生灭过程_百度文库
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马尔可夫过程
马尔可夫过程（Markov process）是一类。它的原始模型，由俄国数学家A.A.于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在）的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。 例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
马尔可夫过程名词定义
在马尔可夫性的定义中，&现在&是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻 τ以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里τ为停时，并且认为τ是“现在”。如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔可夫性。具有这种性质的马尔可夫过程叫强马尔可夫过程。在相当一段时间内，不少人认为马尔可夫过程必然是强马尔可夫过程。首次提出对强马尔可夫性需要严格证明的是J.L.。直到1956年，才有人找到马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。马尔可夫过程理论的进一步发展表明，强马尔可夫过程才是马尔可夫过程真正研究的对象。
马尔可夫过程形成过程
1951年前后，建立的随机微分方程的理论，为过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程，它的原始模型，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它所处的状态的条件下，它未来的演变不依赖于它以往的演变。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将中的方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.等发现了与偏微分方程论中问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。[1]
马尔可夫过程时间链
以上述中的青蛙跳跃过程为例，荷叶号码的集合E叫做，性表示为：对任意的0≤n1&n2&…&nl&m,n&0,i0,i1,i2，…，i(n-1），i,j∈E，有
(1)P[x(n)=in|x(0)=i0,x(1)=i1,...,x(n-1)=i(n-1)]=P[x(n)=in|x(n-1)=i(n-1)]
（以下n与m的区别请注意！）
只要其中（见概率）有意义。一般地，设E={0，1，…，M}(M为正整数）或E={0,1,2，…},Xn，n≥0为取值于E的随机变量序列，如果（1）式成立，则称{X,n≥0}为。如果（1）式右方与m无关，则称为马尔可夫链。这时（1）式右方是马尔可夫链从i出发经n步转移到j的，称为转移概率，记为。对于马尔可夫链，人们最关心的是它的转移的概率规律，而n步转移正好描述了链的n步转移规律。由于从i出发经n+m步转移到j必然是从i出发先经n步转移到某个k，然后再从k出发（与过去无关地）经m步再转移到j，因此有
这就是柯尔莫哥洛夫－查普曼方程。根据这一方程，任意步都可以通过一步转移出来。因此，每个齐次马尔可夫链的转移规律可以由它的一步转移矩阵P来刻画。P的每一元素非负且每行之和为1，具有这样性质的矩阵称为。例如，设0&p&1，q=1-p，则M阶方阵为随机矩阵，它刻画的是一个具有反射壁的随机游动。设想一质点的可能位置是直线上的整数点 0，1，…，M,0和M称为壁，它每隔单位时间转移一次，每次向右或左移动一个单位。如果它处在0或M，单位时间后质点必相应地移动到1或M-1，如果它处于0和M之间的i，则它以p转移到i+1，以概率q转移到i-1。又如果把P的第一行换成（1,0，…，0），则此时表示0是吸收壁，质点一旦达到0，它将被吸收而永远处于0。如果不设置壁，质点在直线上的一切整数点上游动，称为自由随机游动，特别当时，称为对称随机游动。
为了进一步研究的运动进程，需要对状态进行分类。若pij&0，则称i可以直达j，记作i→j，如还有pji&0，则记作i凮j，采用这样的记号，可以用图形表示运动的进程。例如图形
表示一个马尔可夫链的运动情况，当链处于b1,b2,b3状态时，将永远在{b1,b2,b3}中运动，当链处于α1，α2，α3，α4状态时，将永远在{α1，α2，α3，α4}中运动，而{d1,d2，…}不具有这种性质，因为从d1可一步转移到b1或d2，自d3可到α1或d4，等等。对一般的马尔可夫链，若C是由一些状态组成的集合，如果链一旦转移到C中的状态，它将永远在C 中转移，C 就称为这个链的闭集。对C，如果从C 中任一状态出发经有限步转移到另一状态的都大于0，则称C为不可约闭集，例如上例中的{b1,b2，b3}。至于{b1,b2,b3，с1,c2}虽然也是闭集，但却是可约的。如果从状态i出发经有限次转移后回到i的概率为1，则称i为常返状态。E可以分解为由一切非常返状态组成的集 E0（如上例中的{d1,d2，…}）和一些由常返状态组成的不可约闭集Eα（如上例中的 {b1,b2,b3},{α1，α2，α3，α4},{с1,c2}）的并。这样，在链的转移中，它或者总是在E0中转移，或者转移到某个常返类Eα中，一旦转移到Eα，它将永远在Eα中转移，而且不时回到其中的每一个状态。特别，当 E本身是不可约常返闭集时，极限存在，其中0≤r&t，t是0）的，即链的周期，与j无关。近20年建立起来的马丁边界理论，更细致地刻画了链在E0中转移的情况。它的主要思想是在链的状态空间E 中引进距离并将E 完备化，使得在这个距离下，Xn 以1收敛（见概率论中的收敛）。
马尔可夫过程连续时间
设E是{0,1，…，M}或{0,1,2，…},{X,t≥0}是一族取值于E的随机变量，如果在（1）式中，将n1,n2，…，m,n理解为，（1）式仍成立，则称{Xt，t≥0}为连续时间。若还与s≥0无关，记为pij(t），则称链为齐次的。连续时间齐次马尔可夫链也由它的P(t)=(pij(t))(i,j∈E,t&0)所刻画。P(t）满足下述条件：①pij(t）≥0，；②柯尔莫哥洛夫-查普曼方程；通常假定：③标准性 这里δii=1，δij=0(i≠j）。有时直接称满足①、②、③的一族P(t)=(pij(t）），t≥0为转移矩阵或马尔可夫链。当①中条件放宽为时，称为广转移矩阵，它有很好的解析性质。例如，每个pij(t）在t&0时具有连续的有穷P‘（t）；在t=0，右导数P’（0）存在，i≠j时P‘（0）非负有穷，但P’（0）可能为无穷。矩阵Q =(qij）呏（P‘（0））称为链的，又称Q矩阵。对于每个齐次{X,t≥0},找到一个具有较好轨道性质（右下半连续）的修正{X(t)，t≥0}（即对一切t≥0，P(X(t)≠Xt)=0，且对每个轨道对一切t≥0有），而且以1，对任意t≥0,s从大于t的一侧趋于t时，X最多只有一个有穷的极限点。
以Q为密度矩阵的广称为Q广转移矩阵或Q过程。在一定条件下，Q广转移矩阵P(t),t≥0满足向后微分方程组或者向前微分方程组。
上面两个方程组的更普遍形式由柯尔莫哥洛夫于1931年引入。他并提出求解上述方程组的问题，这就是Q问题或构造问题：给定一个矩阵Q =(qij），满足0qij&+∞（i≠j），，是否存在Q广?如果存在，何时唯一?如果不唯一，如何求出全部的Q广转移矩阵？对于qii都有限的情形，W.于1940年构造了一个最小解p(t），证明了Q 广转移矩阵总是存在的；中国学者于1974年对于qii都有限的情形找到了Q 广转移矩阵的唯一性准则；至于求出全部Q 广转移矩阵的问题，仅仅对一些特殊的情形获得解决。对于Q 的对角线元素全为无穷的情形，D.威廉斯曾获得了完满的结果。
马尔可夫过程生灭过程
考察一个群体成员的数目，在时间的进程中可增可减，假定在时刻t群体有i个成员，在很短的时间间隔（t，t+Δt）中，群体数目增加或减少两个或两个以上几乎是不可能的，它只可能增加一个或减少（当i&0时）一个或保持不变。而增加一个的为 ，减少一个的概率为，保持不变的概率为。（pij(t））的是
式中α0≥0,b0&0，对一切i&0，αi&0,bi&0。具有上述形状的密度矩阵的称为生灭过程。
物理、化学、生物、医学等的许多实际模型都可以用生灭过程来描述，因此生灭过程有着广泛的实际应用。不仅如此，生灭过程还有重要的理论研究意义。关于生灭过程的结果已经十分丰富。当α0=0,b0&0时，只有一个生灭过程的是。
对上述条件不成立的情形，中国学者于1958年建立了“极限过渡法”，构造了全部生灭过程。这个方法的基本思想是用较简单的过程的轨道来逼近一般过程的轨道。此外，甚至对α0≥0，b0&0的情形，或更一般的双边生灭Q（即为一切整数）的情形，全部Q广也都已构造出来。
马尔可夫过程一般过程
设（E，B）为可测空间，X={X，t≥0}为一族取值于E的，如果对任意的B，以1有
则称X为过程。
马尔可夫过程的定义还可以进一步扩充。第一，所谓&过去&可以作更广泛的理解，即（2）中由，Xs所产生的（见概率）可以扩大为一般的σ域Fs，只要Fs包含由{X,u≤s}产生的σ域，而当 s&t时，。如果对任意s≥0，t&0，A∈B，以概率1有
则称随机过程X={X,t≥0}为马尔可夫过程。第二，可以允许过程有寿命ζ，其中ζ是停时（见随机过程）。这时过程为X={X,t&；ζ}。上述定义仍保留，但应作相应的修改，如{X∈As∈A,s&；ζ），（3）应理解为在{s&；ζ}上几乎处处成立。
过程的许多性质可以通过转移函数来表达。转移函数P(s,x,t,A)(0≤s≤t，x∈E,A∈B）是满足某些条件的四元函数，它可以理解为过程在时刻s时处在x，在时刻t 时转移到A中的。如果P(s,x,t,A)=P(t-s,x,A）只依赖于t-s,x及A，则称转移函数及相应的马尔可夫过程为的。设E是d维Rd,B为Rd中的波莱尔域（见）Bd，而且齐次转移函数满足下面的登金－金尼条件：对任意 ε&0，·。式中Vε（x)={y：|y-x|≥ε}，那么可以选取轨道连续的齐次过程X，以p(t，x，A）为转移函数。一类重要的轨道连续马尔可夫过程是 d维。
马尔可夫过程扩散过程
历史上，扩散过程起源于对物理学中的研究。虽然现在扩散过程的最一般的定义是轨道连续的过程，但在1931年柯尔莫哥洛夫对于扩散过程的奠基性研究中，却是按照转移函数来定义扩散过程的。直线上的马尔可夫过程，它有转移函数P(s，x,t,A），如果对任意ε&0，
而且上述关于x是一致的，则称此过程为一维。粗略地说，这些条件刻画了：在很短时间Δt内，位移也是很小的，对指定的正数ε&0，位移超过ε的和时间Δt相比可以忽略不计；在偏离不超过 ε的范围内看，平均偏离与Δt成正比，平均也与 Δt成正比。称（5）中的α（t,x）为偏移系数，它反映偏离的大小；称（6）中的b(t,x）为扩散系数，它反映扩散的程度。
设转移函数具有密度函数p(s,x,t,y），则在适当的附加条件下，p(s,x,t,y）满足方程
(7）和（8）分别称为柯尔莫哥洛夫向前方程和向后方程，也称为福克尔－普朗克方程。如果转移函数是的，则α（s,x)=α（x),b(s,x)=b(x）与s无关，且p(t,x,y）满足
α和b的某些假定下，可以求上述方程的转移密度解p，从而可以决定一个过程。然而，方程的转移密度解即使存在也未必唯一，因此还要对附加某些，以保持解的唯一性。例如，当α（t，x)=0，b(t，x)=2D （常数D&0）时的向前方程，附加边界条件=0的解是
这是称之为维纳－爱因斯坦过程的的转移密度函数。又例如，当α（t,x)=-βx（β &0),b(t,x)=2D &0时的向前方程附加与上例同样的边界条件的解，是称之为奥恩斯坦－乌伦贝克过程的扩散过程的转移密度函数。
50年代，引进了推广的二阶，用方法解析地研究了E =【r1,r2】的扩散过程，解决了在r1和r2 处应附加哪些边界条件，才能使向后方程（10）有一个且只有一个转移密度函数解的问题，而且找出了全部这样的边界条件。对于 E是或半开半闭区间的情形也作了研究。登金、H.P.麦及等人对于扩散过程轨道的研究，阐明了费勒的结果的意义，从而使一维扩散过程有了较完整的理论。
多维是和一个椭圆型偏联系在一起的，它还有许多未解决的问题，但核心问题之一是多维扩散过程的存在性和唯一性问题；借助于偏微分方程和方法已经得到一些结果。有趣的是，概率论得到的结果反过来也可以解决微分方程的求解问题，例如，可以把用一个过程表现出来。
人们越来越重视从轨道变化的角度来研究扩散过程。常用的方法是随机微分方程和鞅问题的求解。流形上的扩散过程理论日益受人们重视的新领域，它是用随机微分方程研究扩散过程的必然延伸。
马尔可夫过程与位势理论 　在空间中给定一个，如果存在一个函数u使得它的负梯度就是给定的向量场，这个函数就是位势。在研究电荷分布时提出了古典位势理论。例如，在空间R3的某物体S 中给定了一个电荷分布μ，那么空间点x处的电位势为
一般地，对于空间R3中的测度μ（通常假定具有支撑S ），
称为测度μ的位势。如果不计常数因子的差别，则u可以用三维布朗运动的转移密度函数p(t,x,y）表现出来：
如果假定μ关于有密度函数?，则u还可以通过三维布朗运动{X,t≥0}表现出来：
式中Ex表示对从x出发的取。再以和位势理论紧密联系的问题为例，它的解也可以用布朗运动来表述。由此可见，布朗运动与古典位势之间存在着自然的对应关系。这种对应关系也存在于亨特过程和近代位势理论之间。亨特过程就是轨道右连续且拟左连续的强过程。所谓拟左连续，即对任何停时序列τn↑τ，在（τ&+∞）上，以1有
马尔可夫过程的位势理论主要有三个问题：狄利克雷问题、扫问题和平衡问题。对于布朗运动，这三个问题都得到了很好的解决。
．豆丁网[引用日期]下载作业帮安装包
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排队论的生灭过程的平衡方程该如何理解?
首先,生灭过程的平衡方程存在的充要条件是生率小于灭率；其次,在此条件下生灭过程对应的马氏链是遍历的,存在平衡极限概率；直观上讲,平衡方程就是系统处于稳态下、每个状态对应的总生率与总灭率相等条件下建立起来的稳态方程.
既然是稳态，为什么会有不同状态？
稳态是指整个系统处于统计平衡的状态；处于稳态的系统以平稳概率分布pi 对应有不同的取值可能性，比如说排队系统的队长在稳态下以p0，p1，p2，或pi的概率取0，1，2，或自然数i 。
总之，稳态是一种整体性质，在此条件下，系统的特定指标（如队长）会以稳态概率取对应的值。
那么生率和灭率分别指什么，为什么生灭过程的平衡方程存在的充要条件是生灭率小于灭率
呵呵，举例说明：譬如售票窗口，生率可认为买票顾客的到达率，灭率对应售票员的服务率；要使系统稳定（排队不至于无限延长），必须要成立生率小于灭率这一关系。
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