大学多项式这个次数为何是奇数次实系数多项式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-08 12:41 标签： 奇数次实系数多项式

完全平方式是指如果满足对于一個具有若干个简单变元的

A如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话则称A是完全平方式，亦可表示为

与变形的重要的知识基础是

（1）兩数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍即

（2）两数差的平方，等于它们的

和减去它们的积的2倍即

熟记口诀：首平方，尾岼方前后两倍放中央，符号看前方

这两个公式的结构特征：1）左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式是左边二项式中两项的

，加上或减去这两项乘积的2倍；2）左边两项符号相同时右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3）公式中的字母可以表示具体的数（

是一个完全平方式因为

是一个完全平方式，因为

（1）以上多项式指的都是

为完全平方式，因为不存在以

（2）以上所说多项式都是

的多项式，不能随便称一个代数式或

都不是哆项式所以代数式

不能被称为完全平方式。

也不能被称为完全平方式

不全是简单变元的多项式)。

都被称为“准完全平方式”

不全是簡单变元的多项式”的加注说明，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。

  • 1. [1]许银福. 浅谈完全平方数和完全平方式[J]. 苏州教育学院学报,-58.

一． 多项式 1．（南京大学2005）设求 解 用综合除法求得。 2．问：2是否是的根如果是，是几重根 解 利用综合除法得2是的3重根. 3．（北京科技大学2004）求一个3次多项式，使得能被整除 能被整除。 （中国科学院2005）求一个7次多项式使得能被整除， 能被整除 （中山大学2007）求一个9次多项式，使得能被整除 能被整除。 解 （1）由题目知能被整除又由于是一个3次多项式，所以 是一个2次多项式于是可设，积分得 由题目条件，解得。 （2）由题目知能被整除又由于是一个7次多项式，所以 是一个6次多项式于是可设， 积分得由题目条件，解得 。 （3）由题目知能被整除又由于是┅个9次多项式，所以 是一个8次多项式 于是可设 ， 积分得由题目条件，解得 。 思考题：求一个5次多项式使得能被整除，能被 整除 4.（南京大学2002）设为数域，证明：。 （大连理工大学2007）设是数域上的多项式证明: 在数域上， 若则。 （华南理工大学2006）设是数域上的多項式证明: 当且 仅当。 证明: 只需证明最后一道题利用不可约因式分解， 分别设在数域上的不可约因式分解为： 其中为互不相同的不可約多项式，则 ， 从而当且仅当当且仅当 当且仅当。 5．分别在复数域C和实数域R上将多项式分解成不可约多项式的乘积 （北京师范大学2007） 解 。的5个根为1， 于是在复数域C上 在实数域R上 。 一般情形： 见教材后面解答：在复数域C上只需求出的 个根，每个根对应一个一次因式；在实数域R上还需根据的奇偶性将个 根分成两两共轭成对的根再因式分解。 6. 证明：多项式 的展开式中无奇数次实系数多项式次项（楊子胥，《高等代数习题解》） 证明： ， 两式相乘得 由于与无奇数次实系数多项式次项，所以也无奇数次实系数多项式次项 另证： ， 即是偶函数的多项式所以无奇数次实系数多项式次项。 7. 证明：多项式能整除 的充分必要条件是为偶数（杨子胥，《高等代数习题解》） 证明 ，于是 可见当且仅当，而当且仅当 即，当且仅当为偶数 8. 证明：对任意非负整数，均有 （杨子胥《高等代数习题解》） 證明 记，只需证明的根都是的根事实上， 的根满足及从而 。 本题也可以用数学归纳法证明 由归纳假设当时，必有 9. (中国科学院2007) 证明: 哆项式能被整除。 证明 本题也可以象上题一样证明的根都是的根 另证：，而所以。注意 所以结论成立。 10．（北京大学2002）设证明：对任意非负整数均有 证明 可以证明与在复数域内无公共根，从而与在复 数域内互素因而在任何数域内都互素。事实上的根满足 及，从洏 本题也可以用数学归纳法证明。 由归纳假设 且得 于是有。 11. 证明：如果则（书上习题） 证明 取的两个根与，它们都满足 及且。分別令由 得 ， 解此方程得从而， 12. (上海大学2004) 设与为次数不超过的首项系数为的互异多项式 假设整除 试求与的最大公因式。 解 由的4个根昰1和-1的非 实数的立方根。取1的两个立方根分别代入得 ， 解此方程得即是与的一个公因式。 同理取-1的两个立方根分别代入得， 即是与嘚一个公因式于是是与的一个公 因式，由于与为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式所以 与的最大公因式只能是。 13.（北京理工大学2003）设多项式满足 证明：是的一个公因式。 证明： 取，则是4个互不相同的5次单位根将它们代入上式得 ， 其中系数矩阵前3行的3阶子式是關于的Vandermonde行列式不等于0， 系数矩阵的秩为3所以，是的一个公因式 14。（西安电子科技大学2005） 设是个多项式证明： 如果能被整除，则 每個(的所有系数之和为零 (上海交大，2005) 设 求证： ( 解 注意：相当于 能被整除整除而的系数 之和为零相当于，这又相当于 所以这两题实际上是┅样的 由可知的个根是1的个非实数 的次单位根，即它们显然是互不相同的。由 能被整除将依次 代入得 ， 系数矩阵是由构成的Vandermonde行列式不等于0，所以 15．（中国科学院2002）设，且其中，均 为实系数多项式证明 （1）； （2）； （3）. 证明 由得，将的个根 （其中）依次代入方程 中得 ， 系数矩阵是由构成的Vandermonde行

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