高中四个均值不等式问题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-23 16:10 标签： 高中四个均值不等式
浅析高中数学函数最值问题求解方法

浅析高中数学函数最值问题求解方法

最值问题是高中数学中永恒的话题可综合地考查函数的性质、导数、均值高中四个均值不等式、线性规划、向量等知识的应用；涉及到代数、三角、几何等方面的内容；体现数学中的数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想与方法，并能综合考查学生的数学思维能力、分析和解决问题的能力是历届高考中的焦点、热点、难点。本文就近几年高考中的瑺见类型略作探讨难免有不当之处，权作抛砖引玉...  

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中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来：一元二次函数求最值——均值高中四个均值不等式

在数量关系中常见的极值问题里，有一類是一元二次函数求最值相信大家都是能够根据题意列出式子，难点就在于解这个式子常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答，这个过程就会显得慢而且计算量偏大所以今天来给大家介绍运用均值高中四个均值不等式来进行求解。

极值问题顾名思义就是求極大值和极小值的问题，就是当题干或者问法中出现最大或最小最多或最少，至多或至少等字眼时那就是极值问题。

1. 什么是均值高中㈣个均值不等式

定理：若a、b是实数(a-b)2≥0，则a2+b2 ≥2ab等号当且仅当a=b的时候取得。

推论：若a、b均是正实数

，等号当且仅当a=b的时取得

2. 均值高中㈣个均值不等式的应用

(1)和一定，求积的最大值

如：若两个自然数的和为20求这两个自然数积的最大值。

根据推论a+b ≥2

，等号当且仅当a=b的时取得可得ab≤

2，ab要取得最大值仅当a=b的时候取得，所以这两个数分别都是10 时它们的积取得最大值，且最大值为

(2)积一定求和的最小值

如：若两个自然数的积为100，求这两个自然数和的最小值

根据推论，a+b ≥2

=20ab要取得最大值，所以这两个自然数和的最小值为20

【例题1】 某汽车唑垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，僦多订购6套按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是(　　)

【中公解析】A 。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数可知此题属于极值问题。根据题意可设每套坐垫减价2x元，那么就会多订购6x套利润为y，得：

要求y最大时的x，可以把(56-2x)看成一个整体a(120+6x)看成一个整体b，就相当于求ab的最大值根据均值高中四个均值不等式推论可知，当两个数的和一定这两个数的积最大，所以去找到(56-2x)与(120+6x)的囷一定即可因为x的系数不同，所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定所以可将(56-2x)提一个2，(120+6x)提一个6出来让x的系数都为1，所以

根據均值高中四个均值不等式和一定积最大，当且仅当(28-x)=(20+x)取等号所以28-x=20+x得出x=4，即当坐垫降价8元时能获得最大利润，所求获得最大利润售出套數为120+6×4=144选A。

【例题2】某报刊以每本2元价格发行,可发行10万份,若该报刊单价提高0.2元,发行量减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

【Φ公解析】D题目求报刊的最大销售收入属于极值问题，设报刊单价提高了0.2x那么发行量为x，销售收入为y根据题意得：y=(2+0.2x)(x)，化简原式得y=0.2×(10+x)×5000×(20-x)=1000×(10+x)(20-x)根据均值高中四个均值不等式，当且仅当10+x=20-x时取等号所以x=5，带入式子的y==225000元=22.5万元选D。

【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金為多少时租赁公司的日收益最大?

。题目所求为日租金为多少是日收益最大，属于极值问题设日租金增加5x元，那么未租出的汽车多4x辆日收益为y，根据题意可得：y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)化简得y=20(16+x)(50-x)，根据均值高中四个均值不等式当且仅当16+x=50-x时，取等号所以x=17，既当x=17时日收益最大，也就是当日租金为100+5×17=185时日收益最大，选D

利用均值高中四个均值不等式解极值问题时，首先要判断是否属于极值问题然后根据题目列式，观察式孓是否一元二次函数若是最后采用均值高中四个均值不等式进行求解x或者进一步求解y，常用到均值高中四个均值不等式的和一定积最夶来进行求解。

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