高考数学一轮复习 第三章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式资料(艺术班)_百度文库
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高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案
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文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M 学案18　同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.&&自主梳理 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________.2．诱导公式(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：&上述过程体现了化归的思想方法．&自我检测 1．(;全国Ⅰ)cos 300°等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．－32&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．－12C.12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.322．(;陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.103&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.53C.23&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．－23．(;福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于(　　)A.45&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.35C．－45&&&&&&&& D．－354．cos(－174π)－sin(－174π)的值是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.2&&&&&&&& B．－2C．0&&&&&&&&D.225．(;清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.&探究点一　利用同角三角函数基本关系式化简、求值&例1 　已知－π2&x&0，sin x＋cos x＝15.(1)求sin2x－cos2x的值；(2)求tan x2sin x＋cos x的值．
变式迁移1　已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin2α＋sin 2α.
探究点二　利用诱导公式化简、求值&例2 　(;合肥模拟)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；(2)求cos2α－3π4的值．
变式迁移2　设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α (1＋2sin α≠0)，则f－23π6＝________.探究点三　综合应用&例3 　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
变式迁移3　(;安阳模拟)已知△ABC中，sin A＋cos A＝15，(1)求sin A•cos A；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值．
&转化与化归思想的应用&例 　(12分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求其值．&多角度审题 　由sin α＋cos α＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可．【答题模板】解　(1)联立方程sin α＋cos α＝15，　　　①sin2α＋cos2α＝1，& ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分]∵α是三角形的内角，∴sin α＝45cos α＝－35，[4分]∴tan α＝－43.[6分](2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]∵tan α＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]＝－432＋11－－432＝－257.[12分]【突破思维障碍】由sin α＋cos α＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．【易错点剖析】在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．&1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．& (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(;荆州模拟)已知△ABC中，cos Asin A＝－125，则cos A等于&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.1213&&&&&&&&&B.513C．－513&&&&&&&&D．－12132．已知tan α＝－512，且α为第二象限角，则sin α的值等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.15&&&&&&&&&B．－115C.513&&&&&&&&&D．－5133．(;许昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtan α，则f(－313π)的值为&&&&&&&&&& (　　)A.12&&&&B．－13&&&&C．－12&&&&D.134．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)＝－1，则f(2 003)等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．－1&&&B．0&&&&C．1&&&&D．25．(;全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.1－k2k&&&&&&&B．－1－k2kC.k1－k2&&&&&&&&D．－k1－k2题号&1&2&3&4&5答案&&&&&二、填空题(每小题4分，共12分)6．(;全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.8．(;东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos2α＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．
10．(12分)化简：sinkπ－α•cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]•coskπ＋α (k∈Z)．
11．(14分)(;秦皇岛模拟)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．
答案&& 自主梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)sin αcos α＝tan α　2.(1)sin α　cos α&tan α　(2)－sin α　－cos α　tan α　(3)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α　－cos α　－tan α　(5)cos α　sin α&&(6)cos α　－sin α自我检测1．C　[cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12.]2．A　[∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝110，∴1cos2α＋sin 2α＝1cos2α＋2sin α•－3sin α＝11－7sin2α＝103.]3．B4．A　[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]5．－23解析　sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)＝－sin[(π6－α)＋π2]＝－cos(π6－α)＝－23.课堂活动区&例1 　解题导引　学会利用方程思想解三角函数题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．解　由sin x＋cos x＝15得，1＋2sin xcos x＝125，则2sin xcos x＝－2425.∵－π2&x&0，∴sin x&0，cos x&0，即sin x－cos x&0.则sin x－cos x＝－sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝－1＋2425＝－75.(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝15×－75＝－725.(2)由sin x＋cos x＝15sin x－cos x＝－75，得sin x＝－35cos x＝45，则tan x＝－34.即tan x2sin x＋cos x＝－34－65＋45＝158.变式迁移1　解　∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α.∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.方法一　(直接代入法)：(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.方法二　(同除转化法)：(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan αtan2α＋1＝85.&例2 　解题导引　三角诱导公式记忆有一定规律：k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α&2π；(2)转化为锐角三角函数．解　(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，∴cos α＝－55，sin α＝255.∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255，∴sin 2α＝－45，cos 2α＝－35，cos2α－3π4＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.变式迁移2　3解析　∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α&#sin αsin α&#sin α＝1tan α，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tan π6＝3.&例3 　解题导引　先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.解　由已知得sin A＝2sin B，　　①3cos A＝2cos B，& ②①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±22.(1)当cos A＝22时，cos B＝32，又A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.(2)当cos A＝－22时，cos B＝－32.又A、B是三角形的内角，∴A＝34π，B＝56π，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.变式迁移3　解　(1)∵sin A＋cos A＝15，①∴两边平方得1＋2sin Acos A＝125，∴sin A•cos A＝－1225.(2)由(1)sin A•cos A＝－1225&0，且0&A&π，可知cos A&0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin A•cos A＝4925，又sin A&0，cos A&0，∴sin A－cos A&0，∴sin A－cos A＝75，②∴由①，②得sin A＝45，cos A＝－35，∴tan A＝sin Acos A＝－43.课后练习区1．D　[∵A为△ABC中的角，cos Asin A＝－125，∴sin A＝－512cos A，A为钝角，∴cos A&0.代入sin2A＋cos2A＝1，求得cos A＝－1213.]2．C　[已知tan α＝－512，且α为第二象限角，有cos α＝－11＋tan2α＝－1213，所以sin α＝513.]3．C　[∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]4．C　[∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β)＝asin α＋bcos β＝－1，∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β)＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.]5．B　[∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝1－cos280°＝1－k2.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.]6．－255解析　∵tan α＝－12，∴sin αcos α＝－12，又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，∴cos α＝－255.7.892解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.8.165解析　原式＝tan α＋1tan α－1＋cos2αsin2α＋cos2α＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.9．解　(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α＝sin αcos α－tan αtan αsin α＝－cos α.…………………………………………………………(5分)(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，……………………………………………………………………………(8分)∴cos α＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝－cos α＝265.…………………………………………………………………(12分)10．解　当k为偶数2n (n∈Z)时，原式＝sin2nπ－α•cos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]•cos2nπ＋α＝sin－α•cos－π－αsinπ＋α•cos α＝－sin α•cosπ＋α－sin α•cos α＝－cos αcos α＝－1；……………………………………………………(6分)当k为奇数2n＋1 (n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π－α]•cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]•cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－α•cos－αsin2π＋α•cosπ＋α＝sin α•cos αsin α•－cos α＝－1.∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)11．解　由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)又sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a2－2a－1＝0，(6分)从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2.…………………………………………………(8分)(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝1＋2.……………………………………………………………………………………………(14分) 文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M
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