微积分常用等价替换的等价问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-03 07:29 标签： 微积分等价无穷小
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关于微积分中等价无穷小的问题 如图～十万火急～～还有等价无穷小到底什么时候才能用啊，可以详细解释下吗～
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这里不可以直接换。在符合替换定理【的形式】时才能用。查书看一下。
替换定理是啥？
就是关于等价无穷小代换的那个定理，书上有。
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微积分 无穷小量等价替换的求极限问题。
1.求（xsin(1/x)+x/sinx+x/cosx）的极限，x趋于0.2.求（xsin(1/x)+sinx/x+cosx/x）的极限，x趋于无穷。...
1.求（xsin(1/x)+x/sinx+x/cosx）的极限，x趋于0.2.求（xsin(1/x)+sinx/x+cosx/x）的极限，x趋于无穷。
kafeidouyouyou
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1. xsin(1/x)，x无穷小，sin(1/x)有界，趋于0
x/sinx，套公式，是1
x/cosx，x无穷小，cosx趋于1，最后趋于0
最后结果是12. xsin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)，1/x趋于0，套公式结果为1
sinx/x，sinx有界，x无穷大，结果为0
cosx/x同sinx/x，为0
最后结果是1
受伤的棕熊
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两个都等于1注意第二个的第一项要用罗比达法则解决
谢谢1再联络
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原式=0+1+0=12.
原式=1+0+0=1
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关于微积分 等价无穷小代换
关于微积分等价无穷小代换在不用洛必达法则的情况下这题怎么做啊加减的情况下应该不能无穷小代换吧可是用了后答案是对的...
关于微积分 等价无穷小代换在不用洛必达法则的情况下
这题怎么做啊
加减的情况下应该不能无穷小代换吧
可是用了后答案是对的
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BlueSky黑影
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话说。分子1+1&#47;3（-2x)是怎么来的啊0 0
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等价无穷小的必要充分条件中β=α+o(α),里面的o(α)是什么意思,是不是一个函数?是不是无穷小?最好紧扣定义.我是高二学生.正在自学微积分.希望一次学好.麻烦老师们,
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o(α)的意思是高阶无穷小,通俗解释就是o(α)比α更快速地趋近于0,比如1/x,1/x&#178;和1/x&#179;当x趋近于无穷时,可以看到三者都是趋近于0的无穷小,但是很明显1/x&#179;比1/x&#178;更快趋近于0,而1/x&#178;又必1/x更快,因此,1/x&#178;和1/x&#179;都是1/x的高阶无穷小,而1/x&#179;又是比1/x&#178;更高阶的无穷小.1/x&#178;和1/x&#179;都是1/x的高阶无穷小记作1/x&#178;=o(1/x),1/x&#179;=o(1/x).1/x&#179;是1/x&#178;的高阶无穷小,则记作1/x&#179;=o(1/x&#178;).高阶无穷小的定义,当两个无穷小量比值的极限limf(x)/g(x)=0时,则有f(x)=o(g(x))等价无穷小是当变量趋向于某一值时,两个无穷小函数f(x)和g(x)比值的极限等于1,即limf(x)/g(x)=1若f(x)=g(x)+o(g(x))则有limf(x)/g(x)=lim[g(x)+o(g(x))]/g(x)=lim[1+o(g(x))/g(x)]=1
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漫步微积分十八——变化率问题
向一个水箱注水，那么水平面将上升。为了描述水平面上升的快慢，我们用水平面变化率或者等价的，深度的变化率。如果水深用h表示，t表示时间，那么导数dh/dt就是深度的变化率。更进一步，水箱中水的体积V也在变化，dV/dt是体积的变化率。
同样地，任何随时间变化的几何或物理量Q是时间函数，即Q=Q(t)，它的导数dQ/dt是变化率。我们现在考虑的问题基于以下事实：如果两个变化量互相相关，那么他们的变化率也相关。
例1：往球形气球中以恒定的速度8&ft3/min注入气体。(a)当r=2&ft时，球半径r增加的速度；(b)当r=4&ft时，求半径r增加的速度。
解：球的体积(图1)公式 如下
V=43πr3(1)
根据问题的陈述我们知道dV/dt=8，我们需要两个特定r 值对应的dr/dt。我们需要理解问题的背景，即V,r 都是因变量，t是潜在的自变量。有了这个想法，很自然想到(1)两边对t求导可得到V,r的变化率
dVdt=43π?3r2drdt=4πr2drdt(2)其中用到了链式法则。根据dV/dt=8，对(2)变形得
drdt=14πr2dVdt=2πr2所以对于情况(a)
drdt=12π?0.16&ft/min对于情况(b)
drdt=18π?0.04&ft/min这些结果证实了我们的常识。因为球的体积以恒定的速度增加，随着体积的增大，半径增加的会越来越慢。
例2：一个13&ft长的梯子斜靠着墙。梯子的底端以恒定的速度6&ft/min远离墙面。问：当梯子的底部离墙5&ft时，顶部向下移动有多快？
解：第一步是画出图像并标出相关量，注意用字母来表示变化的量(图2)。通过图就能看出哪些是已知的，哪些是未知的：
dxdt=6,-dydt=?when&x=5
这里的负号我们可以这么理解，dy/dt表示y增加的速率，-dy/dt表示y减小的速率。粗略地讲，我们知道了一个关于时间的导数，现在想知道另一个。因此我们需要找到连接x,y的等式，通过对t求导得到连接他们变化率的等式。从图中可以清楚的看到可以应用毕达哥拉斯定理
x2+y2=169(3)两边分别对t求导得
2xdxdt+2ydydt=0ordydt=-xydxdyor-dydt=xydxdt因为dx/dt=6，所以
-dydt=6xy(4)利用等式(3)，当x=5时，y=12，代入(4)得到我们的结果
-dydx=6?512=212&ft/min警告：不要过早的使用x=5,y=12。问题的本质是x,y为变量；如果早早地使用具体值，如图3，那么我们不可能理解或解决问题。
例3：一个锥形的水箱高为12&ft，最高处的直径为12&ft。水以4&ft3/min的速度注入水箱中。问：(a)当水深为2&ft时，水面上升的速率是多少；(b)当水深为8&ft时，速率又是多少。
解：跟之前一样，我们画出图像并标注已知和未知量(图4)。下一步是使用这些符号描述已知条件和我们要找的量：
dVdt=4,dxdt=?&when&x=2&andx=8水箱中变化的体积V是锥形，所以利用锥形体积公式
V=13πy2x(5)我们关注的变量是V,x，所以我们希望消去y。观察图4，利用相似三角形的性质得
yx=612=12ory=12x(6)将它代入(5)得
V=π12x3(7)现在(7)两边分别对t求导得
dVdt=π4x2dxdt(8)或者因为dV/dt=4
dxdt=4πx2dVdt=16πx2这个式子告诉我们，当x=2时
dxdt=4π?1.27&ft/min当x=8时
dxdt=14π?0.08&ft/min至此问题解决。
下面总结一下这些例题产生的方法：
求解有关速率问题的策略
1. 认真读问题，如果有必要就多读几遍，直到完全理解题意。
2. 根据题意认真作图。将已知的常数量标注出来，对变量用字母进行标注。
3. 以导数的形式写出已知的变化率和要求的变化率。
4. 找出第3步里连接两个变量的等式，如果需要的话可以使用几何知识来消去多余的变量。利用链式法则，等式两边分别对t求导。
5. 将第3步已知的变化率代入到第4步求得的微分等式中，解得所求的变化率。
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