大学高数极限求解方法求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-17 07:45 标签： 高数极限求解方法

这样就能把幂上的函数移下来了,變成“∞?0”型未定式

面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了

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极限的概念,2.1 极限概念(limit),极限概念是微积分的基本概念也是微积分学研究的基本工具 .后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的,极限是研究函数的一种重要的方法。,极限是描述变量在某个变化过程中的变化趋势,2.1 极限概念(limit),简单说：,现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。,2.1 极限的概念,2.1 极限的概念,【古代极限思想】 庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中记有“一尺之棰，日取其半萬世不竭”。,2.1 极限的概念,三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时提到“割之弥细，所失弥小割之又割，以至于不可割则與圆周和体而无所失矣 ”,圆内接正六边形,圆内接正十二边形,圆内接下24边形,边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长,【古代极限应用】,2.1.1 数列的极限(limit of sequence),数列的定义：,数列按照一定规律有次序排列的一串数 简记 （数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 =f(n)n=1,2, …） 称为数列的通项或一般项,,例如：,记作：,记作：,记作：,数列的极限,考察当n→∞时，通项xn的变化趋势,数列极限的实质：,随着项数n的变化,通项xn的变化趋势,也就是,唎 如,,趋势不定,数列,的极限定义：,则称常数,为该数列的极限。,记作,或,（lim来自于英文单词“limit”——极限）,给定一个数列 如果当项数n无限增大时xn无限趋近于 某个固定的常数A,常数 0 称为此数列的极限,记作：,,例：,→,0,极限不存在,→,∞,例：,收 敛,,发 散,,如果一个数列的极限存在,则称该 数列是收斂(converge)； 如果一个数列的极限不存在,则称该 数列是发散(diverge)。,1,课堂练习：判别下列数列是否收敛,→1,数列收敛,函数 值 随着自变量x的变化而变化,2.1.2函数的極限,(limit of function),,研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的函数值的变化趋势,二、自变量趋于有限值时函数的极限,一、自变量趨于无穷大时函数的极限,→,变化趋势?,→,变化趋势?,,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,时,函数f(x)的极限（变化趋势）,1、,时,函数f(x)的极限,,例：,,,,y,y=f(x) →0,→0,,,,-∞,y,(X0),y=f(x) →0,,y=f(x) →0,时,函数f(x)的极限,定义2.2：设函数 ，如果当X无限增大时函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限,,1.,时,函数f(x)的极限,記为,定义2.2 ：设函数 ，如果当X0,而|X|无限增大时函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于负无穷时， f(x) 以A为极限,,2.,时,函数f(x)的极限,记为,定义2.2″:设函数 ，如果自变量X可取正值也可取负值X的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于无穷时 f(x) 以A为极限，,,3.,时,函数f(x)的極限,记为,例,不存在,∞,0,正弦函数,不存在,,例7 讨论当 时函数,二、自变量趋于有限值时函数的极限,的变化趋势,f(x) 可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，函数以A为极限,记作,函数极限定义：,上例可记作,函数极限定义的注意点,1、鄰域内有定义（x≠x0）,不存在,2、 x无限趋近于x0,,例：,0,图象,例,（课后思考：函数极限存在的充分必要条件）,不存在,X从右测接近于0，y→+∞,X从左测接近於0y→-∞,,根据定义可以证明：以下的极限均成立,C,,,,-、数列 的极限：,给定一个数列 如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于 某个固定的常数A则称常數A为该数列的极限,-、数列 的极限：,记作,或,给定一个数列 如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于 某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限,設函数y=f(x)在点x0的邻域内(点x0 可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，函数以A为极限,②、函数 y=f(x)的极限：,记作,小结,思考练习题,2、已知函数,讨论,是否存在？,1、求下列极限的值,3.单侧极限 --- 左极限与右极限,左极限 :,如果当 从,的左侧无限趨近,时,记着,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,,则称A为函数f(x)当,时的左极限记作,类似可定义右极限 :,函数的左极限和右极限 统称为单侧极限。,对數函数,,例如：,定理1.1：,当 时,函数 极限存在的 充要条件是左、右极限存在且相等 即,,例6. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理,因为,显然,所以,鈈存在 .,,例7 问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。,解：左极限,右极限,欲函数在x=2处极限存在必须左极限,等于右极限，,即a=8,思考： 1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态为什么？ 2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗 3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)来判断当x趋于x0 时,f(x)的极限不存在？,,4)若极限,是否一定有,？,常鼡的极限结果：,,极限不存在的有：,练习：设,求：,作业NO.13:(3) 分析,的复合结构.,解:由,复合而成的.,作业NO.13:(4) 分析,的复合结构.,解:由,复合而成的.,NO14.,解：左极限,右极限,NO18. 设函数,解:,

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