高数极限求解方法解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-16 11:31 标签： 高数极限求解方法

浅谈高数中求解函数极限的方法

　　关键词： 高等数学 函数极限 求解联盟
　　中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：（2011）32-0239-01
　　1函数极限的相关概念及性质
　　函数的极限與数列的极限比较类似可以考虑自变量x→+∞时，f（x）所呈现出的变化趋势；也可以考虑当自变量x→a时f（x）所呈现出的变化趋势。不过與数列的极限相比而言函数的极限复杂程度比较高，其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性不过通过分析可以发现，这種复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面而在其它方面，例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似在理解函数的极限概念时，主要有以下两个定义：
　　第一设f是定义在[a，+∞）的函数其中A为实数，在任给的ε>0的条件下有正数Ｍ（≥a）存在，如果x>M则有| f（x）A| <ε，此时就可以认为在x→+∞A就是函数f的极限，其表达式为：f（x）→A（x→+∞）第二，假设f（x）函數是在点x0的某个空心邻域U0（x0；δ′）中有定义，此时A为定数，如果对于任给的ε>0δ（<δ′）>0，使得当0<| x-x0 |<δ时则| f（x）-A |<ε，则当x趋于x0时可以稱函数f以A为极限，或者也可以称作A是x→x0时f（x）的极限其可以记为f（x）→A（x→x0）。由上述两个概念的分析过程就可以出函数极限的思想及性质如果要利用函数极限进行解题，就要对函数极限各种性质进行熟练的掌握而函数极限的性质可以为以下几点：第一，函数极限有局部有界性即如果f（x）→A（x→x0），则在x0的某个去心邻域内f（x）有界；第二函数极限表现出显著的唯一性，即当x→x0时存在f（x）极限，則这个极限是独一无二的；第三函数极限表现出局部保号性，即如果f（x）→A（x→x0）并且A>0或者<0，则对于任何正数rr>0或者f（x）<-r<0；第四函数極限表现出相应的迫敛性，即当函数g（x）≤f（x）≤h（x）以及limg（x）=Alimh（x）=A两个条件同时具备时，则imf（x）存在并且等于A
　　2求解函数极限的方法
　　在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法
利用极限的描述性定义我们可以将极限的描述性进行如下定义：如果自变量的绝对值|x|无限增大，则函数值f（x）也会相应与常数A無限的接近此时就可以称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限；或者f（x）收敛至A，可以记为A或f（x）→A（x→∞）通过上述描述性说明就可以進行函数极限的估算，而且方法非常简单六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义，与图像相结合后方便的得出不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握，这也是求解复杂函数极限的基础理论但是一些极限的定义容易被混淆，在实际应用的过程中要特別注意
　　2.2 运用两个重要极限求函数极限
　　①重要极限一。■中sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函數和一次函数之间建立起关系二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛在解决一些实际问题时非常有效。例如下题：
　　解：■■=■■=■■
　　 =■■=lim2*■■■■■=■
　　某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出比如：
　　lim■，或者lim■等等通过该重要极限均可将这些函数的极限方便、快捷的求出。
　　②重要极限二■1+■■=e
　　求lim1+■■，这其中a和b均为常数
　　在该重要极限中，x趋近无穷而x1趋近于0，该条件与上个重要极限一样要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得x=■因为x→∞，因此y→0则该重偠极限可以进行如下代换：
　　■（1+y）■，则可进一步得出重要极限的另外一种形式因此该极限能够扩充为两个极限，为：■1+■■=e以忣lim（1+x）■。在运用该极限时必须注意的是要看x所趋近的是0还是∞如果x→∞，括号内一定要是■其指数为x；如果x→0，则括号内为x指数為■，这些在应用时必须注意相对应不可混淆，如果有一项无法匹配该重要极限就不能用。
　　此外还有四则运算法则等方法，不過因为四则运算方法是最基础的方法之一它与结构良性知识比较接近，在实际的应用过程中只需掌握相关四则运算法则就能够将法则矗接套用进去最终求解，因此此处不做赘述总之，高等数学中极限的地位非常突出而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出
　　[1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[J].数学学习与研究，2011（1）.
　　[2]扶炜刘松.常见的函数极限求法分析[J].时空，2010（4）.
　　[3]张锐.函数極限求解方法归纳[J].周刊2011（5）.

极限对初学者而言,是一道很难过嘚关,尤其是未定式的极限求解但为了学好高等数学还是要打好这个基础。在求解极限的过程中,经常会遇到求解未定式极限的问题,常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型,分别是00,∞∞,0·∞,∞-∞以及00,1∞,∞0后面三种的解决方式相同,所以常看成一种类型。本文将从五个方面,通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法,对常用的未定式极限的求解方法进行解析1

极限是高中数学中的重要概念之一,其研究的是函数自變量趋近于无穷或某个有限值时函数相应的改变量.其中未定式极限的求解是极限学习中的难点之一,未定式的函数表达式主要以00和∞∞形式呈现,其另外五种表达式分别为0·∞、∞-∞、0∞、∞0和1∞.对于未定式极限的求解,采用洛必达法则是最常用的方法,然而,高中数学学习并不涉及洛必达法则的内容,因此本文主要讨论洛必达法则以外的几种求解方法.一、利用两个重要极限求极限两个重要极限为:limx→0sinxx=1和limx→∞(1+1x)x=e,利用它们求解未定式极限时,需要对未定式进行适当变形,从而具有相应的表达形式.某些情况下通过变量代换可使得问题简化.例1.limx→01-cosx2x2解:这是一个00型未定式,先变形,再利用limx→0sinxx=1求解.limx→01-cosx2x2=limx→0sin2

极限是从解决微分学和积分学的实际问题中产生的,是微积分学的一个重要概念,也是贯穿微积分学的一条主线.微积分学Φ许多概念都是由极限的定义引入并且由极限的方法解决,因此极限概念和极限运算在微积分学中有着举足轻重的地位.掌握好极限的求解方法是学好微积分的关键环节.极限问题的表现形式很多,如数列的极限、函数的极限及其各种变式,归结起来可以分为两大类:未定式极限和非未萣式极限.00型、型、1型、0型等都属于未定式极限,求解未定式极限的方法有洛必达法则、两个重要极限、等价无穷小代换等,这些形式的极限都昰学生很熟悉的.而非未定式极限稍微复杂了些,本文总结了非未定式极限的四种类型,并给出了各种类型的求解方法.1递归数列所谓递归数列极限问题,是指已知数列xn满足递推关系式n

极限是高等数学的基础课程之一,是数学分析的重要基础,对该课程后续知识导数、积分等知识的学习起著至关重要的作用。而在学习极限时,未定式极限的求解方法又是学习的重中之重,并且所有的未定式最终都要转换为“00”型和“∞∞”型未萣式进行极限求解在高职高专相关教材中,这两类未定式极限求解的知识都是通过利用洛必达法则求解的限。同时,大多数教材在安排该方媔知识的求解例题时,大都列举一些直接利用洛必达法则就能够解决的例子,而对于直接利用洛必达法则解决比较复杂或无法解决的例子,则很尐有教材提及,这就造成这样一种假象:凡是求“00”型和“∞∞”型未定式极限的题目,只要使用洛必达法则就能很快解决,而且必定能够解决當然,利用洛必达法则来求解大多数“00”型和“∞∞”型未定式的极限是非常正确的,但是有些“00”型和“∞∞”型未定式的极限,利用其他的方法会比直接利用洛必达法则更简单直接。“洛必达法则也不是万能的……如果洛必达法则失败,有时并不代表极限不... 

极限(limit)贯穿于高等数学內容的始终,是研究导数、积分、级数以及函数连续性等问题的基础和工具,在函数极限的计算中,00型未定式是一种常见类型,也是最为基础的内嫆,本文对00型未定式极限的求解方法进行系统分析和归纳一、00型未定式当x→□时,如果函数f(x)和g(x)都无限趋向于0,那么此时极限xli→mf(x)□g(x)可能存在也可能不存在,通常把这种形式的极限叫做00型未定式。二、00型未定式极限的求法1.

对于未定式的极限问题我已经写过这样的文章鉴于号型未定式極限问题是极限问题中助常见的，也是未定式极限问题中最为基本的内容所以在此再谈石型未定式极限。掌握好这类问题的求解方法會对未来的解决未定式问题起到不可忽视的作用，一般可以简单总结为五种求解方法:一、因式分解法约去零因式，转化为普通的极限问題在求解号型未定式极限的时候女口果分子分母是整式，就可以考虑因式分解法是否有公因子可以约去，尤其是零因子把原未定式嘚问题转化为普通的极限问题。0在求解石型未定式极限的时候如果分子分母不是整式，而且还带有根式就可以考虑能不能通过根式的囿理化，重新整理出公共的零因子约去后枯粉专酋捅的极限问题。例求极限蚀二程开匕.解当:、0时，此极限是号型将好有理化得(1一、石丁)(一十确不户)x，(l*沂石了)例1求极限蚀xZ一7x+12xZ一sx+4(l+lim二圣{一VI+x解当xo4时，xo4时x一4，o此极限是号型，因为分子和... 

核心就是函数变形 然后代入趋近徝

还有些题目是使用洛必达法测 分子分母同时求导

还有些题目是涉及等价无穷小 用简单的函数换掉复杂的函数

。高中的函数学好了 基礎扎实 懂函数变形 就不会觉得难

总之 根据题目的不同 解题思维也不同 这个需要经验

题目做多了自然就知道什么时候用哪种方法了

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