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矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数 一、内容提要 本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数 值稳定性的概念、 设计函数计算时的一些基本原则和误差分析； 熟练掌握向量和矩阵范数的 定义及其性质。 1．误差的基本概念和有效数字 1） 绝对 ．绝对 绝对误差和相对误差 相对误差的基本概念 相对误差 设实数 x 为某个精确值， a 为它的一个近似值，则称 x ? a 为近似值 a 的绝对误差，简称x?a 为误差 当 x ≠ 0 时， x 称为 a 的相对误差．在实际运算中，精确值 x 往往是未知的，所 误差． 误差 x?a 以常把 a 作为 a 的相对误差．2） 绝对 ．绝对 绝对误差界和相对误差界 相对误差界的基本概念 界 相对误差界 设实数 x 为某个精确值， a 为它的一个近似值，如果有常数 e a ，使得x ? a ≤ eaea a误差界．称 称 e a 为 a 的绝对误差界，或简称为误差界 误差界是 a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明 a 近似 x 的程度越好，即 a 的精度越好． 3） ．有效数字 设实数 x 为某个精确值， a 为它的一个近似值，写成a = ±10 k × 0. a1 a 2 L an L它可以是有限或无限小数的形式，其中 a i (i = 1,2, L) 是 0, 1, L , 9 中的一个数字， a1 ≠ 0, k 为整 数．如果x?a ≤1 × 10 k ? n 2则称 a 为 x 的具有 n 位有效数字的近似值． 如果 a 有 n 位有效数字，则 a 的相对误差界满足： ．函数计算的误差估计 4） 函数计算的误差估计 ． 如果 y = f ( x1 , x2 ,L, xn ) 为 n 元函数，自变量 x1 , x 2 , L , x n 的近似值分别为 a1 , a 2 , L , a n ， 则x?a 1 ≤ × 101?n 。 a 2a1n ? ?f f ( x1 , x 2 ,L , x n ) ? f ( a1 , a 2 ,L , a n ) ≈ ∑ ? ? k =1 ? ?x k? ? ( xk ? ak ) ? ?a其中 ? ?f ? = ? f (a1 , a 2 , L , a n ) ，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 ? ? ? ?? ?x k ? a ?x kn ? ?f f ( x1 , x2 , L , xn ) ? f (a1 , a2 , L , an ) ≤ ea ≈ ∑ ? ? k =1 ? ?xk? ? eak ? ?a设 其误差界为 x1 ? a1 ≤ ea1 和 x2 ? a2 ≤ ea 2 ， 如果令 n = 2 ， x1 , x2 的近似值分别为 a1 , a2 ， 取 y = f ( x1 , x2 ) 为 x1 , x2 之间的四则运算，则它们的误差估计为，ea1 ± a 2 ≈ ea1 + ea1 ； ea1 ?a 2 ≈ a1 ea1 + a2 ea1 ； e a1 ≈a2a1 ea1 + a2 ea1 a22， a2 ≠ 0 。数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：ea1 ± a 2 a1 ? a2≈ea1 + ea 2 a1 ? a2。如果 x1 和 x 2 是两个十分接近的数，即 a1 和 a 2 两个数十分接近，上式表明计算的相对误 差会很大，导致计算值 a1 ? a 2 的有效数字的位数将会很少。 对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界： e a1 ≈a2a1 ea1 + a2 ea1 a22。从关系式中可以看出，如果 x 2 很小，即 a 2 很小，计算值 5） ．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则a1 的误差可能很大。 a2⑴ 算法的数值稳定性： 一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。 反之， 成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。 ⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。 ⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。 2．向量和矩阵范数 把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来， 在某种意义下， 这个实数提供了向量 和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看 作矩阵大小的一种度量。 范数的主要的应用： 范数的主要的应用： 研究这些矩阵和向量的误差估计。 一、研究这些矩阵和向量的误差估计 研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。 二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数 定义 存在 R （ n 维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为 f ( x) = x ，若该函数n满足以下三个条件：即对任意向量 x 和 y 以及任意常数 α ∈ R （实数域） （1）非负性 非负性 （2）齐次性 齐次性x ≥ 0 ，并且 x = 0 的充分必要条件为 x = 0 ;αx = α x ；≤ x + y ．（3）三角不等式 x + y 三角不等式 则称函数?为 R 上的一个向量范数．n常用三种的向量范数 设任意ｎ维向量 x = ( x1 , x2 ,L, xn ) ， x 为向量 x 的转置） （ ，TTx 1 = ∑ xi ，i =1n向量的 1-范数1? n 2? x 2 = ? ∑ xi ? ? i =1 ?2=x T ? x = ( x , x )2 ，1向量的 2-范数x∞= max x i ，1≤ i ≤ n向量的 ∞ -范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数 ? ，其加权的范数可以表为xW= Wx ，其中 W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。 向量范数的连续性 范数的连续性定理 R n 上的任何向量范数 x 均为 x 的连续函数。 范数的连续性 向量范数的等价性定理 设 ? α 和 ? 范数的等价性定理β为 R n 上的任意两种向量范数，则存在两个与向量x 无关的正常数 c1 和 c2，使得下面的不等式成立c1 x2). 矩阵范数 定义 存在 R n × n （ n × n 维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为 f ( A) = A ，对 任意的 A, B ∈ R n× n 均满足以下条件： （1）非负性：对任意矩阵 A 均有 A ≥ 0 ，并且 A = 0 的充分必要条件为 A = O ;β≤ xα≤ c 2 x β ，其中 ?x ∈ R n .（2）齐次性：αA = α A ， α ∈ C ；n× n （3）三角不等式： A + B ≤ A + B , A, B ∈ R ；（4）相容性： AB ≤ A ? B , A, B ∈ R n× n ， 则称 ? 为 R n× n 上的矩阵范数。 我们可定义如下的矩阵范数：A m = ∑∑ aij ，矩阵的 m1 -范数1mni =1 j =12 ? m n 2? A F =? ∑∑ (aij ) ? ，矩阵的 F -范数（Frobenius）范数。 ? ? ? i =1 j =1 ?1（矩阵范数与向量范数 矩阵范数与向量范数相容性定义） 对于一种矩阵范数 ? 矩阵范数与向量范数 果对任意 n×n 矩阵 A 和任意 n 维向量 x, 满足M和一种向量范数 ? V ，如Ax V ≤ A M x V ，则称矩阵范数 ? 矩阵范数M是相容的。 与向量范数 ? V 是相容的3）矩阵的算子范数n 定理 已知 R 上的向量范数 ? V ， A 为 n×n 矩阵，定义A M = maxx ≠0Ax V xV= max Ax VxV=1则 AM是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。 矩阵的算子范数。 矩阵的算子范数三种常用的矩阵的算子范数A 1 = max ∑ a ij ；1≤ j ≤ n i =1 nm(列范数)A∞= max ∑ aij ．1≤i ≤ m j =1(行范数)A 2 = λmax ( AT A) ,其中 λmax ( A A) 表示矩阵 AT A 的最大特征值。T（谱范数）对任何算子范数 ? ，单位矩阵 I ∈ Rn×n的范数为 1，即 I = 1 。可以证明： 可以证明： 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数； ① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在 与之相容的矩阵范数（如从属范数） 与之相容的矩阵范数（如从属范数） ．m p ） ； ② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容 如矩阵 1 范数与向量 -范数相容） 多种 （（ 矩阵范数可以与一个向量范数相容 如矩阵 F ? 范数和矩阵 2 ? 范数与向量 2 ? 范数相容） ） 。 ③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从 属关系。 如， ? （F相容，但无从属关系） 与向量 ? 2 、 ? m 与向量 ? 1 相容，但无从属关系） 。1任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。 ④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。 任意的矩阵范数与任意的向量范数相容 4）矩阵范数的性质n× n ① 设 ? 为 R 矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的 n 阶方阵 A 均有ρ ( A) ≤ A ．其中 ρ ( A) = max{λdet (λI ? A) = 0 }为方阵 A 的谱半径。 的谱半径。2T 注意： 注意：当 A = A 时， A= λmax AT A = λmax A2 = λmax A = ρ ( A) 。 ?M（依赖矩阵 A 和常数ε） ，()( )( )n×n ② 对于任给的ε&0, 则存在 R 上的一种算子范数使得AM≤ ρ ( A) + ε ．I n ± A 可逆且可逆且③ 对于 R n × n 上的一种算子矩阵范数 ? ，如果 A ∈ R n× n 且 A &1, 则(I n ± A)?1二、典型例题分析≤1 ． 1? A例 1．1：下列近似值的绝对误差限均为 0.005，问它们各有几位有效数字？a = 138.002 ， b = ?0.0312 ， c = 0.86 × 10 ?4解： 现将近似值写成标准形式：a = 0.138002 × 103 , b = ?0.312 × 10 ?1 , c = 0.86 × 10 ?4 ,在直接根据有效数字定义得出，x?a ≤1 × 10 ? 2 ? k ? n = 3 ? n = ?2 ? n = 5 ，即 a 有 5 2位有效数字；x?b ≤1 × 10 ? 2 ? k ? n = ? 1 ? n = ?2 ? n = 1 ，即 b 有 1 位有效数字； 2x?c ≤1 × 10? 2 ? k ? n = ? 4 ? n = ?2 ? n = ?2 ，即 c 无有效数字。 2m例 1．2：已知 x 的相对误差为 0.003 ，求 a 的相对误差。 解：此题要利用函数计算的误差估计，即取 f ( x ) = x m ， f ′( x ) = m ? x m?1 ，则由f (x ) ? f (a ) ≈ f ′(a )( x ? a ) ，可推出 x ? a ≈ m ? am m m ?1? ( x ? a ) ，故 a m 的相对误差为xm ? am x?a ≈ m? = 0.003m 。 m a a例 1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子 利用 3 位算术运算求 f ( x ) = x ? 6.1x + 3.2 x + 1.5 在 x = 4.71 处的值。3 2表中给出了传统的方法的计算的中间结果。 在这里我们使用了两种取值法： 截断法和舍入法。x精确值 3 位数值（截断法） 3 位数值（舍入法） 4.71 4.71 4.71x222. 22.1x3104.487 111 104 1046.1x 2135.323 01 135 1353 .2 x15.072 15.0 15.1精确值： f (4.71) = 104.487 111 ? 135.323 01 + 15.072 + 1.5 = ?14.263 899 3 位数值（截断法） f (4.71) = ((104 ? 134 ) + 15.0 ) + 1.5 = ?13.5 ： 3 位数值（舍入法） f (4.71) = ((105 ? 135) + 15.1) + 1.5 = ?13.4 ： 上述 3 位数值方法的相对误差分别是? 14.263 899 + 13.5 ≈ 0.05 ，截断法 ? 14.263 899? 14.263 899 + 13.4 ≈ 0.06 ，舍入法 ? 14.263 899作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将 f ( x ) 写为f ( x ) = x 3 ? 6.1x 2 + 3.2 x + 1.5 = (( x ? 6.1)x + 3.2)x + 1.5那么，3 位数值（截断法） f (4.71) = ((4.71 ? 6.1)4.71 + 3.2 )4.71 + 1.5 = ?14.2 ：= (? 1.38 × 4.71 + 3.2) × 4.71 + 1.5 = (? 6.54 + 3.2) × 4.71 + 1.5= ?3.34 × 4.71 + 1.5 = ?15.7 + 1.5 = ?14.23 位数值（舍入法） f (4.71) = ((4.71 ? 6.1)4.71 + 3.2 )4.71 + 1.5 = ?14.2 ：= (? 1.38 × 4.71 + 3.2) × 4.71 + 1.5 = (? 6.55 + 3.2) × 4.71 + 1.5= ?3.35 × 4.71 + 1.5 = ?15.8 + 1.5 = ?14.3则相对误差分别是? 14.263 899 + 14.2 ≈ 0.004 5 ， （截断法） ? 14.263 899? 14.263 899 + 14.3 ≈ 0.0025 ， （舍入法） ? 14.263 899可见使用秦九韶方法 （嵌套法） 已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误 差的 10% 之内。对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少 95% 以上。 多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次 数最小化。 本例中误差的减小是由于算术运算次数从 4 次乘法和 3 次加法减少到 2 次乘法和 3 次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。 例 1．4：已知近似值 a1 = 1.21 ， a2 = 3.65 ， a3 = 9.81 均为有效数字，试估计如下算 术运算的相对误差。a1 ? a2 + a3解：由已知，x1 ? a1 ≤令1 1 1 1 × 10 k ? n = × 10 ? 2 ； x2 ? a2 ≤ × 10 ? 2 ； x3 ? a3 ≤ × 10 ? 2 。 2 2 2 2f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 ? x2 + x3 ， f (a1 , a2 , a3 ) = a1 ? a2 + a3 ，由函数运算的误差估计式f ( x1 , x2 , x3 ) ? f (a1 , a2 , a3 ) ≈f x′1 (a1 , a2 , a3 )( x1 ? a1 ) + f x′2 (a1 , a2 , a3 )( x2 ? a2 ) + f x′3 (a1 , a2 , a3 )( x3 ? a3 ) = a2 ( x1 ? a1 ) + a1 ( x2 ? a2 ) + ( x3 ? a3 )从而，相对误差可写成f ( x1 , x 2 , x3 ) ? f (a1 , a 2 , a3 ) a x ? a + a x ? a + x ? a ≤ 2 1 1 1 2 2 3 3 f (a1 , a 2 , a3 ) f (a1 , a2 , a3 )≤ 1.21 + 3.65 + 1 1 × × 10 ? 2 = 0.00206 | 1.21 × 3.63 + 9.81 2若 x = 3.000 ， a = 3.100 ， 则绝对误差 x ? a = ?0.1 ， 相对误差为：x ? a ? 0.100 = = ?0.0333 = ?0.333 × 10 ?1 ； x 3.000 若 x = 0.0003000 ， a = 0.0003100 ，则绝对误差 x ? a = ?0.1 × 10 ， 相对误差为：?4x ? a ? 0.000100 = = ?0.333 × 10?1 ； x 0.00030004 4若 x = 0.3000 × 10 ， a = 0.3100 × 10 ， 则绝对误差 x ? a = ?0.1 × 10 ，3相对误差为：x?a ? 0.1 × 103 = = ?0.333 × 10 ?1 ； x 0.3000 × 10 4这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差 可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。例 1．5：在 R 中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。2S1 = x x 1 ≤ 1, x ∈ R2 ， S2 = x x 2 ≤ 1, x ∈ R 2 ， S3 = x x{}{}{∞≤ 1, x ∈ R2}解： 这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。 例 1．6： xp ? n p? = ? ∑ xi ? , ? i =1 ? 1p1 ≤ p & +∞ ．其中 xi 表示 xi 的模．此范数→ x ∞。称 p-范数， 而且１， 范数为当ｐ＝１， 时的范数。 2 2 而当 p → ∞ 时， x 有 证明： 证明：事实上，px两边开 p 次方得p ∞= max xi ≤ ∑ x ≤ n ? max xi = n ? xp p p 1≤ i ≤ n i =1 1≤ i ≤ nnp ∞x∞≤ (∑ x ) ≤n ? x ∞ ，由于 lim n = 1 ，故 xppn1 p1 pi =1p →∞p→ x ∞。例 1．7：证明 ? 2 为 C 空间上向量范数。n证明： （1）对任给ｎ维向量 x = ( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ C ，若 x ≠ 0 ，则 x1 , x2 ,L, xn 不全为 证明：T n零，故x2=x1 + x2 + L + xn & 02 2 2（2）对任给 α ∈ C ， x = ( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ C ，则T nα ? x 2 = α ? x1 + α ? x2 + L + α ? xn = α ? x1 + x2 + L + xn = α ? x2 2 2 2 2 2 22（3） 对任给 x = ( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ C ， y = ( y1 , y2 ,L, yn ) ∈ C 则由T n T nCauchy-Schiwatz 不等式： ( x, y ) ≤2( x, x) ? ( y, y ) = x 2 ? y 2 可得x + y 2 ≤ ( x + y , x + y ) = ( x, x ) + ( y , x ) + ( x , y ) + ( y , y ) ≤ x 2 + 2 ( x, y ) + y2 2 2 2 2≤ x 2 +2 x ? y + y 2,=( x 由向量范数的定义， ? 2 为 C 空间上的向量范数。n2+ y 2 )2 。例 1． 8 设 A = ? ?2?1 0 0? ? ，求 A m 、 A F 、 A 1 、 A ∞ 和 A 2 。 ? 1 ?0 2 4?解： Am1=∑i =12∑aj =13ij= 1+ 2 + 4 = 7 ； AF=∑ ∑ai =1 j =1232ij= 1 + 22 + 4 2 = 211 A 1 = max ∑ aij = max{ , 2, 4} = 4 ； A ∞ = max ∑ aij = max{ , 6} = 6 ； 11≤ j ≤ n i =1 1≤ j ≤ n 1≤ i ≤ n j =1 1≤ j ≤ n3?1 0? ?1 0 0 ? ? ? ?1 0 0? ? ? ? = ? 0 4 8 ? ，令 注意到， AT A = ? 0 2 ? ? ? ? ? 0 4 ? ? 0 2 4 ? ? 0 8 16 ? ? ? ? ? det λI ? A A =T()λ ?10 00λ?4?82? 8 = (λ ? 1)(λ ? 4)(λ ? 16) ? 64(λ ? 1) = 0 λ ? 160得， ρ ( AT A) = 20 ，从而 A 1． 3 习题 1、填空题= λmax ( AT A) = 20 = 2 5 。(1) 设 A = ? ?? 1 0? ? ,则 A 1 = 5 , A ∞ = 3 , A F = 14 , A 2 = 7 + 2 10 及 A 的 ? ? 2 3?谱半径 ρ (A) = 3 。 (2) x = (3, 0, ? 4, 12) ∈ R ，则 x 1 =T 4 T 319,3x ∞ = 12, x 2=313(3) 记 x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R ，判断如下定义在 R 上的函数是否为 R 上的向量范数 （填是或不是）. ； ； x = x1 + 2 x2 + 3 x3 （是 ） x = x1 + 2 x2 ? 3 x3 （不是 ） x = x1 + x2 + x3 （ 不 是 ） 。 (4) 使 70 = 8. L 的近似值 a 的相对误差限不超过 0.1％，应取几有效 数字, a = 2、证明 （1） .x∞≤ x1≤n x∞； （2）x∞≤ x2≤ n x∞3、设 ‖x‖为 R n 上任一范数， P ∈ R n× n 是非奇异矩阵，定义 x = Px ，证明：算子 范数 A p = PAP -1 。 4、设 A 为 n 阶非奇异矩阵， U 为 n 阶酉矩阵.证明： (1) U2= 1；(2)AU2= UA 2 = A 25、已知 e = 2.71828L ，问以下近似值 x A 有几位有效数字，相对误差是多少？ （1） x = e , x A = 2.7 （3） x = （2） x = e ， x A = 2.7 （4） x =e , x A = 0.027 , 1002e , x A = 0.02718 . 1006、给定方程 x ? 26 x + 1 = 0 ，利用 168 ≈ 12.961 ，求精确到五位有效数字的根。 并求两个根的绝对误差界和相对误差界。 7. 在五位十进制计算机上求S = 545494 + ∑ ε i + ∑ δ i ，i =1 i =110050的和，使精度达到最高，其中 ε i = 0.8, δ i = 2 。 8. 在六位十进制的限制下，分别用等价的公式（1）f ( x) = ln( x ? x 2 ? 1) ； （2） f ( x) = ? ln( x + x 2 ? 1)计算 f (30 ) 的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？ 9. 若用下列两种方法 （1） e?5?5? 9 5i ? 5i * * ≈ ∑ (?1) = x1 ， （2） e ? 5 ≈ ? ∑ ? = x2 ， ? i! ? i! i =0 ? i =0 ?9 i?1计算 e 的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。 10. 计算 f = ( 2 ? 1) ，取 2 ≈ 1.4 ，直接计算 f 和利用下述等式6(12 +1)6,(3 ? 2 2 ) ,3(3 + 2 2 )13, 99 ? 70 2 ；计算，那一个最好？ 11. 如何计算下列函数值才比较准确。 （1）1 1 ? , 对 x && 1 ； 1 + 2x 1 + x（2） x + （4）1 1 ? x ? , 对x && 1 ； x x（3）∫N +1 Ndx , 其中N 充分大； 1+ x21 ? cos x , 对 x && 1 。 sin x1.4 1.4 习题解答 1、解 解 （1）有定义， A 1 = 3,A ∞ = 5, A F = 14 , A 2 = 7 + 2 10 及 ρ ( A) = 3。 x ∞ = 12, x 2 = 13。(2) x = (3, 0, ? 4, 12)T ∈ R 4 ，则 x 1 = 19,?1 ? ? ? (3)（是） ；为给定向量 1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵， W = ? 2 ? 。 ? 3? ? ?；不满足向量范数性质 1； （不是） ；不满足向量范数性质 1。 （不是） (4) a =8.3667。因 70 = 8. L ， a1 = 8 ，要是得相对误差限不超过0.1% ，即70 ? aa≤ 0.001 ，则70 ? aa≤101? n 1 = × 101? n ≤ 0.001 时，有 n = 4 。 2a1 162、只就（2）证明 ，由定义可得，x2 ∞= max xk ≤ ∑ xk = x 2 ≤ ∑ max xk =n x2 2 2 2 k k =1 k =1 knn2 ∞从而，x∞≤ x 2 ≤ n x ∞。P3、首先，证明 x 1） P ∈ R 因n× n= Px 是一向量范数。事实上，是非奇异矩阵， ?x ≠ 0 ，Px ≠ 0 ， Px = 0 时，x = 0 ， 故 故 且当 x = 0时， Px = 0 ，于是， x 2）对 ?α ∈ R ， 3） x + yP= Px ≥ 0 当且仅当 x = 0 时， xP= Px =0 成立；αx P = P(αx ) = α (Px ) = α ? Px = α ? x P ；P= P( x + y ) = Px + Py ≤ Px + Py = x P + y P 。故 x P 是一向量范数。再A P = maxx≠0Ax xP PPAP ?1 Px PAx = max = max ， x≠0 x ≠0 Px Px()令 y = Px ，因 P 非奇异，故 x 与 y 为一对一，于是 于是A P = maxy ≠0(PAP )y?1y= PAP ?14、证明：(1)，由算子范数的定义U2 2= maxx≠0Ux x2 2 2 2(Ux )H (Ux ) = max x HU HUx = max x H x = max = maxx ≠0x x2 2 2 2x2 2x≠0x2 2x≠0x2 2x≠0= 1；证明：(2)，AU2=λmax ( AU )H AU = λmax (U H (AH A)U ) = λmax (AH A) = A 2 ，()UA 2 = λmax (UA) UA = λmax A U H U A = λmax AH A = A 2 。H()( () )()此结论表明酉阵具有保 2-范数的不变性。 5、解： （1）由于 e ? x A ≤ 再由相对误差界的公式，1 × 10 ?1 ，由有效数字定义可知， x A 有 2 位有效数字；又 a1 = 2 ， 2e ? xA 1 1 ≤ × 101? 2 = × 10 ?1 ； xA 2× 2 4 1 × 10? 3 ，由有效数字定义可知， x A 有 4 位有效数字；又 a1 = 2 ， 2 e ? xA 1 1 ≤ × 101? 4 = × 10 ? 3 ； xA 2× 2 4（2）由于 e ? x A ≤ 再由相对误差界的公式，（3）由于 e ? x A ≤ 再由相对误差界的公式，1 × 10? 3 ，由有效数字定义可知， x A 有 2 位有效数字；又 a1 = 2 ， 2e ? xA 1 1 ≤ × 101? 2 = × 10 ?1 ； xA 2× 2 4 1 × 10 ? 5 ，由有效数字定义可知， x A 有 4 位有效数字；又 a1 = 2 ， 2 e ? xA 1 1 ≤ × 101? 4 = × 10 ? 3 。 xA 2× 2 4（4）由于 e ? x A ≤ 再由相对误差界的公式，6、给定方程 x ? 26 x + 1 = 0 ，利用 168 ≈ 12.961 ，求精确到五位有效数字的根。2并求两个根的绝对误差界和相对误差界。 解： 由二次方程求根公式知， 1 = 13 + 168 ， 2 = 13 ? 168 。 x x 若利用 168 ≈ 12.961 ， 则近似根 a1 = 25.961 具有 5 位有效数字，而 x2 = 13 ? 168 ≈ 13 ? 12.961 = 0.039 = a2 ， 只有 2 位有效数字。若改用x2 = 13 ? 168 =1 13 + 168≈1 ≈ 0.038519 = a2 25.961则此方程的两个近似根 a1 ， a2 均具有 5 位有效数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别 为：x1 ? a1 ≤x ?a 1 1 1 1 × 10 2 ? 5 = × 10 ? 3 ； 1 1 ≤ × 101? 5 = × 10 ? 4 2 2 a1 2 × 25 50 x ? a2 1 1 1 1 × 10 ?1? 5 = × 10 ? 6 ； 2 ≤ × 101? 5 = × 10 ? 4 。 2 2 a2 2×3 6x2 ? a2 ≤7． s = 545494 +∑ ε i + ∑ δ i ，其中 ε i = 0.8 ， δ i = 2i =1 i =110050计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则6 s = 0.54549 × 106 + 0.0000008 ×44 240.0000008 ×4 6 +L
100 个+ 0.000002 × 10
× 106 144444 + L + 4444436 50 个= 0.54549 × 106 545494 与 0.00008 × 106 和 0.00002 × 106 在计算机上做和时， 545494 由于阶码升为5 位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免． 若改变运算次序，先把 100ε i 相加， 50δ i 相加。再与 54549 相加。即s = +0.84 43 + 24 42 + 0.54549 × 106 + L 0. +L 3 142 + 48 1 2 +100 个 50 个= 0.8 × 102 + 0.2 × 10 × 50 + 0.54549 × 106 = 1.8 × 10 2 + 0.54549 × 106 = 0.00018 × 106 + 0.54549 × 106 = 0.54567 × 106 = 5456708 ． 分 析 ： 由 于 f ( x) = ln( x ?x 2 ? 1) ， 求 f (x) 的 值 应 看 成 复 合 函 数 。 先 令y = x ? x2 ? 1 ， 由于开方用六位函数表， y 的误差为已知， 则 故应看成 z = g ( y ) = ln( y ) ，由 y 的误差限 y ? y * 求 g ( y ) 的误差限 ln( y ) ? ln( y * ) 。2 解：当 x = 30 时求 y = 30 ? 30 ? 1 ，用六位开方表得y* = 30 ? 29.9833 = 0.0167 = 10 ?1 × 0.167 ，其具有 3 位有效数字。故y ? y* ≤由 z = g ( y ) = ln( y ) ，得 g ′( y ) =1 1 1 × 10 k ? n = × 10?1? 3 = × 10 ? 4 。 2 2 2 1 y ? y* * ，故 z ? z ≈ 。于是， y y ≈ 0 .5 × 10 ? 4 ≤ 0.3 × 10 ? 2 。 0.0167z?z ≈*y ? y* y*若用公式 f ( x) = ? ln( x +x 2 ? 1) ，令 y = x + x 2 ? 1 ，此时 z = g ( y ) = ? ln( y ) ，则y* = 30 + 29.9833 = 59.9833 = 10 2 × 0.599833 ，其具有 6 位有效数字。故 y ? y* ≤而 z?z ≈*1 1 1 × 10 k ? n = × 102 ? 6 = × 10 ? 4 。 2 2 2y ? y* 。于是， yz ? z* ≈ y ? y* y*≈0 .5 × 10? 4 ≤ 0.834 × 10 ? 6 59.9833可见，用公式 f ( x) = ? ln( x +x 2 ? 1) 计算更精确。9．解：方法（1）的误差由 Taylor 展开可得， e 解 0 之间。而方法（2）得误差是?5? a1 ≤eη × 510 ，其中η 在 ? 5 与 10!? 9 5 e ? ? 9 5 ? e ?5 ? a1 = ? ∑ + × 510 ? ? ? ∑ ? ? i! 10! ? ? i! ? ? i =0 ? ? i =0 ?i iζ?1?1eζ × 510 10! = ?1 ?1 i ζ 9 ? 5 e ? 9 5i ? 10 ? ?∑ + ? i! 10! × 5 ? ? ? ∑ i! ? ? ? ? ? i =0 ? ? i =0 ?510 ζ 510 ζ ? 5 ?e ?e = 10! 9 i = 10! i ，其中 ? 5 & ζ ? 5 & 0 。 ? 5 ? ? 9 5 ? e5 ? ? ∑ ? ? ∑ ? ? i! ? ? i! ? ? i =0 ? ? i =0 ?由此可知方法（2）得误差是方法（1）的1 1 ≈ 倍，故方法（2）给出较准确的 i ? 5 ? 143.7 ?∑ ? ? i! ? ? i =0 ?9近似值。 10．解：所给出的 5 个公式可分别看作f ( x ) = ( x ? 1) ， f1 ( x ) = ( x + 1) ， f 2 ( x ) = (3 ? 2 x ) ， f 2 ( x ) = (3 ? 2 x ) ，6 ?6 3 3f 3 ( x ) = (3 + 2 x ) ， f 4 ( x ) = 99 ? 70 x?3取x=2 的近似值 a = 1.4 时，相应函数的计算值。而 2 ? a ≤ 0.02 = ε 。利用函数计算的误差估计公式可得：f( 2 ) ? f (a ) ≈ f ′(a ) 2 ? a ≤ 6 a ? 1 ? ε ≤ 6 × 0.4 ε ≤ 0.06144ε ； f ( 2 ) ? f (a ) ≤ 6 a + 1 ? ε ≤ 6 × 2.4 ? ε ≤ 0.01308ε ； f ( 2 ) ? f (a ) ≤ 6 3 ? 2a ? ε ≤ 6 × 0.4 ? ε ≤ 0.24ε ； f ( 2 ) ? f (a ) ≤ 6 3 + 2a ? ε ≤ 0.005302 ? ε ；5 5?7 ?711222?433f4( 2 ) ? f (a ) ≤ 70 ? ε 。由此可见，使用公式4(3 + 2 2 )13计算时误差最小。11．以（2）和（3）为例其它同理 解： （2）只需取x+1 1 ? x? = x x2? 1 1? x? x+ + x? ? ? x x? ? ?；（3）∫N +1 Ndx 1 。 = arctg ( N + 1) ? arctgN = arctg 2 1+ x 1 + N ( N + 1)注：令 α = arctg( N + 1),β = arctgN ，则 tgα = N ， tgβ = N + 1 。tgα ? tgβ 1 + tgα ? tgβ。得由 于 α ? β = arctg ( N + 1) ? arctgN ， 由 差 角 公 式 ： tg (α ? β ) =α ? β = arctgtgα ? tgβ 1 ，进而有 arctg( N + 1) ? arctgN = arctg 。 1 + tgα ? tgβ 1 + N ( N + 1)
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