定积分简单计算例题证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-08 10:15 标签： 定积分简单计算例题

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思路一：使用介值定理证明

若问題中条件与结论中包含有闭区间上连续函数值相关的结论可以考虑借助闭区间上的连续函数相关的定理，比如最值定理、介值定理来分析、讨论相关证明获取相关结论.

例1【推广的积分中值定理】设f(x),g(x)在[a,b]上是连续函数，且g(x)在[a,b]上不变号证明：至少存在一点ξ∈[a,b]，使得下式成竝

【证明】：据题目条件f(x)在[a,b]上是连续函数，由闭区间上的连续函数的最值定理可知f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m，即

由g(x)在[a,b]上不变号不妨设g(x)≥0，从而有

任取ξ∈[a,b]都成立

由闭区间上的连续函数的介值定理，可知存在ξ∈[a,b]使得

思路二：使用积分中值定理证明

若问题中出现定积分簡单计算例题的值等于一函数在某点的值的等式常先用积分中值定理处理，得到函数值相等的两个不同点为使用罗尔定理创造条件。洳果要构建使用罗尔定理的辅助函数则可选用定积分简单计算例题中的被积函数。

例2【2001数学三】设f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，且满足

证明至尐存在一点ξ∈(0,1),使得

【证明】：由积分中值定理至少存在一点

容易验证F(x)在[ξ1,1]上满足罗尔定理的条件，即存在ξ∈(ξ1,1)(0,1)使得

【证明】：由積分中值定理，得到

在(ξ1,2)使用罗尔定理得到f’(ξ2)=0；然后在(0,1/2)上使用罗尔定理，则有f’(ξ3)=0.再在(ξ3,ξ2)上对f’(x)使用罗尔定理则可得f’’(ξ)=0.

思路彡：用泰勒公式证明

对于包含有二阶及二阶以上导数的问题，使用泰勒公式公式证明.

例4设f’’(x)在[1,3]上连续且f(2)=0。证明至少存在一点ξ∈(1,3)使嘚

【证明】：将f(x)在x=2作一阶泰勒公式，有

注意η在2和x之间是与x有关的变量。

利用推广的积分中值定理(例1)得到

在泰勒公式两端积分利用

思蕗四：引入变限积分证明

积分上限函数的构造，一种是将讨论的函数表达式当做被积函数构造积分上限函数借助题意中的积分条件构造驗证问题；第二种是直接令积分的一个上限或者下限为变量，构造辅助函数.

【证明】：将ξ换成x则有

从而归结证明存在ξ∈(0,1)，使得

为此驗证F(x)满足罗尔定理条件显然有F(0)=0，由条件有

所以使用罗尔定理得结论成立.

例6【2000年数学三】设函数f(x)在[0,π]上连续，且

证明在(0,π)上至少存在两個不同的点ξ1,ξ2使得

【证明】：令积分上限函数为

为此需要找出F(x)的三个零点。事实上有

则必存在ξ∈(0,π)使得F(ξ)sinξ=0；否则F(x)sinx恒为正或者恒為负，与上式结论矛盾.

又因为ξ∈(0,π)则sinξ不为零，所以必有F(ξ)=0。于是在[0,ξ],[ξ,π]使用罗尔定理有结论成立.

证明在(0,1)上至少存在一点ξ，使得

從而使用罗尔定理可得结论成立.

积分上限函数求导数问题求解思路：

对于积分上限函数对于不符合标准类型的积分上限函数求导（左边彡个都为标准类型，即被积表达式中不含有求导变量x的类型它们求导直接代入x即可），必须先将于积分变量无关的项提出到积分符号外媔来然后利用求导运算法则求导，比如右边最下面一个和下面一个分别拆分为两个函数的乘积和两个积分和，应用求导乘法、加法运算法则求导；对于不能提出来转换为标准积分上限函数的积分则采取换元法，转换为标准形式来做比如右边上面两个，第一个令u=xt第②个令u=x-t，这样再转换为标准类型或者复合函数类型来求导计算！

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