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微分方程习题及答案
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微分方程习题
1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。
（3）曲线上的点P处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解
2．求下列微分方程的特解
3. 求下列微分方程的通解
4. 求下列微分方程的特解
5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于轴的直线和轴所围城三角形面积等于常数.
7. 设质量为的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时速度为0，求物体速度与时间的函数关系.
8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化的规律，此人胰脏是否正常？
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解
2．求下列微分方程的特解
3．一 曲线过原点，在处切线斜率为，求该曲线方程.
4．设可导函数满足方程
5．设有一个由电阻，电感，电流电压串联组成之电路，合上开关，求电路中电流和时间之关系.
6．求下列贝努利方程的通解
§4 可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。
3．求的经过且在与直线相切的积分曲线
4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.
证明：可推出是线性函数；可取正或负
5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为，出板速度为，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
§5 高阶线性微分方程
1.已知是二阶线性微分方程的解，试证是的解
2.已知二阶线性微分方程的三个特解，试求此方程满足的特解.
3．验证是微分方程的解，并求其通解.
§6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解
2．求下列微分方程的特解
3.设单摆摆长为，质量为，开始时偏移一个小角度，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间变化的规律.
4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。
5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.
§7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解
2．求下列微分方程的特解
3.设连续函数满足
4.一质量为的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为），求此物体之运动规律.
5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.
6.大炮以仰角、初速发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.
§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组
1.求下列微分方程的通解
2．求下列微分方程组的通解
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16页21页19页11页21页20页20页18页21页17页【图文】12-微分方程习题_百度文库
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12-微分方程习题
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高等数学第七章微分方程试题及答案
1第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式通解????0??YQXPDY?????CDXPY（注在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式????021??DYNXMYX通解CDNM????1221??,12?2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程??????XYFD令，则UXY???UFU??CXDUF?????|LN二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程它也是变量可分离方程，通解，（为任意常??0??YXPD?????DXPCEYC数）2．一阶线性非齐次方程用常数变易法可求出通解公式??XQYX令代入方程求出则得????DPEC??XC????????XYXX3．伯努利方程????1,0????YXQPDXY令把原方程化为再按照一阶线性??1Z???XQZXPDZ????1非齐次方程求解。4．方程可化为以为自变量，??XYQDXY?1YY为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。X三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式??XFYN?通解??NNNNNCXXCDXFY???????121?????次??YXF??,令，则，原方程P???一阶方程，设其解为，??XF,???1,XGP?即，则原方程的通解为。1CG???2CDY??YF???,令，把看作的函数，则PY?YYPX??把，的表达式代入原方程，得一阶方程，???YFPD,1?设其解为即，则原方程的通解为??,1CYGP???1,YGX。???21,CD2四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）??0????YXQPY二阶非齐次线性方程（2）??F1．若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合??XY2（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当C?12（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解??XY21????XY12为??21?2．若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为??XY??XY21?对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线XY性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。??XY?4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的Y??XYC21?二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则1C2是此二阶非齐次线性方程的通解。????XYXY21??5．设与分别是与2??XFYQP1????的特解，则是????XFYQXPY2????21的特解。????XFFYXQPY21?????五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程其中，为常数，特征方程0?YP02??QP?特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根，则方程的通解为1?2XXECY21??（2）特征方程有二重根则方程的通解为21???121??（3）特征方程有共轭复根，则方程的通解为??I??XXEYXSINCO2??2．阶常系数齐次线性方程N其中为常数。??????0121???????PYPYNNNN??I,1?相应的特征方程121?NNNN????特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有个不同的实根则方程通解N,,21?XNXXECECY??????21（2）若为特征方程的重实根则方程通解中含有Y0K????XKEX0121????（3）若为特征方程的重共轭复根，则方程通解中含有??I???NK2????XDXXCXEKKXSINCOS11121????????由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是3三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程方程其中为常数??XFQYP???QP,通解C21其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。??XYC21所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求Y1．其中为次多项式，为实常数，??XNEPXF????N?（1）若不是特征根，则令XERY?（2）若是特征方程单根，则令??N?（3）若是特征方程的重根，则令?XEY22．或??XEPXFXNSI????PFNCOS???其中为次多项式，皆为实常数N,（1）若不是特征根，则令??I???????XTXREYNNXSICS??（2）若是特征根，则令O???例题一、齐次方程1求的通解DXYXY?2解10222???????????XYDXYXY令1,2?UXUX则0??DUU，，????11CD1|LNC?XYUCCEEX??,120?????????????YXEYYX解，令将Y看成自变量YXYXED??1UX?,,所以UYXUEDY??1UUEED????1,,YEU??1YDUYCEU1LNLN?????????,,CYU?YXUEC??YX????二、一阶线形微分方程110,??DYXY4解可得这是以Y为自变量的一阶线性方程解得??????01XYDLNC,所以得解XYXLN??2求微分方程的通解4YDX??解变形得，是一阶线性方程31YXD??即3,1YQYP??CYDEYY???????????41313三、伯努力方程63X?解，，356YX??256XYD???令,，,5U?6U2?25XU?解得，于是2??XC35CXY?四、可降阶的高价微分方程1求的通解1LN1??Y解令,原方程化为P?则,1LN????XPX属于一阶线性方程1L?XP????????????111LNCDXEXEPDX??LL11?????????????2LNDXXY21LNCX??20,22?Y，解令，得到DPPY?，则YPD??2令,得到为关于Y的一阶线性方程U2U?，解得100|22??YPXYCEU??1所以,20|1???CEUY0?于是,??Y1?P,,DX112CX??21CXY????,得到,得解0?Y1C五、二阶常系数齐次线形微分方程10245???YY解特征方程12???II???5,43,21?于是得解XCXCECYXOSSN???2，,0,??YY解特征方程,???,,1??32?I?4,得通解为SNCO431XECEYXX??由10,6,0,0??Y得到,,,21??CC34C得特解SINO1XEEYXX???六、二阶常系数非齐次线形微分方程1求的通解X23??解先求齐次方程的通解，特征方程为，特征根为032????。1,21???因此齐次方程通解为XXECY231??设非齐次方程的特解为为特征根，因此设,,?由于YXAEY?代入原方程可得，故原方程的通解为2AXCE2131??2求方程的通解XYCOS????解特征方程为，特征根为，02????1,21???因此齐次方程的通解为XXECY21设非齐次方程的特解为,由于题目中不是特征根，YI,???因此设，代入原方程可得XBAYSIN2CO??XBA2COSSIN4242???，606?解联立方程得，因此1,3YIN103_?故原方程的通解为XECYXX2SCO2???3XYCOS2SIN3??解特征根为，齐次方程的通解为??XCYSIN21??，XY??CXC???,02121，SIN3????XCXEYOSSISINO210????待入原式得出，所以,21?CY???，XYCOS2??XCXCEYXSINSI2121???待入原式得出，所以,021?CYN?故原方程的通解为XXXYSIISIO2??七、作变量代换后求方程的解1求微分方程的通解2321YD???6解令原方程化为,TAN,TVXUY?UVDU32SECSECTAN??化简为再令1SIN?D方程化为则,1,?DVZZ，ZVZI?????,SINSINCVZCD，CV?????2SIN1ZZ?2OSI最后Z再返回X,Y,V也返回X,即可。ZZETA20I???YXYX，解设1?????DXUXUCXDDXULNCOTSLNSI0SIN??，因为??XYC???IO1OTC20,2??Y所以??YX2SIN1?3212SINXEY???解令得到UY,SI则,为一阶线性方程2121XEX?212XEUX???解得即||LN12CUX??|1|LNSIN21XCY?40OSSILNYXY解令,则原方程化为UY?COSYSIN?01LN????XUXU,为贝奴利方程，XLN2??LL2?令,则方程化为,为一阶线性方程UZ12XZXN1??解得即,XCLN?CYLNOS1?YLCOS八、综合题1设F（X）＝X－，其中F（X）连续，求F（X）SI??XDTF0解由表达式可知F（X）是可导的，两边对X求导，则得???????TFF0INCO再对两边关于X求导，得COS2SINXF?????即属于常系数二阶非齐次线性方程??XFFCO2SI??对应齐次方程通解，CYSI1非齐次方程特解设代入方程求出系数????XDXBAXSINCO_???A,B,C,D则得，故F（X）的一般表达式YSIN432CXXFICICOS41212由条件和导数表达式可知F（0）＝0，可确定出因此??0??F0,21?CXXFSIN3C2??2已知，，是某二阶线性非齐XEY1XEY??2XXEY??23次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解7解由线性微分方程的解的结构定理可得，，，XEY??31XEY??21??XEYY2131???对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为0???Y设该方程为，代入，得2XFY?XEY21???XEF21所以，该方程为，其通解为??E??XC21??3设内满足以下条件在，其中,XGFXGFXF?,??XEGFF0,???且（1）求所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出的表达式XF解222XFEXFXFXGFGFF????????可知所满足的一阶
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