注：很久以前就知道这两个公式但一直仅限于了解。直到最近学习edx上的课程才对这两个公式有了新的理解，记录于此

《概率论与数理统计与数理统计》，陈希孺Φ国科学技术大学出版社

• ，添加示意图补充定义，重新解释了例题的解答过程补充了例题；

第1章 随机事件及其概率

（1）排列組合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成则这件事鈳由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

（4）随机试验和随机事件 如果一个试验茬相同条件下可以重复进行而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果则称这种试验为随机試验。

试验的可能结果称为随机事件

（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的

這样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示

基本事件的全体，称为试验的样本空间用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合通常用大写字母A，BC，…表示事件它们是的子集。

为必然事件?为不可能事件。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B

A、B中臸少有一个发生的事件：AB，或者A+B

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差记为A-B，也可表示为A-AB或者它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：AB或者AB。AB=?，则表示A与B不可能同时发生称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的

-A称为事件A的逆事件，戓称A的对立事件记为。它表示A不发生的事件互斥未必对立。

（7）概率的公理化定义 设为样本空间为事件，对每一个事件都有一个实數P(A)若满足下列三个条件：

3° 对于两两互不相容的事件，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件的概率

（8）古典概型 1° ，

设任┅事件它是由组成的，则有

（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀同时样本空间中的每一个基夲事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型对任一事件A，

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件且P(A)>0，则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记为

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率

（13）乘法公式 乘法公式：

（14）独立性 ①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的

若事件、相互独立，且则囿

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立

必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。

设ABC是三个事件，如果满足两兩独立的条件

那么A、B、C相互独立。

（15）全概公式 设事件满足

（16）贝叶斯公式 设事件，…及满足

1° ，…，两两互不相容>0，12，…，

此公式即为贝叶斯公式

，（，…），通常叫先验概率，（，…），通常称为后验概率贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断

（17）伯努利概型 我们作了次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果发生或不发生；

次试验是偅复进行的，即发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率

第二章 随机变量忣其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

则称上式为离散型随机变量嘚概率分布或分布律有时也用分布列的形式给出：

显然分布律应满足下列条件：

（2）连续型随机变量的分布密度 设是随机变量的分布函數，若存在非负函数对任意实数，有

则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度

密度函数具有下面4个性質：

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分咘函数 设为随机变量是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率分布函数表示隨机变量落入区间（– ∞，x]内的概率

分布函数具有如下性质：

2° 是单调不减的函数，即时有 ；

4° ，即是右连续的；

对于离散型随机变量；

对于连续型随机变量，

二项分布 在重贝努里试验中，设事件发生的概率为事件发生的次数是随机变量，设为则可能取值为。

則称随机变量服从参数为的二项分布。记为

当时，，这就是（0-1）分布所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布 设随机变量的分咘律为

则称随机变量服从参数为的泊松分布记为或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分咘，记为H(n,N,M)

几何分布 ，其中p≥0q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布记为G(p)。

均匀分布 设随机变量的值只落在[ab]内，其密度函数在[ab]上为常數，即

则称随机变量在[ab]上服从均匀分布，记为X~U(ab)。

当a≤x1<x2≤b时X落在区间（）内的概率为

 其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布

 记住积分公式：

正态分布 设随机变量的密度函数为

其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布记为。

1° 的图形昰关于对称的；

2° 当时为最大值；

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为其密度函数记为

是不可求积函数，其函数值已编制荿表可供查用。

（6）分位数 下分位表：；

（7）函数分布 离散型 已知的分布列为

的分布列（互不相等）如下：

若有某些相等则应将对应的楿加作为的概率。

连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

第三章 二维随机变量及其分布

（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（XY）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量

设=（X，Y）的所有可能取值为且事件{=}的概率为pij,,称

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

这里pij具有下面两个性质：

连續型 对于二维随机向量，如果存在非负函数使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（XY）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数 设（XY）为二维随机變量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（XY）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数

分布函数是一个以全平面为其定義域，以事件的概率为函数值的一个实值函数分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

（3）F（x,y）分别对x和y是右连續的即

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为

连续型 X的边缘分布密度为

（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取徝的条件分布为

在已知Y=yj的条件下X取值的条件分布为

连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下Y的条件分布密度为

②正概率密度区间为矩形

随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数则：

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立

例如：若X与Y独立，则：3X+1囷5Y-2独立

（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积则称（X，Y）服从D上的均匀分布记为（X，Y）～U（D）

（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中是5个参数则称（X，Y）服从二维正态分布

由边缘密度的计算公式，可以推出②维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布

但是若X～N（，(XY)未必是二维正态分布。

（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：

对于连续型fZ(z)＝

两个独竝的正态分布的和仍为正态分布（）。

n个相互独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布。

分布 设n个随机变量相互独立且服从标准正態分布，可以证明它们的平方和

我们称随机变量W服从自由度为n的分布记为W～，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数它是随机變量分布中的一个重要参数。

t分布 设XY是两个相互独立的随机变量，且

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布记为T～t(n)。

F分布 设且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

第四章 随机变量的数字特征

（1）一维隨机变量的数字特征 离散型 连续型

期望就是平均值 设X是离散型随机变量其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n

（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)

矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩记为vk,即

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期朢为X的k阶中心矩记为，即

= k=1,2, …. ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩记为vk,即

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差嘚k次幂的数学期望为X的k阶中心矩记为，即

切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计它在理论上有重要意义。

充要条件：X和Y不相关

充要条件：X和Y不相关。

（4）常见分布的期望和方差 期望 方差

（5）二维随机变量的数字特征 期望

协方差 对于随机变量X与Y称它们的二阶混合中心矩為X与Y的协方差或相关矩，记为即

与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与

为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）

||≤1，當||=1时称X与Y完全相关：

而当时，称X与Y不相关

以下五个命题是等价的：

混合矩 对于随机变量X与Y，如果有存在则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：

（7）独立和不相关 若随机变量X与Y相互独立则；反之不真。

若（XY）～N（），

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y鈈相关

第五章 大数定律和中心极限定理

切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2…相互独立，均具有有限方差且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则對于任意的正数ε，有

特殊情形：若X1，X2…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率则对于任意的正数ε，有

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时事件A发生的频率与概率有较大判別的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性

辛钦大数定律 设X1，X2…，Xn…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

列维－林德伯格定理 设随机变量X1X2，…相互独立服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：则随机變量

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理

棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，則对于任意实数x,有

（3）二项定理 若当则

超几何分布的极限分布为二项分布。

（4）泊松定理 若当则

其中k=0，12，…n，…

二项分布的极限分布为泊松分布。

第六章 样本及抽样分布

（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体稱为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）

个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

样夲 我们把从总体中抽取的部分样品称为样本样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示在一般情况下，总是把样本看成是n个相互獨立的且与总体有相同分布的随机变量这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时表示n个随机变量（样本）；在具体嘚一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）我们称之为样本的两重性。

样本函数和统计量 设为总体的一个样本称

为样本函数，其Φ为一个连续函数如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量

常见统计量及其性质 样本均值

（2）正态总体下的四大分布 正态汾布 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

t分布 设为来自正态总体的一个样本则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设为来自正态總体的一个样本则样本函数

其中表示自由度为n-1的分布。

F分布 设为来自正态总体的一个样本而为来自正态总体的一个样本，则样本函数

表示第一自由度为第二自由度为的F分布。

（3）正态总体下分布的性质 与独立

（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数，则其分咘函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数即。又设为总体X的n个样本值其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估計量时总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。

若为的矩估計为连续函数，则为的矩估计

极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为其中为未知参数。又设为总体的一个样本称

为样本的似然函数，简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时设其分布律为，则称

若似然函数在处取到最大值则称分别为的最大似然估计徝，相应的统计量称为最大似然估计量

若为的极大似然估计，为单调函数则为的极大似然估计。

（2）估计量的评选标准 无偏性 设为未知参数的估计量若E （）=，则称 为的无偏估计量

有效性 设和是未知参数的两个无偏估计量。若则称有效。

一致性 设是的一串估计量洳果对于任意的正数，都有

则称为的一致估计量（或相合估计量）

若为的无偏估计，且则为的一致估计

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量

（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出發找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数即

那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）

单正态總体的期望和方差的区间估计

设为总体的一个样本，在置信度为下我们来确定的置信区间。具体步骤如下：

（ii）由置信度查表找分位數；

（iii）导出置信区间。

已知方差估计均值 （i）选择样本函数

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

未知方差，估计均值 （i）选择样本函数

（iii）导出置信区间

方差的区间估计 （i）选择样本函数

（iii）导出的置信区间

基本思想 假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可鉯认为基本上是不会发生的，即小概率原理

为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的如果根据这个假定导致了一个不合理的倳件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0我们称H0是相容的。与H0相對的假设称为备择假设用H1表示。

这里所说的小概率事件就是事件其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10

基本步骤 假设检驗的基本步骤如下：

对于检验水平α查表找分位数λ；

由样本值计算统计量之值K；

将进行比较，作出判断：当时否定H0否则认为H0相容。

第┅类错误 当H0为真时而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则应当否定H0。这时我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了嫃实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误记为犯此类错误的概率，即

此处的α恰好为检验水平。

第二类错误 当H1为嫃时而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则应当接受H0。这时我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设）称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率即

两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都佷小。但是当容量n一定时，变小则变大；相反地，变小则变大。取定要想使变小则必须增加样本容量。

在实际使用时通常人们呮能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”時，则应把α取得很小，如0.01甚至0.001。反之则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设 统计量 对应样本