一、洛必达法则的概念.；洛必达法则问题；洛必达法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再；(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F；(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|&N时f'(x)及F；二、洛必达法则适用求什么样未定式的极限?；利用洛必达求极限，是处理未定
一、洛必达法则的概念.
洛必达法则问题
洛必达法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|&N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
二、洛必达法则适用求什么样未定式的极限?
利用洛必达求极限，是处理未定式极限问题的有力手段。但在具体应用时应注意：
（1） 要验证题目是否符合洛必达法则的条件，确定属于0型或?型未定式方可应用洛必
达法则，并且每一次使用都要验证。
0??,???0,1,?（2） 对于其他类型的未定式， 可以用代数变换或对数变换
将其转化为
型或?型未定式，再用洛必达法则。
（3） 在计算未定式极限问题时，洛必达法则不一定是最简单的方法，更不是万能的方法，
应该注意与其他方法的结合，如利用重要极限，等价无穷小替代。 （4） 利用洛必达法则得出的极限不存在，不能说明原极限不存在，此时应考虑用其他方
型和?型未定式极限
若当x?a（或x??）时，函数f(x)和F(x)都趋于零(或无穷大)，则极限
可能存在、也可能不存在，通常称为0型和?型未定式.
lnsinax?tanx0lim
例如 x?0x, (0型); x?0lnsinbx, (?型). 设 (1)当x?0时, 函数f(x)和F(x)都趋于零;
(2)在a点的某去心邻域内,f?(x)和F?(x)都存在且F?(x)?0;
f(x)x?aF(x)(3) 存在(或无穷大),
f(x)f?(x)lim?lim
则x?aF(x)x?aF?(x)
定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
证明: 定义辅助函数
?f(x),x?a?F(x),x?a
f1(x)??F1(x)??
x?a, x?a ?0,?0,
在U(a,?)内任取一点x, 在以a和x为端点的区间上函数f1(x)和F1(x)满足柯西中值定理
的条件, 则有
f(x)f(x)?f(a)f?(?)
F(x)F(x)?F(a) F?(?), (?在a与x之间)
f?(x)f?(?)lim?Alim?A
??aF?(?)?a, 所以当x?aF?(x), 有
x?aF(x)??aF?(?).
求x?0x, (0型)
(tanx)?secxlimlim?1x?0?x?0(x)1解 原式== lim
x3?3x?20lim3
求x?1x?x?x?1, (0型)
解 原式= x?13x?2x?1= x?16x?22
?arctanxlimx???10
x求 , (0型)
limx2x???1lim?22xx=???1?x=1 解 原式=
x?aF?(x)说明: 如果仍属于0型, 且f?(x)和F?(x)满足洛必达法则的条件,可继续使
f(x)f?(x)f??(x)
?lim?lim??
x?aF(x)x?aF?(x)x?aF??(x)用洛必达法则, 即
?型未定式极限
f(x)f?(x)??lim
当x??时, 该法则仍然成立, 有x??F(x)x??F?(x);x??时的未定式?，也有相应的洛必达法则; 洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.
lnsinax?lim
求 x?0lnsinbx, (?型).
cosbxacosax?sinbxlim
解 原式= x?0bcosbx?sinax= x?0cosax=1
?lim?tan3xx?
求 2, (?型)
1cos23xlim
1?6cos3xsin3xlim
3x???2cosxsinx
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
tanx?xx2tanx
tan2xsec2x?11tanx?x
limlimlim2
32x?0x?0x3x解 原式= = =3x?0x=
三、使用洛必达法则的关键是什么？
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
洛必达法则是解决求解“0/0”型与“∞/∞”型极限的一种有效方法，利用洛必达法则求极限只要注意以下三点：
1、在每次使用洛必达法则之前，必须验证是“0/0”型与“∞/∞”型极限。否则会导致错误；
2、洛必达法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；
3、使用洛必达法则求得的结果是实数或∞（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是∞的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 根据柯西中值定理推导出一个简便的求极限的重要方法． 通常，如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零或都趋于无穷大，
那么极限 可能存在、也可能不存在．这种极限叫做未定式，并分别简记为 或 型． 学习指导
四、如何使用洛必达法则求其他类型未定式的极限。
其它未定式的极限
关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型0型和?型.
1．0??型未定式的求法
步骤：求x???
??,0???0?1?0 或
x???2???. 解 原式=x???x=x???2x
??.000?0 步骤：
求 x?0sinxx
1?cosxx?sinx
x?0sinx?xcosx?0.解 原式=x?0x?sinx
3.00,1?,?0型
??1???取对数??????ln1
?0?ln??0???0??. ?步骤：
解 原式=x?0
解 原式=求x?0?
lnxlimx?11?x
解 由于(cotx)
?ln(cotx)lnx
?ln(cotx)lnx
x?0cosx?sinx??1 x
所以 原式=e.
注意：洛必达法则的使用条件．
x??x求 lim
?lim(1?sinx).x??x??1解 原式=极限不存在
（洛必达法条件不满足的情况）
lim(1?cosx)
?1. x正确解法为
求n??解 设
f(x)?[tan(
?2?)]f(n)?[tann(?)]4x，则4n
limf(x)?exp[limxlntan(
222?2sec(?)(?)ln?)24x]?exp[lim]exp[limx???1?2x???1?2?)4
从而 原式=n??
limf(n)?limf(x)?e4
五、所有未定式的极限都能用洛必达法则求出吗？
有些不定式,运用洛必达法则不能得到结果,但是这不能说明该不定式的极限不存在,因为洛 必达法则是极限存在的充分条件。
?limx?sin1?0
x?0xx 存在，
11lim?lim(2x?sin?cos)
x?0x?0xxx 不存在 而使用洛必达法则
六、 如何使用洛必达法则求未定式的极限效率高？
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
tanx?xlim2x?0
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从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．
极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．
洛必达法则及使用条件
在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当x?a（或x??）时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限
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(x??)x?a?f(x)0可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为型和?g(x)0
0?型. 未定式极限除了以上两种外，还有0??型、???型、?型、1型、0型等五种，
后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握
前提． 0?0型和型极限的计算方法是?0
2.1 洛必达法则0型 0
设函数f(x)，g(x)满足：
（1）当x?a时，函数f(x)及g(x)都趋于零；
（2）在点a的某去心邻域内，f(x)及g(x)都存在且g(x)?0；
（3）limx?af(x)存在（或为无穷大）， g(x)
limx?af(x)f(x)?lim. x?ag(x)g(x)
这就是说，当limx?af(x)f(x)f(x)f(x)存在时，lim也存在且等于lim；当lim为x?ax?ax?ag(x)g(x)g(x)g(x)无穷大时，limx?af(x)也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确g(x)
定未定式的值的方法称为洛必达法则.
因为f(x)当x?a时的极限与f(a)及g(a)无关，所以可以假定g(x)
f(a)?g(a)?0，于是由条件（1）、（2）知道，f(x)及g(x)在点a的某一邻域内是连续的，设x是这一邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有
f(x)f(x)?f(a)f(?)??
（?在x与a之间）.令x?a，并对上g(x)g(x)?g(a)g(?)
式两端求极限，注意到x?a时??a，再根据条件（3）便得要证明的结论. 如果f(x)0当x?a时仍属于型，且这时f(x)，g(x)都能满足定理中f(x)，g(x)0
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g(x)所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定limx?af(x)，即 g(x)
g(x)?limf(x)f(x)
x?ax?ag(x)?limx?ag(x).
且可以依次类推.
设函数f(x)，g(x)满足：
（1）当x??时，函数f(x)及g(x)都趋于零；
（2）当x?N时，f(x)及g(x)都存在且g(x)?0；
（3）limf(x)
x??g(x)存在（或为无穷大），
x??g(x)?limf(x)
2.2 洛必达法则?
设函数f(x)，g(x)满足：
（1）当x?a时，函数f(x)及g(x)都趋于?；
（2）在点a的某去心邻域内，f(x)及g(x)都存在且g(x)?0；
（3）limf(x)
x?ag(x)存在（或为无穷大），
limf(x)f(x
x?ag(x)?lim)
设函数f(x)，g(x)满足：
（1）当x??时，函数f(x)及g(x)都趋于?；
（2）当x?N时，f(x)及g(x)都存在且g(x)?0；
（3）limf(x)
x??g(x)存在（或为无穷大），
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