数学问题解决的学习
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数学问题解决的学习
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数学问题解决的学习一、数学问题和数学问题解决的涵义
（一）数学问题的涵义。
1．什么是数学问题。
数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如除数是小数的除法，对初学的学生来说就是一个不能直接用除数是整数的除法法则进行计算的情景状态，它就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。
2．数学问题的结构。
数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。
（l）条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。
（2）目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。如问题“课外活动时，体育委员到保管室领球，按5个人一个篮球、8个人一个排球、10个人一个足球计算，一共要领17个球。全班共有多少人参加课外活动？篮球、排球、足球各要领多少个？”中的“全班共有多少人参加课外活动”和“篮球、排球、足球各要领多少个”就是问题给定的目标信息。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。如在上例中，未求出全班参加课外活动人数和三种球的个数以前它是一个问题系统，一旦求出答案达到目标状态以后，它就是一个稳定系统了。
（3）运算信息。运算在这里是指条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些操作方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的依据。如56.28÷0.67，可以利用除法商不变性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，然后按照除数是整数的除法法则进行计算，这就是问题给定的运算信息，没有这些信息就无法计算出结果。
（二）数学问题解决及其特征。
根据数学问题的涵义，数学问题解决是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。
数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。与其它一般问题解决一样，小学数学学习中的问题解决也具有以下基本特征。
第一，数学问题解决指的是学生初次遇到的新问题，如果是解以前解过的题，对学习者来说就不是问题解决了，而是做练习。
第二，数学问题解决是一种积极探索和克服障碍的活动过程。它所采用的途经和方法是新的，至少其中某些部分是新的，这些方法和途径是已有数学知识和方法的重新组合。这种重新组合通常构成一些更高级的规则和解题方法，因此数学问题解决的过程又是一个发现和创新的过程。
第三，数学问题一旦得到解决，学生通过问题解决过程所获得的解决问题的方法就成为他们认知结构的一个组成部分，这些方法不仅可以直接用来完成同类学习任务，还可以作为进一步解决新问题的已有策略和方法。
二、教学问题解决的功能
数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用，其功能可概括为以下几个方面。
（一）问题解决有利于提高学生数学知识的掌握水平。
数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学问题解决的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。如计算异分母分数加减法，要综合运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
（二）问题解决能培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
（三）问题解决能培养学生数学意识。
在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，他们都有明确的认识，因此数学问题解决能有效地培养学生的数学意识。首先，在数学问题解决中学生能更加明确地认识到过去所学数学知识的重要作用。如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使他们更加深刻地感受到自己所学的数学知识都是有用的。
（四）问题解决能培养学生的探索精神和创新能力。
数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
在教学中挖掘数学问题解决中隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质赋予小学数学学科教学的重要任务。
三、教学问题解决的一般过程
数学问题解决是一个连续的心理活动过程。这个过程通常反映为以下四个基本步骤。
（一）感知、理解问题。
感知和理解问题是数学问题解决的第一步。这一步主要是学习者明确问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象。具体来讲，在这一步先感知问题通过文字描述、画面或其它形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，由此在头脑里形成问题事件的表象，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。
感知和理解问题时要注意对问题的已知条件和问题的初始状态有全面而完整地认识，尤其是对那些综合性强、关系复杂的数学问题，要注意发现问题中的隐蔽条件，充分搜集有用的信息，这对实现问题的解决有重要的意义。例如，在问题“大数和小数的差是80.l，小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等，大数和小数各是多少”中，大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息，题中就没有直接告诉，而是隐蔽在“小数的小数点向右移动一位刚好与大数相等”之中，需要学习者自己去发现。
另外，感知和理解问题时不要忽视问题目标的导向作用，要根据目标信息去搜集条件信息，这样不仅可以更容易获得使问题达到目标状态的所有有用信息，同时还可以有效地排除无用信息的干扰。
（二）确定求解方案。
这是一个根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标状态选择解题方法，制定求解的过程，这是实现问题解决的最关键的一步。这一步是一个复杂的心理活动过程，要连续完成以下几方面的任务。
1．问题类化。
问题类化在这里是指把问题中的主要内容同学习者原有认知结构中有关的数学知识和方法联系起来，并把这些已有的知识和方法作为重新组合成解决问题的新方法的依据和基础。如在上例中，这一步就是将问题中的内容同原来已掌握的“小数点位置移动引起小数大小变化规律”。“解答差倍问题的方法”等内容联系起来，让这些内容在学习者头脑里处于激活状态，为后面确定求大数和小数的解题方法做好准备。
如果问题内容太复杂、太抽象，一时难以类化，就应采取适当的措施降低难度，使问题同学生原有认知结构中的有关内容建立起联系。其方法一是可以利用实物、模像或图示等直观手段，使问题中的隐蔽条件明朗化；二是可以利用适当改变问题内容的叙述方式，将逆向表述的问题变成顺向表述的问题，使问题内容同学生原有认知结构建立起直接的联系。
2．寻找解决问题的突破口。
寻找解题的突破口，在这里包含两方面的任务：一是抓住问题解决的关键，找到解题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决问题，确定解题思维的起点。这一步对整个解题过程至关重要，它是问题能否实现顺利解决的关键。由于解决问题时所采用的思维方法和思维起点的不同，所以这一步在具体实施过程中具有相对的灵活性，有些问题可以从目标入手去找问题解决的条件，有些问题应当从条件入手通过条件的组合去实现问题的解决，有些问题需要将两者结合起来思考找出问题解决的办法。到底从什么地方入手去解决问题，要根据不同数学问题的具体情况和学习者的思维习惯及发展水平去定，不能一概而论。
3．确定解题步骤。
确定解题步骤是指学生在头脑里拟出问题求解的具体操作程序，即确定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求学生写出书面的解题。从解决问题的思考过程来讲，这一步主要是一个确定解题思维发展方向的问题，即在前面已确定的思考起点的基础上进一步确定出整个解题过程应沿着什么方向思考下去，以保证解题时思维目标信息确定的方向顺利进行。解题时思维过程的发展方向是直接受思考起点制约的，同一问题如果思考起点不同，思维过程展开的方向也不同。例如“小玲读一本故事书，第一天读了全书的25％，第二天读了余下的，还剩下45页没有读。这本故事书一共有多少页？”制定求解方案时，如果以求二天所看页数占全书总页数的分率为突破口，其思维过程就可以沿着“第二天看了全书的几分之几→剩下的45页占全书的总页数的几分之几→全书共有多少页”的方向展开；如果以求第一天看后还剩下的页数为突破口，就先把第一天看后还剩下的页数看做单位“l”，然后再把全书总页数着做单位“l”，其思维过程是：先求出第二天读后剩下的45页对应的分率，再求第一天读后剩下的页数，紧接着求第一天读25％后还剩下百分之几没有读，最后求出全书的总页数。确定解题步骤时，不管以什么为思考起点和沿着什么方向展开思维，都要注意两点：一是要注意问题目标的导向，思考的方向始终要朝着问题的目标状态展开；二是思维活动不能脱离数学问题所给定的条件，只能在问题的运算信息所允许的范围内进行。
（三）实施问题解答。
实施问题解答就是将前面所制定的解题付诸实施，使问题达到目标状态。它要求学习者按照既定的解题思路有序地进行推导、运算、操作，直到得出正确的答案。这一步既是一个执行解题的过程，同时也是一个检验和修正解题的过程。解题时如果发现前面所制定的求解和解题思路不当或者不简便，应及时修正，以减少解题过程中的失误，使问题比较顺利地达到目标状态。
（四）评价。
问题解决以后，学习者还应主动对自己的求解过程和结果进行检验与评价，看解题过程是否合理、简便，结果是否正确。如果发现错误，应认真分析错误的原因，并及时纠正错误，使问题获得正确答案。评价时应注意分析问题还有无其它解答方法、还有哪些新的方法，这样有利于学生养成从不同角度去分析和解决问题的能力及思维习惯。
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数学家用哪里想那些高深的数学问题？
数学家 头脑 高斯 数学家的故事
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中国数学家陈景润
本文作者:远千山
长江后浪推前浪，前浪挂在高数上。在大学校园里，你总能见到为高等数学、数学分析和线性代数头疼不已的学生们。“那些数学家们到底是用什么脑子来想数学问题的啊！”他们想着。
这个问题的答案，科学家们也想弄清楚。前阵子，法国巴黎-萨克雷大学的研究者就通过功能性磁共振成像（fMRI）对数学家的大脑进行了扫描。经过和非数学家进行对比，他们发现人类大脑中负责高难度数学问题的区域，与负责基本数字感的区域基本相同。
换句话说，数学家们并非是点亮了大脑的特殊区域才获得了不明觉厉的数学才能。他们思索高深抽象的数学概念时，跟我们为简单的运算题绞尽脑汁调用的是同样的大脑区域。相关结果[1]近日发表在了《美国科学院院刊》（PNAS）上。
语言还是数字：高级数学能力的起源
人类的大脑为什么能够处理高级的数学问题？至今人们也想不清这种甩其他动物几条街的卓越能力是如何进化而来的。长期以来，有研究者猜想这种能力与人类使用语言的能力息息相关，认为语言中的抽象化能力是我们处理高级数学问题的起点。不少数学家和物理学家质疑这种观点的可靠性。爱因斯坦就曾宣称：“词汇和语言，不管是写下来的还是说出口的，对我的思考过程似乎都没什么用处。”
另一种假设主张，人类处理高级数学问题的能力也是从基本的数字，逻辑，分析等能力中演化出现的——在成年人中，处理数字概念所涉及的大脑区域与处理语言的部分几乎没有重叠。不过，也有数学家表示数字概念太过简单，不能代表高级数学能力。
没关系，有争议就有探究。在这次的研究中，玛丽·阿玛里克（Marie Amalric）和斯坦尼斯拉斯·德阿纳（Stanislas Dehaene）就召集了15名职业的数学家和15名学术地位与之同等的非数学专业研究者，对比他们在处理不同信息时脑部不同区域的活动差异。
玛丽·阿玛里克（左）和斯坦尼斯拉斯·德阿纳（右）试图利用fMRI找出数学家思考抽象数学问题时动用的脑部区域。图片来源：normalesup.org；institutfrancais.dk
数学家用哪里想数学问题
在实验中，他们会听到一系列不同的命题：数学分析、代数、拓扑学和几何学领域的高级数学各18个，以及18个非数学领域（比如“在古希腊，还不起债的公民将沦为奴隶”）的命题。他们需要在听到命题4秒后判断这些命题是真的，假的，还是无意义的。在他们思考时，fMRI会记录下他们大脑各区域的活动。
在对非数学命题下判断时，数学组和非数学组正确率不相伯仲。而所谓术业有专攻，在判断具体数学命题时，数学组充分表现出了专业优势，正确率超过了60%，而非数学组的正确率则只有37%，跟随机瞎蒙蒙对的概率差不多。
来想一想（猜一猜）上述这些命题有没有意义，如果有，命题是真是假？图片来源：参考文献[1]
但谁正确率高并不是问题的核心。关键在于，fMRI成像的结果精确地描绘了大脑各区域在他们思考时的活跃情况。研究者发现，在处理判断与数学相关的命题时，双侧顶内沟区域（IPS），双侧颞下回区域（IT）以及前额叶皮层区域会被激活——而如果处理的问题与数学无关，它们则“无动于衷”，甚至还会表现出轻微的抑制现象。
那么，这些处理数学问题的部分和大脑中负责处理语言信息的部分究竟有多大关联呢？研究者们定位检测了传统理解中和语言相关的大脑区域，然后让被试看或听不同的句子。结果显示，和与数学相关的句子相比，普通语义推理句对大脑中和语言处理相关区域的激活要更强。扫描对比也发现，在判断数学问题和进行语义推理时分别被激活的大脑区域，重叠部分非常微小。
高等数学和简单运算，用同样的脑区
有趣的是，这些脑区的活跃似乎与数学问题的难易无关——在后续实验中，研究者发现即使是再简单的数学问题，也可以激活这些脑区。而只要与数学无关，无论问题多复杂都无法打动这些区域。这提示，这些大脑区域非常专注于数学相关信息。
至此，处理高级数学问题的能力归功于语言的观点似乎无法支持了。那么，另一种猜想有怎么样呢？研究者发现，诸如数字和计算这种数学基本概念也同样激活IPS和IT区域——这些区域和数学家们之前处理高级数学问题时被激活的脑区重合了。
处理高级数学命题（红）与处理数字概念（绿）和计算（蓝）时显著更活跃的脑区基本重合。图片来源：参考文献[1]
等等，数学问题里难道不是本来就会提及数字和运算吗？嗯，为了避免这样的干扰，研究者在那72道数学命题中几乎没有提到任何数字。但结果依然指向一个可能：我们思考高级数学问题和处理基础数学概念时，用的是完全相同部分的大脑——至少在受过训练的人中是这样的。
所以呀，数学家们可不是靠什么“别的脑子”来想高深莫测的数学问题。让数学家那些深邃思考得以形成的基础，也正是我们这些“普通人”用以发挥基础数学技能的神经网络。
当然，我们也无法排除一种可能性，即数学家在童年时受到的基础训练可能的确塑造了他们解决高级问题时所动用的神经回路。接下来，研究者也将继续探究，为什么那些为多数人“栽种”了基础算数能力的脑区，只将少数人带到了能从事高级数学研究的高度。
（编辑：Calo）
参考文献：
Amalric, Marie, and Stanislas Dehaene. "Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians." Proceedings of the National Academy of Sciences (2016): .
文章题图：Gottlieb Biermann/commons.wikimedia.org
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引用 的话：那你精神正常不。你的回答中好像有话，有无法说出。需要测试。
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引用 的话：几何和代数用的是一个区域吗？感觉几何通俗易懂图文并茂，代数简直就是一辈子的噩梦更别说高数了你一定没有学过微分几何⊙︿⊙来自 没有iOS版的果壳的壳
引用 的话：几何和代数用的是一个区域吗？感觉几何通俗易懂图文并茂，代数简直就是一辈子的噩梦更别说高数了哈哈！我记得初中学几何感觉好有意思，当时几何成绩几乎全是满分，代数全相反几乎全是0分哈哈！！
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生理学博士
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引用 的话：你一定没有学过微分几何⊙︿⊙是的。。。。已经跪在高中代数前面了.。。。高数补考我都不知道怎么过的。应该是老师不忍心了吧。天天上课，还不及格，恻隐之心发作了。
引用 的话：你一定没有学过微分几何⊙︿⊙⊙︿⊙正在学
引用文章内容：长期以来，有研究者猜想这种能力与人类使用语言的能力息息相关，认为语言中的抽象化能力是我们处理高级数学问题的起点。这谁说的你站出来我保证不打S你……语言待我如此温柔，高数是魔鬼！
==左右眼睛大小不一样？
引用 的话：纯属刻板印象！凸(艹皿艹 )看看这个：伦敦大学机械工程学院的26岁意大利小哥Pietro Boselli被称为“世界上最帅的数学老师”。谁规定搞数学的不能长得帅，身材好。(☆▽☆)问题意大利由于我们审美问题。。。帅哥泛滥。。。。
其实我有个男老师也是很帅的。但是高级研究员和奥林匹克赛手中有的不一样。演员和数学研究员得分裂症的很多。不太了解关系。高于有些其他科目研究员的比例。
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