讨论积分cosx/x^p的收敛性无穷积分收敛性

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高等数学第11章第2节无穷积分的性质与收敛判别
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高等数学第11章第2节无穷积分的性质与收敛判别
关注微信公众号关于无穷积分收敛被积函数极限为零的条件探讨
初学者接触无穷积分时 ,往往会认为如果∫+∞ａ ｆ (ｘ)ｄｘ收敛时 ,就必然有Ｌｉｍｘ→ +∞ｆ (ｘ) =0。例如 ,∫+∞11ｘλｄｘ (λ1 ) ,∫+∞011 +ｘ2 ｄｘ,∫+∞0 ｅ-ｘｄｘ都满足这个条件。但是直到我们证明出∫+∞ａ ｓｉｎｘ2 ｄｘ收敛 ,而被积函数并不满足该条件 ,事实上Ｌｉｍｘ→ +∞ｓｉｎｘ2 不存在。才知道这样猜想并不正确。是什么原因造成了这个结果呢。如果我们将原因简单归为∫+∞0 ｓｉｎｘ2 ｄｘ条件收敛所致 ,就是另一种错误。先看下面例子。例 1　∫+∞0ｓｉｎｘｘ ｄｘ条件收敛 ,且Ｌｉｍｘ→ +∞ｓｉｎｘｘ =0限于篇幅 ,略去证明。从此例可以看出 ,∫+∞ａ ｆ (ｘ)ｄｘ条件收敛时 ,仍可能发生Ｌｉｍｘ→ +∞ｆ (ｘ) =0。于是 ,得出结论 :无穷积分条件收敛 ,与被积函数趋于 0无关 (当自变量趋于正无穷时)。例 2　设ｆ (ｘ) =0ｘ∈ [0 ,+∞ ) -Ｎ1ｘ∈Ｎ...&
(本文共4页)
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无穷积分是数学分析的一个难点,我们平常往往是讨论无穷积分收敛的充分条件,下面看看是否具有必要条件呢?命题1　若无穷积分+∞af(x)dx收敛,则有limx+∞f(x)=0.是否成立?回答是否定的.下面我们看两个例子:例1　讨论无穷积分+∞1f(x)dx的敛散性,其中f(x)=1,X∈[n,n+1n2],n=1,2,3,…;0,X∈(n+1n2,n+1),n=1,2,3,….解:∵+∞1f(x)dx=∑∞n=11n2,由级数∑∞n=11n2收敛,可知无穷积分+∞1f(x)dx收敛.但limx+∞f(x)不存在,当然也不会有limx+∞f(x)=0.这个例题的构造来源于无穷级数,说明无穷积分和级数之间存在某些联系和相似之处,但是级数∑∞n=1an收敛的必要条件是limn∞an=0,而无穷积分+∞af(x)dx收敛却不一定有limx+∞f(x)=0.例2　讨论无穷积分+∞1sinx2dx的敛散性.解:设x2=y,则dx=dy2y,有+...&
(本文共2页)
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命题1若无穷积分+∫∞af(x)dx收敛,函数f(x)在[a,+∞)上单调,则f(x)=o1x.证明不妨设f(x)在[a,+∞)上单调递减,因+∫∞af(x)dx收敛,则f(x)必为非负函数,(当x→+∞时)又由Cauchy收敛准则,对ε0,M0,当xM时,有x∫x2f(t)dt0,δ0,当x1-x20,当然有M0,当p1,p2M时,有pp2∫1f(x)dxM时,f(x)δ=x∫+δxf(x)dt=x∫+δxf(x)-f(t)dt+x∫+δxf(t)dt xx∫+δf(x)-f(t)dt+xx+∫δf(t)dt0,t0 a,令w(f,t0,δ)=supt1,t2f(t1)-f(t2);t1,t2 t0;t1-t2δ,若积分+∫∞af(x)dx收敛,则limx→+∞f(x)=0的充要条件是limt0→+∞δ→0证明设limx→+∞f(x)=0,则任给ε0,存在t0()εa,当t t0时,f(t)ε2.因此,对于w(f,t0,)δ=...&
(本文共2页)
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通过高等数学的学习不难发现,级数求和“∑”与积分求值“∫”之间很相似,这是因为定积分是由求和定义而来的,这使得两者在各自的性质上有很多类同点.在判断级数收敛时,如果f非负且单调递减,则数项级数∑+∞n=1f(n)与积分∫1+∞f(x)dx有相同的敛散性.另外,如果数项级数∑an收敛,则通项an→0(n→+∞);或者函数项级数∑un(x)一致收敛,则通项un(x)→0(n→∞).这可通过级数收敛或者函数项级数一致收敛的Cauchy准则证明.然而,广义积分∫a+∞f(x)dx(1)收敛与极限li mx→+∞f(x)=0(2)之间却没有这样明显的关系,(1)式收敛一般并不能保证(2)式成立,反之亦然.但是在广义积分(1)收敛的前提下,可以得到极限(2)的一个充分条件.当函数变为单调时,问题常常变得简单,结果一般也更深入.下面的几个命题便是围绕着被积函数单调展开的.定理1设f(x)在[a,+∞)上单调递减,且广义积分(1)式收敛,则极限...&
(本文共2页)
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关于含参变量无穷积分─致收敛性优函数判别定理的两个推论邹泽民（广西梧州师专，广西贺县：５４２８００）摘要该文给出含参变量无穷积分一致收敛性优函数判别定理的两个具体推论，解决了用极限的方法判别无穷积分一致的收敛性问题。关键词含参变量；无穷积分；一致收敛性本文主要运用极限的观点和方法，拓广性地给出合参变量的无穷积分／（Ｘ，。川１’在。Ｅ卜，川上一致收敛性优函判别定理的两个推论。根据推论只需通过极限运算为工具就可顺利地实现无穷积分的一致收敛性判别，而极限运算在运作上则比较方便易行，这就给含参变量的无穷积分的一致收敛性判别带来了简易性，从而增强了定理的实用性和可操作性。下面为叙述上的方便起见，首先给出优函数判别法，然后推导出两个推论，最后举例阐明推论的应用价值。优函数判别定理若有在Ｉ］Ｍ０，当ｘＭＢ时，对Ｖ。６【ａ，凡有【ｆ（ｘ，。）ｌ＜Ｆ（ｘ）且无穷积分ＤＦ（ｘ）ｄｘ收敛，则无穷积分【ｆ（ｘ，。。）ｄｘ在区间［ａ，Ｐｊ上一致收敛。按定...&
(本文共2页)
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1无穷积分收敏的本质定义厂，，(x)*收如四(·)=I，其中I(·)}:f(X)* Heine原理:!‘.f(二)*收敛.v{、}:、a，「几，、，“爪火二+aO，‘“几!J侈少“名二J口，，.口，，..，侣f(x)击收敛.VS刃，日NoR，，已护.月!JC毗妙准则:V·’·翻时有】J二，·)*…二。由上述‘山名c勺条件可见，无穷积分收敛的充要条件，是当下限充分大时，其积分的任一“片段”是一个无穷小量，而不是被积函数f(x)当x-今+a0时是无穷小量。这就导致无穷积分与无穷级数有许多相异性质。另由厂，f(·)*1:f(·)*+}f(x)击，可见当};今(x)‘收。，必有lim}f(x)击二0。于是，无穷积分的判敛法则，应建立在其“片段”}二，(x)*.是否是无穷小量的判断上。至少也，皿护.1..要考虑必要条件“余项”f(习血是否无穷小。2无穷积分与无穷级数效散性的异同无穷积分J。f(‘)‘与对应级数期“)在敛散性定义、C毗勺收敛...&
(本文共5页)
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无穷积分收敛性反问题的若干探讨
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下限负无穷反常积分收敛的判别方法书上的定理都是下限为常数 上线正无穷 那上限常数 下限正无穷的要怎么判别?
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＋个负号不就可以交换积分上下限了
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