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1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。 2 给出了离散型随机变量及其分布律的定义、性 质， 要求: (1) 会求离散型随机变量的分布律； (2)已知分布律，会求分布函数以及事件的概率； (3)已知分布函数，会求分布律； (4)会确定分布律中的常数； (5)掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、 二项分布、泊松分布，几何分布及其概率背景。
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概率论与数理统计第二章习题课 隐藏&& 第二章 随机变量及其分布 习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 一、重点与难点 1.重点 (0-1)分布、二...第二章 随机变量及其分布习题 2.1 1. 口袋中有 5 个球,编号为 1, 2, 3, 4, 5.从中任取 3 只,以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码. (1)试求...概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案_理学_高等教育_教育专区。第二章 随机变量及其分布习题 2.1 1. 口袋中有 5 个球,编号为 1, 2, ...概率论与数理统计课程第二章练习题_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计课程第二章练习题一、判断题(在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×”) 1、...概率论与数理统计(第四版) 第二章习题答案_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计(第四版) 简明本 第二章习题答案概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为...概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布课后习题详解 ――财务 ――财务 0901 第 1 页共 34 页 P27) 习题 2-1(P27)什么是随机变量?随机变量与普通变量...概率论与数理统计练习题第二章答案_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第二章 随机变量及其分布(一) 学号 一.选...概率论与数理统计第二章重点习题和答案_理学_高等教育_教育专区 暂无评价0人阅读0次下载举报文档 概率论与数理统计第二章重点习题和答案_理学_高等教育_教育...第二章 随机变量及其分布 1、解: 设公司赔付金额为 X ,则 X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20 万,概率为 0.0002 投保一年内因其他原因死亡:5 万,...自考概率论与数理统计第二章习题_教育学_高等教育_教育专区。二、随机变量及其分布 08 年 1 月 3. 设随机变量 X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为 X 的...概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题(在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×”) 1、连续型随机变量 X 的概率密度函数 f ( x ) 也一定... 上传我的文档
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概率论与数理统计第二章作业题详解
第二章习题详解:2.1 解： 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12由表格知 X 的可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且， P( X ? 2) ? P( X ? 12) ?即1 2 ； P( X ? 3) ? P( X ? 11) ? ； 36 36 3 4 ； P( X ? 5) ? P( X ? 9) ? ； P( X ? 4) ? P( X ? 10) ? 36 36 5 6 ； P ( X ? 7) ? 。 P( X ? 6) ? P( X ? 8) ? 36 36 6? | 7 ? k | (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P( X ? k ) ? 362.2.解：根据 故? P( X ? k ) ? 1 ，得 ? aek ?0k ?0???kae?1 ? 1。 ? ? a(e ) ? 1 ，即 1 ? e ?1 k ?0? ?1 ka ? e ?12.3 解：分别用 Ai , Bi (i ? 1,2) 表示甲乙第一、二次投中，则P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.7, P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.3, P( B1 ) ? P( B2 ) ? 0.4, P( B1 ) ? P( B2 ) ? 0.6,两人两次都未投中的概率为： P( A1 A2 B1 B2 ) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.0324 ， 两人各投中一次的概率为：P( A1 A2 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B2 B1 ) ? P( A2 A1 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B2 B1 ) ? 4 ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.2016两人各投中两次的概率为： P( A1 A2 B1 B2 ) ? 0.0784 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为 0.0324 ? 0.2016 ? 0.0784 ? 0.3124 (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：P( A1 A2 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B2 B1 ) ? P ( A1 A2 B1B2 ) ? P ( A1 A2 B1B2 ) ? P ( A1 A2 B1B2 ) ? 2 ? 0.49 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.49 ? 0.36 ? 2 ? 0.21? 0.36 ? 0.56282.4 解：(1) P(1 ? X ? 3) ?1 2 3 2 ? ? ? 15 15 15 51 2 1 ? ? 15 15 5 1 1 1 1 1 1 1 2.5 解： (1) P{ X ? 2,4,6?} ? 2 ? 4 ? 6 ? ? 2 ? (1 ? 2 ? 4 ?) ? 3 2 2 2 2 2 2 1 (2) P{ X ? 3} ? 1 ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? 4(2) P(0.5 ? X ? 2.5) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 2.6 解：(1) P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4)3 ? C 4 0.4 3 ? 0.6 ? 0.4 4 ? 0.1792(2) P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)3 ? C5 0.4 3 ? 0.6 2 ? C54 0.4 4 ? 0.6 ? 0.4 5 ? 0.31744 .2.7 解： (1) P( X ? k ) ??kk!?1.5 由题意，? ? 0.5 ? 3 ? 1.5, k ? 0 ， 所求事件的概率为 e . e?? ，(2) P( X ? 2) ? 1 ? 件的概率为 1 ? 3e .?2?00!e?? ??1!e? ? ? 1 ? e? ? ? ? e? ? , 由题意， ? ? 0.5 ? 4 ? 1.5 ，所求事2.8 解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则 X ~ B(180 ,0.01) 。 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即 P( X ? m) ? 0.99 ，也即P( X ? m ? 1) ? 0.01因为 n=180 较大，p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为 ? ? 180 ? 0.01 ? 1.8 的泊松分布。 查泊松分布表，得，当 m+1=7 时上式成立，得 m=6。 故应至少配备 6 名设备维修人员。 2.9 解：一个元件使用1500小时失效的概率为P (1000 ? X ? 1500 ) ? ? dx ? ? 2 1000 x x15001500?10001 3设 5 个元件使用 1500 小时失效的元件数为 Y，则 Y ~ B(5, ) 。所求的概率为1 31 2 80 。 P(Y ? 2) ? C52 ( )2 ? ( )3 ? 3 3 243 2.10 解：求每天的供电量仅有80万千瓦 ? 时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该 地区用电量X超过80万千瓦 ? 时（亦即X ? 0.8百万千瓦 ? 时）的概率：P( X ? 0.8） P(X ? 0.8） ? =1=12 3 0.8 ?? 4f ( x)dx ? 1 ? ? 12 x(1 ? x) 2 dx0 0.8 00.8? 1 ? (6 x ? 8 x ? 3 x )? 0.0272若每天的供电量上升到 90 万千瓦 ? 时, 每天供电量不足的概率为：P( X ? 0.9） =1-P(X ? 0.9） ? =1-0.9 ??f ( x)dx ? 1 ? ? 12 x(1 ? x) 2 dx0 0.9 00.9? 1 ? (6 x 2 ? 8 x3 ? 3 x 4 )2? 0.003722.11 解： 方程 x ? 2Kx ? 2K ? 3 ? 0 有实根， 亦即 ? ? 4 K ? 8K ? 12 ? 4( K ? 3)( K ? 1) ? 0 , 显然，当 K ? 3 ? K ? ?1时，方程 x ? 2Kx ? 2K ? 3 ? 0 有实根；又由于 K ~ U (?2, 4), 所2求概率为：?1 ? (?2) ? 4 ? 3 1 ? 。 4 ? (?2) 3100 0 100 02.12 解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：P( X ? 100) ? ?0.005e?0.005 x dx ? ? e?0.005 x? 1 ? e?0.5 =0.39(2) 发射管的寿命超过 300 小时的概率：P( X ? 300) ? 1 ? P( x ? 300) ? 1 ? (1 ? e?1.5 ) ? e?1.5 ? 0.223(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.(1 ? e?0.5 )(e?0.5 ? e?1.5 ) ? 0.15 。2.13 解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为?? ?? 10P( X ? 10) ? ? 0.5e ?0.5 x dx ? ?e ?0.5 x10? e ?5?5又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y，则 Y ~ B(282 , e ) 。 因为 n=282 较大，p 较小，所以 Y 近似服从参数为 ? ? 282 ? e 所求的概率为?5? 1.9 的泊松分布。P(Y ? 2) ? 1 ? P(Y ? 0) ? P(Y ? 1) ? 1 ? e ?1.9 ? 1.9e ?1.9 ? 1 ? 2.9e ?1.9 ? 0.566252.14 解：(1) P( X ? 105 ) ? ?(105 ? 110 ) ? ?(?0.42) ? 1 ? ?(0.42) 12 ? 1 ? 0.6628 ? 0. ? 110 100 ? 110 (2) P(100 ? X ? 120 ) ? ?( ) ? ?( ) 12 12? ?(0.83) ? ?(?0.83) ? 2?(0.83) ? 1 ? 2 ? 0.7967 ? 1 ? 0.5934 。2.15 解：设车门高度分别为 x 。则：x ? 170 ) 6 x ? 170 查表得， ?(2.33) ? 0.99 ，因此 ? 2.33 ，由此求得车门的最低高度应为 184 厘米。 6 P( X ? x) ? 1 ? 0.01 ? 0.99 ? ?(2.16 解：X的可能取值为0,1,2。 因为 P( X ? 0) ?18 17 16 15 12 ? ,； 20 19 18 17 19P( X ? 2) ?2 C18 3 ? ； 4 C20 95P( X ? 1) ? 1 ?12 3 32 ? ? 19 95 95X P 0 1 2所以 X 的分布律为12 1932 953 95X 的分布函数为x?0 ? 0 ? 12 ? 0 ? x ?1 ? 19 F ( x) ? ? ? 92 1 ? x ? 2 ? 95 ? 1 x?2 ?2.17 解：X的可能取值为1,2,3。因为 P ( X ? 1) ?2 C4 6 ? ? 0 .6 ； 3 C 5 10P( X ? 3) ?1 1 ? ? 0.1； 3 C 5 10P( X ? 2) ? 1 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.3所以 X 的分布律为 X P X 的分布函数为 1 0.6 2 0.3 3 0.1x ?1 ? 0 ? 0 .6 1 ? x ? 2 ? F ( x) ? ? ?0.9 2 ? x ? 3 ? 1 x?3 ?2.18 解：(1) P( X ? 2) ? F (2) ? ln 2P(0 ? X ? 3) ? F (3) ? F (0) ? 1 ? 0 ? 1P(2 ? X ? 2.5) ? F (2.5) ? F (2) ? ln 2.5 ? ln 2 ? ln 1.25(2)? x ?1 1 ? x ? e ?( x) ? ? f ( x) ? F 其它 ?02.19 解：(1)由 F (??) ? 1 及 lim F ( x ) ? F (0) ，得 ?x ?0? a ?1 ，故a=1,b=-1. ?a ? b ? 0? ?x ? 2 (2) f ( x) ? F ?( x) ? ? xe ? 0 ?(3) P( ln 4 ? X ?2x?0 x?0ln 16 ) ? F ( ln 16 ) ? F ( ln 4 )? ln 4 2? (1 ? e?ln 16 2) ? (1 ? e)?1 ? 0.25 。 42.20 解：(1) Y 的可能取值为 0, π2, 4π2。 因为 P(Y ? 0) ? P( X ??2) ? 0.2 ；P(Y ? ? 2 ) ? P( X ? 0) ? P( X ? ? ) ? 0.7 ；P(Y ? 4? 2 ) ? P( X ?所以 Y 的分布律为 Y P (2) Y 的可能取值为-1,1。3? ) ? 0.1 20 0.2 π2 0.7 4π2 0.1因为 P(Y ? ?1) ? P( X ? 0) ? P( X ? ? ) ? 0.7 ；P(Y ? 1) ? P( X ??2) ? P( X ?3? ) ? 0.3 2所以 Y 的分布律为 Y P -1 0.7 1 0.32.21 解：(1) X 的可能取值为 F(x)的分界点，即-1,1,2。 因为 P( X ? ?1) ? 0.3 ； P( X ? 1) ? 0.8 ? 0.3 ? 0.5 ； P( X ? 2) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 所以 X 的分布律为 X P (2) Y 的可能取值为 1,2。 因为 P(Y ? 1) ? P( X ? ?1) ? P( X ? 1) ? 0.8 ； -1 0.3 1 0.5 2 0.2P(Y ? 2) ? P( X ? 2) ? 0.2所以 Y 的分布律为 Y P 1 0.8 2 0.22.22 解：设 FY ( y ) 和 fY ( y ) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数。 (1)已知 f X ( x) ?1 2?e?x2 2因为 FY ( y ) ? P(Y ? y ) ? P(2 X ? 1 ? y ) ? P( X ? 求导得y ?1 y ?1 ) ? FX ( ) 2 2 y ?1 y ?1 1 y ?1 f Y ( y) ? f X ( )( )? ? f X ( ) 2 2 2 2(1 1 ? e 2 2??y ?1 2 ) 2 2?1 2 2?e?( y ?1) 2 8所以 Y 参数分别为-1, 22 服从正态分布。 (2) 当 y ? 0 ，FY ( y) ? P{Y ? y} ? P(? ) ? 0 ， y ? 0 ， 当 由已知条件， f X ( x) ?1 2?e?x2 2，FY ( y ) ? P(Y ? y ) ? P(e ? X ? y ) ? P (? X ? ln y ) ? P( X ? ? ln y ) ? 1 ? P( X ? ? ln y ) ? 1 ? FX (? ln y ) ? 1 ? ??1 ? fY ( y ) ? ? y ?0 ? 1 ? ln2 x e , y?0 2? , y ? 0;x2 22? ln ye?t2 2??2?dt求导得(3) 当 y ? 0 ， FY ( y) ? P{Y ? y} ? P(? ) ? 0 ，当 y ? 0 ，由已知条件 f X ( x) ?1 2?e?，FY ( y) ? P(Y ? y) ? P( X 2 ? y) ? P(? y ? X ? y ) ? FX ( y ) ? FX (? y )y ? ? 1 e 2, ? fY ( y ) ? ? 2? y ?0 , ?y?0 y ? 0;求导得2.23 解：(1)已知 f X ( x) ? ???1 ? ?0 ?0? x?? 其他y y则 FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(2 ln X ? y) ? P( X ? e 2 ) ? FX (e 2 ) 求导得f Y ( y ) ? f X (e 2 )(e 2 )? ?y 2yy1 2 e f X (e 2 ) 2y 2yy因为当 0 ? e ? ? ，即 y ? 2 ln ? 时， f X (e ) ?y ? 1 2 ? e f Y ( y ) ? ? 2? ? 0 ?1?；当 y 取其他值时 f X (e ) ? 0 。y 2所以y ? 2 ln ? 其他为所求的密度函数。（2）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道 Y ? cos X ? (?1,1) 。当y ? (?1,1) ， FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(cos X ? y) ? P(arccos y ? X ? ? ) ，由于随机变量X ~ U (0, ? ) ，容易求得 FY ( y ) ?1 ? ? fY ( y ) ? ? ? 1 ? y 2 ? 0 ?? ? arccos y ??1 ? y ? 1 其他求导得（3）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道 Y ? sin X ? (0,1) 。当y ? (0,1) ，FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(sin X ? y) ? P(0 ? X ? arcsin y) ? P(? ? arcsin y ? X ? ? ) ， 由于随机变量 X ~ U (0, ? ) ，容易求得 FY ( y ) ?2arcsin y?求导得2 ? ? fY ( y ) ? ? ? 1 ? y 2 ? 0 ??1 ? y ? 1 其他第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1） 离散型随 机变量的分布 律 如 果 离 散 型 随 机 变 量 ? 可 能 取 值 为 ai ?i ? 1,2,?? ， 相 应 的 取 值 a i 的 概 率P?? ? ai ? ? pi 称pi ? P?? ? ai ? i ? 1,2,?为随机变量 ? 的分布列，也称为分布律，简称分布。 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 ? 的分布律：?pi ? P?? ? ai ?（2） 连续型随 机变量的分布 密度 设 X 为随机变量，如果存在一个定义在整个实轴上的函数 f (x) ，满足条件：??(1) f ( x ) ? 0(2)??? f ( x)dx ? 1b 也可以是∞ )，有(3) 对于任意实数 a, b （ a ? b ）(a 可以是-∞bP{a ? X ? b} ? ? f ( x)dx ；a则称 X 为连续型随机变量，而 f (x) 称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。 （3） 离散与连 续型随机变量 的关系P( X ? x) ? P( x ? X ? x ? dx) ? f ( x)dx积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X ? xk ) ? pk 在离散型随 机变量理论中所起的作用相类似。 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数（4） 分布函数F ( x ) ? P( X ? x )称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。分布函数F (x) 表示随机变量落入区间（C ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°0 ? F ( x) ? 1,? ? ? x ? ?? ；F (x) 是单调不减的函数，即 x1 ? x2 时，有 F ( x1) ? F ( x 2) ；F (??) ? lim F ( x) ? 0 ，x ? ??F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 1 ；x ? ??F ( x ? 0) ? F ( x) ，即 F (x) 是右连续的； P( X ? x) ? F ( x) ? F ( x ? 0) 。对于离散型随机变量， F ( x) ?xk ? x?pxk；对于连续型随机变量， F ( x ) ? （5） 八大分布 0-1 分布??? f ( x)dx。P( X ? 1) ? p, P( X ? 0) ? 1 ? p ? q二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数 是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ?, n 。k P( X ? k ) ? Pn(k ) ? C n p k q n ? k，其中q ? 1 ? p,0 ? p ? 1, k ? 0,1,2,?, n ，则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为 X ~ B(n, p) 。 当 n ? 1时， P( X ? k ) ? p qk 1? k， k ? 0.1 ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 X 的分布律为P( X ? k ) ??kk!e ?? ， ? ? 0 ， k ? 0,1,2? ，则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布，记为 X ~ ? (? ) 或者 P( ? )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞） 。 超几何分布P( X ? k ) ?k n C M ? C N? kM k ? 0,1,2 ?, l ? , n l ? min( M , n) CN随机变量 X 服从参数为 n, N , M 的超几何分布，记为 H (n, N , M ) 。 几何分布P( X ? k ) ? q k ?1 p, k ? 1,2,3,? ，其中 p≥0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b]上为 常数1 ，即 b?aa≤x≤b 其他，? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ?0, ?则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为0，x&a，x?a , b?aF ( x) ? ? f ( x)dx ???xa≤x≤b x&b。1，当 a≤x1&x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x 2 ）内的概率为P( x1 ? X ? x 2 ) ?指数分布x 2 ? x1 。 b?a?e ? ?x ,f (x) ?0,x ? 0,x ? 0,其中 ? ? 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布。 X 的分布函数为1 ? e ? ?x ,F (x) ?0,x ? 0,x&0。记住积分公式：???x0ne ? x dx ? n!正态分布如果随机变量 X 的概率密度为f ( x) ?1 2? ??1 2? 2( x?? )2e, (?? ? x ? ??) ；其中 ? ? 0, ? , ? 为常数， 则称 X 服从参数为 ? , ? 的正态分布(Normal distribution)，记为 X ~ N ( ? , ? ) .21 ○ 当 x ? ? 时， f (x) 达到最大值 曲线 y ? f (x) 有拐点；1 2? ?；在 x ? ? ? ? 处，2 ○ f (x) 的图形对称于直线 x ? ? ； 3 ○ f (x) 以 x 轴为渐近线； 4 ○ 若固定 ? , 改变?值 ，则曲线 y ? f (x) 沿 x 轴平行移动，曲线 的几何图形不变； （如图 4-2） ⑤ 若固定 ? ，改变 ? 值，由 f (x) 的最大值可知，当 ? 越大，f (x) 的图形越平坦；当 ? 越小， f (x) 的图形越陡峭。
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