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高中物理中变力做功问题的积分解法
　　摘 要： 本文运用定积分的方法对高中物理中变动做功的三种常见问题：水池抽水做功问题、弹簧压缩或伸长做功问题、气体压缩或膨胀做功问题进行了分析与求解，并对解题方法进行了推广，希望能为此类问题的解决提供相应参考。 中国论文网 /9/view-5795979.htm　　关键词： 高中物理教学 变力 做功 定积分 　　一、引言 　　在高中物理中，有时会碰到一些变力做功的问题，这些问题通常不能按一般的恒力做功的方法进行求解，但可以利用微积分法巧妙地进行解决。 　　用积分解决物理问题，一般都要先建立适当的坐标系。如下图1所示，设有方向指向ox轴正方向的变力f（x），当某物体在该力作用下从点x+△x移动到点时，可以认为力所做的功为△w≈f（x）△x，当把△x看做无穷小量时dx时，就得到功的微分形式为dw=f（x）dx，而物体在变力作用f（x）下，从点a移动到点b时，变力f（x）所做的功可以表示为： 　　二、变力做功的几种情况 　　（一）水池抽水做功问题 　　这类问题常常容易犯错，很多人常用恒力做功的方法分析，即用水的重力与水深之积求所做之功。但仔细分析，这种方法明显是错误的，如果我们将水垂直分成为很多微分层，则每个微分层的水移动的距离应该是不相等的，因此不能采用常用的恒力做功的方法进行计算，但可以采用微分法进行计算。下面讲一个简单的例子。 　　要把其抽到蓄水池口所做的功可表示为： 　　因此，根据积分公式，将蓄水池中30米深的水全部抽出池口需要做的总功为： 　　因此，对于这类问题，我们不能按常用恒力做功方式进行求解，必须换一种方式，利用微分方法求解较简便。同时，我们可以将此类问题进一步推广到求水中取物所做的功，其原理基本类似，方法类似。 　　（二）弹簧压缩或伸长做功问题 　　弹簧在压缩或伸长的过程中，其弹力会连续不断地变化，因此，如何求弹簧压缩或伸长所做的功，这就需要用到变力做功的积分法？ 　　例2：如果10N（牛）的力可以使弹簧伸长20cm，求在弹性范围内使该弹簧伸长30cm所要做的功是多少？ 　　我们可以进一步推广，在弹性范围内，弹簧从平衡位置压缩或拉伸a长（单位：m）所需要做的功为： 　　另外，我们还可以将此类问题推广到非均匀电场做功的计算，即求变电场对处在其中的带电粒子移动距离所做的功。其公式可以总结如下： 　　（1）假设在一带电量为+Q的点电荷（选其坐标为ox轴原点）的电场中有一点电荷+q在该电场中从坐标a处移动到b处。其电场所做的功可以表示为： 　　（2）若将上述点电荷+q从坐标a处移动到无穷远处，则其电场所做的功可以表示为： 　　（三）气体压缩或膨胀做功问题 　　封闭容器（或气缸）中的气体膨胀或压缩时，随着气体压强的连续变化，从而使得作用在活塞上的压力也必将不断变化，为了平衡活塞，在压缩气体时要一个外加压力推动活塞对容器（或气缸）内气体做功，或在气体膨胀时将推动活塞来做功，那么，如何求所做的功呢？这是一个典型的变动做功的问题，我们可以借助积分法进行求解。 　　解：在正圆柱气缸的气体（见图3），根据波义耳定律，若温度不变时，则PV=C（常数），P表示压强，V表示缸内气体体积，由题意得： 　　设正圆柱气缸内的蒸汽被压缩的长度表示为x（m），那么 　　因此，要使蒸汽的体积减小一半，需要做的功为： 　　我们可以进一步进行推广，若将气体从坐标a点压缩到坐标b点，其所做的功为： 　　三、结语 　　运用定积分解决变力做功问题在高中物理中有特定的意义，它为变力做功提供了很好的思路，当我们遇到变力做功问题时，在实际解题时可以采用积分方法进行相应的分析和解答。 　　参考文献： 　　[1]王思思.浅析变力做功的求法[J].学周刊，2011，（27）. 　　[2]田索海.浅谈变力做功的求解方法[J].学周刊，2011，（28）. 　　[3]蒋海涛.弹簧作功问题研究[J].科教文汇（上旬刊），2007，（1）.
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专题弹簧-摩擦力做功-传送带问题.doc 5页
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专题弹簧-摩擦力做功-传送带问题
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一、弹簧问题：
1、弹簧的瞬时问题
弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。
2、弹簧的平衡问题
这类题常以单一的问题出现，涉及到的胡克定律，一般用f=kx或△f=k?△x来求解。
3、弹簧的非平衡问题
这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能合外力等其它物理量发生变化的情况
A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同
B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最大
C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减小
D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零
分析：A、B组成的系统动量守恒，在B与弹簧接触时，B做减速运动，A做加速运动，当A、B速度相同时，弹簧压缩量最大，弹簧的弹性势能最大．
例1. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过
程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对
木块做的功.
分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力
N =0时 ,恰好分离.
例2 如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
1．静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．2．相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的和总是等于零．V物与V传相同的时刻；运动分析中的速度变化——相对运动方向和对地速度变化。分析关键是：一是 V物、V带的大小与方向；二是mgsinθ与f的大小与方向。
(2)传送带问题中的功能分析
①功能关系：WF=△EK+△EP+Q
②对WF、Q的正确理解
（a）传送带做的功：WF=F·S带
功率P=F×V带
（F由传送带受力平衡求得）
（b）产生的内能：Q=f·S相对
（c）如物体无初速，放在水平传送带上，则在整个加速过程中物体获得的动能EK，因为摩擦而产生的热量Q有如下关系：EK=Q=
1、属于易错点，突破方法是先让学生正确理解摩擦力产生的条件、方向的判断方法、大小的决定因素等等。通过对不同类型题目的分析练习，让学生做到准确灵活地分析摩擦力的有无、大小和方向。
2、对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动，判断错误。该难点应属于思维上有难度的知识点，突破方法是灵活运用“力是改变物体运动状态的原因”这个理论依据，对物体的运动性质做出正确分析，判断好物体和传送带的加速度、速度关系，画好草图分析，找准物体和传送带的位移及两者之间的关系。
3、对于匀速运动的传送带传送初速为零的物体，传送带应提供两方面的能量，一是物体动能的增加，二是物体与传送带间的摩擦所生成的热（即内能），有不少同学容易漏掉内能的转化，因为该知识点具有隐蔽性，往往是漏掉了，也不能在计算过程中很容易地显示出来，尤其是在综合性题目中更容易疏忽。突破方法是引导学生分析有滑动摩擦力做功转化为内能的物理过程，使“只要有滑动摩擦力做功的过程，必有内能转化”的知识点在学生头脑中形成深刻印象。
一个物体以一定初速度滑上一粗糙平面，会慢慢停下来，物体的动能通过物体克服滑动摩擦力做功转化成了内能，当然这个物理过程就是要考查这一个知识点，学生是绝对不会犯错误的。
质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图2—9所示。
该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，
W物＝—μmg·x物
W板＝μmg·x板
很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动
正在加载中，请稍后...压缩弹簧时,弹力做什么功?拉长呢?
问题描述：
压缩弹簧时,弹力做什么功?拉长呢?分析压缩时,力的方向与位移方向
问题解答：
压缩弹簧时,弹簧弹力反抗弹簧的压缩,弹力做负功.拉伸弹簧时,弹簧弹力反抗弹簧的拉伸,弹力仍做负功.
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BCD都正确弹性势能E=1/2kx^2x为形变无论x是正还是负,x^2恒为正如果弹簧从压缩状态拉伸到原长,则合外力做功为负假设压缩弹簧的力为F1,拉伸弹簧的力为F2,则F2x-F1x=-1/2kx^2 再问： 假设压缩弹簧的力为F1,拉伸弹簧的力为F2,则F1x-F2x=1/2kx^2 什么意思？ 如果弹簧从压缩状态拉
从能量守恒的角度看,弹力对外做正功,自身能量减少表现为弹性势能减小,当它做负功则是外界对其做正功给了它能量,故自身弹性势能增大
减少,等于,增加,等于
物体静止在斜面上时,三个力作用 重力 支持力 和摩擦力 重力方向垂直向下 支持力方向垂直斜面向上 摩擦力方向平行斜面向上 支持力和摩擦力的合力和重力平衡 于是我们可知 f摩=mgsinθ N支=mgcosθ 当物体移动时,在重力方向上没有发生位移 在摩擦力和支持力方向上有位移 w摩=f摩·L·cosθ (移动方向和摩擦
不管是取谁为零势能面,压缩和拉伸弹簧的 弹力都做负功,因为做功和零势能面没有关系.
设弹簧形变量为x,劲度系数为k,则F=kx其中k=5N/m在微小的形变dx内,弹力近似不变,所以dW=Fdx=kxdx所以W=∫kxdx=kx^2/2应该是从0.2m到0.4m积分,结果为W=(5×0.4^2/2-5×0.2^2/2)J=0.3J
比如,蹦蹦床吧,弯曲变形后的弹性势能最大,当它把人向上弹起时,弹簧会恢复原状,形变量减小,所以弹性势能就减小了,这个过程弹簧的弹力向上,人运动方向向上,所以弹力做正功,弹性势能减小.反之,当人从高处降落时,人踩弹簧,弹簧形变量增加,弹性势能增加,但人运动方向向下,而弹簧给人的弹力方向是向上的,二者方向不同,所以做的是负
你可以把它想象为一种能量体系,它对外界做功就需要消耗它自身的能量,因此弹性是能减少.是一种能量的转变.根据能量守恒定原理.弹力做正功时.弹力势能减小,弹力做负功时,弹性势能增加
根据能量守恒定律.正功时,势能减小,负功时,势能增加
标量当然也有正负事实上 弹性势能变化量= -弹力做功也就是说弹力做正功弹性势能减少,弹力做负功弹性势能增加同样的还有电场力做正功电势能减少,电场力做负功电势能增加； 重力做正功重力能减少, 重力做负功重力势能增加.这很正常,因为弹力做负功时弹簧是被压缩的,而弹簧被压缩后就具有弹性势能,好比你想把一个物体举高,重力会做负
研究一个弹簧一定要在弹簧的弹性限度内研究 如果超过了弹簧的弹性限度,克服外力做功当然与弹簧的弹性时能增量不相等了.如果是重力的话,克服重力做功与重力势能的增量相等
圆锥高H,水深h,水密度ρ任意水深h处圆锥水平截面面积为 π[hr/(H-h)]²该处一薄片厚度dh水体抽至H高度需要做功dW=πρgh[hr/(H-h)]²dhW=∫(0,H) πρgh[hr/(H-h)]²dh 再问： 麻烦把我题目中的字母代进去一下！看不懂你这式子 再答： 为了使用h
有内能转化时不成立!成立的条件是没有除势能以外的其他能量转化或产生!这里势能可以是重力势能,电势能,以及可能碰到的其他势能!有势能产生时显然仍然成立.因为内能就是我们所说的热能,如果运动的能量变成了摩擦的热,显然是能量的一种损耗,因为有内能产生时动能是损失的,不能由前后的动能及做功情况列出等式!因为有一部分损失成内能了
img class="ikqb_img" src="http://g.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=873dab785b82b2b7a7ca31c/f50ebeec401.jpg"
动量定理是：无限制条件,普遍适用.但应用时要注意是"合外力"的功或冲量,对作用在物体的所有力都要算在内,常见的错误是没有考虑重力.机械能
考虑这样一个物理过程: 一个容器里盛着待测液体,将一个长为l的细棍(忽略直径和质量)用轻绳吊着,保持水平,轻绳上端用测力计吊住.让细棍与液体表面接触,这时细棍会和液体表面"粘住",然后非常缓慢地将测力计拉起,当液体被细棍拉起且之间产生的薄膜没有断开时,读测力计上的示数,这时示数大小即为液体对棍的拉力的大小,但液体被拉起
垂直提升情况,以F表示拉力,s表示绳头移动距离,G表示重物重力,h表示重物被提升的高度,则总共为：W总＝Fs；有用功为 ：W有用＝Gh ；克服（摩擦和动滑轮自重所做的功）叫做额外功.水平拉动的情况,以F表示拉力,l表示绳头移动距离,f表示重物收到的摩擦力,S表示重物被拉动的距离,则总共为：W总＝Fl有用功为 ：W有用＝
有用功是提水做的功:m水gh额外功是提桶和绳子上下运动做的功
假设所在电场电势是正的,向电势高处移动电荷,正电荷斥力,电势能就增加,负电荷受引力,电势能就减小.
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做负功，因为物体的运动方向与弹力方向相反，弹力做负功，弹性势能增加。
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