求证为判断函数奇偶性性

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-25 09:05 标签： 函数的奇偶性教案
求证函数的奇偶性（要过程）_百度知道
求证函数的奇偶性（要过程）
1，f(x)=x²+x 2，f(x)=1/x-13、f(x)=1/x²-1
先判断函数定义域1.定义域为全体实数，可判断奇偶2定义域为X≠0，关于原点对称，可以判断3定义域为X≠0，关于原点对称，可以判断1.f(-x)=（-x）²-x=x²-x不等于f（x），也不等于-f（x），所以非奇非偶2.f(-x)=1/（-x）-1≠f（x），也不等于-f（x），所以非奇非偶3.f(-x)=1/[(-x)^2-1]=1/(x^2-1)=f(x)所以是偶函数
采纳率：79%
【俊狼猎英】团队为您解答f(-x)=f(x)时,f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)时，f(x)是奇函数1，f(x)=x²+xf(-x)=(-x)²+(-x) =x²-x
所以，f(x)是非奇非偶函数2，f(x)=1/x-1f(-x)=-1/x-1所以，f(x)是非奇非偶函数3、f(x)=1/x²-1f(-x)=1/(-x)² - 1 =1/x²-1 =f(x)所以，f(x)是偶函数
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（本题9分）函数（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：在定义域内恒为正。
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提问人：匿名网友
发布时间：
（本题9分）函数（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：在定义域内恒为正。
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，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是_百度知道
已知函数f（x）=
，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是
已知函数f（x）=
，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．
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解：由题意知：（1）f（x）是奇函数．证明：∵对
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数 （2）任取x 1 ，x 2 ∈R，设x 1 ＜x 2 则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =
∵x 1 ＜x 2 且f（x）=2x为增函数，∴
∴f（x 1 ）﹣f（x 2 ）＜0故，函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．
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函数奇偶性
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒推其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
函数奇偶性定义
一般地，对于
⑴如果对于函数
定义域内的任意一个x，都有
就叫做。关于y，
⑵如果对于函数
内的任意一个x，都有
，那么函数
就叫做。关于，
如果对于函数定义域内的任意一个x，都有
，（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数
既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得
，存在一个b，使得
，那么函数
既不是奇函数又不是偶函数，称为。
定义域互为，定义域必须关于
既是奇函数，又是偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与
比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数
在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于。
⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如
]（定义域不关于原点对称）
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如
注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有
是既奇又偶函数
函数奇偶性特征
函数奇偶性概述
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
函数奇偶性奇函数
定理 奇函数
图象关于原点成
f(x）为奇函数&=&f(x）的图象关于原点对称，如图：
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数图像关于原点对称
函数奇偶性偶函数
定理 偶函数
的图象关于y轴成
f(x）为偶函数&=&f(x）的图象关于Y轴对称，如图
点（x,y）→（-x,y）
偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。
偶函数关于Y轴对称
函数奇偶性证明方法
1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数
2、用求和（差）法判断：
若f（x）-f（-x）=2f（x），则f（x）为奇函数。
若f（x）+f（-x）=2f（x），则f（x）为偶函数。
3、用求商法判断
=-1,（f（x）≠0）则f（x）为奇函数
=1,（f（x）≠0）则f（x）为偶函数
函数奇偶性性质
1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定
义域内非单调函数）。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数） 偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.
4、对于F（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数。
若g(x）是奇函数且f(x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
函数奇偶性要点诠释
[1]奇偶性是整体性质；
[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)-f(-x)=0，
（f（x）≠0）
f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)+f(-x)=0；
（f（x）≠0）
[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
[5]既是奇函数，又是偶函数的函数有无数个，只要f（x）=0，且定义域关于原点对称即可
函数奇偶性常用结论
（1）奇函数在的单调区间内有相同的
偶函数在对称的内有相反的单调性
（2）若f（x+a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称
若f（x+a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
．奇函数-百度百科[引用日期]
．偶函数-百度百科[引用日期]
清除历史记录关闭怎么证明f（x）=2的x次方的奇偶性_百度知道
怎么证明f（x）=2的x次方的奇偶性
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函数f(x)=2^x的定义域为R,f(-x)=2^(-x)=(1/2)^x∵f(-x) ≠f(x),且f(-x) ≠ -f(x),∴函数f(x)既不是奇函数,又不是偶函数.
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