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高一数学题，求详细解答。收藏
求a的取值范围
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题目应该是lga&1吧，lg10=1,因为函数lgx是增函数,lga&lg10,所以a&10,因为a为真数，所以a&0,综上所述，0&a&10
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不好意思，网络出了小小问题
回复5楼:错了，题目我没写错
回复7楼感谢你
不好意思，嘻嘻…因为logaa=1,所以loga3/4&logaa,当0&a&1时，函数为减函数，所以0&a&3/4,当a&1时，函数为增函数，所以a&3/4(a&1),所以a&1,综上所述，a的取值范围为：0&a&3/4,a&1.
回复11楼:谢。已解。
初三党对于这种题很无奈 啊呀~
登录百度帐号若函数y=a^x在R上是单调递减的 那么a的取值范围是? 求详细解答！_百度知道
若函数y=a^x在R上是单调递减的 那么a的取值范围是? 求详细解答！
dingyechang知道合伙人
dingyechang
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你好：这是指数形式的函数：a&0因为单调递减：所以y'=a^x (lna)&0即lna&0,所以0&a&1
y'=a^x (lna)&0 这是什么？没看懂
这是求导数。如果没学过导数没关系。可以按照如下做题：设Δx&0.则a^(x+Δx)-a^x&0即，a^x(a^Δx-1)&0所以，a^Δx&1根据指数函数性质可知：0&a&1
taiyuanmaomao1知道合伙人
taiyuanmaomao1
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指数函数的性质&
有没有其他简单一点的解决方法，除了画图。。。
画图是最简单的办法了楼上有用导数给你解决，你又不懂。
热心网友知道合伙人
a的取值范围是0&a&1
求详细的解答
你得讨论一下当X&0时
a的取值为1&a&正无穷当x&0时
a的取值为0&a&1希望能帮到你~
匿名用户知道合伙人
分解吗？给我联系方式，我发个你
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整数问题(好题选)1(30道,含详细解答)
整数问题（好题选）1菁优网www.jyeoo.com整数问题（好题选）1一．解答题（共 30 小题） 1．求方程 2x 7xy+3y =0 的正整数解． 2．若 n 为自然数，n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 3 所得的余数． 3．有一个整数，用它去除 70，110，160 得到的三个余数之和是 50，求这个数． 4．满足被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 3，被 6 除余 4 的最小自然数是？ 5．数 119 很奇特：当被 2 除时，余数为 1；当被 3 除时，余数为 2；当被 4 除时，余数为 3；当被 5 除时，余数为 4；当被 6 除时，余数为 5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？ 6．设 p，q，r 都是质数，并且 p+q=r，p＜q．求 p． 7．证明：当 n＞2 时，n 与 n！之间一定有一个质数． 8．已知 n 是正整数，且 n 16n +100 是质数，求 n 的值． 9．p 是质数，p +3 仍是质数，求 p +3 的值． 10．设 n 是大于 1 的正整数，求证：n +4 是合数． 11．是否存在质数 p．q，使得关于 x 的一元二次方程 px qx+p=O 有有理数根？ 12．设 a，b，c，d 为正整数，并且 ab=cd，试问 a+b+c+d 能不为质数？ 13．试证明：形如 ×10 （n 为自然数）的正整数必为合数． 14．求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数． 15．令 a，b，c 为整数，并且满足 a+b+c=0．假设 d=a +b （a）有没有可能 d=2？ （b）有没有可能 d 是个质数？ （大于 1 的整数，如果只有 1 及本身的因子，称它为质数． ） 16．求所有的素数对（p，q） ，使得 pq|5 +5 ． 17．小于 10 且分母为 36 的最简分数有多少个？ 18．已知 a，b，c 是三个两两不同的奇质数，方程 （1）求 a 的最小值； （2）当 a 达到最小时，解这个方程． 有两个相等的实数根．p q
n 2 4 4 5 4 2 2 3+c1999．请问：? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方． 试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？ （1）三条边长均是正整数； （2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由． 20． 自然数 N 是一个两位数， 它是一个质数， 而且 N 的个位数字与十位数字都是质数， 这样的自然数有 _________ 个． 21．求 336 与 1260 的最大公约数和最小公倍数． 22．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每 6 天去一次，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次，如果 8 月 17 日他 们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？ 23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃： ① 能从任意一点（a，b） ，跳到点（2a，b）或（a，2b） ； ② 对于点（a，b） ，如果 a＞b，则能从（a，b）跳到（ab，b） ；如果 a＜b，则能从（a，b）跳到（a，ba） ． 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1） ，跳跃的一种路径为： （1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1） ． 请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定 点的路径；如果不能，请说明理由． （1） （3，5）（2） ； （12，60）（3） ； （200，5）（4） ； （200，6） ． 24．如图，一个圆圈上有 n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从 A 孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步 跨过若干个孔，希望跳一圈后回到 A 孔．他先每步跳过 2 个孔，结果只能跳到 B 孔；他又试着每步跳过 4 个孔， 结果还是跳到 B；最后他每步跳过 6 孔，正好回到 A 孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？25．已知 x、y 为正整数，且满足 xy（ x+y ）=2p+q，其中 p、q 分别是 x 与 y 的最大公约数和最小公倍数，求 所有这样的数对（x，y ） （x≥y ） ． 26．有很多种方法可以将 2001 写成 25 个自然数之和，对于每一种写法，这 25 个自然数均有相应的最大公约数， 那么这个最大公约数的最大值是多少？ 27．两个正整数最大公约数是 7，最小公倍数是 105．求这两个数． 28．已知两个数的和是 45，他们的最小公倍数是 168，求这两个数． 29．1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数之和是多少？（配对） 30．三个自然数的最大公约数是 10，最小公倍数是 100，满足要求的三数组共有多少组？? 菁优网菁优网www.jyeoo.com整数问题（好题选）1参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题） 2 3 1．求方程 2x 7xy+3y =0 的正整数解． 考点： 高次方程． 专题： 计算题． 分析： 将原方程看作是关于 x 的一元二次方程，则△ ≥0，据此可以求得 y 的取值范围，从而求得 y 的正整数解；然 后根据 y 的正整数解来求 x 的整数解． 2 3 解答： 解：∵ 方程 2x 7xy+3y =0 有正整数解，808518∴=49y 24y =y （4924y）≥0，且 y＞0， △ 解得，0＜y≤ ；232∴ 或 y=2； y=1 ① y=1 时，原方程化为 当 2 2x 7x+3=0，即（2x1） （x3）=0， 解得，x= （舍去） ，或 x=3；∴ 原方程的解是：；② y=2 时，原方程化为 当 2x 14x+24=0，即（x3） （x4）=0， 解得，x=3 或 x=4； ∴ 原方程的解是： ； ．2点评： 本题考查了高次方程的解法．通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一 般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程． 2．若 n 为自然数，n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 3 所得的余数． 考点： 带余除法；质数与合数． 专题： 计算题． 分析： 因为求 n 除以 3 所得的余数， 所以设 n=3k 是一个非负整数） 然后将其代入 n+3 和 n+7， （k ， 并由 n+3 与 n+7 都是质数对其进行论证． 解答： 解：∵ 除以 3 所得的余数只可能为 0、1、2 三种． n ① 若余数为 0，即 n=3k（k 是一个非负整数，下同） ，则 n+3=3k+3=3（k+1） ，所以 3|n+3，又 3≠n+3，故 n+3 不是质数，与题设矛盾． ② 若余数为 2，且 n=3k+2，则 n+7=3k+2+7=3（k+3） ，故 3|n+7，n+7 不是质数；与题设矛盾． 所以 n 除以 3 所得的余数只能为 1． 点评： 本题考查了关于质数与合数及带余数除法的题目．一个整数除以 m 后，余数可能为 0，1，…，m1，共 m 个，将整数按除以 m 所得的余数分类，可以分成 m 类．如 m=2 时，余数只能为 0 与 1，因此可以分为两类，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 一类是除以 2 余数为 0 的整数，即偶数；另一类是除以 2 余数为 1 的整数，即奇数．同样，m=3 时，就可 将整数分为三类，即除以 3 余数分别为 0、1、2 这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想 方法，有着广泛的应用． 3．有一个整数，用它去除 70，110，160 得到的三个余数之和是 50，求这个数． 考点： 带余除法． 分析： 根据题意，70+110+16050 一定是这个整数的倍数，由于三个余数的和为 50，从而可知这个整数比 50 要 小，可把这个整数的倍数写成几个数的乘积的形式，其中一个数一定要小于 50，列式解答即可得到答案． 解答： 解：70+110+1050， =34050， =290， 因为：2×5×29=290， 58×5=290， 因为这个整数不能为 2、5、10，只能为 58 或 29， 110÷58=1…52，不符合题意，故舍去； 70÷29=2…12， 110÷29=3…23， 160÷29=5…15， 12+23+15=50． 答：这个数为 29． 点评： 此题考查了带余除法，解答此题的关键是确定几个被除数相加再减去余数的和是这个除数的倍数，然后再 根据余数和为 50 确定除数的范围即可．8085184．满足被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 3，被 6 除余 4 的最小自然数是？ 考点： 带余除法． 分析： 从题中可以看出这个数加 2 就能被 3，4，5，6 整除，所以要先求 3，4，5，6 的最小公倍数，6 是 3 的倍数， 求 4，5，6 的最小公倍数，是 60，再用这个数减 2，可知最小为 58． 解答： 解：∵ 4=2×2，6=2×3， ∴ 3、5、4 和 6 的最小公倍数是 2×3×2×5=60， ∴ 602=58． 答：满足被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 3，被 6 除余 4 的最小自然数是 58． 点评： 此题主要考查应用最小公倍数的知识解决实际问题的能力，注意求最小公倍数时，把它们分解质因数后， 把公有的质因数和独有的质因数连乘所得的积就是它们的最小公倍数．8085185．数 119 很奇特：当被 2 除时，余数为 1；当被 3 除时，余数为 2；当被 4 除时，余数为 3；当被 5 除时，余数为 4；当被 6 除时，余数为 5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？ 考点： 带余除法． 分析： 被 2 除余 1；被 3 除余 2；被 4 除余 3；被 5 除余 4；被 6 除余 5，就是这个数加上 1 能同时被 2、3、4、5、 6 整除，即这个数同时是 2、3、4、5、6 的倍数，先找出 2、3、4、5、6 的最小公倍数 60，设这个数为 60x 1，然后分析是三位数的即可． 解答： 解：这个三位数加上 1，就能同时被 2、3、4、5、6 整除，即这个数同时是 2、3、4、5、6 的倍数， 而 2、3、4、5、6 的最小公倍数是 60，设这个数为 60x1． 根据 3 位数的条件有：100≤60x1≤999， 解得：2≤x≤16，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 因为这些三位数是 60x1，2≤x≤16， 所以这些三位数是 119，179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959． 故具有这种性质的三位数还有 179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959． 点评： 此题考查了带余除法，解答本题关键是由被 2 除余 1；被 3 除余 2；被 4 除余 3；被 5 除余 4；被 6 除余 5， 就是这个数加上 1 能同时被 2、3、4、5、6 整除．然后找出 2、3、4、5、6 的最小公倍数 60，设这个数为 60x1，进行分析是三位数的一共几个． 6．设 p，q，r 都是质数，并且 p+q=r，p＜q．求 p． 考点： 质数与合数． 专题： 探究型． 分析： 先根据已知条件判断出 r 是奇数，再根据 p+q=r 可判断出 p，q 为一奇一偶，根据在所有偶数中只有 2 是质 数可求出答案． 解答： 解：∵ r=p+q， ∴ 不是最小的质数，从而 r 是奇数， r ∴ p，q 为一奇一偶， ∵ p＜q， ∴ 既是质数又是偶数， p ∴ p=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查的是质数与合数、奇数与偶数的定义，解答此类题目时要注意在所有偶数中只有 2 是质数这一特 点．8085187．证明：当 n＞2 时，n 与 n！之间一定有一个质数． 考点： 质数与合数． 专题： 证明题． 分析： 用（a，b）表示自然数 a，b 的最大公约数，如果（a，b）=1，那么 a，b 称为互质（互素） ，所以（n！ ，n！ 1）=1． 解答： 证明：首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为（a，a1）=（a，1）=1， 于是有（n！ ，n！1）=1， 由于不超过 n 的自然数都是 n！的约数， 所以不超过 n 的自然数都与 n！1 互质（否则，n！与 n！1 不互质） ，于是 n！1 的质约数 p 一定大于 n，即 n＜p≤n！1＜n！ ， 所以，在 n 与 n！之间一定有一个质数． 点评： 本题主要考查了质数与合数的概念，在解题时，首先要明确相邻的两个自然数是互质的．8085188．已知 n 是正整数，且 n 16n +100 是质数，求 n 的值． 考点： 质数与合数． 专题： 探究型． 分析： 从因数分解的角度看，质数只能分解成 l 和本身的乘积（也可从整除的角度看） ，故对原式进行恰当的分解 变形，是解本例的最自然的思路． 解答： 解：∵416n2+100=n4+20n2+10036n2=（n2+6n+10） 26n+10） n （n ， 2 4 2 ∵ +6n+10≠1，而 n 16n +100 为质数， n 2 2 ∴ 6n+10=1，即|（n3） =0， n 解得 n=3． 故答案为：3．80851842? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 点评： 本题考查的是质数的定义，即质数就是在所有比 1 大的整数中，除了 1 和它本身以外，不再有别的约数， 这种整数叫做质数． 9．p 是质数，p +3 仍是质数，求 p +3 的值． 考点： 质数与合数． 专题： 探究型． 4 4 分析： 先根据 p 是质数，p +3 为质数可判断出 p 必为偶数，再根据所有偶数中只有 2 是质数判断出 p=2，代入所 5 求代数式即可求出 p +3 的值． 解答： 解：∵ 是质数， p 4 ∴ +3＞3 p 4 又∵ +3 为质数， p 4 ∴ +3 必为奇数， p 4 ∴ 必为偶数， p ∴ 必为偶数． p 又∵ 是质数， p ∴ p=2，80851845∴ +3=2 +3=35． p 故答案为：35． 点评： 本题考查的是质数与合数，奇数与偶数的相关知识，熟知所有偶数中只有 2 是质数这一结论是解答此题的 关键． 10．设 n 是大于 1 的正整数，求证：n +4 是合数． 考点： 专题： 分析： 解答： 质数与合数． 探究型．4 455808518先把 n +4 进行因式分解，再由 n 是大于 1 的正整数求出两个因数中较小的一个大于 1 即可． 4 证明：我们只需把 n +4 写成两个大于 1 的整数的乘积即可， 4 4 2 2 n +4=n +4n +44n ， 2 2 2 =（n +2） 4n ， 2 2 =（n 2n+2） +2n+2） （n ， 2 2 2 因为 n +2n+2＞n 2n+2=（n1） +1＞1， 4 所以 n +4 是合数． 点评： 本题考查的是质数的定义，即在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，没法被其他自然数整除 的数叫质数． 11．是否存在质数 p．q，使得关于 x 的一元二次方程 px qx+p=O 有有理数根？ 考点： 质数与合数；根的判别式． 专题： 探究型． 分析： 先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△ 24p2=n2，再把此方程化为完全平方的形式，再根据 q =q n 与 q+n 同为偶数列出关于 n、p、q 的方程组，用 p 表示出 q，再根据 qn 与 q+n 同为偶数而 p．q 为质数 可知 p=2，代入关于 p、q 的式子，求出符合条件的 p、q 的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理 数的概念进行解答即可． 解答： 解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△ 24p2=n2， =q 2 规定其中 n 是一个非负整数．则（qn） （q+n）=4p ． 分） （5 由于 1≤qn≤q+n，且 qn 与 q+n 同奇偶，故同为偶数，8085182? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 因此，有如下几种可能情形： 、 、 、 、消去 n，解得 对于第 1，3 种情形，p=2，从而 q=5； 对于第 2，5 种情形，p=2，从而 q=4（不合题意，舍去） ； 对于第 4 种情形，q 是合数（不合题意，舍去） ． 又当 p=2，q=5 时，方程为 2x 5x+2=0，它的根为2． （10 分），它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数． （15 分） 点评： 本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大． 12．设 a，b，c，d 为正整数，并且 ab=cd，试问 a+b+c+d 能不为质数？ 考点： 专题： 分析： 解答： 质数与合数． 证明题． 证明一个数为合数时，一定要注意其因数大于 1． 解：由于 ab=cd，故由质因数分解定理，808518存在正整数 c1，c2，d1，d2，使得 d=d1d2，a=c1d1，b=c2d2， 于是 a+b+c+d=（c1+d2） 2+d1）为合数． （c 全解 2：由于 a+b+c+d=a+b+c+ = 为整数，从而存在整数 c1，c2，使 c=c1c2， 且 均为整数，将它们分别记作 k 与 m，由 a+c＞c≥c1，b+c＞c≥c2， 得 k＞1，且 m＞1，从而 a+b+c+d=km 为合数， 即不可能为质数． 点评： 本题主要考查的质数与合数的概念，在解答此题时，首先要熟练掌握质因数分解定理． 13．试证明：形如 ×10 （n 为自然数）的正整数必为合数． 考点： 质数与合数． 专题： 证明题． 分析： 因为 ×3n=3×3×10n，所以 ×10n=3×（n） 为自然数）能被 3 整除， （n n 所以根据合数的定义可知形如 ×10 （n 为自然数）的正整数必为合数． n n 解答： 证明：∵ ×3 =3×3×10 ， n n ∴ ×10 =3×（ ） ， n ∴ 3|×10 （n 为自然数） ， n ∴ 形如 ×10 （n 为自然数）的正整数必为合数． 点评： 本题主要考查的是合数的定义． 一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数 （第三个因数） 这个数叫做合数． ，808518n14．求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数． 考点： 质数与合数． 专题： 探究型． 分析： 这是一个找符合条件的质数问题．由于质数分布无一定规律，因此从最小的质数试验起．希望能找到所求808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 的质数，然后再加以逻辑的证明． 解答： 解：因为 2+10=12，2+14=16，所以质数 2 不适合； 因为 3+10=13，3+14=17，所以质数 3 适合； 因为 5+10=15，5+14=19，所以质数 5 不合适； 因为 7+10=17，7+14=21，所以质数 7 不适合； 因为 11+10=21，11+14=25，所以质数 11 不适合； … 把正整数按模 3 同余分类．即：3k1，3k+1（k 为正整数） ． 因为（3k1）+10=3k+9=3（k+3）是合数， （3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数， 所以 3k1 和 3k+1 这两类整数中的质数加上 10 和 14 后不能都是质数， 因此，在 3k1 和 3k+1 两类整数中的质数加上 10 和 14 后当然不能都是质数． 对于 3k 这类整数，只有在 k=1 时，3k 才是质数，其余均为合数． 所以所求的质数只有 3． 故答案为：3． 点评： 本题考查的是质数与合数的概念，熟知质数与合数的概念是解答此题的关键． 15．令 a，b，c 为整数，并且满足 a+b+c=0．假设 d=a +b （a）有没有可能 d=2？ （b）有没有可能 d 是个质数？ （大于 1 的整数，如果只有 1 及本身的因子，称它为质数． ）+c1999．请问：考点： 质数与合数． 专题： 探究型． 分析： （1）若 a、b、c 中有一个正数大于等于 2，则 d 将超过 2，再由 a+b+c=0 可知，a+b=c，由于 a，b，c 为 整数，若 d=2，则 a、b、c 中必有一正一负两个数，由于 a、b、c 为整数，故 d=2 不成立；808518（2）若 d 为质数，则 a 、b 、c 的和为质数，若 a 为正数，则 b+c 为负数；若 a 为 0，则 b、c 互 为相反数． 解答： 解： （1）∵ a+b+c=0， ∴ a+b=c， ∵ d=2，则 a、b、c 中必有一正一负两个数， 若 ∵ a，b，c 为整数， 99 ∴ +b +c a =2 不可能成立． 99 （2）在 d=a +b +c 中， a 为 0，则 b、c 互为相反数时， d=0，不是质数； a 为正数，则 b+c 为负数， d 可能为质数． 点评： 此题考查了关于质数的相关运算，要分类讨论，不要漏解． 16．求所有的素数对（p，q） ，使得 pq|5 +5 ． 考 质数与合数． 点： 专 证明题． 题： 分 注意素数即是质数，可以从小到大，利用列举法求解即可．首先设 p 为 2，可得（2，3）（2，5）合乎要求； ， 析： p 为大于 2 的数时，可知 pq 为奇数，分析可得符合条件的素数对有（5，5）（5，313）合乎要求，因为是有 当 、 序数对，所以（3，2）（5，2）（313，5）也符合要求． ， ，808518199919991999pq? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 解 解：若 2|pq，不妨设 p=2，则 2q|52+5q，故 q|5q+25． q 答： q|5 5， ∵ ∴ q|30，即 q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求， （2，3）（2，5）合乎要求． ， 若 pq 为奇数且 5|pq，不妨设 p=5，则 5q|5 +5 ，故 q|5 +625． q1 当 q=5 时素数对（5，5）合乎要求，当 q≠5 时，由 Fermat 小定理有 q|5 1，故 q|626．由于 q 为奇素数，而 626 的奇素因子只有 313，所以 q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求． 若 p，q 都不等于 2 和 5，则有 pq|5 +5 ，故 5 +5 ≡ 0（bmodp） ．① p1 由 Fermat 小定理，得 5 ≡ 1（bmodp） ，② q1 故由① 得 5 ≡ ，② 1（bmodp） ．③ k l 设 p1=2 （2r1） ，q1=2 （2s1） ，其中 k，l，r，s 为正整数． 若 k≤l，则由② 易知 ，③p1 q1 p1 q1 5 q q1， 这与 p≠2 矛盾！所以 k＞l． 同理有 k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q） ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为： （2，3）（3，2）（2，5）（5，2）（5，5）（5，313）及（313，5） ， ， ， ， ， ． 点 此题考查了学生对质数意义的理解，还有对有序数对含义的理解．解此题的关键是分类讨论思想的应用，注意 评： 要不重不漏的表示出所有答案． 17．小于 10 且分母为 36 的最简分数有多少个？ 考点： 质数与合数． 分析： 最简分数的意义： 分子分母是互质数的分数就是最简分数， 据此先在 0～1 内找， 最简分数有：808518、、、、、、、、、、、，共有 12 个，然后乘以 10 即可找出小于 10 且分母为 36 的最简分数有多少个，据此解答． 解答： 解：0～1 中分母是 36 的最简分数有： 12 个， 1～2 中分母是 36 的最简分数有： 1+ ） 、 （即 1+ （即 1+ ） 、 （即 1+ （即 1+ ） 、 ） 、 （即 1+ （即 1+ ） 、 ） 、 （即 1+ （即 1+ ） 、 ） 、 （即 1+ （即 1+ ） 、 ） 、 （即 1+ （即 ） 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共有） ，共有 12 个，… 以此类推，可得小于 10 且分母为 36 的最简分数有 12×10=120 个． 答：小于 10 且分母为 36 的最简分数有 120 个． 点评： 本题考查了质数与合数的知识及最简分数的定义，解答本题的关键是先找出 0～1 中分母是 36 的最简分数， 然后数出个数乘以 10 即可． 18．已知 a，b，c 是三个两两不同的奇质数，方程 （1）求 a 的最小值； （2）当 a 达到最小时，解这个方程．? 菁优网有两个相等的实数根．菁优网www.jyeoo.com 考点： 质数与合数；根的判别式． 分析： （1）首先由方程2 2808518有两个相等的实数根，可得：△ =5（a+1） 900（b+c）22=0，即可得到： （a+1） =2 ×3 ×5（b+c） ，则可求得 a+1 的最小值，得到 a 的最小值； （2）将最小值代入方程，求解即可． 解答： 解： （1）∵ 方程 ∴=5（a+1） 900（b+c）=0， △ 2 2 2 ∴ （a+1） =2 ×3 ×5（b+c） ， 2 2 ∴ 5（b+c）应为完全平方数，最小值为 5 ×2 ， ∴ 的最小值为 60， a+1 ∴ 的最小值为 59； a （2）∵ a=59 时，b+c=20， 2 则原方程为：20x +60 x+225=0， 解得：x= ．2有两个相等的实数根，点评： 此题考查了一元二次方程的判别式和质数的意义．解此题的关键是抓住判别式△ =0． 19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方． 试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？ （1）三条边长均是正整数； （2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由． 考点： 质数与合数；勾股定理． 专题： 计算题． 2 2 2 分析： 首先假设存在，设另一条直角边长为 x，斜边长为 y，则 x、y 为正整数，然后根据题意可得：p +x =y ，即 2 可得： （y+x） （yx）=p ，又由 p 为素数，讨论分析即可求得． 解答： 解：假设存在，令另一条直角边长为 x，斜边长为 y，则 x、y 为正整数．808518由勾股定理得 p +x =y ． 2 化为（y+x） （yx）=p ． 因为 p 为素数（也称质数） ，且 y+x＞yx， 所以只有222从而．若 p=2，则 x、y 不是整数，这样的三角形不存在； 若 p 为奇素数，x、y 都是整数，这样的三角形存在． 综上所述，可知：p 为偶素数 2 时，满足条件的三角形不存在；p 为奇素数时，满足条件的三角形存在，且 另一条直角边长为 ．点评： 此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用． 20．自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有? 菁优网4 个．菁优网www.jyeoo.com 考点： 专题： 分析： 解答： 质数与合数． 计算题． 根据个位数字与十位数字都是质数，可得这个两位质数的个位数字和十位数字只能是：2、3、5、7． 解：因为 N 是质数，且其个位数字和十位数字都是质数，那么十位数字和个位数字只能是：2、3、5、7， 所以符合题意的两位数质数有：23，37，53，73，有 4 个； 答：这样的自然数有 4 个． 故答案为：4． 点评： 此题考查了质数的灵活应用，理解十位数字与个位数字都是质数的两位质数是由：2、3、5、7 组成的是本 题的关键．80851821．求 336 与 1260 的最大公约数和最小公倍数． 考点： 专题： 分析： 解答： 约数与倍数． 计算题． 利用分解质因数法来解答．把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数．808518解：∵ 336=2 ×3×7，1260=2 ×3 ×5×7， 2 ∴ 和 1260 的最大公约数为：2 ×3×7=84； 336 4 2 336 和 1260 的最小公倍数为：2 ×3 ×5×7=5040． 点评： 本题主要考查了最大公约数与最小公倍数的求法． 求几个数最大公因数的方法， ① 开始时用观察比较的方法， 即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数． ② 在计算多个数的 最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下．最后把所有约数 和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数． 22．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每 6 天去一次，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次，如果 8 月 17 日他 们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？ 考点： 专题： 分析： 解答： 约数与倍数． 应用题． 根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日． 解：∵ 甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每 6 天去一次，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次， ∴ 他们下一次见面需隔的天数是 6、8、9， 又∵ 6、8、9 的最小公倍数是 72， ∴ 他们再在 72 后相见，即在 10 月 28 日再次见面． 点评： 本题考查的是最大公约数与最小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：① 两个自然数的最大公约数与最小公 倍数的乘积等于这两个数的乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m， 那么，dm=ab，且 d|m；② 如果一个数 c 能同时被两个自然数 a，b 整除，那么 c 一定能被这两个数的最小公808518422倍数整除，或者说， 一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数， 即：若[a1， 2，a3，…．a]=m， a1|N， a 而 a2|N，…an，那么 m|N． 23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃： ① 能从任意一点（a，b） ，跳到点（2a，b）或（a，2b） ； ② 对于点（a，b） ，如果 a＞b，则能从（a，b）跳到（ab，b） ；如果 a＜b，则能从（a，b）跳到（a，ba） ． 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1） ，跳跃的一种路径为： （1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1） ． 请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定 点的路径；如果不能，请说明理由． （1） （3，5）（2） ； （12，60）（3） ； （200，5）（4） ； （200，6） ．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 考点： 约数与倍数． 专题： 推理填空题． 分析： 根据题目要求及两个规则，可以得到，a 和 b 的公共奇约数=a 和 2b 的公共奇约数=2a 和 b 的公共奇约数． 所以由规则① 知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数． 又由规则② 知，跳跃不改变前后两数的最大公约数． 所以而按规则① 和规则② 跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数． 由此可排除不能到达的点． 解答： 解： （1）能到达点（3，5）和点（200，6） ． 从（1，1）出发到（3，5）的路径为： （1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2） →（3，4）→（3，8）→（3，5） ． 从（1，1）出发到（200，6）的路径为： （1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减 20 次 6）→（200，6） ；808518（2）不能到达点（12，60）和（200，5） ． 理由如下： ∵ 和 b 的公共奇约数=a 和 2b 的公共奇约数=2a 和 b 的公共奇约数， a ∴ 由规则① 知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数． ∵ 如果 a＞b，a 和 b 的最大公约数=（ab）和 b 的最大公约数， 如果 a＜b，a 和 b 的最大公约数=（ba）和 b 的最大公约数， ∴ 由规则② 知，跳跃不改变前后两数的最大公约数． 从而按规则① 和规则② 跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数． ∵ 和 1 的公共奇约数为 1，12 和 60 的公共奇约数为 3，200 和 5 的公共奇约数为 5． 1 ∴ 从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5） ． 点评： 此题主要考查了学生对公约数及公约奇数的理解和掌握，此题解题的关键是着重分析规则运用公约数解 答．此题较难，是好题，能培养学生的分析判断能力． 24．如图，一个圆圈上有 n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从 A 孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步 跨过若干个孔，希望跳一圈后回到 A 孔．他先每步跳过 2 个孔，结果只能跳到 B 孔；他又试着每步跳过 4 个孔， 结果还是跳到 B；最后他每步跳过 6 孔，正好回到 A 孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？考点： 专题： 分析： 解答：约数与倍数． 应用题． 根据题意知，n 是 3、5、7 的倍数，所以问题就转化为求 3、5、7 的最小公倍数的问题． 解：依题意，每步跳过 2 孔，连起点一共要跳过 3 个孔，故除掉 B 孔外，圆圈上的孔数是 3 的倍数，有 3|n 1； 每步跳过 4 个孔，连起点一步要跳过 5 个孔，故除掉 B 孔外，圆圈上的孔数是 5 的倍数，因此，有 5|n1； 又每步跳过 6 个孔时，可回到 A 孔，这表明 7|n． 因（3，5）=1，故 15|n1．因 n＜100，故 n 只可能是 16，31，46，61，76，91，其中仅有 91 是 7 的倍数， 故 n=91，即圆圈上有 91 个孔．808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是： （1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）（2）再 ； 在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止； （3）最后把提取出的各数及各商 数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数． 25．已知 x、y 为正整数，且满足 xy（ x+y ）=2p+q，其中 p、q 分别是 x 与 y 的最大公约数和最小公倍数，求 所有这样的数对（x，y ） （x≥y ） ． 考点： 约数与倍数． 专题： 计算题． 分析： 此题需分类讨论，① x 是 y 的倍数时，设 x=ky（k 是正整数） 当 ．解方程 k（y2）=3；② x 不是 y 的倍数 当 时，令 x=ap，y=bp，a，b 互质，则 q=abp．解方程 abp1=（a1） （b1）即可． 解答： 解：① x 是 y 的倍数时，设 x=ky（k 是正整数） 当 ． 则由原方程，得 ky?y（ky+y）=2y+ky， ∵ y≠0， ∴ ky（k+1）=2+k， ∴ k（y2）=3， 当 k=1 时，x=5，y=5； 当 k=3 时，x=9，y=3；808518∴，；② x 不是 y 的倍数时，令 x=ap，y=bp，a，b 互质，则 q=abp，代入原式 当 2 得：abp （ap+bp）=2p+abp，即 abp1=（a+1） （b+1） 当 p=1 时，a+b=2，可求得 a=1，b=1，此时不满足条件； 当 p＞1 时，abp≥2ab1=ab+（ab1）≥ab＞（a1） （b1） 此时，abp1=（a1） （b+1）不满足条件； 综上所述，满足条件的数对有： ， ．点评： 本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数 的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用 上述公式求出它们的最小公倍数． 26．有很多种方法可以将 2001 写成 25 个自然数之和，对于每一种写法，这 25 个自然数均有相应的最大公约数， 那么这个最大公约数的最大值是多少？ 考点： 约数与倍数． 分析： 根据 ×29=69× 1×24+5）即 2001 可写成： 个 69、 个 69×5=345 的和， 23 个 69、 个 69×2=138， （ ， 24 1 或 1 1 个 69×4=276 的和，或 23 个 69、2 个 69×3=207 的和，或 22 个 69、2 个 69×2=138，1 个 69×3=207 的和， 或 21 个 69、4 个 69×2=138 的和，这 25 个自然数的最大公因数必定能整除 3×23×29．这些公因数中的最大 值不可能超过 3×29=87，否则这 25 个之和必定大于 2001，所以最大值是 3×23=69，它们的最大公因数都是 69． 解答： 解：因为 ×29=69×（1×24+5） ， 从 69×（1×24+5）可以看题目需要分多少份（本题是 25 份） ， 可以是：24 个 69、1 个 69×5=345 的和，或 23 个 69、1 个 69×2=138，1 个 69×4=276 的和， 或 23 个 69、 个 69×3=207 的和， 22 个 69、 个 69×2=138， 个 69×3=207 的和， 21 个 69、 个 69×2=138 2 或 2 1 或 4 的和，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 不管是那种情况，25 个数中要么是 69，要么是 69 的倍数， 所以他们的最大公因数都是 69． 答：这个最大公因数的最大值是 69． 点评： 此题主要考查公因数和公倍数问题，注意根据分解质因数情况确定多个数的最大公因数情况． 27．两个正整数最大公约数是 7，最小公倍数是 105．求这两个数． 考点： 约数与倍数． 分析： 用最小公倍数除以最大公约数即 105÷7=15，就是说 15 是里含有两个数各自含有的质因数，因此把 15 分解 质因数：15=3×5，就是这两个数一个里含有质因数 3，一个里含有质因数 5，再用它们的最大公约数 7 乘以 3 得到一个数，用 7×5 得到另一个数，据此解答． 解答： 解：∵ 105÷7=15；15=3×5； ∴ 这两个数一个里含有质因数 3，一个里含有质因数 5， ∵ 两个正整数最大公约数是 7， ∴ 7×3=21；7×5=35． 答：这两个数是 21 和 35． 点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是理解：最大公约数是两个数的公有的质因数的乘积， 最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积．80851828．已知两个数的和是 45，他们的最小公倍数是 168，求这两个数． 考点： 约数与倍数． 分析： 最小公倍数是 168，则这两个数都能整除 168，168 的因数有：1，2，3，4，6，7，8，12，14，21，24，28， 42，56，84，168．在这些因数中，找出和是 45 的两个数即可． 解答： 解：168 的因数有：1，2，3，4，6，7，8，12，14，21，24，28，42，56，84，168． 其中 21+24=45， 所以这两个数是 21 与 24． 点评： 解答此题的关键是找出 168 的所有因数，从因数中找出和是 45 的两个数．80851829．1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数之和是多少？（配对） 考点： 约数与倍数． 专题： 规律型． 分析： 因为 100=2×2×5×5，所以 1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数应是除 5 的倍数之外的所有奇数，因此根据 高斯求和公式求出 1～100 的所有奇数之和之后， 再减去 1～100 所有 5 的倍数的和即是 1 到 100 中， 100 与 互质的所有自然数之和． 解答： 解：因为 100=2×2×5×5，所以 1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数应是除 5 的倍数之外的所有奇数； 从 1 到 99 的连续奇数（包括 5 的倍数）一共有 50 个，这 50 个连续奇数的和是： 1+3+5+7+…+93+95+97+99 =（1+99）×50÷2， =2500． 100 以内的奇数中，5 的倍数有 5 的 1 倍、3 倍、5 倍…17 倍、19 倍，共 10 个数，这十个数的各是： 5×（1+3+5+…+17+19） =5×（1+19）×10÷2， =500； 所以，符合条件的各个数的和是：0． 答：1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数之和是 2000． 点评： 本题考查了约数与倍数将 100 分解质因数得出 1 到 100 中，与 100 互质的所有自然数应是除 5 的倍数之外808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 的所有奇数是完成本题的关键． 30．三个自然数的最大公约数是 10，最小公倍数是 100，满足要求的三数组共有多少组？ 考点： 约数与倍数． 分析： 设三个数是 10a，10b，10c，则 abc 三数互质，且最小公倍数是 10，则 a，b，c 都是 10 的约数，10 的约数 是 1，2，5，10，若有 2 个 1，则还有一个一定是 10，若只有一个 1，则另两个可能是，2，5 或 2，10 或 5， 10 或 10，10，若没有 1，则若有 2 个 2，则另一个必须是 5，若只有 1 个 2，则另两个可能是，5，5 或 5， 10，若 1 和 2 都没有，则只有 5 和 10，这样不符合 abc 三数互质，所以 10a，10b，10c 分别是：10，10， 100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50， ；20，50，50；20，50，100， 有 8 组． 解答： 解：10=2×5，100=2×2×5×5， 所以三个数中，质因数 2 有出现 1 次也有出现 2 次的，可能是 2，2，2×2 或 2，2×2，2×2，同理，5 也是， 若是 2，2，2×2 和 5，5，5×5 搭配，有 2 种情况， 所以共有 2×4=8 种情况， 10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50， ；20，50，50；20， 50，100，有 8 组． 答：满足要求的三数组共有 8 组：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100； 20，20，50， ；20，50，50；20，50，100． 点评： 此题主要考查公约数与公倍数问题，根据最大公约数和最小公倍数确定原来三数是多少．808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com? 菁优网
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