知识点梳理
导数和函数的单调性的关系：&（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；&（2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。
在中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有： 1,一元二次方程根的判别式;
2,参数大于最大值或小于最小值;
3,变更主元利用函数与方程的思想求解。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数，g（x）=x2eax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x...”，相似的试题还有：
已知定义在区间[0，2]上的两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)=x2-2ax+4(a≥1)，g(x)=\frac{x^{2}}{x+1}．(1)求函数y=f(x)的最小值m(a)；(2)若对任意x1、x2∈[0，2]，f(x2)＞g(x1)恒成立，求a的取值范围．
已知函数f(x)=(2-a)lnx+\frac{1}{x}+2ax(a∈R)．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当a＜0时，求f(x)单调区间；(Ⅲ)若对任意a∈(-3，-2)及x1，x2∈[1，3]，恒有(m+ln3)a-2ln3＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=\frac{mx}{x^{2}+1}+1(m≠0)，g(x)=x2eax(a∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当m＞0时，若对任意x1，x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围．已知函数.(1)求函数的单调区间,(2)当时.试讨论是否存在.使得. 题目和参考答案——精英家教网——
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已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得.
（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）先求出导数为二次函数，对和进行分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间；（2）由作差法将等式进行因式分解，得到，于是将问题转化为方程在上有解，并求出该方程的两根，并判定其中一根在区间上，并由以及确定满足条件时的取值范围，然后取相应的补集作为满足条件时的取值范围.（1），方程的判别式为，①当时，，则，此时在上是增函数；②当时，方程的两根分别为，，解不等式，解得或，解不等式，解得，此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），若存在，使得，必须在上有解，，，方程的两根为，，，，依题意，，即，，即，又由得，故欲使满足题意的存在，则，所以，当时，存在唯一满足，当时，不存在满足.
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科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
函数.（1）若，函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，若对任意恒成立，求的取值范围．
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
（3分）（;重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（&&&&&&&&）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）
科目：高中数学
来源：不详
题型：填空题
设函数在R上存在导数,对任意的有,且在上.若,则实数的取值范围&&&&&&&&&&&.
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
函数的单调递增区间是A．B．C．D．
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是(&&&& )A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
已知（1）判断的奇偶性；（2）讨论的单调性；（3）当时，恒成立，求b的取值范围.
科目：高中数学
来源：不详
题型：填空题
函数是定义在R上的奇函数，当时，，则在上所有零点之和为&&&&&&&&&&&&．
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(x)&0的解集是(　　)A．(0，)B．(2，＋∞)C．(0，)∪(2，＋∞)D．(，1)∪(2，＋∞)
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已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（3）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[l，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f′(x)=a(2-x)x3，(x≠0)，因为a＞0，所以由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此时函数单调递增．由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递减．所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（2）设切点坐标为（x0，y0，则y0=a(x0-1)x0x0-y0-1=0a(2-x0)x03=1，解得x0=1，a=1．（3）g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1），则g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=ea-1．所以在区间（0，ea-1）上，函数单调递减，在（ea-1．，+∞）上，函数单调递增．①当ea-1．≤1，即0＜a≤1时，在区间[l，e]上g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（1）=0．②当ea-1．≥e，即a≥2时，在区间[l，e]上g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．③当1＜ea-1．＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea-1．）=（a-1）ea-1．-a（ea-1．-1）=a-ea-1．．综上当0＜a≤1时，g（x）的最小值为g（1）=0．当1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea-1．），当≥2时，g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..”考查相似的试题有：
572162624076457890627173564349557947带根号的函数单调区间和值域怎么求
提问：级别：幼儿园来自：河北省保定市
回答数：1浏览数：
带根号的函数单调区间和值域怎么求
y=-√1-9x^2
2.求单调区间
&提问时间： 22:37:43
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回答：级别：专业试用 07:25:07来自：河南省周口市
被开方式为二次函数时，
可利用二次函数性质及被开方式非负来确定.
⒈因为0≤1-9x^2≤1，
所以-1≤-√1-9x^2≤0.
即值域为[-1，0].
⒉由1-9x^2≥0得-1/3≤x≤1/3，
在[-1/3，0]上y=1-9x^2递增，
y=-√1-9x^2递减.
在[0，1/3]上y=1-9x^2递减，
y=-√1-9x^2递增.
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