大一高数经典题目题 求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-15 02:23 标签： 大一高数经典题目
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大一高等数学复习题集(含答案解析)

复习题一、 单项选择题1、的定义域是（ D ）A、 B、C、 D、2、如果函数fx的定义域为[1，2]则函數fxfx2的定义域是（ B ）A、[1，2] B、[1] C、 D、3、函数 D A、是奇函数，非偶函数 B、是偶函数非奇函数C、既非奇函数，又非偶函数 D、既是奇函数又是偶函數解定义域为R，且原式lgx21-x2lg104、函数的反函数（ C ）A、 B、C、


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我们来看几道大一数学典型例题

设两条直线 ， 求：（1） 绕 旋转所得曲面 的方程（2）相距为 且垂直于 的两平面与曲面 所围成的立体体积的最小值

解：（1）由旋转的条件：

以上三个方程中消去 得到曲面 的方程为：

设 ，其中 是给定的求所有 使

解：设 ，则存在可逆矩阵 使

令 其中 是 阶方阵，代入上式得到 故有 ，故 （※）其中

另一方面，若 满足（※）： （ 是 阶对称方阵）则满足 。

综上（※）给出了所有的 。

设 , , 已知 和 没有公共特征值，且 求证：

引理1的证明：用归纳法。 明显成立如果对于 成立，那么对 的情况

引理2：对任意多项式 都有

引理2的证明：由引理1立即得到

引理3：设 是 的特征多项式，则 可逆

引理3的证明：根据特征多项式的定义 ，其中 是 的所有特征值于是 。因为 都不是 的特征值所以 ，…… ，故 也即 可逆，即证

现在来证明题目。设 是 的特征多项式由引理2有 . 由Cayley-Hamilton定理， 故 . 又由引理3 可逆，故

求曲面 在 区域内的面积

设 ， 且对于任意在 上的偶函数 都有 求证： 是 上的奇函数。

由条件对于任意偶函数 都有

由于 是奇函数，所以 自然成立

因此对于任意偶函数 嘟有

特别地取偶函数 ，就有

又连续函数 故在 上 ，这也就表明 是 上的奇函数

设 讨论 的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）

解：紸意到 ，故由比较判别法当 时绝对收敛，当 时不绝对收敛

注意到 且 ，故正项级数 与 有相同的敛散性并且由莱布尼兹定理可知 收敛。

當 时 收敛故 收敛，又 收敛故 收敛。

发散又 收敛，故 发散

综上，原级数在 时绝对收敛在 时条件收敛，在 时发散

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