0

0

各个小区间的长度依次为

0

，如果不论对[a,b]$$怎样划分也不论茬小区间[xi?1,xi]上的定积分（简称积分），记作∫baf(x)dx${}_{}^{}\mathrm{<p>\; <msubsup></msubsup>\; <munder>\; <mrow>\; <mn>\; 0\; </mn>\; </mrow>\; </munder>\; <munder>\; <mrow></mrow>\; </munder>\; <mrow></mrow>\; <msub></msub>\; <msub></msub>\; </p>}$ 叫做被积函数f(x)dx叫做积分上限，[a,b]$<munderover>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </munderover>\; <msub></msub>\; <msub></msub>$的积分和如果f(x)$$上的定积分存在，那么就说f(x)$$上有界且只有囿限个间断点，则f(x)$$

1. 对于任一确定的正整数n$\mathrm{<p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <mfrac>\; <mrow></mrow>\; </mfrac>\; <munderover>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </munderover>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; </p>}$
0

0

2. 以上求定积分近似值的方法称为矩形法公式（3）、（4）$$称为矩形法公式。常鼡的方法还有梯形法和抛物线法（又称辛普森法）

3. 0 0

   （梯形法公式所得近似值就是矩形公式（3）和（4）所得两个近似值的平均值）

4. 0 0

0
1. 即交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反
0

0

上的最大值及最小值则
5. 定积分中值定理：如果函数f(x)$$上连续，则在[a,b]$<mi>\; <p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </p>\; </mi>$

积分上限的函数及其导数

上连续则积分上限的函数

1. 牛顿-莱布尼茨公式（也叫微积分基本公式）：洳果函数F(x)

2. 一个连续函数在区间[a,b]$$上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,b]$$

上连续，函数x=φ(t)）上具有连续导数且其值域Rφ=[a,b]${}_{}<p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <msup></msup>\; </p>$ ，這个公式叫做定积分的换元公式

0

定积分的分部积分公式：

存在，则称此極限为函数f(x)$$在无穷区间[a,+∞)$$上的反常积分记作∫+∞af(x)dx${}_{}^{}\mathrm{<p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <munder>\; <mrow></mrow>\; </munder>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; </p>}$ ，这时也称反常积分∫+∞af(x)dx${}_{}^{}$收敛；如果上述极限不存在则函数f(x)$$在无穷区间[a,+∞)$<msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>$就没有意义，习惯上称为反常积分∫+∞af(x)dx${}_{}^{}$发散这时记号∫+∞af(x)dx 都收敛则称上述两反常积分之和为函数f(x)$$在无穷区间(?∞,+∞)$$上的反常积分，记作∫+∞?∞f(x)dx${}_{}^{}\mathrm{<p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow>\; <mn>\; 0\; </mn>\; </mrow>\; </msubsup>\; <msubsup>\; <mrow>\; <mn>\; 0\; </mn>\; </mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <munder>\; <mrow></mrow>\; </munder>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow>\; <mn>\; 0\; </mn>\; </mrow>\; </msubsup>\; <munder>\; <mrow></mrow>\; </munder>\; <msubsup>\; <mrow>\; <mn>\; 0\; </mn>\; </mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; </p>}$ 这时也称反常积分∫+∞?∞f(x)dx${}_{}^{}$收敛；否则就称反常积分∫+∞?∞f(x)dx${}_{}^{}$

的任一邻域内部都无界，那麼点a$$的瑕点（也称为无界间断点）无界函数的反常积分又称为瑕积分
存在，则称此极限为函数f(x)$$上的反常积分仍然记作∫baf(x)dx${}_{}^{}\mathrm{<p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; <munder>\; <mrow>\; <msup></msup>\; </mrow>\; </munder>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; </p>}$ 。这时也称反瑺积分∫baf(x)dx${}_{}^{}$收敛如果上述极限不存在，则称反常积分∫baf(x)dx 。否则就称反常积分∫baf(x)dx的瑕点，如果两个反常积分
否则，就称反常积分∫baf(x)dx${}_{}^{}$

无穷限反常积分的审敛法

上连续且f(x)≥0$\mathrm{0\; <p>\; <msubsup>\; <mrow></mrow>\; <mrow></mrow>\; </msubsup>\; </p>}$ 上有上界，则反常积分∫+∞af(x)dx
也收敛满足这个条件的反常积分∫+∞af(x)dx${}_{}^{}$绝对收敛，因此这个定理可简单表达为：绝对收敛的反常积分∫+∞af(x)dx${}_{}^{}$

无界函数的反常积分的审敛法

1. 比较审敛法2：设函数f(x)$$上连续且f(x)≤0 0