在线性中，合同的定义是什么
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个实对称矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。合同变换，两个是对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得　　，就称矩阵A和B合同，并且称由A到B的变换叫合同变换。
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线性代数：一切为了更好的理解
线性代数是数学工具
掌握它，打开数学的另一扇大门
非原创，笔记系诞生于10年前的孟岩先生的《理解矩阵》篇。
原文链接：===&
为什么会今天被我看到，进而进行了整理。
因为，此刻，线性代数已经不再是用来应付考试的一门普通数学科目。它已经成为了阻碍继续精进的巨大“石块”，所以需要移去。问题转换成为了主动遇到的问题。
回过头可以再继续看任何一本线性代数教材：线性空间与线性变换篇。
此刻线性代数没能成为你的问题的话，看这篇笔记的收获并不会很大。
系学习编程技术的“小学生”，有错误欢迎斧正。
下面的笔记整理系知识点的说明.
主要的内容：
线性空间，基
矩阵，矩阵乘法
变换，线性变换
2.1： 坐标系
概念：在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”.
作用：为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等
说明：最为常见的是数学中建立坐标系解决几何问题，假如我们在A4纸面上进行建立坐标，原则上，建立原点，纸面上的另一个点都能进行用坐标点进行描述。
2.2：三维空间
概念：三维空间：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。
存在很多位置点
位置点存在相对关系
空间点可以定义长度，角度等
这个空间点可以从一个点移动(变换)到另一个点
2.3：空间与线性空间
孟岩先生认为：空间中最重要的特征是：可以存在一个点移动(变换)到另一个点。
“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
空间是一个对象的集合，集合元素对象间可以存在某些相互变换关系。
Paste_Image.png
线性空间是上述定义空间中的一种，也存在上述的特征。
线性空间中任何一个对象，选取基和坐标，可以用向量的形式进行表示。
正规的数学中对线性代数的定义：
Paste_Image.png
线性空间是一个对象的集合
线性空间元素对象中存在相互关系(加法，乘法)
引出问题：线性空间中的任意元素如何表示？
数学定义：
Paste_Image.png
在二维空间中举的坐标的例子，可以看做是A点移动到B点位置的时在坐标系下的表示为B点的坐标值,一方面B点可以表示二维坐标系中的一个点坐标，同时可以表示为点A坐标的变换后在坐标系中的表示。这种变换我们使用了数量关系2达到了实现。
上述基术语的定义指出了线性空间中的任一元素要表示出来需要基，但是基的定义不唯一，但元素间需要符合线性无关的性质
引出问题：那么线性空间元素间的关系如何表示？
在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
孟岩先生认为：矩阵的本质是运动的描述
这种运动并不值连续意义上的运动，而是指某种“跃迁”.而这种跃迁的形式在线性代数里指：线性变换
2.4：线性变换
线性变换指的空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。
那么谁来表示这种变换的形式呢？
矩阵：是线性空间里变换的描述形式。
梳理下思路：
基是一组向量，可以看成是线性空间的坐标系(类比二维空间坐标系的建立不唯一，所以基也不唯一，二维，三维坐标轴相互垂直，类比组成基的向量线性无关)
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”(类比上述例子中坐标点A和B的转换关系是2倍的关系，这个2描述的就是二维空间点坐标变换的形式，多维空间是矩阵形式。)
由于基的不唯一性，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
如何表示出同一线性变换的描述形式呢？
再次举例：
Paste_Image.png
实际上这两个点的位置并没有发生变换,仅仅只是坐标系的变换。
下述矩阵以方阵为例：
Paste_Image.png
上述讲述的其实是相似矩阵，这表示的是同一个线性变换的不同的描述矩阵。
矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
Paste_Image.png
可以理解为矩阵把两个向量之间进行了连接。基于此，可以实现不同坐标之间的变换。
2.5：再次理解矩阵
给出结论：
矩阵描述了一个坐标系。
“运动等价于坐标系变换”。
“对象的变换等价于坐标系的变换”。
“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”
Paste_Image.png
上述式子可以理解为：“有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为A，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是B。”
Paste_Image.png
上述式子可以理解为：“在M坐标系里量出来的向量A，跟在I坐标系里量出来的向量B,是同一个向量。
那如何度量坐标系M中向量A在I单位坐标系下的度量：
Paste_Image.png
希望不要被误导了...
可以这么理解线性代数中关于矩阵，线性空间，线性变换等的概念
但是：上文只是帮助理解，却实际上解决不了你的实际遇到的问题，在理解层面上再继续使用线性代数工具吧...
假设此刻矩阵等概念成为你的问题，建议观看
没人吐槽简书数学公式的编辑么？
上海大学2017级研究生毕业.
Pythoner、Gopher
微信公众号：Siwei_Jingjin
Github: https://github.com/wuxiaoxiaoshen
最原始出处：http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511 （CSDN孟岩的博客） 本文转自：http://www.fuqingchuan.com/.html 非常精彩的文章，对直观理解矩阵的本质很有帮...
理解矩阵一：转载自：http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在...
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线性代数到底是解决什么问题的?所有的老师在讲矩阵的定义时都是讲它们是排在一起的一个表,它到底是干吗用的?为什么从没有见过一个老师举一个现实中的例子呢?到底线性代数中的知识对应的几何意义或者物理是什么呢?它有没有对应的几何意义或者物理意义呢?不要复制,我要听本质!是本质!
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- 线性代数到底是解决什么问题的?线性代数本身是研究线性空间及映射结构的,如果从解决问题的角度讲,线性代数是一种速记语言,用于描述一些其它问题,所以可以让某些问题解决起来更容易.- 所有的老师在讲矩阵的定义时都是讲它们是排在一起的一个表即使你没有碰到好的老师,也不要随意推断其他老师的讲解方式.- 它到底是干吗用的?矩阵既可以用来速记一组数（表象）,也可以用来完全刻画有限维空间之间的线性映射（这个就是本质,自己去理解）.- 为什么从没有见过一个老师举一个现实中的例子呢?参见第二个问题.- 到底线性代数中的知识对应的几何意义或者物理是什么呢?参见第三个问题.线性代数在现实当中用得最多的地方就是求解经过离散化的微分方程,而这些微分方程的主要来源是物理,从实际问题到物理模型到数学模型经常需要很多级近似,一直到离散化以后的最后一步才会用上线性代数.
首先，矩阵本身显然是有限维空间之间线性映射，这个是平凡的，直接用定义验证就行了。
反过来，如果有两个有限维线性空间X和Y（当然要在同一个域上），X->Y的任何线性映射T都可以用矩阵表示出来，选定X和Y的基之后T的表示矩阵是唯一确定的，这样矩阵就可以用来刻画T。本来X、Y、T都很抽象，基的作用就是把抽象的向量用具体的坐标来表示，X和Y的基都给定之后T可以用矩阵表示，这样所有抽象的量都可以转化为很具体的量进行研究。
至于相抵变换、合同变换、相似变换，这些变换的目的是为了让矩阵的形式更简单，更易于研究。
另外，由于矩阵本质上就是线性映射，矩阵的乘法就是复合映射，所以有结合律但是一般没有交换律。学过线性映射之后应该自己回过去理解一下矩阵乘法的定义。
从学习方法的角度讲，不能太依赖老师和教材，要自己多思考。好的老师好的教材固然可以帮你省掉很多时间，但是即便如此自己多思考仍然是有必要的。
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[第1课]矩阵简介
矩阵乘法(一)
矩阵乘法(二)
矩阵的逆(一)
矩阵的逆(二)
矩阵的逆(三)
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矩阵法求向量组合
三元线性方程
求解三元方程组
直线的参数表示
线性组合和向量张成的空间
关于线性无关
线性无关的进一步介绍
线性无关的相关例题
线性子空间
线性代数——子空间的基
向量的点积和模长
向量点积的性质及证明
不等式的证明
三角不等式
向量夹角的定义
R3中由点与法向量定义的平面
外积与夹角正弦值的关系
点积与外积的比较
矩阵行简化阶梯型1
矩阵行简化阶梯型2
矩阵行简化阶梯型3
讲解矩阵与向量的乘法定义
矩阵的零空间的定义与性质
矩阵的零空间的计算
零空间与线性无关间的关系
讲解矩阵的零空间的定义与性质
零空间与列空间
通过求出两个列向量的叉乘积求出平面的方程
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求一个矩阵的零度的方法是将该矩阵化成阶梯型A，求Ax=0自由变量的个数即是零度。
通过把一个矩阵化成阶梯型，进而求出不相关主列的个数即秩
通过证明Rx=0和Ax=0中零空间的一致性，推出基底列和主列的关系。
从五个向量中选取了三个向量，证明了其符合张成C(A)空间的两个条件。
更加深入地探讨函数概念。
将函数的定义域范围从数字推广到了向量，用T代替f，、。
介绍了变换中一类特殊的变换----线性变换满足的两个条件。
本节讲述矩阵向量乘法和线性变换之间的关系。
介绍如何将一个线性变换表示成向量与矩阵乘积的形式。
通过线性变换将R2中的三角形映到R2中的另一个三角形
本节视频讲述子空间的变换 以及变换的像空间的概念。
介绍值域的子集合关于某个变换的原像的概念
线性变换中关于原像和核的定义及相关例题
介绍线性变换的加法运算规则和数乘运算规则。
详细介绍矩阵加法和标量乘法。
构造一种变换使得一个三角形翻转并在y方向上伸长。
线性变换的实例。
对R2中做旋转变换的扩展
介绍了单位向量的概念，以及构造与给定向量同向的单位向量的方法。
本集介绍了向量到直线投影的定义、几何含义及求法。
详细计算了投影到直线的情况。
介绍了两种线性变换及其复合变换。
验证复合变换的变换矩阵等于两个线性变换对应的变换矩阵的乘积。
举例来说明矩阵乘积问题，并从变换角度来看矩阵乘积问题。
利用线性变换证明两个或两个以上矩阵乘法满足结合律。
考察矩阵乘法的又一个性质。
介绍了逆函数的概念并证明了其性质。
利用函数可逆性的定义从两个方向相互证明一个函数f的可逆性和f(x)=y解的唯一性是等价的这一命题。
介绍满射函数和单射函数是如何定义的
证明一个函数是可逆的当且仅当它是一个映上的而且是一对一的函数。
通过这个变换的对应矩阵的维数可以判断变换是否是满射
通过线性变换求解Ax=b的解集。
介绍并论证矩阵在1-1映射下进行变换的条件。
某变换可逆的两个满足条件，以及条件所隐含的几何意义。
利用线性变换满足的两个条件：T(a+b)=T(a)+T(b) 和 T(ca)=cT(a)
（a和b都是同一集合中的向量）来证明逆矩阵是线性变换。
根据逆矩阵本身的定义：从值域到定义域的映射，利用增广矩阵及行变换来求出一个矩阵的逆矩阵。
通过上一课得到的方法，实际运用试求逆矩阵。
通过前两课学习的方法，用2×2矩阵的一般形式推导2×2矩阵的逆矩阵的一般形式以及2×2矩阵行列式的求法。
基于上一节课所学的2×2矩阵的行列式求法，寻求3×3矩阵行列式的求法。
本课介绍了递归的思想，通过递归定义以及前两课提及的最基本的2×2矩阵行列式的求法，推广出n×n矩阵一般形式的行列式求法。
上节课介绍了求矩阵行列式的基本方法，我们举的例子是沿着第一行算。这节课我们探索其它求矩阵行列式的方法，不仅仅是可以沿着第一行，而是能够任意挑选一行或一列，以达到简化运算的目的。
利用增广矩阵简单记忆求行列式公式。
探寻当矩阵的其中一行乘以一个系数k时行列式与原行列式的关系：即为原行列式的k倍。
对于上节课标记错误的一点修正。
当有三个矩阵X Y Z，出了某特定第i行以外全部相等，而Z的第i行为X和Y的第i行相加得到时，三个矩阵的行列式有如下规律：det(Z)=det(X)+det(Y)86.
矩阵有重复的行或列，行列式为0。
进行行变换不改变矩阵的行列式。
上三角矩阵行列式的求解。
一个4×4矩阵化简成上三角矩阵，并求解行列式。
求解由两个向量构造的平行四边形的面积。
一个区域在线性变换下映射到另一个区域，这两个区域的面积比就是变换矩阵的行列式的绝对值。
求解矩阵的转置矩阵。
方阵进行转置，行列式不变。
矩阵乘积的转置等于矩阵调换顺序之后分别做转置的乘积。
转置矩阵加法与求逆过程的运算一般性质。
向量转置的基本运算及重要性质。
通过例子讲解行空间与左零空间的定义。
由一个在R3中的例子而直观地看出左零空间和行空间。
讲解一般情形下的子空间V的正交补的定义性质及计算方法。
通过计算A与A的转置的的列空间的基向量的个数而证明出矩阵A的秩等于A的转置的秩。
通过计算子空间V的列空间的维数和左零空间的维数而证明出V的维数与V的正交补空间的维数的和等于n
找出子空间V的列空间的一组基和V的左零空间的一组基 并证明出它们合起来就是Rn的一组基
研究一个子空间与其正交补空间的正交补空间的关系并证明
给出零空间的正交补并证明
求方程Ax=b在行空间中的唯一解并证明其唯一性
用几何方法从图像上讨论方程Ax=b在行空间中的解
证明A'A可逆
介绍子空间上投影的概念并用投影的方法计算方程的解
将子空间上投影的定义应用于平面并从几何上来描述
证明子空间上的投影本质上是一个线性变换
R4中关于子空间投影矩阵的例子
求投影矩阵的一种简单方法
证明一个向量在子空间中的投影是该子空间的所有向量中距离原向量最近的向量
介绍最方程Ax=b小二乘解的定义及几何意义
利用最小二乘原理求到三条直线交点距离之和最小的点
利用最小二乘原理求过平面上四个点的直线的最佳逼近
定义一个向量在给定的一组基下的坐标
利用基的变换矩阵求一个向量在一组基下的坐标
在基向量的变换矩阵是可逆的条件下，一个向量在标准基下的坐标可以与它在其他基下的坐标相互转换
当把标准基底变成一个随意选取的基底时，线性变换矩阵也随之变换且和原来的矩阵有一定关系
本节视频是用一个具体的例子验证上节视频结论是否成立
本节视频是延续上一讲，用一个具体例子证明了所得结论是成立的，并且指出了选取恰当基底的重要性
本节视频从一个具体的变换（反射变换）出发，通过改变基底向量，使得求解变换矩阵A变得更简单。
本节引出了一类特殊的基底---标准正交基，并证明了它两个基本性质
本节介绍了标准正交基下求解坐标方法的特殊性和简洁性，并用一个具体的例子验证了这个结论。
利用正交基做向量到子空间上的投影
使用正交基计算向量到子空间上的投影矩阵
用改变基底的方式来计算镜像变换的矩阵
正交矩阵具有保角和保长度的性质
通过空间的一组非标准正交基获得一组标准正交基的常见作法
通过一个求平面上的一组标准正交基的例子掌握Gram-Schmidt过程
再次用Gram-Schmidt过程求解一组标准正交基
通过几何直观引入特征值和特征向量的概念并简介它的主要用途
证明求解特征值问题转化为求解行列式等于0下的λ这一等价命题
求解一个2×2矩阵的特征值：通过求解2×2矩阵的特征值获得求解一般方阵的特征值的方法
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个矩阵的特征向量及它的特征空间
用特征多项式求解方程确定3×3矩阵的特征值
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个3×3矩阵的特征向量及它的特征空间
通过求变换矩阵的特征向量获得一组基从而构建很好的坐标系
将三个向量a b c的外积a×b×c展开成用内积表示的形式
介绍在已知具体的平面方程的情况下如何求出该平面的法向量
推到点到平面的距离公式并进行应用
求两个相互平行的平面之间的距离
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：理工类有三门基础课，一门是微积分，一门是概率与统计，另外的一门就是线性代数了。在这个课程里面，主讲者介绍了线性代数的很多内容，包括：矩阵，线性方程组，向量及其运算，向量空间，子空间，零空间，变换，秩与维数，正交化，特征值与特征向量，等等。以上这些内容是线性代数的关键内容，它们也被广泛地应用到现代科学当中。本课程的特点是每个专题都单独开设一个视频。观众无需从头到尾持续观看，可以有的放矢地选择自己感兴趣的章节来学习。
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