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定积分产生于怎样的知识背景？
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提问人：匿名网友
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定积分产生于怎样的知识背景？
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1定积分的变量置换法与不定积分的变量置换法有何异同?2定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何异同?3用定积分解决实际问题的方法和步骤是怎样的?4(a＞0为常数)求定积分．
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确认密码：《知识点48不定积分的换元积分法》 www.wenku1.com
知识点48不定积分的换元积分法日期：
学科：高等数学第四章 不定积分知识点48 不定积分的换元积分法相关概念、公式定理或结论定义 **● 定理 **● 结论 **考频：4●知识点48 配套习题 说明：本知识点的精妙解析思路均来自邹群主编的同济大学版的《考研高等数学专题全讲》.下面简称《高数专题》.1?tanxx.sin2x例48.1(难度系数0.2) 求积分?解析：基础题型，分两项积分.解：?1?tanx11x??(csc2x?sec2x)dx?(lntanx?tanx)?C.sin2x221?sinxdx.1?cosx例48.2(难度系数0.4) 求积分?解析：基础题型，用二倍角公式,目的是消去分母中的1.xx1?2sincos1?sinxdx??cotx?2ln(sinx?C.dx??解：?1?cosx222sin22例48.3(难度系数0.2) 求积分解析： 据(arccosx)'?x.类换元法.解释见下.1102arccosxd?2arccosx??21112arccosx?C??2arccosx?C. ??2ln102ln10解：原式??绝招：凑微分法的原则用凑微分法的原则是什么？就是被积函数中有一部分的导数等于另一部分，有口诀“甲求导后得乙”，用此原则，所有凑微分的题变得十分简单！具体解释见《高数专题》.例48.4(难度系数0.4) 已知f??sin2x??cos2x?tan2x，0?x?1，求f?x?.解析：可先求出f??x?再求f?x?，当这样太麻烦，因为f?x???f??x?dx，再令x?sint亦可求.解：f?x???f??x?dx令x?sin2u?f??sin2u?d?sin2u? ???cos2u?tan2u?d?sin2u? ??? ???1???sin2u?d?sin2u?2?1?sinu??1??x?dx?1?x???ln?1?x??x2?C (0?x?1)12例48.5(难度系数0.2) 求积分.解析：对含根号的积分，常考虑三角换元；分母次数较高，考虑倒代换.解法一：三角代换，令x?sect，当x?1时，??1secttantdt?t?C1?arccos?C1，xsecttant1secttantdt??t?C2??arccos?C2.xsecttant当x??1时，???解法二：倒代换，令t?，当x?1时，1x当x??1时，?1?2)dt??t?arccost?C1，t?1?2t?t?arccost?C2.t例48.6(难度系数0.4，1997年考研高数二真题)解析：本题与分子可结合? .?分可化解：?C.????C；例48.7(难度系数0.2) 求积分?cosx?sinxdx.1?sin2x解析：纯粹三角函数的积分，将被积函数化为一类，其中有一部分将之凑到d内.解：?cosx?sinxdsinxdcosxdx???1?sin2x?2?cos2x1?sin2x?arctan(sinx)dx.?C.?arctan(sinx) 绝招：三角函数积分的原则针对三角函数的积分的原则，就是尽量将三角函数化为一类，这是因为三角函数的“半惰性”性质决定的，具体解释见《高数专题》.例48.8(难度系数0.2) 求积分?x?5dx.x2?6x?5解析：有理函数的积分，分子比分母的次数少1，让分子出现分母的导数，再利用公式代入.1(2x?6)?8x?511解：?2dx??2dx?lnx2?6x?5?8?dxx?6x?5x?6x?52(x?5)(x?1)1x?5?lnx2?6x?5?2ln?C.2x?1例48.9(难度系数0.2) 求积分?dx.x(x6?4)解析：直接拆分分母太复杂，分子分母同乘x5，再将分子中x5凑成x6.111dx1x5dxdx解：?6?lnx?lnx6?4?C.????624x(x?4)4x4x?44例48.10(难度系数0.4) 求积分x.解析：考虑三角换元，注意三角换元最后要解三角形换回x.解法一：设x?2tant，则dx?2sec2tdt，4?x2?2secx，8tan3tx??2sec2tdt?8?tan3t?sectdt2sect1?8?(sec2t?1)dsect?8(sec3t?sect)?C331(4?x)122 ?8(?C?(4?x)?C.383322解法二：设4?x2?t2，则有xdx?tdt，x?t2?4xdx??tdt??(t2?4)dtt3t3122 ??4t?C?(4?x)?C.33例48.11(难度系数0.4) 求积分?sinxdx.sinx?cosx解析：此题有些技巧，从(sinx?cosx)'?cosx?sinx得到启发，设法使得分子出现cosx?sinx，将分子分解为sinx?A(sinx?cosx)??B(sinx?cosx)，其中A,B为待定系数.11?(cosx?sinx)?(sinx?cosx)sinxdx??dx解：?sinx?cosxsinx?cosx?11x?lnsinx?cosx?C.22x.例48.12(难度系数0.4) 求积分解析：无理函数的积分，设法让分母出现平方，再来凑根号较易.解：x?x?x?x?212x)??9x)3623x?arcsin?C.32例48.13(难度系数0.4) 求积分?dx.1?sinx解析：分母为1?sinx或者1?cosx都可以用如下方法.解：?dx(1?sinx)dxdxdcosx?????cos2x?cos2x1?sinxcos2x1?tanx??C?tanx?secx?C.cosx例48.14(难度系数0.4) 求积分'x.?解析：据??ln(2????，可知用凑微分法，注意有些函数的导函数不明显，需要主动验算.解：??ln2(2??C.x?2?ln(2??ln(2??例48.15(难度系数0.4) 求积分?解析：第二类换元法，令ex?t.解：?dxxdx?1?e?x2.?1?e?ex?t?21?t?tt?1?t?dt??21dtdt??2t1?t?1?t?????d?1?t?1?t1?1dt??ln??C?2?t1?t1?t1?t???1?t?ex11x?ln??C?x?ln1?e??C.??1?ex1?ex1?ex例48.16(难度系数0.4) 求积分解析：常规的三角换元.解：令x?sint，??22dtdt?原式??1?sin2t?2sin2t?cos2td?tant?sec2tdt? ??2tan2t?1?1?2tan2t?t?.?. ?12?t)?C??C.例48.17(难度系数0.6) 求积分x.解析：含根号的积分，令整个根号式等于t，再解出x.解：?t，则lnx?t2?1，x?et2?1，dx?2tet?1dt，因此2t21?t原式?2?2dt?2t?ln??C.t?11?t1dx.sin2x?2sinx例48.18(难度系数0.6) 求积分?解析：三角函数的积分，设法把一个三角函数“甩”到微分符号后，再把被积函数全部用这个变量表示，最后换元.解：?11sinxdx??dx??dxsin2x?2sinx2sinx(cosx?1)2sin2x(cosx?1)???1d?cosx?(t?cosx)2(1?cos2x)(cosx?1)11?1?11?dt?dt????dt??dt???1?t?(1?t)2?2(1?t2)(1?t)2??1?t???????ln(1?t)?ln(1?t)??C?2?4421?t?11?cosx1?ln??C.81?cosx4(1?cosx)1?1111?例48.19(难度系数0.6,跨知识点49) 求积分?xearctanx(1?x)322dx.解析：出现根号考虑三角换元，此题会出现“递归”情形.解：令x?tant，则?xearctanx(1?x)322tantetdx??sec2tdt??sint?etdt，3sectttttsint?edt??edcost??(ecost?e?????costdt)??etcost??etd?sint???etcost?etsint??etsintdt1ttesintdt?e(sint?cost)?C，故?2?xearctanx(1?x)322dx??C.例48.20(难度系数0.6) 求积分?'x?1dx.xx1?xe1?xex??(1?x)ex，提示用凑微分，但是分子分母要同乘ex，分子分解析：据?母同乘一个变量是积分中常用技巧.解：原式??xex1?xex?x?1?exdx??1?1???xxxex1?xex??xe1?xed?xex??x?d?xe???ln?xex??ln?1?xex??C?x?lnx?ln?1?xex??C.例48.21(难度系数0.6) 求积分解析：据?x.这是典型的凑微分题目，.解：原式?2?2?????C.2例48.22(难度系数0.6) 求积分?xx(1?lnx)dx.解析：幂指函数xx需化成指数函数再积分.解：?xx(1?lnx)dx??exlnx(1?lnx)dx??exlnxd(xlnx)?exlnx?C?xx?C..?a?b?例48.23(难度系数0.6) 求积分解析：注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式作变量替换。解：1(x?a)(b?x)?x?ax?a?x?1x?ax?ab?x2(b?a)ta?bt2x?a,dx?dt,?t, 即x?令222b?x1?t(1?t)??2?1?t22(b?a)tdx??tdt222(b?a)t(1?t)(x?a)(b?x)1dt?2arctant?C??C.1?t21例48.24(难度系数0.6) 求积分x解析：凑积分，但导数形式不明显，需要验证：(x3lnx?2)'?3x2lnx?x2.解：x?x3lnx?2)??C.例48.25(难度系数0.6) 求积分.解析：换元法，为?t，6为2和3的最小公倍数.解：?t，则x?t6，dx?6t5dt，6t5dtt21??原式??34?6?dt?6??t?1??dtt?t1?t1?t???6?t2?t?ln|1?t|??C???6ln1?C.?1?2????f?x?f2?x?f???x??例48.26(难度系数0.8) 求????dx.3??fxfx????解析：这是抽象函数的不定积分，先通分，再凑微分.解：原式?? ??f?x?f?2?x??f2?x?f???x?dxf?3xf?x?f?2?x??f?x?f???x?dxf?xf?2x??f?x??f?x??1?f?x??d??????C??f?x?fx2fx???????2本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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