一、二元方程所确定的隐函数求導的情形
由二元方程可确定一个一元的隐函数求导,将之代入原方程,得到一个恒等式
对恒等式两边关于变量求导,左边是多元复合函数求导,它對变量的导数为
右边的导数自然为,于是有
解出,得到隐函数求导的导数
由多元复合函数求导的求导定理可知,当在具有一阶连续偏导数,而在可導时,才可求出复合函数求导的导数,若时,才有
这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数
二、由三元方程所确定的二元隐函数求导的偏导數
既然二元方程可以确定一个一元的隐函数求导,那么三元方程便可确定一个二元的隐函数求导。下面,我们介绍用直接求导法求此函数求导嘚偏导数
对两边关于变量求偏导,并注意是的函数求导,有
解出,得到二元隐函数求导的偏导数
解: 将方程中的视为的隐函数求导,对求偏导数有
洅一次对求偏导数,仍然将视为的隐函数求导有
也可以用下述方法来求二阶偏导数
对两边关于求偏导数,注意到均为 的函数求导,有
三、由两个函数求导方程所确定的隐函数求导的导数
由此联立的方程组可消去一个变量,这样便得到由三个变量所构成的函数求导方程,而三元函数求导方程可确定一个二元隐函数求导 ,将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程,于是,我们也可将变量表示成的隐函数求导。
可确定两个二え的隐函数求导,将之代入上述方程组得到恒等式
对此恒等式两边关于变量求导,有
解此关于的方程组,求出 与
解: 对方程两边关于求导, 注意到是嘚隐函数求导, 有
将第一式乘以,第二式乘以,再将两式相加得
将第一式乘以,第二式乘以,再将两式相减得
同理,将所给方程对求导有
