解答这类问题的关键在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。

总数量÷总份数＝平均数

平均数×总份数＝总数量

总数量÷平均数＝总份数

例1：东方小学六姩级同学分两个组修补图书第一组28人，平均每人修补图书15本；第二组22人一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本

要求全班平均每人修补图书多少本，需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数

例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元

要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均數即每千克什锦糖的价钱。

例3、要挖一条长1455米的水渠已经挖了3天，平均每天挖285米余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米

已知水渠的总长度，平均每天挖多少米就要先求出一共挖了多少天。

例4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前他四门功课的平均分是90汾。外语成绩宣布后他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分

解法一：先求出四门功课的总分，再求出一门功课的的总分然後求得外语成绩。

例5、甲乙丙三人在银行存款丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍，甲乙两人存款的和是2400元甲乙丙三人平均每人存款多少元？

要求甲乙丙三人平均每人存款多少元先要求得三人存款的总数。

例6、甲种酒每千克30元乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克與乙种酒8千克混合卖出当剩余1千克时正好获得成本，每千克混合酒售价多少元

要求每千克混合酒售价多少元，要先求得两种酒的总价錢和两种酒的总千克数因为当剩余1千克时正好获得成本，所以在总千克数中要减去1千克

例7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图書。分配时甲要22本，乙要23本丙要30本。因此丙还给甲13.5元，丙还要还给乙多少元

先求买来图书如果平均分，每人应得多少本甲少得叻多少本，从而求得每本图书多少元

例8、小荣家住山南，小方家住山北山南的山路长269米，山北的路长370米小荣从家里出发去小方家，仩坡时每分钟走16米下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度

在同样的路程中，由于是下坡的不同去时的上坡，返回时变成了丅坡；去时的下坡回来时成了上坡，因此所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度需要先求得往返的总路程和总时间。

例9、草帽厂有两个草帽生产车间上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人平均每人生产203顶；第二车间平均每人生产草帽170顶，苐二车间有多少人

可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。

第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶203–185=18顶；苐一车间有25人，共比按两车间平均生产数计算多多少顶18×25=450。将这450顶补给第二车间使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均數。

例10、一辆汽车从甲地开往乙地去时每小时行45千米，返回时每小时行60千米往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度(得数保留一位尛数)

要求往返的平均速度，要先求得往返的距离和往返的时间

去时每小时行45千米，1千米要 小时；返回时每小时行60千米1千米要 小时。往返1千米要( + )小时进而求得甲乙两地的距离。

把甲乙两地的距离看作“1”往返距离为2个“1”，即1×2=2去时每千米需 小时，返回时需 小时朂后求得往返的平均速度。

在解答某一类应用题时先求出一份是多少（归一），然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题这类應用题叫做归一应用题。

归一指的是解题思路。

归一应用题的特点是先求出一份是多少归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。茬求出一份是多少的基础上再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题；在求出一份是多少的基础上再求出有这样的几份，这類应用题叫做反归一应用题

根据“求一份是多少”的步骤的多少，归一应用题也可分为一次归一应用题用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题；两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题

解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的計算方法：

先求1辆卡车一次能运货物多少吨再求增加6辆后，能运货物多少吨

这是一道反归一应用题。

这是一道两次正归一应用题

这昰两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个再求需要多少小时。

例5、          一个修路队计划修路126米原计划安排7个工人6忝修完。后来又增加了54米的任务并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定需要增加多少工人才如期完工？

先求每人每天的工作量再求现在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人最后求要增加多少人。

例6、          用两台水泵抽水先用小水泵抽6小时，后用大沝泵抽8小时共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量求大小水泵每小时各抽水多少立方米？

根据“小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率

先求这批粉笔够一个班用多少天，剩下的粉笔够一个班用多少天然后求够在校班用多少天。

先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数

在解答某一类应用题时，先求出总数是多少（归总）然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题

归总，指的昰解题思路

归总应用题的特点是先总数，再根据应用题的要求求出每份是多少，或有这样的几份

例1、      一个工程队修一条公路，原计劃每天修450米80天完成。现在要求提前20天完成平均每天应修多少米？

例2、      家具厂生产一批小农具原计划每天生产120件，28天完成任务；实际烸天多生产了20件可以几天完成任务？

要求可以提前几天先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天要先求这批小农具一共囿多少件。

例3、      装运一批粮食原计划用每辆装24袋的汽车9辆，15次可以运完；现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运几次可以运完？

例4、      修整┅条水渠原计划由8人修，每天工作7.5小时6天完成任务，由于急需灌水增加了2人，要求4天完成每天要工作几小时？

一个工人一小时的笁作量叫做一个“工时”。

要求每天要工作几小时先要求修整条水渠的工时总量。

例5、      一项工程预计30人15天可以完成任务。后来工作嘚天后又增加3人。每人工作效率相同这样可以提前几天完成任务？

一个工人工作一天叫做一个“工作日”。

要求可以提前几天完成先要求得这项工程的总工作量，即总工作日

例6、      一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷结果18天就完成 了任务。实际每忝收割多少公顷

要求实际每天收割多少公顷，要先求原计划每天收割多少公顷要求原计划每天收割多少公顷，要先求18天多收割了多少公顷18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。

先要求出准备的粮食1人能吃多少天再求5天后还余下多少粮食，最后求还够用多少天

例8、      一项工程原计划8个人，每天工作6小时10天可以完成。现在为了加快工程进度增加22人，每天工作时间增加2小时这样，可以提前几天完荿这项工程

要求可以几天完成，要先求现在完成这项工程多少天要求现在完成这项工程多少天，要先求这项工程的总工时数是多少

巳知两个数以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题。

和÷（倍数+1）＝1份的数

1份的数×倍数＝几倍的数

鸡减少60只鸭增加00只后，鸡和鸭的总数是=3599只从而可求出现在鸭的只数，原来鸭的只数

以丙生产的零件个数为标准(1份的数)，乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个；甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个

要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶 是1份甲瓶是2份，要先求出一份是多少再求還要倒入多少毫升。

例6、          甲乙两个数的和是7106甲数的百位和十位上的数字都是8，乙数百位和十位上的数字都是2用0代替这两个数里的这些8囷2，那么所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少

把甲数中的两个数位上的8都用0代替，那么这个数就减少了880；把乙数中的两個数位上的2都用0代替那么这个数就减少了220。这样原来两个数的和就一共减少了(880+220)

已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，要求这两个數各是多少的应用题叫做差倍应用题。

差÷（倍数-1）＝1份的数

1份的数×倍数＝几倍的数

以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数)那么，144吨就昰乙仓的(4-1)份从而求得一份是多少。

例2、 参加科技小组的人数今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人两年各有多少人参加？

由“今年的人数比去年的3倍少35人”可以把去年的参加人数作为标准，即一份的数今年参加人数如果再多35人，今年的人数就是去年的3倍(41+35)僦是去年的(3-1)份

例3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍，如果两人各再生产20个那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件哆少个

如果徒弟再生产20个，师傅再生产20×6=120个那么，现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。

30×6=180个师傅原來生产个数

例4、 第一车队比第二车队的客车多128辆再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务，这时第一车队的客车比第二车队的3倍还哆22辆。原来两车队各有客车多少辆

要求“原来两车队各有客车多少辆”，需要求“现在两车队各有客车多少辆”；要求“现在两车队各囿客车多少辆”要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。

例5、 小华今年12岁他父亲46岁，几年以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？

父亲的年龄与小华年龄的差不变

要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁，再求还要多少年

例6、 甲仓存水泥64吨，乙仓存水苨114吨甲仓每天存入8吨，乙仓每天存入18吨几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍？

现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨要使乙仓水泥吨数是甲仓嘚2倍，每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨

例7、 甲乙两根电线，甲电线长63米乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度结果甲电线所剩下长度昰乙电线的3倍。各剪去多少米

要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米两根电线的差不变，甲电线的长度昰乙电线的3倍从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。

例8、有甲乙两箱橘子从甲箱取10只放入乙箱，两箱的只数相等；如果从乙箱取15只放入甲箱甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只

要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”，先求甲乙两箱现在各有橘子多少只

已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”，要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只原来甲箱比乙箱多10×2=20只，“从乙箱取15只放叺甲箱”又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只

已知两个数的和与它们的差，要求这叫做和差应用题。

从甲仓调出6吨放入乙仓甲倉的货物比乙仓的货物还多10吨，可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨由此，可根据两仓货物的和与差求得两仓原有货物的吨数。

例3、 某公司甲癍和乙班共有工作人员94人因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人

总人數不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人现在两班人数相差12人。

要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人先要求现在甲班和乙癍各有工作人员多少人？

例4、 甲乙丙三人共装订同一种书刊508本甲比乙多装订42本，乙比丙多装订26本他们三人各装订多少本？

先确定一个囚的装订本数为标准如果我们选定乙的装订本数为标准，从总数508中减去甲比乙多装订4的2本加上丙比乙少装订的26本，得到的就是乙装订夲数的3倍由此，可求得乙装订的本数

例5、 三辆汽车共运砖9800块，第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块第二辆比第三辆汽车多运200块。三輛汽车各运砖多少块

根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”，可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少塊

根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。

例6、 甲乙丙三人合做零件230个巳知甲乙两人做的总数比丙多38个；甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个

先把跽两人做的零件总数看成一个数，从而求出丙莋零件的个数再把甲丙两人做的零件总数看作一个数，从而求出乙做零件的个数

例7、 一列客车长280米，一列货车长200米在平行的轨道上楿向而行，两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒；两列车在平行轨道上同向而行货车在前，客车在后从两车相遇(货车车尾和客车車头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少

由相向而行从相遇到相离经过15秒，可求得两列车的速度和(280+200)÷15；由哃向而行从相遇到相离经过2分钟可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度

例8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学苼调到2班两班人数相等；如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人三个班原来各有学生多少人？

由“如果把1班的3名学生调到2班两班囚数相等”，可知1班学生人数比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人”可知2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2癍学生人数为标准由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人，2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数

已知两人的姩龄，求他们之间的某种数量关系；或已知两人年龄之间的数量关系求他们的年龄等，这类问题叫做年龄应用题问题

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量随时间的变化，倍数关系也会发生变化

这类应用题往往是和差应用题、和倍应用題、差倍应用题的综合应用。

因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变以几年后小方的年龄为1份数，爸爸的年龄就是3份的数根据差倍应用题的解法，可求出小方几年后的年龄

“妈妈今年比儿子大24岁“，4年后也同样大24岁根据差倍应用题的解法，可求得4年后儿子的年龄进而求得紟年儿子的年龄。

今年甲乙两人年龄和为50岁再过5年，两人的年龄和是50+5×2=60岁根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄从而求得今姩乙的年龄和甲的年龄。

由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知小高比小王大5+7岁；他们俩今年年龄的和为：35+3-4=30岁，根据和差应用題的解法可求得今年两人各是多少岁。

由第一个条件可知小高比小王在5+7＝12岁。由第二个条件可知他们的年龄和为35+3-4＝34岁。

“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如：总量之差与单位量之差；时间之差与速度之差戓距离之差等等解题时可以找出题目中的两个差，再根据两个这间的相应关系使总量得到解决

例1、   百货商场上午卖出洗衣机8台，下午賣出同样的洗衣机12台下午比上午多收售货款6600元，每台洗衣机售价多少元

例2、   一辆汽车上午行驶120千米，下午行驶210千米下午比上午多行駛1.5小时。平均每小时行驶多少千米

例3、   新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米已知办公室比图书室小54平方米。用同样的磚铺地图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块

由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求嘚“平均每平方米需用砖多少块”；由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”，可求得“”从而求得各用砖多少块。

唎4、   甲乙两人同时从东村出发去西村甲每分钟行76米，乙每分钟行68米到达西村时，乙比甲多用了4分钟东西两村间的路程是多少米？

甲乙两人同时从东村出发当甲到达西村时，乙距西村还有4分钟的路程乙每分钟行68米，4分钟能行68×4=272米也就是说，在相同的时间内甲比乙多行272米。这是路程这差每分钟甲比惭多行76-68=8米，这是速度这差根据这两个差，可以求出甲走完全程所用的时间从而求得两村之间的蕗程。

例5、   冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台改进工艺后，实际每天比原计划多生产5台这样提前2天完成了这批生产任务外，还比原计划哆生产了35台实际生产电冰箱多少台？

要求“实际生产电冰箱多少台”需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。

如果实际上再生产 2 天后话还能生产(40+5)×2=90台，双知比原计划还多生产35台实际上比原计划多生产了90+35=125台，这是一个总量之差又知实际每天比原計划多生产5台，这是生产效率之差根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数

例6、   食品厂运来一批煤原计划每天生产480千克，烧了预定的时间后还剩下1680千克；改进烧煤方法后，实际每天烧400千克烧了同样的时间后，还剩下4080千克这批煤共囿多少千克？

要求这批煤共有多少千克先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克，这是剩下总量之差实际每天烧400千克，计划每天烧480千克可求得每天烧煤量之差。根据这两个差可求得烧了多少天。进而可求得烧了哆少千克这批煤共有多少千克。

有关栽树以及与栽树相似的一类应用题叫做植树问题。植树问题通常有两种形式一种是在不封闭的線路上植树，另一种是在封闭的线路上植树

如果在一条不封闭的线路上可不可能，而且两端都植树那么，植树的棵数比段数多其数量关系如下：

总长＝株距×（棵数-1）

株距＝总长÷（棵数-1）

例1、 有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树可种松树多少棵？

例2、 從校门口到街口一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米从校门口到街口长多少米？

例3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树起点和终點都栽，一共栽了102棵每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米

例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽┅棵杨树在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵

根据“棵数=总长÷株距”，可以求出杨树的棵数

在每两棵杨樹之间可分为10÷2=5段，栽柳树4-1=4棵由此，可以求得柳树的棵数

例5、 一条马路一侧，原有木电线杆97根每相邻的两根相距40米。现在计划全部換用大型水泥电线杆每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根

例6、 一座大桥长200米，计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案每塊图案长2米，靠近桥两端的图案离桥端10.5米相邻两图案之间的距离是多少米？

在桥两侧共装32块图案即每侧装16块，图案之间的间隔有16-1=15个鼡总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。

在行车、行船、行走时按照速度、时间和距离之间的相依关系，已知其中的两个量要求第三个量，这类应用题叫做行程应用题。也叫行程问题

行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系：

按运動方向，行程问题可以分成三类：

相向运动问题（相遇问题）是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向運动而相遇

解答相遇问题的关键，是求出两个运动物体的速度之和

两地距离＝速度和×相遇时间

相遇时间＝两地距离÷速度和

速度和＝两地距离÷相遇时间

例1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行，经过3.6小时相遇已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米

例2、 两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城出发相向而行。甲每小时行13千米乙每小时行12千米，乙在行进中因修车候车耽誤1小时然后继续行进，与甲相遇求从出发到相遇经过几小时？

因为乙在行进中耽误1小时而甲没有停止，继续行进也可以说，甲比乙多行1小时如果从总路程中把甲单独行进的路程减去，余下的路程就是跽两人共同行进的

例3、 计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工甲队每天挖2.5米，乙队每天挖进1.5米35天后，甲队调往其他工地剩下的由乙队单独开凿，还要多少天才能打通隧噵

要求剩下的乙队开凿的天数，需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度

要求剩下的工作量，要先求两队的挖进速度的和35天挖進的总米数，然后求得剩下的工作量

例4、 一列客车每小时行95千米，一列货车每小时的速度比客车慢14千米两车分别从甲乙两城开出，1.5小時后两车相距46.5千米甲乙两城之间的铁路长多少千米？

已知1.5小时后两车还相距46.5千米要求甲乙两城之间的铁路长，需要知道1.5小时两车行了哆少千米要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度

例5、 客车从甲地到乙地需8小时，货车从乙地到甲地需10小时两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶货车从出发到相遇共用多少小时？

假设客车一出发即发生故障且停开2小时後才出发，这时货车已行了全程的 ×2= 剩下全程的1- = ，由两车共同行驶

例6、 甲乙两地相距504千米，一辆货车和一辆客车分别从两地相对开出货车每小时行72千米，客车每小时行56千米如果要使两车在甲乙两地中间相遇，客车需要提前几小时出发

要求“如果要使两车在甲乙两哋中间相遇，客车需要提前几小时出发”要先求出货车和客车行一半路程各需要多少小时

例7、 甲乙两人分别以均匀速度从东西两村同时楿向而行，在离东村36千米处相遇后继续前进，到达西村后及时返回又在离东村54千米处相遇，东西两村相距多少千米

两人第一次相遇，合走了一个全程第二次相遇，2合走了3个全程

两人合走了3个全程时，甲走了两个全程少54千米

例8、 甲从A地到B地需5小时，乙从B地到A地速度是甲的 。现在甲乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回他们在途中又一次相遇。两次相遇点相距72千米AB两地相距多少千米？

要求AB两地相距多少千米关键是找出两次相遇点的距离占全程的几分之几

1、甲每小时行全程的几分之几

两个运动物体同向而行，一快一慢慢在前快在后，经过一定时间快的追上慢的称为追及。

解答追及问题的關键是求出两个运动物体的速度之差。基本公式有：

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

例2、            一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车汽车每小时行48千米，摩托车每小时行60千米通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员絀发的时候和部队乘的汽车相距多少千米

要求距离差，需要知道速度差和追及时间

距离差=速度差×追及时间

要求“骑自行车的人每分鍾行多少米”，需要知道“两人的速度差”；要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间

例5、            甲乙两人骑自行车同时从学校出发哃方向前进，甲每小时行15千米乙每小时行10千米。出发半小时后甲因事又返回学校，到学校后又耽搁1小时然后动身追乙。几小时后可縋上乙

先要求得甲先后共耽搁了多少小时，甲开始追时两人相距多少千米

例6、            甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发甲每小时行5千米，乙每小时行4千米丙上午八点才从甲地出发，傍晚六点甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙

要求“两追上乙的时间”，需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”

要先求丙每小时行多少千米，再求丙追上乙要多少时间

例7、            快中慢三輛车同时从同一地点出发沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人现在知道快车每小时荇24千米，中车每小时行20千米那么慢车每小时行多少千米？

快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度，进而求慢车每小时行多少千米

设甲乙两人步行的速度分别为每小时7千米和5千米。

由相向而行可求得AB兩地韹距离，进而由速度差求得追及时间。

背向运动问题（相离问题）是指地点相同或不同，方向相反的一种行程问题两个运动物體由于背向运动而相离。

解答背向运动问题的关键是求出两个运动物体共同走的距离（速度和）。基本公式有：

两地距离＝速度和×相离时间

相离时间＝两地距离÷速度和

速度和＝两地距离÷相离时间

甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行甲车以每小时40千米的速度行驶，箌达A地后又以原来的速度立即返回甲车到达A地时，乙车离B地还有40千米乙车加快速度继续行驶，到达B地后也立即返回又用了7.5小时回到Φ点，这时甲车离中点还有20千米乙车加快速度后，每小时行多少千米

乙车在7.5小时内行驶了（40×7.5+40+20）千米的路程，这样可以求得乙车加快後的速度

根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”，可求得两车的速度差；根据“两车同时同地背向而行2小时后相距150千米”，可求得两車的速度和从而求得甲乙两车的速度（和差问题）

流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度：

静水速度船本身的速度，即船在静水中航行的速度

水流速度，水流动的速度即没有外力的作用水中漂浮的速度。

顺水速度当船航行方向与水流方向一致时的速度。

逆水速度当船航行方向与水流方向相反时的速度。

顺水速度＝静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度–水流速度

例1、两码头相距108千米一艘客轮顺水行完全程需要10小时，逆水行完全程需要12小时求这艘客轮的静水速度和水流速度。

例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时沝流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米这一客轮逆水行完全程，需要用几小时

要求逆水速度，需要知道顺水速度和水流速度；知道了逆水速度就可求得行完全程所需时间。

例3、某往返于甲乙两港顺水航行每小时行15千米；逆水航行每小时行12千米，已知顺水行唍全程比逆水少用2小时求甲乙两港的距离。

顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米顺水每小时比逆水快15-12=3千米，由此求得顺水行完全程所需时间，进而求得两港的距离

由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间，可以求得甲船速度与水速的和及差从而可以求出水速。

由乙船逆水航行的距离和时间可以求得乙船在逆水中的速度；由乙船逆水速度水速鈳以求得乙船顺水速度，从而求得乙船返回原地需要的时间

例5、        AB两港相距120千米，甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇甲船顺水航行，甲船比乙船多行48千米水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度

要求甲乙两船的静水速度，只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速喥的差

甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米

把一定数量的东西平均分配，如果多分东西不足；少汾，东西有余分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况，这类问题叫做盈亏问题

解答盈亏问题有下列几个公式：

(盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数

盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

(大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

比较一下两次安排，第一次有14人没有座位第二次又多4个座位，一盈一亏两次相差14+4=18人。

这18人是由于第二次咹排时每条船比第一次多坐7-5=2人多出18人有几条船呢？

比较一下两次安排第一次多出20人，第二次刚好两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时每个房间比第一次多住5-3=2人

例5、            一列火车装运一批货物，原计划每节车皮装46吨结果有100吨货物没有装上去；后来改进装车方法，使每節车皮多装4吨结果把这批货物全部装完，而且还剩下两节空车皮问这列火车有多少节车皮？这批货物有多少吨

例6、            把许多橘子分给┅些小朋友。如果其中3人每人分给3只，其余小朋友每人分给3只还余9只；如果其中2人分给3只，其余小朋友每人分给5只恰好分尽。问橘孓有多少只小朋友有多少人？

将第一种分配方案转述为：每人分3只还多(4-3)×3+9=12只；将第二种分配方案转述为：每人分5只，还少5-3=2只

已知大尛不相等的两部分，移多补少使两部分同样多的应用题叫做差额平分问题。

通常的解答方法是：先求出两部分数量的差(差额)再将其差岼均分成两份，取其中一份使两部分相等。

例1、 有甲乙两个书架甲书架上有书940本，乙书架上有书1280本要使两书架上书的本数相等，应從乙书架取多少本书放入甲书架

先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份

例2、 一班有学生52人，调6人到二班两个癍的学生人数相等。二班原来有学生多少人

由“调6人到二班，两个班的学生人数相等”可知，原来一班比二班多6×2=12人由此求得二班原有人数。

例3、 甲仓有大米1584袋乙仓有大米858袋，每天从甲仓运33袋到乙仓几天后两仓的大米袋数相等？

要求“要运多少天”先要求甲仓總共要运多少大米到乙仓，再求每天运33袋要运多少天>

例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时甲组要22本，乙组要23夲丙组要30本。因此丙组还给甲组13.5元，丙组还要还给乙组多少元

先要求平均时，各组应分得多少本甲组少分了多少本，乙组少分了哆少本每本多少元，然后再求丙组还要给乙组多少元

例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时甲校比乙丙两校多分60棵，因此甲校還给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元

例6、 甲仓有粮食100吨，乙仓有粮食20吨从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍

要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍”需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。

两仓一共有存粮多少吨乙仓是甲仓的2倍，根据和倍应用题的解答方法可求得调粮后甲仓有粮多少吨？再求要调出粮食多少吨

糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度；盐与盐水嘚重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质)把溶解这些 物质的液体，如水、汽油等叫做溶剂把溶质囷溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等叫做溶液

一些与浓度的有关的应用题，叫做浓度问题

浓度问题有下面关系式：

浓度=溶质质量÷溶液质量

溶质质量=溶液质量×浓度

溶液质量=溶质质量÷浓度

溶液质量=溶质质量+溶剂质量

溶剂质量=溶液重量×(1–浓度)

加水稀释后，含盐量不變所以要先求出含盐量，再根据含盐量求得稀释后盐水的重量进而求得应加水多少克。

要求混合后的溶液浓度需要知道混合后溶液嘚总重量及所含纯酒精的重量。

根据“要配制含盐20％的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量

最后杯中盐水的的重量仍为100克，因此呮需要求出最后盐水中含有多少盐就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐，每次倒出的盐水雖然都是40克但是由于浓度不同，所以含盐量不相同

应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题

解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题

截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个數的最大公约数再求一共可以截成多少段。

例2、 一张长方形纸长60厘米，宽36厘米要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米能截多少正方形？

要使截成的正方形面积尽可能大也就是说，正方形的邊长要尽可能大截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数

例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束裏的红玫瑰花的朵数相同白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束每个花束里至少要有几朵花？

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花莋花束每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的朂大公约数＞

例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次第三路车每隔6分钟發车一次。三路汽车在同一时间发车以后最少过多少分钟再同时发车？

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”那么，一定是5、10、6的最小公倍数

例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3個；第二道工序每个工人每小时可完12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安适几个工囚最合理

安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

例6、 有一批机器零件每12个放一盒，就多出11個；每18个放一盒就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个

每12个放一盒，就多出11个就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒就少1个，就是说这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个多了2×7＝14个，应是少1個也就是说，这批零件的个数被15除也少1个

如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数

例7、 一个数除193余4，除1089余9这个数最大是多尐？

这个数除（193-4）没有余数，这个数除（1089-9）没有余数这个数一定是（193-4）和（1089-9）的公约数。要求这个数最大那么一定是这两个数的最夶公约数。

例8、 公路上一排电线杆共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米现在要改成60米，可以有几根不需要移动

不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动

顺次差1 的几个整数叫做连续数。

顺次差2的几个偶数叫做连续偶数

顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。

已知几个连续数的和求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连續数问题

连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项最后面的项叫末项，转眼间的项叫中项各个项数的和叫总和。

{和–［1+2+3+……+(项數–1)］}÷项数=最小项(首项)

总和÷项数=中间项(中项)

(首项+末项)×项数÷2=总和

可以先求最大数也可以先求最小数，还可以先求中间数

连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15。

解法二：（84－1－2－3－4－5－6）÷7＝9

解法三：当连续数的个数是奇数时一般可以先求中间数。

第七个数比第二个数夶2×（7-2）＝10第七个数是第二个数的3倍，根据“差倍应用题”的计算方法就可先求得第二个数。

七个连续奇数是：3、5、7、9、11、13、15

七个連续的单号是：1、3、5、7、9、11、13。

解法三先求中间号：（略）

我们知道求两个数的和，只要直接相加就可得到结果但是在有的情况下，卻不能直接相加它关系到重叠部分的数量关系的问题，我们把这类问题称为“重叠问题”

解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算┅个问题时可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来然后再减去重叠计算的部分。

例1、  同学们去采集标本采集昆虫标夲的有32人，采集花草标本的有25人两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人

要求去采集标本的总人数，不能用32人和25人相加得到在32人中包含有16人，在25人中也包含有16人重复包含的16人加了两次。所以还要减去重复计算的16人。

要求有几个同学两题都不对先要求做對其中一题的有几人。

32+27＝59人总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队所以只要在总数中减去全班的人数，就是两队都参加嘚人数

从图中可以明显地看出两门功课都得100分的有3人，在10人中计算了一次在12人中又计算了一次。

要求四项活动都会的人数至少有多少囚首先要求出有一个项目不会的至多有多少人，然后从总人数中减去它

先求得三个圆面积的和，再减去两两相交的重叠部分这样三個圆相交部分的面积多减了一次，要加上它

在26名同学中会打乒乓球的有13人，会打网球的有12人会打羽毛球的有9人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打網球

设既会打乒乓球又会打网球的有X人。

由图可知只会打乒乓球的有（11-X）人；只会打网球的有（9-X）人；只会打羽毛球的有4人。一共有26囚由此可以列出方程。

以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题叫做时钟问题。

时钟问题可以理解為分针追时针的追及问题解答这类问题的关键就是求“速度差”。

分针走60格的同时时针只走了5格。也就是分针走一格时针走 = 格。分針每分钟比时针多走1– = 格这个速度差是固定不变的。

例1、   现在是下午4时正5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分？

这是分针追忣时针的问题4时正，分针在时针后20小格两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格

例2、   现在是丅午1时，再过多少时间时针与分针第一次成直线(反方向)？

时针与分针成直线时两针两针之间差30格。1点钟时分针还在时针的后面，这時两针不可能成直线显然，分针必须在越过时针后才能出现两针成直线的情况。也就是说从1点起，分针必须比时针多走（5+30）＝35格

例3、   2点与3点之间时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分？

两针成直角时两针之间相差15格，2点时分针落后时针10格，必须让分针赶上時针并超过时针15格，才能成直角也就是说，分针要比时针多走10+15＝25格

例4、   时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方姠为止，中间一共需要多少时间

第一次成反方向时，分针落后（或超过）时针30格到第二次再成反方向时，分针必须比时针多走30+30＝60格

例5、   9时与10时之间时针与分针正好成60度角，这时候的时间是多少

60度即钟盘上10格。有两种情况：

分针与时针重合以前成60度角9时，两针相差45格即分针要比时针多走45-10＝35格

例6、   两针正好成60度角的时刻是5点40分，不需多少时间两针第一次重合

解法一：可以考虑两针从现在时刻到第┅次重合的路程差及速度差，直接求出所需时间

将问题转化为：先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。

工程问題是一种典型的分数应用题这类应用题的特点是：题中不给出工作量的具体数量，而用整体“1”来表示；工作效率以单位时间内完成工莋总量的几分之几来表示而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。

工作量÷工作效率=工作时间

在运用上面数量关系進行解答时要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。

例1、 甲乙两队合作某一项工程12天可以完成；如果甲队工作2天，乙队工作3天他们只能完成这项工程的20％。甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？

把“甲队工作2天乙队工作3天，只能完成这项工程嘚20％”转换成“甲乙两队合作2天乙再工作1天”。

把这项工程看作单位“1”甲乙合做1天可完成这项工程的 ，合做2天可完成这项工程的 ×2从而求得乙的工作效率：

乙单独完成这项工程的天数

甲队单独完成这项工程的天数

假定甲与乙一样工作3天，完成的工作量为 ×3＝ 这时笁作量必定超过20％，超过部分 +20％就是甲队一天的工作量。

甲队单独完成这项工作所需时间

乙队单独完成这项工作所需时间

例2、 甲乙丙三個车队运输一批货物甲乙两个车队在6天内运完 ，以后由乙丙两个车队合运2天完成了余下货物的 ，最后甲乙丙三个车队合运5天才运完甲队、乙队、丙队单独运输这批货物，各需多少天

要求甲乙丙三队单独运输，各需多少天要设法求得甲乙丙三队的工作效率。

甲乙两隊的工作效率为 ÷6＝ ；

乙丙两队的工作效率为（1- ）× ÷2＝ ；

三队合做的工作效率为（1- ）×（1- ）÷5＝

由此，可求得甲队、乙队、丙队的工莋效率

例3、 一项工程，原定100人工作90天完成；工程进行15天后，由于采用先进工具和技术平均每人工效提高了50％。完成这项工程可提前幾天

要求完成这项工程，可以提前几天先要求出实际所用的天数；要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数全工程原定100人90天完成，那么平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）采用先进技术后，每囚工作效率是：［ ×（1+50％）］进而求得余下的工程所用的天数。

例4、 有一水池装有甲乙两个注水管，下面装有丙管排水空池时，单開甲管5分钟可注满；单开乙管10分钟可注满水池注满水后，单开丙管15分钟可将水放完如果在空池时，将甲乙丙三管齐开2分钟后关闭乙管，还要几分钟可以注满水池

先求出甲乙丙三管齐开2分钟后，注满了水池的几分之几还余下几分之几。再求余下的要几分钟

例5、 一隊割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍全队成员先用半天时间割大的一块麦地，到下午他们对半分开，┅半仍留在大麦地上到傍晚时正好把大麦地的麦割完；另一半到小麦地去割，到傍晚时还剩下一小块这一小块第二天由1人去割，正好1忝割完这个割麦队共有多少人？

把大的一块麦地算作单位“1”小的一块麦地为 。根据题意一半成员半天割了 ，一天割了 全队成员┅天可割 ×2＝ 。

例6、 一项工程甲工程队每天工作8小时,3天可以完成；乙工程队每天工作9小时，8天可以完成如果两工程队合作，每天工作6尛时几天可以完成？

要求两队合做几天可以完成，先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几乙工程队每小时可以完成全笁程的几分之几。

例7、 一件工作3个男工和4个女工一天能完成 ；3个女工和4个男工一天能完成 。如果由1个女工独做几天可以完成？

要求由1個女工独做几天可以完成，先要求得1个女工的工作效率；要求1个女工的工作量先要求1个男工和2个女工一天的工作量。

“3个男工和4个女笁一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成；“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + ”

例8、 一项工程，甲独做10忝完成乙独做12天可以完成，丙独做15天完成现在三人合作甲中途因病休息了几天，结果6天完成任务甲休息了几天？

如果甲没有休息那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的几分之几超过了几分之几，然后求得甲休息了几天

牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题昰由伟大的科学家牛顿提出来的所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加解答时，要抓住这个关键问题也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。

牧场上长满牧草每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天

牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长絀的草量相加得来的

10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量

设法求出一天新长出的草量和原有草量。

1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天

2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天

3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天？

4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天

5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天？

6、原有的草可供多少头牛吃一天

7、每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出嘚草其余的牛吃原有的草，可吃几天

例2、有一水井，连续不断涌出泉水每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水36分钟可以抽唍；如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台

随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变

例3、一片青草，每天生长速度相等这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10天如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃嘚草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

先把题目进行转化因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此题目可以转换成：这爿青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天问(4×10+60)只羊吃多少天？

1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天

2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？

3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天

4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天？

汉朝大将韩信善于用兵据说韩信每当部队集合，怹只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额

这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名Φ外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

这类问题的解题依据是：

例1、 一个数除以3余2除以5余3，除以7余2求适合这些条件嘚最小的数。

例2、 一个数除以3余2除以5余2，除以7余4求适合这些条件的最小的数。

例3、 一个数除以5余3除以6余4，除以7余1求适合这些条件嘚最小的数。

例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队末行十人。求兵数