减法时，有些学生喜欢用“破十减”、有些喜欢用“做减想加”。这时，在体会算法的基础上，让学生选择自己最喜欢的，实现学生对算法的“自主优化”，教师切不可“一刀切”，不然会适得其反。例如：我班有一个学生，他每次在口算退位减法时，总喜欢扳手指，我想改掉他这个“毛病”，于是利用中午休息时间个别对他进行“破十减”指导，结果越发糟糕，不但算得更慢而且错误率更高，还不如扳手指速度快。由此可见，教师要充分尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化，同时要引导学生在众多的算法中选择最适合于自己的方法，这样才能更好地促使学生的发展。四、持之以恒，才能有成效。口算的最终目的是让学生脱离算法达到脱口而出的境地，但这个目的不是一下子能达到的，是要通过反复训练才能达到熟练。具体练习时，应特别注意以下几个问题：1、讲究形式，激发兴趣美国心理学家布鲁纳认为：“学习的最好刺激是对所学知识的兴趣。”心理学也表明：兴趣是学生主动学习，积极思维探求知识的的强大内驱力。为了提高学生的口算兴趣，寓教于乐，要讲究训练形式的多样化：根据一年级小朋友的特点，多用游戏、比赛等方式，如“开火车”、“找朋友”、“摘苹果”、“对口令”等方法进行练习；用卡片、小黑板或扑克牌等通过视算报得数，结合听...... 数数法1.点数法2.接数法5为基础法比5少的直接数，比5多的先凑5 拿两个可以装10个方块的盒子，要一格一格的，训练他对10以内数的感觉，比如7就是装满一半又多两个。在向里面加球，让他看7+5是怎么变成12的。这样能提高孩子形象思维能力，学数学形象思维很重要，头脑里要有画面。 我才上小学四年级,所以我的办法很简单。先让他数数，这是多少个零：0变成5个一组：0假如是24+81就是20+80+4+16+6就是5+5+1+15个一组，5个就是00000，变成00000这样就好记多了 找补数，比如：5可分为1+4，2+3；10可分为1+9，2+8，3+7，4+6，5+5。这就叫补数。我现在上初一，我学前班时就用这招，还参加了比赛呢。
怎样教小朋友进行10以内的口算，大家快帮帮忙啊。。。。急！！！！！！！ 【推荐答案】楼主您好如果您是老师如何提高学生的口算能力呢？下面谈谈提高学生口算能力的肤浅体会：一、加强直观操作，帮助学生建立表象一年级学生的思维活动以具体形象思维为主要形式，是一个从直接感知实物过渡到表象的思维过程。因此，从认识10以内的数开始，我就十分注重直观教学：课前准备好学生平时喜爱的实物、图片，课堂上多让学生数一数小棒，数一数图片，数一数手指，帮助学生强化数感。然后进行分一分，合一合的训练，帮助学生建立表象。从而使学生在掌握10以内各数的同时，为口算10以内数的组成与分解打好扎实的基础。再通过分一分、合一合的直观操作活动建立表象，掌握10以内数的组成和分解，熟练地口算10以内加减法，为学习20以内的加减法打好了坚实的基础。二、注重算理教学，加快口算速度在口算教学中，让学生有效地掌握口算的基本方法的主要途径是教学生理解算理，因此在教学时，我十分重视算理教学。如在教学20以内的退位减法时，出示16－7，不要急于把现成的“破十减”灌输给学生，而要站在学生的角度审视问题。让学生用自己喜欢的方法探求解决问题的方法，有的学生会摆一摆学具，找出答案“我是这样想的，先算10－7＝3，再算3＋6＝9。”；“我是这样想的，先算16－6＝10，再算10－1＝9。”有的学生用扳手指数数，“我是这样想的，把16记在脑子里，伸出7个手指头，从16开始，一边屈指一边数，15、14……结果是9。”有的用“做减想加”来计算，“因为9＋7＝16，所以16－7＝9”；通过说理训练，方法活了，口算速度也加快了。三、注重算法多样化，实现学生对算法的自主优化。由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。在教学20以内退位减法时，有些学生喜欢用“破十减”、有些喜欢用“做减想加”。这时，在体会算法的基础上，让学生选择自己最喜欢的，实现学生对算法的“自主优化”，教师切不可“一刀切”，不然会适得其反。例如：我班有一个学生，他每次在口算退位减法时，总喜欢扳手指，我想改掉他这个“毛病”，于是利用中午休息时间个别对他进行“破十减”指导，结果越发糟糕，不但算得更慢而且错误率更高，还不如扳手指速度快。由此可见，教师要充分尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化，同时要引导学生在众多的算法中选择最适合于自己的方法，这样才能更好地促使学生的发展。四、持之以恒，才能有成效。口算的最终目的是让学生脱离算法达到脱口而出的境地，但这个目的不是一下子能达到的，是要通过反复训练才能达到熟练。具体练习时，应特别注意以下几个问题：1、讲究形式，激发兴趣美国心理学家布鲁纳认为：“学习的最好刺激是对所学知识的兴趣。”心理学也表明：兴趣是学生主动学习，积极思维探求知识的的强大内驱力。为了提高学生的口算兴趣，寓教于乐，要讲究训练形式的多样化：根据一年级小朋友的特点，多用游戏、比赛等方式，如“开火车”、“找朋友”、“摘苹果”、“对口令”等方法进行练习；用卡片、小黑板或扑克牌等通过视算报得数，结合听算说得数；也可以印发口算题，限时比赛；还可以让学生自编口算题，进行同桌对答或小组比赛；坚持每天一页口算练习，口算的时间可以安排在学生已感疲乏的临下课之前5分钟。多种形式的口算训练，让全班都积极主动参与，使每个学生都有练习的机会，极大地激发了学生的兴趣，收到了较好的效果。2、细水常流，稳步提高练习一个阶段后，要筛选难度比较大或经常出错的题目，如17-9，15-8，14-6等，做成卡片，反复练习，细水常流，稳步提高口算的能力。3、对症下药，逐个过关在口算训...... 荐口算:卡片|口算:训练|口算:心算|口算:除法|口算:六年级
生物学“减法创意法”是一种什么方法？大家帮帮忙 【最佳答案】（5）加法创意法，如用饲喂法研究甲状腺激素，用注射法研究动物胰岛素和生长激素，用移植法研究性激素等。（6）减法创意法，如用阉割法、摘除法研究性激素、甲状腺激素和生长激素的实验，雌蕊受粉后除去正在发育着的种子等。你在网上应该能找到这样的资料。在这里减法创意法是用来研究某些激素对于生长和代谢的作用的。减法指的是去掉这种激素的作用。常用实验摘除分泌腺体来实现。比如阉割，摘除脑垂体等。正发育的种子中植物激素含量高。除去正发育的种子可以去掉或大大减轻植物激素的影响。实验中需做两组。未处理时尽量让实验对象保持一致。一组是除掉激素源的，叫实验组，另一组正常饲养，叫对照组。也可以在同一生物体上实验。摘除激素源观察各项生理指标，再移植入腺体或补充注射相应激素，看回复了哪些功能，观察生理指标变化。对比差异得到所研究的激素或腺体的生理功能。 荐减法:方法|减法:设计|减法:算式|减法:教案|减法:ppt【其他答案】万行生物人才网是一个专业生物行业门户网站，应该对你有所帮助参考资料：
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答：凑十法和破十法是计算20以内进位加法和退位减法最常用的一种方法，它具有很强的规律性，易于理解，过程简捷等特点。他有拆小数，凑大数和拆大数凑小数等策略 ，是学习20以内进位加法，退位减法以及进一步学习更深的加减法的基矗并且，20以内加减... 问：这两道题怎么做？做出来的，麻烦说一下怎么做出来的，谢谢！
答：第一张图少一个减号。做法是，在前面两个方框里分别填上1和0即借十位数（破十法）来减去8得2，再加上第三个方框里要填的2这个个位数就是4了。也可以这样在前面的两个方框里分别填上1和2，直接把10减去8得2加上个位数2就是4了。 第二道题排式正确... 问：20以内的加减法破十法和平十法怎么计算
答：20以内的加减法破十法和平十法怎么计算 以11-9为例 破十法（裂十法）： 11-9 =1+10-9 =1+1 =2 平十法 11-9 =11-1-8 =10-8 =2 问：这四道题怎么做？做出来的，麻烦说一下怎么做出来的，谢谢！
答：16-8=8，先 把16分成6和10，用10-8=2，再用2+6=8 6+7=13，先把6分成3和3，用3+7=10，再用10+3=13 7+9=16，先把7分成6和1，用1+9=10，再用10+6=16 12-8=4，先把12分成2和10，用10-8=2，再用2+2=4 问：我女儿今年上一年级，数学学凑十法、破十法，我们小时候没有这个概念，...
答：：9+2+1=？从题中看出，9+1可以变成10，那么10再加上2就是12。所以9+2+1=12。 计算时，要观察一些数的个位，有没有几个能凑成整十或整百的，这叫凑十法。个位不够减时，就用10减去减数，剩下的数和个位上的数相加，即破十法。
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平十法分解式
范文一：因式分解---用完全平方公式分解学案05学习目标：理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点；能正确运用完全平方公式分解因式学习重点：运用完全平方公式分解因式 学习过程：语言叙述：
图形描述：
= ?） 问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 【练一练】判断下列各式是不是完全平方式？12a-4a+4
a2+a+0.25422222例1：把下列各式分解因式：(1)a2+6a+9=
(2) x2+8x+16 =
例2：把下列各式分解因式：(1) 16x2+24x+9;
(2) (a+b)2+6(a+b)+9;
(3) –x2+4xy-4y2例3：把下列各式分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2
(2)（m+n）2-4（m+n）+412、看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：（1）x2-4xy+4y2=
（2）4a2-12ab+9b2=
（3）a2b2+2ab+1=
(4) 0.25+a+a2 =
（5）9x2-30x+25=
(6) (a+b)2-12(a+b)+36=（1）6a-a2-9；
（2）-8ab-16a2-b2
（3）2a2-a3-a；（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
（5）2x4?4x3?2x2（请同学们静下心来认真阅读下列这段文字）由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、o次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，o然后运用公式分解．2因式分解---十字相乘法学案一、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式，ax2?bx?c的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。二、教学的重点、难点教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式ax2?bx?c的因式分解。 三、导学过程：（一）创设情境，导入新课：分解因式（1）x?x?6
（2）x?5x?6
（3）x?x?6
（4）x?3x?42222（二）自主学习?x?2??3x?5??3x2?11x?10。反过来就得到： 3x2?11x?10??x?2??3x?5?。 想一想3x2?11x?10怎样因式分解的，有什么规律？总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。 （三）合作探索由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2?bx?c进行因式分解？ 我们知道，?a1x?c1??a2x?c2??a1a2x2?a1c2x?a2c1x?c1c2 ?a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2反过来，就得到a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2??a1x?c1??a2x?c2?（四）点拨升华二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下：3a1c1
a22这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成?a1x?c1??a2x?c2?，其中a1，c1位于上图的上一行，a2，c2位于下一行。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 （五）、展示交流：例7
把下列各式分解因式：(1) 2x2?7x?3
(2) 6x2?7x?5
(3) 5x2?6xy?8y2四、当堂检测： 把下列各式分解因式：(1)2x2?15x?7
(2) 3a2?8a?4
(3) 5x2?7x?6
(4) 6y2?11y?10五、拓展提高：(1) 5a2b2?23ab?10
(2) 3a2b2?17abxy?10x2y2(3) x2?7xy?12y2
(4) x4?7x2?18(5) 4m2?8mn?3n2
（6) 5x5?15x3y?20xy24原文地址：因式分解---用完全平方公式分解学案05学习目标：理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点；能正确运用完全平方公式分解因式学习重点：运用完全平方公式分解因式 学习过程：语言叙述：
图形描述：
= ?） 问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 【练一练】判断下列各式是不是完全平方式？12a-4a+4
a2+a+0.25422222例1：把下列各式分解因式：(1)a2+6a+9=
(2) x2+8x+16 =
例2：把下列各式分解因式：(1) 16x2+24x+9;
(2) (a+b)2+6(a+b)+9;
(3) –x2+4xy-4y2例3：把下列各式分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2
(2)（m+n）2-4（m+n）+412、看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：（1）x2-4xy+4y2=
（2）4a2-12ab+9b2=
（3）a2b2+2ab+1=
(4) 0.25+a+a2 =
（5）9x2-30x+25=
(6) (a+b)2-12(a+b)+36=（1）6a-a2-9；
（2）-8ab-16a2-b2
（3）2a2-a3-a；（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
（5）2x4?4x3?2x2（请同学们静下心来认真阅读下列这段文字）由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、o次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，o然后运用公式分解．2因式分解---十字相乘法学案一、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式，ax2?bx?c的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。二、教学的重点、难点教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式ax2?bx?c的因式分解。 三、导学过程：（一）创设情境，导入新课：分解因式（1）x?x?6
（2）x?5x?6
（3）x?x?6
（4）x?3x?42222（二）自主学习?x?2??3x?5??3x2?11x?10。反过来就得到： 3x2?11x?10??x?2??3x?5?。 想一想3x2?11x?10怎样因式分解的，有什么规律？总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。 （三）合作探索由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2?bx?c进行因式分解？ 我们知道，?a1x?c1??a2x?c2??a1a2x2?a1c2x?a2c1x?c1c2 ?a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2反过来，就得到a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2??a1x?c1??a2x?c2?（四）点拨升华二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下：3a1c1
a22这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成?a1x?c1??a2x?c2?，其中a1，c1位于上图的上一行，a2，c2位于下一行。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 （五）、展示交流：例7
把下列各式分解因式：(1) 2x2?7x?3
(2) 6x2?7x?5
(3) 5x2?6xy?8y2四、当堂检测： 把下列各式分解因式：(1)2x2?15x?7
(2) 3a2?8a?4
(3) 5x2?7x?6
(4) 6y2?11y?10五、拓展提高：(1) 5a2b2?23ab?10
(2) 3a2b2?17abxy?10x2y2(3) x2?7xy?12y2
(4) x4?7x2?18(5) 4m2?8mn?3n2
（6) 5x5?15x3y?20xy24
范文二：15.4因式分解(总第十六课时）课题：§15.4.2公式法之完全平方式（第三课时） 式吗?若不能,能用平方差公式分解吗?若不能,你会想什么办法解决这个问题?观察第3题你会有什么发现?用你的发现尝试把下列多项式分解因一.巩固案1.把下列各式分解因式(1).16a3b?16ab(2)?3x3?12x(3)(x?2y)2?4x22.已知m+n=2010,m-n=-1,求4m2?4n2的值.二.预习案1.课前预习:（阅读课本P169-170）2.用幂的相关知识填空：(1)??2?16a2
(2)??2?x43.用整式乘法的完全平方公式填空.(1)(a?1)2???2?2?__?__???2?________(2)(a?b)2???2?2?__?__???2?______4.你能用提公因式法把多项式a2?2a?1分解因式. (1)a2?2a?1???2?2?__?__???2?____ (2)a2?2ab?b2???2?2?__?___???2?_______ 5．根据上面的填空完成下面的知识归纳. (1)第3题由左到右的变形是,第4题由左到右的变形是
. (2)我们把整式乘法的完全平方公式: (a?b)2?____________________________(a?b)2?__________________________________反过来就得到因式分解的完全平方公式: ___________________________________?(a?b)2___________________________________?(a?b)2用文字描述为:
(3)我们把和 叫完全平方式. 6.尝试练习:用完全平方公式分解因式. (1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
B.a2?ab?b2
C.a2?4a?4 D.4b2?4b?1 (2)把多项式x2?4x?4分解因式. 分析:多项式中无公因式,是三项式,不能用平方差公式,尝试用完全平方公式分解. 解:原式=x2?2?x?2?22
(3)按第(2)题的格式把下列多项式分解因式 (1)x2?6x?9
(2) 4x2?4x?1三.学习案1.默写因式分解的完全平方公式:2、例题讲解:把下列多项式分解因式.(1) 4x2?4xy?y2(2)?x2?2xy?y2(3) 3ax2?6axy?3ay2(4)?3x2?6xy?3y2三、练习案 1、选择:下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
B.?x2?4x?4
C.?x2?2x?1
D.9x2?4x?16 2、填空: (1)因式分解:y2?y?14?______________ (2)因式分解:25a2?10a?1 3、把下列多分解因式. (1) m2?14m?49
(2) 4x2y?4xy2?y3
(3)?6ax2?12ax?6a
(4)(a?b)2?4ab
范文三：22.2.3因式分解法（2）------“十字相乘法”一、学习目标：1，巩固用因式分解法解一元二次方程．2，掌握用因式分解中的“十字相乘法” 解一元二次方程．二、重点：用“十字相乘法” 解一元二次方程难点：用“十字相乘法”解二次项系数不为1的一元二次方程三、学习过程（一）复习巩固：用因式分解法解方程2（1）x?x?0
（2）x?23x?0
（3）3x?6x??3 22（4）9x?121?0
（5）3x(2x?1)?4x?2
（6）(x?3)2?(5?2x)2（7）(x?1)2?2(x?1)
（8）4x(x?1)?1?0
（9）4(x?1)2?(5?2x)2?0（二）例我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，o我们可以对上面的三题分解因式．解上面这种方法，我们把它称为“十字相乘法”．三、课堂练习 2用“十字相乘法”解方程（1）x2+7x+12=0
（2）x2-7x+12=0
（3）x2-x-12=0
（4）x2+x-12=0(5) x2-8x+12=0
（6）x2+8x+12=0
（7）x2-4x-12=0（8）x2+4x-12=0
（9）x2+13x+12=0
（10）x2-13x+12=0思考：如何用“十字相乘法”解下面的方程：(1)2x2-3x+1=0
(2)3x2-2x-1=0四、课堂小结:你有什么收获？五、课后作业1，《快乐练测》22.2.3第二课时2，补充练习：用因式分解法解方程（1）x2-12x-28=0
（2）x2-12x+35=0
（3）x2-12x-13=0（4）x2-12x+11=0
（5）2x2+x-3=0
(6)3x2-x-2=0
范文四：一、平方差公式分解因式1、x2－4＝x2－22＝ (x＋2)(x－2)
2、x2－16 ＝(
)3、x2－y2
4、－x2+y2
6、4x2－9y2422227、
8、 16a－9b
9、9－0.01n210、16(m－n)2－9(m＋n)2
11、9x2－(x－2y) 2
12、4a2－1613、a5－a3
14、(x＋p)2－(x＋q)2
15、x4－y4
16、32a3－50ab217、4a2－(b＋c)2
18、(3m＋2n)2－(m－n)2
19、(4x－3y)2－16y2二、判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)（1）x2＋64
（2）－x2－4y2
（4）－4x＋9n2
）（5）－9x2－(－y)2
（6）－9x2＋(－y)2
）（7）(－9x)2－y2
（8）(－9x)2－(－y)2
)（9）－x2－y2=(x＋y)(x－y)
（10）9－25a2=(9+25a)(9－25a) （
）（11）－4a2+9b2=(－2a＋3b)(－2a－3b) （
下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
）A.?a2?b2
D.a3?b32.(x＋1)2－y2分解因式应是
）A. (x＋1－y)(x＋1＋y)
B. (x＋1＋y)(x－1＋y)C. (x＋1－y)(x－1－y)
D. (x＋1＋y)(x－1－y)三、填空（把下列各式因式分解）(1)1?p=____________
(2)49c2224mn?36?________________ (3)??___________
9256(4)?0.25a2m2?9=__________(5)4?x2n=__________
(6)(a?b)2?1=__________四.把下列各式分解因式(1)4x2?9y2
(2)0.81a2?16b2
(3)m2?0.012
(4) 8a?2a(a?1)
??b?c?2?4a2
（6）1?16ab
（7）?3m?2n?2??m?n?2
(8)4z??x?y?(9) 4?x?y?2?25?x?y?2
(10)?a?b?c?2??a?b?c?2
(11)?a?b?3?4?a?b?
36－25x2五.运用简便方法计算?491、
2、1.22?9?1.33?4
3、已知x75y＝22，求(x＋y)2－(x－y)2的值.六、分解因式填空 221、a?92、x?x、4a2?9b2；2424、?25ay?16b、3a3?75a6、9ab?ab=
3344427、x?y；8、m?4mn?、x?(5x?3)?122?9a?10、25?(2n?1)?、、81x4?y4=
922213、若a?b?1004,a?b?2，则代数式a?b的值是14、已知x2－y2=－1 ， x+y=，则x－y=
.七、把下列各式分解因式：1、 36－x2
3、 x2－16y2
4、 x2y2－z2
5、 (x+2)2－96、x+a)2－(y+b)2
7、 25(a+b)2－4(a－b)2
8、 0.25(x+y)2－0.81(x－y)29、?(a?2)2?16(a?1)2
11、－4(x＋2y)2＋9(2x－y)211、计算100122
12、已知4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)－(3m－n)的值 91222
范文五：因式分解的十二种方法（学思教育）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x +9x +23x+15解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
范文六：【因式分解的十二种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式。【例1】 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来， 那么就可以用来把某些多项式分解因式。【例】分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组， 并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)【例】分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n=(m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p， 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)【例】分解因式7x -19x-6分析： 1 -3
2-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。【例】分解因式x +3x-40解：x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。【例】分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。【例】分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )【例】分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )【例】因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。【例】分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。【例】分解因式x +9x +23x+15解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。【例】分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)【因式分解的十二种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式。【例1】 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来， 那么就可以用来把某些多项式分解因式。【例】分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组， 并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)【例】分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n=(m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p， 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)【例】分解因式7x -19x-6分析： 1 -3
2-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。【例】分解因式x +3x-40解：x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。【例】分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。【例】分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )【例】分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )【例】因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。【例】分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。【例】分解因式x +9x +23x+15解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。【例】分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
范文七：因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、 分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、 分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、 分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、 配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、 分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、 拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6、 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、 分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、 分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、 因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、 分解因式x +9x +23x+15解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、 分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)例1， 分解因式：x?+xy-6y?+x+13y-6 (希望杯赛题)解：原式=（x?+xy-6y?）+(x+13y)-6=(x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6=(x+3y-2)(x-2y+3) x+3y -2x-2y +3=3(x+3y)-2(x-2y)=x+13y练习题：分解因式：4x2-4x-y?+4y=3 (02年重庆赛题)2， 延拓了的公式法在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为奇数)xn –yn =(x-y)(xn-1 +xn-2 y+…+xyn-2 +yn-1)例2，已知乘法公式：a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)利用或者不用上述公式分解因式：x8+x6+x4+x?+1 (祖冲之杯赛题)解：由公式得：x10-1=(x?)5-1=(x?-1)(x8+x6+x4+x?+1)∴x+x+x+x?+1=(x10-1`)/(x?-1)=(x5-1)/(x-1) o(x5+1)/(x+1)=(x-1)(x4+x?+x?+x+1)/(x-1)o(x+1)(x4-x?+x?-x+1)/(x+1)=(x4+x?+x?+x+1)(x4-x?+x?-x+1)练习题：分解因式：1+x?+x?+…+x153,拓展了的分组分解法⑴拆项（分组）法把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。例3，分解因式：x4-7x2+1 (祖冲之杯赛题)解：原式=x4+2x2+1-9x2 (即把-7x2拆成-9x2+2x2)=(x2+1)2-(3x)2=(x2+1+3x)(x2+1-3x)⑵添项（分组）法在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。例4，分解因式：3x6-x12-1解：原式=x6+2x6-x12-1=x6-(x12-2x6+1)=(x3)2-(x6-1)2=（x3-x6+1）(x3+x6-1)练习：①x4+2x3+3x2+2x+1 (02年河南赛题)②x3-9x+8 (祖冲之杯赛题)3， 换元法换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目的例5、分解因式：（x+1）(x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津赛题)解：原式=[（x+1）（x+6）][(x+2)(x+3)]+x2=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2令m=x2+6∴原式=（m+7x）（m+5x）+x2=m2+12xm+36x2=（m+6x）2=（x2+6+6x）2例6、分解因式：xy（xy+1）+（XY+3）-2（x+y+ 1/2 ）-（x+y-1）2（天津赛题）解：设x+y=a，xy=b，原式=（b2+2b+1）-a2=（b+1+a）（b+1-a）=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）练习：分解因式①，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24② ,(x+Y-2xy)(x+y-2)+xy-1) (希望杯赛题)5、主元法：主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。例7，分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z （天津赛题）解：原式=(2x-z)y2+(2xz-4x2)y+(2x3-x2z)=(2x-z)y2+2x(z-2x)y+x2(2x-z)=(2x-z)(x-y)2练习：x4-2x4y+x4y2-2x2+y2-2x2y2+2y+16,构造法构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。例8，分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3解：原式=x2+2(y+1)x-8y2+14y-3令原式=0，∴x1+x2=-2(y+1)设 x1=-(y+1)+k,x2=-(y+1)-k (构造对偶式)又 x1ox2=(y+1)2-k2=-8y2+14y-3∴k2=(3y-2)2,得 ；x1=2y-3,x2=-4y+1∴原式=（x-2y+3）(x+4y-1)练习： 分解因式： x2+5xy+x+3y+6y2 (河南赛题)7，求根公式法我们用g(x)表示关于x的一个多项式，如 g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一个因式。对于g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,有因式px-q,那么其根q/p(p,q互质)的p一定是首项系数的约数，q一定是常数项的约数。例9，分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8解：因4的约数有±1，±2，±4。试算可知有g(±1)=0,g(4)=0,∴g(x)有因式（x-1）(x+1)(x-4)=x3-4x2-x+4.再用g(x)÷(x3-4x2-x+4)=x+1∴原式=（x-1）(x+1)2(x-4)练习： 分解因式：x3+2x2-5x-68,待定系数法待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
例10，分解因式：x3+y3+z3-3xyz解：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式。当x=-(y+z)时，原式=0。所以原式含有（x+y+z）的因式。余下的必为2次对称式，设成l(x2+y2+z2)+m(xy+zy+zx)
∴x3+Y3+z3=3xyz=(x+y+z)[l(x2+y2+z2)+m(xy+yz+zx)]比较三次项系数得l=1又当x=1,y=0,z=1时得：2=2（2+m） ∴m=-1∴原式=（x+y+z）(x2+y2+z2-xy-yz-zx)练习：若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,求（a+b）的值，（武汉赛题）9，配方法配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。例11，分解因式：x4+2x2+2ax+1-a2（哈尔滨赛题）解：原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2=(x2+1)2-(x-a)2=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)练习： （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 (扬州赛题)10．整体法整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。例12， 分解因式：(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4 (五羊杯赛题)分析：由于两个括号内都有（x4+1）,我们把（x4+1）看作一个整体，当作是一个字母来分解因式。解：原式=[（x4+1）-4x2][(x4+1)+3x2]+10x4=(x4+1)2-x2(x4+1)-12x4+10x4=(x4+1)2-x2(x4+1)-2x4=(x4+1-2x2)(x4+1+x2)=(x2-1)2(x4+x2+1)=(x+1)2(x-1)2(x2+x+1)(x2-x+1)11,综合方法我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方法要灵活的运用。例13， 分解因式：（x_2）3-(y-2)3-(x-y)3 (五羊杯赛题)解：令m=x-2,n=y-2∴m-n=x-y原式=m3-n3-(m-n)3=(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)3=(m-n)(m2+mn+n2-m2+2mn-n2)=3(m-n)mn=3(x-2)(y-2)(x-y)注：此题在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的。
练习：分解因式：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
范文八：因式分解——十字相乘法1．二次三项式多项式ax2?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式．在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式2a2b2?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： （1x2?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2ax2?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1?a2?a，c1?c2?c，且a1c2?a2c1?b，那么ax2?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)它的特征是，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1法来确定．要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；①常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；②常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：5x2?6xy?8y2?(x?2)(5x?4)3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分解要合适； 四种方法反复试，结果应是乘积式． 【典型热点考题】例1
把下列各式分解因式：（1）x2?2x?15；
（2）x2?5xy?6y2．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．解：（1）x2?2x?15?(x?3)(x?5)；
（2）x2?5xy?6y2?(x?2y)(x?3y)． 例2
把下列各式分解因式：（1）2x2?5x?3；
（2）3x2?8x?3．点悟：我们要把多项式ax2?bx?c分解成形如(ax1?c1)(ax2?c2)的形式，这里a1a2?a，c1c2?c而a1c2?a2c1?b．解：（1）2x2?5x?3?(2x?1)(x?3)；
（2）3x2?8x?3?(3x?1)(x?3)．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3
把下列各式分解因式：（1）x4?10x2?9；
（2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；
（3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120． 点悟：（1）把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； （3）以(a2?8a)为整体，转化为关于(a2?8a)的二次三项式． 解：（1） x4?10x2?9?(x2?1)(x2?9) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．（2） 7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)?(x?y)[7(x?y)2?5(x?y)?2] ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． （3） (a2?8a)2?22(a2?8a)?120?(a2?8a?12)(a2?8a?10) ?(a?2)(a?6)(a2?8a?10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4
分解因式：(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90． 点悟：把x2?2x看作一个变量，利用换元法解之． 解：设x2?2x?y，则 原式＝(y－3)(y－24)＋90?y2?27y?162 ＝(y－18)(y－9)?(x2?2x?18)(x2?2x?9)．点拨：本题中将x2?2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，y2?27y?162?(y?18)(y?9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5
分解因式6x4?5x3?38x2?5x?6．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式?x2[6(x2?11)?5(x?)?38] 2xx111?x2[6(x?)2?5(x?)?50]，令x??y，则xxx原式?x2(6y2?5y?50)?x2(2y?5)(3y?10)?x2(2x?23?5)(3x??10) xx?(2x2?5x?2)(3x2?10x?3)?(x?2)(2x?1)(x?3)(3x?1)．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6
分解因式x2?2xy?y2?5x?5y?6．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．解法1：
x2?2xy?y2?5x?5y?6?(x2?2xy?y2)?(?5x?5y)?6 ?(x?y)2?5(x?y)?6?(x?y?1)(x?y?6)．解法2：
x2?2xy?y2?5x?5y?6?x2?(2y?5)x?y2?5y?6 ?x2?(2y?5)x?(y?6)(y?1)?[x?(y?6)][x?(y?1)]＝(x－y－6)(x－y＋1)．例7
分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)?ac2?a2c?b2c?bc2?ab(a?b) ?c2(a?b)?c(a2?b2)?ab(a?b) ?c2(a?b)?c(a?b)(a?b)?ab(a?b) ?(a?b)[c2?c(a?b)?ab] ＝(a－b)(c－a)(c－b)．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．例8
已知x4?6x2?x?12有一个因式是x2?ax?4，求a值和这个多项式的其他因式．点悟：因为x4?6x2?x?12是四次多项式，有一个因式是x2?ax?4，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是x2?bx?3（a、b是待定常数），故有x4?6x2?x?12?(x2?ax?4)?(x2?bx?3)．根据此恒等关系式，可求出a，b的值． 解：设另一个多项式为x2?bx?3，则x4?6x2?x?12?(x2?ax?4)(x2?bx?3)?x4?(a?b)x3?(3?4?ab)x2?(3a?4b)x?12，∵
x4?6x2?x?12与x4?(a?b)x3?(3?4?ab)x2?(3a?4b)x?12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a＝－1，b＝1，代入②，等式成立．∴
a＝－1，另一个因式为x2?x?3．点拨：这种方法称为待定系数法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法。 【易错例题分析】例9 分解因式：5a2b2?23aby?10y2．错解：∵
－10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴
原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)． 警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵
5＝1×5，－10＝5×(－2)，【同步练习一】 一、选择题1．如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于
D．－(a＋b)2．如果x2?(a?b)?x?5b?x2?x?30，则b为
D．63．多项式x2?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为
) A．10和－2
B．－10和2
D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是
) A．x2?x?2
B．3x2?10x2?3x
C．4x2?x?2
D．5x2?6xy?8y2 5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
) A．2(x?y)2?13(x?y)?20
B．(2x?2y)2?13(x?y)?20 C．2(x?y)2?13(x?y)?20
D．2(x?y)2?9(x?y)?206．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有
) ①x2?7x?6；
②3x2?2x?1；
③x2?5x?6； ④4x2?5x?9；
⑤15x2?23x?8；
⑥x4?11x2?12 A．2个
D．5个 二、填空题7．x2?3x?10?__________． 8．m2?5m?6?(m＋a)(m＋b)．
a＝__________，b＝__________． 9．2x2?5x?3?(x－3)(__________)．
10．x2?____?2y2?(x－y)(__________)．5×5＋1×(－2)＝23．∴
原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．11．a2?na?(_____)?(____?____)2． m12．当k＝______时，多项式3x2?7x?k有一个因式为(__________)． 13．若x－y＝6，xy?三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）x4?7x2?6；
（2）x4?5x2?36；
（3）4x4?65x2y2?16y4；
（4）a6?7a3b3?8b6；
（5）6a4?5a3?4a2；
（6）4a6?37a4b2?9a2b4． 15．把下列各式分解因式：（1）(x2?3)2?4x2；
（2）x2(x?2)2?9；
（3）(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2； （4）(x2?x)2?17(x2?x)?60； （5）(x2?2x)2?7(x2?2x)?8； （6）(2a?b)2?14(2a?b)?48． 16．把下列各式分解因式：（1）(a?b)x2?2ax?a?b；
（2）x2?(p2?q2)x?pq(p?q)(p?q)； （3）x2?2xy?3y2?2x?10y?8；
（4）4x2?4xy?3y2?4x?10y?3； （5）(x2?3x?2)(x2?7x?12)?120；
（6）(x2?xy?y2)(x2?xy?2y2)?12y4． 17．已知2x3?7x2?19x?60有因式2x－5，把它分解因式． 18．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，x3?y3?26，求a的值． 【同步练习二】十字相乘法因式分解练习题 1、x2?3x?2? 3、x2?4x?21? 5、x4?6x2?8?2、x2?7x?6?17，则代数式x3y?2x2y2?xy3的值为__________． 364、x2?2x?15?6、(a?b)2?4(a?b)?3?
8、x4?3x3?28x2?10、a2?7a?10?7、x2?3xy?2y2?
9、x2?4x?3?11、y2?7y?12?
13、x2?x?20?
15、p2?5p?36?
17、x4?x2?20?12、q2?6q?8?
14、m2?7m?18?
16、t2?2t?8?
18、a2x2?7ax?8?19、a2?9ab?14b2?
21、x2y2?5x2y?6x2? 23、3x2?11x?10? 25、6x2?7x?5?
27、2x2?15x?7?
29、5x2?7x?6?20、x2?11xy?18y2?22、?a3?4a2?12a?
24、2x2?7x?3?26、5x2?6xy?8y2?
28、3a2?8a?4?30、5a2b2?23ab?10?
31、3a2b2?17abxy?10x2y2?
33、4n2?4n?15?35、10x2?21xy?2y2?37、(x2?5x?3)(x2?5x?2)?6?
38、(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?24?39、2x2－5x－12 =
4041、6x2－13x+5 =
4243、12x2－13x+3 =
4445、6x2－13xy+6y2 =
4647、18x2－21xy+5y2 =
4849、2x2+3x+1 =
5051、6x2－13x+6 =
5253、6x2－11xy+3y2=
5455、10x2－21xy+2y2 =
5657、4n2+4n－15 =
5859、x2+2x-8 =
6032、4x4y2?5x2y2?9y2?
34、6l2?l?35? 36、8m2?22mn?15n2?、3x2－5x－2 = 、7x2－19x－6 =
、4x2+24x+27 =
、8x2y2+6xy－35 =
、5x?+6x-8 = 、2y2+y－6 = 、3a2－7a－6 =
、4m2+8mn+3n2=
、8m2－22mn+15n2 = 、6a2+a－35 = 、x2+3x-10 =61、5x2－8x－13=
62、4x2+15x+9 =63、15x2+x－2=
64、6y2+19y+10=
(27)20－9y－20y2；
(29).x2-x-20
(30).x2+x-6
(31).2x2+5x-3
(32).6x2+4x-2
(33).x2-2x-3
(34).x2+6x+8
(35).x2-x-12
(36).x2-7x+10
(37).6x2+x+2
(38).4x2+4x-3
(39).x2-6x-7 (40).x2+6x-7参考答案 【同步练习一】1．D
6．C 7．(x＋5)(x－2)
8．1或－6，－6或1
9．2x＋110．xy，x＋2y
11．n2n4m2，a,2m 12．－2，3x＋1或x＋2
13．17 14．（1） 原式?(x2?1)(x2?6)?(x?1)(x?1)(x2?6) （2） 原式?(x2?9)(x2?4)?(x?3)(x?3)(x2?4)（3） 原式?(4x2?y2)(x2?16y2)?(2x?y)(2x?y)(x?4y)(x?4y)（4） 原式?(a3?8b3)(a3?b3)?(a?2b)(a2?2ab?4b2)(a?b)(a2?ab?b2) （5） 原式?a2(6a2?5a?4)?a2(2a?1)(3a?4)（6） 原式?a2(4a4?37a2b2?9b4)?a2(4a2?b2)(a2?9b2)?a2(2a?b)(2a?b)(a?3b)(a?3b) 15．（1） 原式?(x2?3?2x)(x2?3?2x)?(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)（2） 原式?[x(x?2)?3][x(x?2)?3]?(x2?2x?3)(x2?2x?3) ?(x?3)(x?1)(x2?2x?3)（3） 原式?(3x2?2x?1?2x2?3x?3)?(3x2?2x?1?2x2?3x?3)?(5x2?5x?4)(x?2)(x?1) （4） 原式?(x2?x?12)(x2?x?5)?(x?4)(x?3)(x2?x?5)（5） 原式?(x2?2x?8)(x2?2x?1)?(x?2)(x?4)(x?1)2（6）原式?(2a?b?6)(2a?b?8) 16．（1） 原式?[(a?b)x?a?b](x?1) （2） 原式?[x?p(p?q)][x?q(p?q)]?(x?p2?pq)(x?pq?q2)（3）原式?x2?(2y?2)x?(3y2?10y?8)?x2?(2y?2)x?(3y?4)(y?2)?[x?(3y?4)][x?y?2] ?(x?3y?4)(x?y?2)（4） 原式?4x2?4(y?1)x?3y2?10y?3?4x2?4(y?1)x?(3y?1)(y?3)?(2x?3y?1)(2x?y?3)（5） 原式?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120?(x2?5x?6)(x2?5x?4)?120?(x2?5x?5)2?1?120?(x2?5x?5?11)(x2?5x?5?11)?(x2?5x?16)(x2?5x?6)?(x2?5x?16)(x?1)(x?6)（6） 原式?(x2?xy?y2)2?y2(x2?xy?y2)?12y4?(x2?xy?y2?4y2)(x2?xy?y2?3y2)?(x2?xy?5y2)(x2?xy?2y2)?(x2?xy?5y2)(x?y)(x?2y)17．提示：(2x3?7x2?19x?60)?(2x?5)?x2?x?12?(x?4)(x?3)18．∵
x3?y3?(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]，又∵
x?y?2，xy＝a＋4，x3?y3?26，∴
2[22?3(a?4)]?26，解之得，a＝－7．答案：1、(x?1)(x?2)2、(x?1)(x?6)3、(x?3)(x?7)4、(x?3)(x?5) 5、(x2?4)(x2?2)6、(a?b?1)(a?b?3)7、(x?y)(x?2y) 8、x2(x?4)(x?7)9、(x?1)(x?3)10、(a?2)(a?5)11、(y?3)(y?4) 12、(q?2)(q?4)13、(x?4)(x?5)14、(m?2)(m?9)15、(p?4)(p?9) 16、(t?2)(t?4)17、(x2?4)(x2?5)18、(ax?1)(ax?8)19、(a?2b)(a?7b)20、(x?2y)(x?9y)21、x2(y?1)(y?6)22、?a(a?2)(a?6) 23、(x?2)(3x?5)24、(x?3)(2x?1)25、(2x?1)(3x?5) 26、(x?2y)(5x?4y)27、(2x?1)(x?7)28、(a?2)(3a?2) 29、(x?2)(5x?3)30、(5ab?2)(ab?5)31、(3ab?2xy)(ab?5xy) 32、y2(x2?1)(2x?3)(2x?3)33、(2m?3n)(2m?5n)34、(2l?5)(3l?7) 35、(10x?y)(x?2y)36、(2m?3n)(4m?5n)37、(x?1)(x?4)(x2?5x?3)38、(x?3)(x?2)(x2?x?8)
范文九：例析“十字相乘法分解因式”1、对一元二次不等式的认知（1）多项式ax?bx?c，称为字母
的二次三项式，其中
称为二次项，
为一次项，
为常数项．例如：x?2x?3和x?5x?6都是关于x的二次三项式．（2）在多项式x2?6xy?8y2中，如果把
的二次三项式；如果把
看作常数，就是关于
的二次三项式．（3）在多项式2ab?7ab?3中，把的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把 看作一个整体，就是关于
的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式22222它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．下面举例具体说明怎样进行分解因式。分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、 因式分解。分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、 因式分解。分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为9y + 10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）分析：因为21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、 因式分解。分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、 因式分解。 分析：该题可以先将（套用一次十字相乘。 ）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再因为-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解即兴练习一、选择题1．如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于
D．－(a＋b)2．如果x?(a?b)?x?5b?x?x?30，则a为
( ) 22A．5
D．63．多项式x?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为
( )A．10和－2
B．－10和2
D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是
( ) 23x?10x?3x
D．A．x?x?2
B．5x2?6xy?8y25．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
( ) 2222A．2(x?y)2?13(x?y)?20
B．(2x?2y)2?13(x?y)?20C．2(x?y)2?13(x?y)?20
D．2(x?y)2?9(x?y)?206．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有
( )①x?7x?6；
②3x?2x?1；
③x?5x?6；④4x?5x?9；
⑤15x?23x?8；
⑥x?11x?12A．2个
D．5个二、填空题7．x?3x?10?__________．8．m?5m?6?(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．9．2x?5x?3?(x－3)(__________)．10．x?____?2y2?(x－y)(__________)．11．a?na?(_____)?(____?____)2． m212．当k＝______时，多项式3x?7x?k有一个因式为(__________)．13．若x－y＝6，xy?173223，则代数式xy?2xy?xy的值为__________． 36三、解答题14．把下列各式分解因式：4224(1)x?7x?6；
(2)x?5x?36；
(3)4x?65xy?16y；
4242(4)a?7ab?8b；
(5)6a?5a?4a；
(6)4a?37ab?9ab．15．把下列各式分解因式：(1)(x?3)?4x；
(2)x(x?2)?9；(3) (x?x)?17(x?x)?60；
(4)(x?2x)?7(x?2x)?8；(6)(2a?b)2?14(2a?b)?48．16. 已知：x?y?0.5，x?3y?12.，求3x?12xy?9y的值。 22
范文十：因式分解(雙十字相乘法)準二次式的分解法(雙十字法)：例1 分解因式 8x2?2xy?8xz?3y2?11yz?6z2例2 分解因式 2x2?5xy?2y2?xz?yz?z2例3 分解因式 4x2?4xy?8y2?8x?10y?3例4 分解因式 4xy?2y2?14x?y?21例5 分解因式 5x2?17xy?6y2?13y?5一、把下列各式因式分解：(1) 3x2?6xy?3y2?8x?8y?3(3) xy?y2?x?y?2(5) x2?4xy?3y2?6y?9(7) a2?2b2?3c2?3ab?bc?2ac三次式的分解法：例6 分解因式 x3?6x2?11x?6例7 分解因式 x3?7x?6(2) 3x2?5xy?2y2?x?5y?2 (4) x2?y2?5x?3y?4 (6) x2?y2?3z2?2xz?4yz
(8) 2x2?5xy?2y2?ax?ay?a2例8 分解因式 6x3?13x2?14x?3二、把下列各式因式分解：(1) x3?x2?3x?9(3) 6x3?11x2?7x?15
(5) x2?4xy?3y2?6y?9(7) 5a3?4a2?1
(9) 3y3?4y2?1(2) x3?5x2?3x?9 (4) 3x3?2x2?19x?6 (6) 37x3?54x2y?36xy2?8y3(8) x3?4x?3 (10) 3x4?4x3?7x2?4x?4因式分解(分組分解法)一、把下列各式因式分解：(1) a2?ab?ac?bc
(2) 3ax?4by?4ay?3bx(3) 2ax?3bx?4ay?6by
(4) ax2?bx2?bx?ax?a?b(5) a2b2c?ab3c?a2bc2?ab2c2
(6) (ab?1)2?(a?b)2(7) 3(ab?cd)?(bc?9ad)
(8) x2?y2?ax?ay(9) y3?y2z?yz2?z3
(10) x4?bx3?a3x?a3b(11) ax2?a3?a2b?ab2?b3?bx2
(12) a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc(13) 4a2b2?(a2?b2?c2)2
(14) (1?a2)(1?b2)?4ab二、把下列各式因式分解：(1) ac?bc?2a?2b
(2) xy?y2?yz?xz(3) 5ax?6by?5ay?6bx
(4) 12x2?4xy?3a2x?a2y(5) 4a2bc?6ab2c?6a2bd?9ab2d
(6) x5?x4?2x3?2x2?5x?5(7) 2a?(a2?4)x?2ax2
(8) x2?y2?z2?2yz(9) 1?m2?n2?2mn
(10) a4?a3?a?1(11) x3?x2?x?y3?y2?y
(12) a2(a?1)?b2(b?1)(13) (x2?y2?z2)2?4x2y2
(14) a2?b2?x2?y2?2ay?2bx(15)(a?b?c)2?(a?b?c)2?(a?b?c)2?(a?b?c)2
(16)* a3?b3?c3?3abc