1.2 数列的极限一、根据数列极限的定义证明下列极限：(-1)n（1）lim=0；n→∞n2（2）lim2n-32=； n→∞5n+15（3）lim(n+1-n→∞n)=0；（4）limsinn=0.
n→∞n二、设{xn}为一数列，（1）证明：若limxn=a，则lim|xn|=|a|； n→∞n→∞（2）问：(1)的逆命题“若lim|xn|=|a|，则limxn=a”是否成立？若成立，证明之；n→∞n→∞若不成立，举出反例.四川大学数学学院高等数学教研室编 1学院
1.2 数列的极限 证明：（1）根据limxn=a, 对任意ε，存在N&0, 当n&N时|xn-a|&ε. n→∞由于||xn|-|a||&|xn-a|&ε，所以lim|xn|=|a|。 n→∞（2）不成立。例如lim|(-1)|=1,lim(-1)不存在。 n→∞n→∞nn三、判断下列命题的正误：（1）若数列{xn}和{yn}都收敛，则数列{xn+yn}必收敛.（√ ）（2）若数列{xn}和{yn}都发散，则数列{xn+yn}必发散.（× ）（3）若数列{xn}收敛，而数列{yn}发散，则数列{xn+yn}必发散.（√ ）四、证明：对任一数列{xn}，若limx2k-1=a且limx2k=a，则limxn=a. k→∞k→∞n→∞证明：根据limx2k-1=a, 对任意ε，存在N1&0, 当k&N1时|x2k-1-a|&ε; k→∞根据limx2k=a,存在N2&0, 当k&N2时|x2k-a|&ε. k→∞取N=2max(N1,N2)+1，当n&N时|xn-a|&ε，所以limxn=a。 n→∞四川大学数学学院高等数学教研室编 2学院
1.3 函数的极限一、根据函数极限的定义证明下列极限：（1）lim(5x+2)=12；x→22（2）limx=4； x→2证明：对任意ε&0，(|x-2|&1)
|x-4|&|x-2|&ε取δ=min(1,ε)，当0&|x-2|&δ, |x-4|&ε，所以limx=4。 x→2222x2-4=-4.（3）limx→-2x+2二、证明lim(4x-1)=11，并求正数δ，使得当|x-3|&δ时，就有|(4x-1)-11|&0.001. x→3当ε=0.0001，δ=0.000025三、根据函数极限的定义证明下列极限.（1）lim1=0； x→∞x2四川大学数学学院高等数学教研室编 3学院
1.3 函数的极限 （2）limcosx=0； x→+∞xx21=. （3）lim2x→∞2x+12四、证明limx→+∞x=1，并求正数X，使得当x&X时，就有|x-1x-1|&0.01. x-1当ε=0.01，X=10000.五、证明：limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=A且limf(x)=A. x→∞x→-∞x→+∞证明：(充分性)根据limf(x)=A，limf(x)=A.对任意ε&0，存在X1&0,X2&0，x→-∞x→+∞当x&X1或x&-X2时，|f(x)-A|&ε。取X=max(X1,X2)，当|x|&X,|f(x)-A|&ε，所以limf(x)=A。 x→∞(必要性)显然四川大学数学学院高等数学教研室编 4学院
1.3 函数的极限六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：（1）limarctanx，limarctanx 和 limarctanx；x→-∞x→+∞x→∞（2）limsgnx，limsgnx 和 limsgnx x→-∞x→+∞x→∞解: limsgnx=-1，limsgnx=1 ， limsgnx不存在 x→-∞x→+∞x→∞（3）lime，lime 和lime. x→-∞x→+∞x→∞xxx解: lime=0，lime=+∞ ，lime不存在 x→-∞x→+∞x→∞xxx七、证明：若limf(x)存在，则函数f(x)在x0的某个去心邻域内有界. x→x0证明：设limf(x)=A，.对ε=1，存在δ&0,当0&|x-x0|&δ时，|f(x)-A|&1。 x→x0即1-A&f(x)&1+A，函数f(x)在x0的某个去心邻域内有界.八、证明：函数f(x)当x→x0时的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限均存在并且相等，即 limf(x)=Alimf(x)=A=lim+f(x). -x→x0x→x0x→x0证明：(充分性)根据lim-f(x)=A=lim+f(x).对任意ε&0，存在δ1&0,δ2&0，当x→x0x→x0-δ1&x-x0&0或0&x-x0&δ2时，|f(x)-A|&ε。取δ=min(δ1,δ2)，当0&|x-x0|&δ,|f(x)-A|&ε，所以limf(x)=A。 x→x0(必要性)显然 九、设f(x)=|x|，求limf(x)，limf(x)和limf(x) . -+x→0x→0x→0解 ：limf(x)=1,limf(x)=1,limf(x)=1. -+x→0x→0x→0十、设f(x)=sgnx，求limf(x)，limf(x)和limf(x). -+x→0x→0x→0解 ：limf(x)=-1,limf(x)=1,limf(x)不存在. -+x→0x→0x→0四川大学数学学院高等数学教研室编 5学院
1.4 无穷小与无穷大一、填空题（1）当x→ ∞
时，11是无穷小；当x→ 1
时，是无穷大. x-1x-11x1x（2）当x→
0- 时，e是无穷小；当x→
0+ 时，e是无穷大.（3）当x→
1 时，lnx是无穷小；当x→
0+ 时，lnx是负无穷大； 当x→__+∞
时，lnx 是正无穷大.二、选择题当x→0时，函数（A）无穷小；
11cos是（ D ）. xx
（B）无穷大；（C）有界的，但不是无穷小；
（D）无界的，但不是无穷大.+∞)内无界，但当x→+∞时，f(x)不是无穷大. 三、证明函数f(x)=xsinx在(0，取xk=2kπ,(k&0),f(xk)=0，当x→+∞时，f(x)不是无穷大.四、判断下列命题的正确性：（1）两个无穷小的和也是无穷小.
（ √ ）（2）两个无穷大的和也是无穷大.
（ × ）（3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大.
（4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（ √ ） （ × ） （ × ）（6）无穷大与无穷大的积也是无穷大.
（ √ ）五、举例说明：（1）两个无穷小的商不一定是无穷小； （2）无限个无穷小的和不一定是无穷小.6四川大学数学学院高等数学教研室编学院
1.4 无穷小与无穷大六、根据定义证明：（1）当x→0时，f(x)=xsin+1x1为无穷小； x（2）当x→0时，f(x)=e为无穷大；（3）当x→-∞时，f(x)=e为无穷小.x四川大学数学学院高等数学教研室编 7学院
1.5 极限运算法则一、算下列极限:x2-3x+1x2-4（1）lim(3x-2x+4)；
（2）lim；
（3）lim； x→2x→1x→2x-2x2-22解：（1）lim(3x-2x+4)=3o2-2o2+4=12；x→22231xn-1(x+h)3-x3（4）limn是正整数）；
（5）lim(；
（6）lim.-x→11-x3x→1x-1h→0h1-x二、计算下列极限：113x2+1（1）lim(3-2+2；
（2）lim2；x→∞x→∞4x+x-1xxx2+x+13x2+x-5（3）lim3；
（4）lim；x→∞5x-x2+1x→∞10x+1四川大学数学学院高等数学教研室编 8学院
1.5 极限运算法则12n-11+a+a2+...+an（5）lim(2+2+...+2；
（6）lim(|a|&1，|b|&1)；2nn→∞nn→∞1+b+b+...+bnn1112n+3n（7）limn+1lim(...).；
（8）+++222n+1n→∞n→∞2n+1n+2n+n+3x2-ax-b)=0，求a,b的值. 三、若lim(x→∞x+1四、若lim(x→1ax3-=，求a的值. 21-x1-x2当a=2时，limx→1五、计算下列极限：x2+x+1（1）lim2； x→1x+x-2四川大学数学学院高等数学教研室编 9学院
1.5 极限运算法则（2）lim(5x-4x-3)； x→∞2x3-5x2+1.（3）lim2x→∞4x+6x+5六、计算下列极限： （1）lim(x-1)cosx→121；（2）limxsinx→03；（3）lim. 2x→∞?x≤1?x,,分别求函数f(x)在x=-1与x=1的左极限、右极限和极限. 七、设f(x)=?2??x-5,x&1解：lim-f(x)=lim-(x-5)=-4,lim+f(x)=lim+(x)=-1,limf(x)不存在 x→-1x→-1x→-1x→-1x→-12limf(x)=lim(x-5)=-4,limf(x)=lim(x)=1,limf(x)不存在 --++2x→1x→1x→1x→1x→1x2n-1八、设f(x)=lim2n，试求f(x)的表达式. n→∞x+1四川大学数学学院高等数学教研室编 10学院
1.5 极限运算法则?-1|x|&1所以f(x)=??1|x|&1??0x=±1四川大学数学学院高等数学教研室编 11学院
1.6 极限存在准则两个重要极限 一、利用夹逼定理求下列极限：111...)； +++22n→∞2； （2）lim(2+2+...+2n→∞2（3）lim(arctanx)；x→∞x（1）lim(二、证明：lim2+3=3.n→∞nn三、a=max{a1，a2，...，am}(ak&0，k=1,2,...,m)，证明=a.n四、设a&1，证明limn=0.n→∞an五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限： （1）x1=x2=...,xn=...；证明: (I)使用数学归纳法证明单调性: xn-1&xn四川大学数学学院高等数学教研室编12学院
1.6 极限存在准则两个重要极限(2) 假设xn-1&xn成立,则所以数列单调增加.(II)使用数学归纳法证明有界性: xn&2(2) 假设xn&2成立,则所以xn&2.(III)设limxn=a，
n→∞（2）x1=1，x2=1+xn-1x1，...，xn=1+.... 1+x11+xn-1证明: (I)使用数学归纳法证明单调性: xn-1&xn(1) 当n=2, 显然成立;(2) 假设xn-1&xn成立, 则所以数列单调增加.(III)设limxn=a，
n→∞四川大学数学学院高等数学教研室编 13学院
1.6 极限存在准则两个重要极限xnyn，yn+1=xn+yn. 2六、设x1=a，y1=b(0&a&b)，xn+1=（1）证明数列{xn}单调增加，数列{yn}单调减少且满足xn&yn(n=1,2,...)；（2）证明数列{xn}和{yn}都收敛，并且有相同的极限.七、计算下列极限：（1）limsin3x； x→04x（2）limsinαx(α,β≠0)； x→0sinβx（3）limxsinx→∞πx；（4）limsinx； x→ππ-x四川大学数学学院高等数学教研室编14学院
1.6 极限存在准则两个重要极限（5）limx→01-cosx；xarctanx（6）lim+x→0；n（7）lim2sinn→∞1. n八、计算下列极限：（1）lim(1+n→∞1n； n+1（2）lim(1+x→∞2x+5； x（3）limx-x； x→0（4）lim(x→∞x)； 2x+1（5）lim(1+tanx)x→02cotx；解: lim(1+tanx)x→02cotx=lim[(1+tanx)cotx]2=e2 x→0四川大学数学学院高等数学教研室编 15学院
1.6 极限存在准则两个重要极限（6）lim(1-n→∞1n).n2九、已知lim(1+ax)x→01x=2，求a的值.?sin2xx&0??x十、设f(x)=?，求f(0-0)，f(0+0)和limf(x). 2x→0x?x&0??1-cosxlimf(x)=2 x→0?tanax，x&0?十一、设f(x)=?x，已知limf(x)存在，求a的值. x→0?x2+x，x≥0?四川大学数学学院高等数学教研室编 16学院
1.7 无穷小的比较一、比较下列各对无穷小：（1）1-x与(1-x) (x→1)； （2）1-x与1-x(x→1)；（3）1-cosx与x(x→0)；
（4）tanx-sinx与x(x→0).2222322当x→0时tanx-sinx是x的高阶高阶无穷小.二、证明：当x→0时，有：（1）arcsinx~x；x3。 （2）tanx-sinx~2三、利用等价无穷小代换计算下列极限：arctanx2（1）lim； x→0xsinx（2）limxsinx→∞1； 2x四川大学数学学院高等数学教研室编 17学院
1.7 无穷小的比较（3）lim+x→01-cosx。x(1-cosx)四、当x0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小？（ D ）（A）x；
（B）1-cosx；
（C）-x-1；
（D）x-tanx.五、证明：若α是β的高阶无穷小，则α+β~22β（即“高阶+低阶”等价于“低阶”）. 六、证明无穷小的等价关系具有下列性质：（1）α~α（自反性）；（2）若α~β，则β~α（对称性）；（3）若α~β，β~γ，则α~γ（传递性）.问：无穷小的同阶关系是否具有自反性、对称性和传递性？答 ：无穷小的同阶关系具有自反性、对称性和传递性，可按照上述性质验证。四川大学数学学院高等数学教研室编 18学院
1.8-1.9连续性与间断点一、求函数y=x+3x+1，当x=1，Δx=0.1时的增量Δy.解: Δy=f(1.1)-f(1)=1.21+3.3+1-5=0.4二、求下列函数的间断点，并指出其类型：（1）f(x)=2x； sinx解: x=0,可去间断点（2）f(x)=2+22-21x1x；解: f(0-0)=-1,f(0+0)=1, x=0跳跃间断点（3）f(x)=arctan解: f(0-0)=-1. xπ2,f(0+0)=π2, x=0跳跃间断点 x2-1三、求函数f(x)=2的连续区间.x-3x+2?x+3,x≤1四、求函数f(x)=?的间断点和连续区间，并确定间断点的类型. 2x+5,x&1?解: 连续区间: (-∞,1),(1,+∞), x=1跳跃间断点?x2-16,x≠4?五、设函数f(x)=?x-4在(-∞,+∞)内连续，求a的值.?a,x=4?六、利用初等函数的连续性计算下列极限：（1）limex→0sinxx；四川大学数学学院高等数学教研室编 19日期
1.8-1.9连续性与间断点（2）limx→0+x-1； +x-1（3）lim(x+1-x→+∞2x2-1).七、判断下列命题的正确性，并对错误的命题举出反例：设f(x)和g(x)在(-∞,+∞)内有定义,（1）若f(x)和g(x)为连续函数，则f[g(x)]也为连续函数.（
）（2）若f(x)为连续函数，g(x)有间断点，则f[g(x)]必有间断点.（
）（3）若f(x)有间断点，g(x)为连续函数，则f[g(x)]必有间断点.（
）?ln(1-x),x&0?x??x=0
在点x=0的连续性. 八、讨论函数f(x)=?-1,??+x-1,x&0?x?点x=0跳跃间断点九、（1）设limf(x)=0且limf(x)g(x)存在，证明：lim[1+f(x)]（2）利用以上公式计算极限lim(1+sin). x→∞g(x)=elimf(x)g(x)； 2x20四川大学数学学院高等数学教研室编学院
1.8-1.9连续性与间断点十、设f(x)在点x0连续且f(x0)&0，试证明：存在δ&0，使f(x)&0(x0-δ&x&x0+δ).十一、设f(x)和g(x)是连续函数，试证明?(x)=max{f(x)，g(x)}和ψ(x)=min{f(x)，g(x)}也是连续函数.十二、（1）在点x0处f(x)连续,g(x)不连续,则f(x)+g(x)和f(x)g(x)在点x0是否不连续？（2）设f(x)和g(x)在点x0不连续，则f(x)+g(x)和f(x)g(x)是否在点x0不连续？ 解：（1）f(x)+g(x)不连续(反证)；f(x)g(x)不一定连续：f(x)=0，g(x)=sgn(x)(x=0)（2）f(x)+g(x)和f(x)g(x)不一定连续:?1x≥0?-1x≥0f(x)=?,g(x)=?,f(x)+g(x)=0,f(x)g(x)=-1 1x01x0-&&??四川大学数学学院高等数学教研室编 21学院
1.10连续函数的性质一、 例说明在开区间(a,b)上连续的函数在该区间上不一定有最大值和最小值，不一定是有界函数，也不一定满足介值性.数，不满足介值性.
二、证明方程2x=sinx+2至少有一个小于32的正根.三、证明方程x=asinx+b(a&0，b&0)至少有一个不超过a+b的正根.证明：令F(x)=x-asinx-b，F(0)=-b&0,F(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0所以方程x=asinx+b(a&0，b&0)至少有一个不超过a+b的正根.四、三次方程x-6x+9x-3=0有多少个实根？并指出实根所在区间. 32解：令F(x)=x-6x+9x-3，F′(x)=3x-12x+9=3(x-1)(x-3)=0 322F(1)=1,F(3)=-3有三个实根，分别位于区间(-∞,1),(1,3),(3,+∞).五、设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且f(a)&g(a)，f(b)&g(b).试证：在(a,b)内至少存在一点c，使f(c)=g(c).证明：令F(x)=f(x)-g(x)，F(a)=f(a)-g(a)&0,F(b)=f(b)-g(b)&0， 在(a,b)内至少存在一点c，使F(c)=0=>f(c)=g(c).四川大学数学学院高等数学教研室编 22学院
1.10连续函数的性质六、设f(x)在[a,b]上连续，a&x1&x2&...&xn&b.试证：存在ξ∈[x1，xn]，使f(ξ)=1[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]. n证明：设A=min{f(x1),f(x2),...,f(xn)},B=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，所以七、设f(x)在[0,1]上连续，且0≤f(x)≤1，证明至少有一点c∈[0,1]，使f(c)=c（这样的点c称为函数的不动点）.证明：令F(x)=f(x)-x，F(0)=f(0)≥0,F(1)=f(1)-1≤0，根据介值性，至少有一点c∈[0,1]，使f(c)=c。四川大学数学学院高等数学教研室编 23学院
2.1 导数概念一、设f(x)=5x，试按定义求f′(2).2二、设f(x)=1，试按定义求f′(a)(a≠0).x三、证明：(cosx)′=-sinx. 五、设f′(0)存在，则(1)limx→0f(x)-f(0)f′(0)；(2)若f(0)=0,则f′(0)x六、已知f(x)在点x0可导，且limh→0h=4，求f′(x0). f(x0-2h)-f(x0)七、讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：（1）f(x)=|sinx|；?ln(1+x),x&0（2）f(x)=?. ≤sin,0xx?四川大学数学学院高等数学教研室编 24学院
2.1 导数概念 1?αxsin,x≠0在x=0处（1）连续；?八、讨论α取何值时，函数f(x)=?（2）可导.x?x=0?0,九、设f(x)=(x-a)?(x)，其中?(x)在x=a处连续，求f′(a).十、设f(x)=(x-1)(x-2)L(x-10)，求f′(10).f′(x)=(x-2)...(x-10)+(x-1)(x-3)...(x-10)解: ,
f′(10)=9!
+(x-1)(x-2)(x-4)...(x-10)+...+(x-1)...(x-9)十一、已知f(x)=??sinx,x≤0，求f′(x). &,0xx?cosx,x≤0解: f′(x)=? ?x&0?1,十二、求曲线y=lnx在点(e,1)处的切线方程.x十三、求曲线y=e经过原点的切线方程.x解: (e)′|x=0=1,切线方程: y=x十四、设f(x)为偶函数，f′(0)存在，证明：f′(0)=0，并用函数图形解释其几何意义. 四川大学数学学院高等数学教研室编 25学院
2.2求导法则 (1)导数的四则运算一、求下列函数的导数：（1）y=x-3x+4x-a；解: y′=3x-6x+4（2）y=3sinx-4cosx+sin1；解: y′=3cosx+4sinx（3）y=lnx-2lgx+5log2x；2322（4）y=(x+1)(1-1)；x（5）y=xlnx； 1+x2（6）y=xlnx?cosx解: y′=2xlnx?cosx+x?cosx-xlnx?sinx2. 设f(x)=(1+x)arctanx，求f′(0).解: f′(x)=2xarctanx+1,f′(0)=1 222四川大学数学学院高等数学教研室编 26学院
2.2求导法则(2)复合函数反函数的导数一、求下列函数的导数：（1）y=(3x+6)；解: y′=15(3x+6)（2）y=sin2x；解: y′=6sin2x（3）y=；（4）y=ln(x+a2+x2)；3（5）y=arctan(x)；（6）y=e-cos21x. 二、设函数可导，证明： 偶函数的导数是奇函数；（2）奇函数的导数是偶函数；（3）周期函数的导数是周期函数.证明：（1）设函数f(x)为偶函数，导数，则（2）设函数f(x)为奇函数，导数，则 四川大学数学学院高等数学教研室编 27学院
2.2求导法则(2)复合函数反函数的导数（3）设函数f(x)为周期为T的周期函数，导数，则 三、设f(x)可导，求下列函数的导数：（1）y=f(e解: y′=f′(e-x2-x2) 22)e-x(-2x)=-2xe-xf′(e-x) 2（2）y=f(arcsin).1x四、求下列函数的导数：（1）y=x+x；（2）y=arcsin(1-2x)； （3）y=1+sin2x； 1-sin2x四川大学数学学院高等数学教研室编28学院
2.2求导法则(2)复合函数反函数的导数（4）y=ln(secx+tanx).五、设g(x)=f(b+mx)+f(b-mx)，其中f可导，求g′(0).解: g′(0)=m[f′(b+mx)-f′(b-mx)]六、求y=tan(πx24)在(1,1)处的切线方程.七、求y=1的经过(2,0)的切线方程.x四川大学数学学院高等数学教研室编 29学院
2.3 高阶导数一、求下列函数的二阶导数：（1）y=xlnx；2（2）y=(1+x)arctanx；解：y′=2xarctanx+1,
y′′=2arctanx+2（3）y=x[sin(lnx)+cos(lnx)]；（4）y=x.解：y′=x(lnx+1),
y′′=x(lnx+1)+x二、求下列函数的n阶导数：（1）y=x+a1x解:
y(n) = n!（2）y=sin(ax+b)nn-1xx2x-1x +a2xn-2+...+an-1x+an…………（3）y=1
ax+b四川大学数学学院高等数学教研室编 30学院
2.3 高阶导数（4）y=1-x 1+x=>y′′=2(-1)(-2)(x+1)-3=>y(n)=2(-1)nn!(x+1)-n-1三、设f(x)二阶可导，求函数的二阶导数y′′：（2）y=e（1）y=f(sinx)；f(x)2解: （1）y′=f′(sinx)cosx,y′′=f′′(sinx)cosx-f′(sinx)sinxf(x)（2）y′=ef′(x),y′′=ef(x)f′2(x)+ef(x)f′′(x)3x四、求函数y=xe的15阶导数.?f(x),x≠0? 五、设f(x)在(-∞,+∞)内有连续的二阶导数，且f(0)=0.设g(x)=?x?x=0?a,（1）确定a的值，使g(x)在(-∞,+∞)内连续；（2）求g′(x).31四川大学数学学院高等数学教研室编学院
2.3 高阶导数六、试从公式dx1=导出下列反函数的高阶导数公式： dyy′d3x3(y′′)2-y′y′′′d2xy′′=-；
（2）.=3523′′dy(y)dy(y)四川大学数学学院高等数学教研室编 32学院
2.4 隐函数参数方程求导相关变化一、求下列方程所确定的隐函数y＝y（x）的导数（1）x+y=6xy；33dy： dx（2）sin(x+y)=ycosx；2（3）ln(x+y)=arctan22y. x242二、求曲线y=5x-x在点(1,2)处的切线方程.三、证明：曲线x+y=上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为a.xy四、设函数y=y(x)满足方程e解：exy+sin(x2y)=y，试求y′(0). +sin(x2y)=y=>exy(y+xy′)+cos(x2y)(2xy+x2y′)=y′四川大学数学学院高等数学教研室编 33学院
2.4 隐函数参数方程求导相关变化x=0=>y=1=>y′=1五、列函数的导数：（1）y=xx；x（2）y=(lnx)；（3）y=+x； 1-xx(x2+1). (x-1)2（4）y=3六、设x=y，求yxdy. dyd2y和二阶导数2： 七、求隐函数的一阶导数dxdx（1）x+y=16； 44四川大学数学学院高等数学教研室编 34学院
2.4 隐函数参数方程求导相关变化（2）e=xy+3.yd2y八、已知y-xe=1，求2|x=0.dxy九、求参数方程所确定的函数y=y(x)的导数，dy： dx，y=3t+5t+1；
（1）x=t+3t+1（2）x=esint，y=ecost；（3）x=-tt353，y=.3at3at2十、求x=，y=在t=2处的切线和法线的方程. 221+t1+t四川大学数学学院高等数学教研室编35学院
2.4 隐函数参数方程求导相关变化dyd2y11. 设x=at，y=bt，求， . dxdx232?x=ln(1+t)d2y， 求2|t=0. 12. 设?y=tarctandx??x=ln(1+t2)d3y13. 设?，求3. dx?y=t-arctant2?dyd2y?x=3t+2t+3所确定的隐函数，求|t=0和2|t=0. 14. 设y=y(x)是由方程?ydxdx??esint-y+1=036四川大学数学学院高等数学教研室编学院
2.4 隐函数参数方程求导相关变化2??x=3?x=3t+2t+3,t=0=>? ?yy1=???esint-y+1=015. 一个球形雪球的体积以1cm3/min的速度减少，求直径为10cm时，雪球直径的减少速度.16. 将水注入深8m，上顶直径为8m的正圆锥形容器中， 注水速度为4m3/min，当水深为5m时，其表面上升的速度为多少？表面上升的加速度又为多少？ 四川大学数学学院高等数学教研室编37学院
2.5 函数的微分一、填空题：（1）1111dxdd； =( 2x )=(arctan2x)=d( 221+4x21+(2x)2( 2x )=d； f'(arctanx)1dxf'(arctanx)d=(arctanx)=d(f(arctanx))； 1+x22arctan3x（2（3）（4）d2=2arctanxln2d(arctan3x). 3二、计算微分：?2x?（1）d(xln+arcsin2x)；
（2）d(arctane)；
（3）d??x2+1??；??2x（4）u=u(x),v=v(x)为可导函数，求y=arctanu的微分. v三、求隐函数或参数方程决定函数的导数：（1）y=y(x)由方程xy+e=ln决定，求2yxdy. dx?x=e2t-2et+3dyd2y确定，求,2.（2）y=y(x)由参数方程?4t3tdxdx?y=3e-4e+7四川大学数学学院高等数学教研室编 38学院
2.5 函数的微分四、求arctan1.05的近似值.五、利用微分的近似公式证明：(1+证明：x)α≈1+αx. f(a+x)≈f(a)+f′(a)x=>(1+x)α≈1+αx四川大学数学学院高等数学教研室编 39学院
3.1微分中值定理 一、证明aa-a&(n+1)2lna1n+11n1n+1&a,其中a&1,n≥1.n21n3二、对f(x)=x在[-2,3]上求出满足拉格朗日中值定理的ξ.三、f(x)在[0,]上可导，则(0,)内至少存在一点ξ，使22ππf'(ξ)sin2ξ+2f(ξ)cos2ξ=0.f'(ξ)sin2ξ+2f(ξ)cos2ξ=0.四、f(x)可导，1&f(x)&4,f'(x)≠2x，则方程f(x)=x在（1，2）内有且仅有一根. 证明: 令F(x)=f(x)-x=>F(1)=f(1)-1&0,F(2)=f(2)-4&0,根据连续性, 则方程f(x)=x在（1，2）内存在一根.假设方程f(x)=x在（1，2）内存在两个不同实根,则在（1，2）内存在ξ,使得F′(ξ)=0,即f'(ξ)=2ξ,矛盾.五、f(x)为可导函数，f(0)=1,f'(x)=2f(x)，证明：f(x)=e.2x2222f(0)=1???→f(x)=e2x四川大学数学学院高等数学教研室编 40学院
3.1微分中值定理六、f(x)二阶可导，F(x)=(x-a)f(x),f(b)=0,证明：存在ξ∈(a,b)使：F''(ξ)=0. 证明：F(a)=F(b)=0=>?ξ1∈(a,b),s.t.F′(ξ1)=0 2F′(x)=2(x-a)f(x)+(x-a)2f′(x)=>F′(a)=0所以存在ξ∈(a,ξ1)?(a,b)使：F''(ξ)=0. 附加题：（1）f(x)在[a,b]上连续，（a，b）上可导，且|f'(x)|≠1,f′(ξ)eb-ea-ηe.证明存在ξ∈(a,b)及η∈(a,b),使=f′(η)b-a取 F(x)=f(x),G(x)=e,x∈[a,b] x（2）f(x)在[a,b]上可导，则存在ξ1,ξ2∈(a,b)使：(b+a)f'(ξ1)=2ξ1f'(ξ2).2取 F(x)=f(x),G(x)=x,x∈[a,b]四川大学数学学院高等数学教研室编 41学院
3.2洛必达法则 一、求下列各极限： （1）limx-ln(1+x)；x→0x1（2）limxex；x→02（3）lim?1??1+?；x→1lnx1-x??（4）lim(x→+∞π2-arctanx)1lnx；1x(1+x)1x； （5）lim[x→0e（6）lim??x1x2?a+a++ax→0n?xn??? (ai&0) ?1x四川大学数学学院高等数学教研室编 42学院
3.2洛必达法则?ex-1?x≠0 求f'(0),f''(0).二、f(x)=?x?x=0?1三、已知limx→12lnx-ax+2=b求a,b. 1+cos(πx)解: (2lnx-ax+2)|x=1=-a+2=0=>a=23四、求a,b，使x→0时f(x)=sin2x+ax+bx为尽可能高阶无穷小，并求它的阶.(2cos2x+a+3bx2)|x=0=2+a=0=>a=-2(-8cos2x+6b)|x=0=-8+6b=0=>b=4/3四川大学数学学院高等数学教研室编43学院
3.2洛必达法则x→0附加题：f(x)在x0=0处二阶可导，limf(x)+2=3,求f(0),f'(0),f''(0).2x四川大学数学学院高等数学教研室编44学院
3.3泰勒公式一、f(x)=xarctanx在x0=1处展开为二阶Taylor公式.二、f(x)=x-5x+5x+x+2展开为x-1的多项式.解: f(x)=x-5x+5x+x+2,f′(x)=4x-15x+10x+1,f′′(x)=12x-30x+10,f′′′(x)=24x-30,f2(4)(x)=24f(1)=4,f′(1)=0,f′′(1)=-8,f′′′(1)=-6,f(4)(1)=24x4-5x3+5x2+x+2=4-4(x-1)2-(x-1)3+(x-1)24三、求x→0时，无穷小量e-1-x+xsinx的阶. xsinx2+2cosx-2四、求lim. x→0x41x2x3x五、0&x&
证明e≈1+x++的绝对误差不超过0.01，并求e的误差不超226过0.01的近似值. 四川大学数学学院高等数学教研室编 45学院
3.3泰勒公式附加题：f(x)在区间[a,b]有二阶导数，且f'(a)=f'(b)=0试证明(a,b)内至少有一点ξ，使得：f''(ξ)≥4f(b)-f(a).(b-a)2?x1|f′′(x2)|&|f′′(x1)|,ξ∈(a,b), |f′′(ξ)|=max(f′′(x1),f′′(x2)) ′′′′?x2|f(x2)|≥|f(x1)|令ξ=?四川大学数学学院高等数学教研室编 46学院
3.4-3.7（1）：函数的单调性、极值和最值一、求函数的极值点和单调区间：（1）f(x)=x-3)2；f ′(x) xf(x)32+
增 0 - 0 + 9/7
极大 减 极小 增 （2）f(x)=(x-1)x+4.解: f′(x)=3(x-1)x+2x(x-1)=x(5x-2)(x-1)=0=>x=0,2/5,1,列表f ′(x) xf(x)二、证明不等式：（1）+
增 0 - 0 + 0 + 2
极大 减 极小 增无极值 增 1-x&e-2x (0&x&1)； 1+x-2x令F(x)=e(1+x)+x-1,x∈(0,1)G(x)=e2x-1-2x,G(0)=0,G′′(x)=2e2x-2&0=>G(x)&02（2）sinx+cosx&1+x-x (x&0)；证明: F(x)=sinx+cosx-1-x+x,F(0)=0 2F′(x)=cosx-sinx-1+2x&cosx-1+x四川大学数学学院高等数学教研室编 47学院
3.4-3.7（1）：函数的单调性、极值和最值 G(x)=cosx-1+x,G(0)=0,G′(x)=1-sinx≥0=>G(x)≥0F′(x)&0=>sinx+cosx-1-x+x2&0=>sinx+cosx&1+x-x2（3）f(x)在[0,c]有严格单调递减的导函数f'(x),f(0)=0，则0&a&b&a+b&c有：f(a+b)&f(a)+f(b).证明: ??f(a)=f'(c1)a=>f(a+b)-f(b)-f(a)=a[f'(c2)-f'(c1)]&0 ?f(a+b)-f(b)=f'(c2)a三、讨论方程lnx=ax(a&0)有几个实根.四、x&0时方程 ax+1=1有且仅有一个根，求a的取值范围.2x48四川大学数学学院高等数学教研室编学院
3.4-3.7（1）：函数的单调性、极值和最值x-1在[0,4]上的最大值、最小值.x+4五、求y=六、0≤x≤1,p&1，证明：21-p≤xp+(1-x)p≤1.F(0)=F(1)=1,所以根据最小值、大最值有21-p≤xp+(1-x)p≤1.七、求x-xy+y=3上点的纵坐标y的最大值，最小值.解: x-xy+y=3=>y-xy+x-3=0=>Δ=x-4(x-3)=-3(x-4)≥0=>x∈[-2,2] x=-2,x2-xy+y2=3=>y=-1x=2,x-xy+y=3=>y=122?x2-xy+y2=3?x2=1?x=1?x=-1
? =>?=>?,?yy22==-yxyx202-==????纵坐标y的最大值，最小值: -2,2. 四川大学数学学院高等数学教研室编 49学院
3.4-3.7（2）：函数的单调性、极值一、确定下列函数曲线的凹凸区间和拐点： （1）y=1；21+xf ′′ (x) x f(x)（2）y=xe解: y=xe-x+
凹拐点拐点；-x=>y′=e-x-xe-x=>y′′=(x-2)e-x=0=>x=2，列表f ′′ (x) x f(x)-
拐点凹2??x=t（t为参数）决定函数y=y(x). （3）?2??y=3t+t当t&0时，f ′′ (x) x - f(x)
凸当t&0时，f ′′ (x) x + f(x)
凹二、求下列函数曲线的渐近线：四川大学数学学院高等数学教研室编 50
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