两个实数中间必有有理数与实数怎么证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-19 03:22 标签： 实数 有理数 自然数
如何证明根号2不是有理数?
如果是有理数,刚可以表示为a/b（a,b均为整数且互质） 则a^2=2b^2 因为2b^2是偶数,所以a＾2是偶数,所以a是偶数 设a=2c 则4c^2＝2b^2 b^2=2c^2 所以b也是偶数 这和a,b互质矛盾. 所以,根号2是无理数.
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高中书上有吧无理数不能表示成分数的形式是个无限不循环小数
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如果根号2是有理数，那么根号2=某个分数a/b。这个a,b可能都是2的倍数，那么可以把它约分，所以可以假设a，b不全是2的倍数。于是2=a^2/b^2.即a^2=2b^2。可见a一定是偶数。设a=2x,其中x是整数。那么4x^2=2b^2,b^2=2x^2。可见b也是偶数。这与a，b不全是2的倍数矛盾！所以假设不成立，即根号2不是有理数...
如果是有理数则，存在p,q两个数，且p,q互素，满足p/q=sqrt(2)则p^2/q^2=2则p^2一定能是偶数，因此，p也一定是偶数再则q^2=p^2/2因为p是偶数，所以 p^2/2也一定是偶数，由此可得到 q^2是偶数，那么q也一定是偶数。也就是说p.q都是偶数，能被2整除，与前面的p,q互...
循环论证！
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实数可以分为有理数和无理数两类
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[yǒu lǐ shù]
(数学名词)
数学上，有理数是一个a和一个非零整数b的，例如3/8，通则为a/b，又称作。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数、循环小数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的认识
有理数为和分数的统称。正整数和合称为，负整数和合称为。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
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大家还关注如何证明任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数？
大一新生，麻烦大家回答简单易懂一些
设这两个无理数是,且.1.如果,则,存在满足条件;2.如果,则由阿基米德性,存在使得,由1我们知道,和间存在一个整数使得,即有,存在满足条件.其中,的存在性和唯一性,阿基米德性,和一些不等式的变换方法,都是实数集的基本性质.不难得知,这个证明对一般的都成立.
转化成十进制。首先这两个数不一样，那么必定从某一位开始不一样了。比如3.793…3.792…上面第一个是pi，第二个是长得像pi的一个无理数。然后作截断：3.7925这是个有理数。注意到十进制有限小数是有理数，那么这种截断就很容易找。
假设那两个无理数为a,b且a大于b,则设d=a-b.如果存在正有理数x小于d，则x的n倍的数列必有一个落到a与b之间，所以问题转化为存不存大于0小于d的有理数如果d是有理数，d/2满足要求。如果d是无理数，根据阿基米德性存在n使得d乘以n大于1，推出d&1/n,显然1/n是有理数
看到有用阿基米德性来证的，没问题，很简洁，也说的清楚。但是总感觉不够直观，这里提供另外一种思路，仅供参考：任意一个无理数都可以表示成一个有理数数列的极限，这里找一个从右边趋近于a的序列an，类似这样a,.....a3,a2, a1,......b,
肯定能找到一充分大的N使得a&aN&b。
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