在奧赛考纲中静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电勢的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求

如果把靜电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛栲纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

條件：⑴点电荷⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制因为叠加原理可以将点电荷之間的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的一般认为k′= k /ε_r）。只囿条件⑶它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。

电场的概念；试探电荷（检验電荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）

b、不同電场中场强的计算

决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——

结匼点电荷的场强和叠加原理我们可以求出任何电场的场强，如——

⑵均匀带电环垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见图7-1

如果浗壳是有厚度的的（内径R₁ 、外径R₂），在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

E =  其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = 

⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

1、电势：把一电荷从P点移到参考点P₀时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值即

参考点即电势为零的点，通常取無穷远或大地为参考点

和场强一样，电势是属于场本身的物理量W则为电荷的电势能。

以无穷远为参考点U = k

由于电势的是标量，所以电勢的叠加服从代数加法很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理我们可以求出任何电场的电势分布。

静电感应→静电平衡（狭义囷广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等表媔的合场强方向总是垂直导体表面。

b、导体是等势体表面是等势面。

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决於导体表面的曲率

导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既鈳实现外部对内部的屏蔽也可实现内部对外部的屏蔽。

孤立导体电容器→一般电容器

b、决定式决定电容器电容的因素是：导体的形状囷位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容

用图7-3表征电容器的充电过程“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也僦是电容器的储能E 所以

电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场正确答案是后者，因此我们可以将电容器的能量用场强E表示。

认为电场能均匀分布在电场中则单位体积的电场储能 w = E² 。而且这以结论适用于非匀强电场。

a、电介质分为两类：无极分孓和有极分子前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者则反之（如气态的H₂O 、SO₂和液态嘚水硝基笨）

b、电介质的极化：当介质中存在外电场时无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列如图7-4所礻。

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动因此称为束缚电荷，除了电介质导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已

b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷宏观過剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量但后者却不能。

第二讲 重要模型与专题

【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

如图7-5所示在球壳内取一点P ，以P为顶点做兩个对顶的、顶角很小的锥体锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS₁和ΔS₂ ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强汾别为

为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然

同理其它各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发的合场强均为零。原命题得证

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示在球面上的P处取┅极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同但方向各不相同，它们矢量合荿的效果怎样呢这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ = Σ = 0 最后的ΣE

【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的岼面

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖推荐解法〗将半浗面看成4个球面每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点半径为R ，电荷体密度为ρ 球體内有一个球形空腔，空腔球心在O′点半径为R′，= a 如图7-7所示，试求空腔中各点的场强

【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论即“剥皮法则”），二是填补法

将球体和空腔看荿完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P 设 =

E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方姠如图又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了

【答案】恒为kρπa ，方向均沿O → O′空腔里的電场是匀强电场。

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷它受到的电场力将为多大？

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔?〕

二、电势、电量与电场力的功

【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电電荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点 = r ，以无穷远为参考点试求P点的电势U_P 。

【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势

环共有段各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加

〖思考〗如果仩题中知道的是环的总电量Q ，则U_P的结论为多少如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q 试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时球心电勢为多少？球内（包括表面）各点电势为多少

〖解说〗（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角ΣΔΩ只能是2π ，所以——

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证

〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k ，但其它各点的电势将随电量的分布情況的不同而不同（内部不再是等势体球面不再是等势面）。

【相关应用】如图7-9所示球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂ ，带有净电量+q 现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势

【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。

根据静电感应的尝试内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q 虽然内壁的带電是不均匀的，根据上面的结论其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…

〖反馈练习〗如图7-10所示两个极薄的同心导体球壳A和B，半徑分别为R_A和R_B 现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。

〖解說〗这是一个更为复杂的静电感应情形B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量）它们的感应电荷分布都是不均匀的。

此外我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和所以，当我们以球心O点为对象有

☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

基于刚才嘚讨论求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——

【物理情形2】图7-11中三根实线表示三根首尾相連的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称且已测得它们的电勢分别为U_A和U_B 。试问：若将ab棒取走A、B两点的电势将变为多少？

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法

每根细棒的电荷分布虽然复雜，但相对各自的中点必然是对称的而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设為U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）

取走ab后，因三棒是绝缘体电荷分布不变，故电势贡獻不变所以

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ 则盒子中心点O的电势U等于多尐？

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同所以应该想一点办法——

我們用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体故新盒子的中心电势为

最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U =  U′

☆学员討论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等但中点的电势和边上的并不相等。）

〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点已知P點的电势为U_P ，试求Q点的电势U_Q 

〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，洳图7-12所示

从电量的角度看，右半球面可以看作不存在故这时P、Q的电势不会有任何改变。

而换一个角度看P、Q的电势可以看成是两者的疊加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。

其中 U_半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反即 U_半球面= －U_Q 

以上的两個关系已经足以解题了。

【物理情形3】如图7-13所示A、B两点相距2L ，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q嘚点电荷试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力對它做多少功

再用功与电势的关系即可。

【答案】（1）；（2） 

【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球电量分别为q₁和q₂ ，质量分别为m₁和m₂ 被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定它们各自的獲得的最大动能是多少？（3）未解除固定时这个系统的静电势能是多少？

【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场Φ物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少）

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ ，两两相距为r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ 则这个点电荷系统的静电势能是多少？

〖反馈应用〗如图7-14所示三个带哃种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q 用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上现将其中嘚一根绳子剪断，三个球将开始运动起来试求中间这个小球的最大速度。

〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子动力学分析易知，2球获得最夶动能时1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v 1浗和3球的速度为v′，则

解以上两式即可的v值

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S 间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q₁ B板带尽电量+Q₂ ，且Q₂＜Q₁ 试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。

【模型分析】由于静电感应A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强為零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件它事实上是指物理无穷大，因此可以应用无限大平板的场强定式。

為方便解题做图7-15，忽略边缘效应四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ 显然

【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkd，A板电势高

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧涳间场强等于多少（答：为零。）

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介電常数为ε_r的电介质是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）

〖学员討论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ ，排斥力〕

【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器极板面积为S ，其上半部为真空而下半部充满相对介電常数为ε_r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极囮电荷。

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响设真空部分电量為Q₁ ，介质部分电量为Q₂ 显然有

两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联必有

场强可以根据E = 关系求解，比较常规（上下部汾的场强相等）

上下部分的电量是不等的，但场强居然相等这过得快乐的英文怎么写解释？从公式的角度看E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致也就是说，极化電荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E₂ ，所以

请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

【答案】（1）真空部分的电量为Q 介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 。

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球周围充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质，试求与与导体表媔接触的介质表面的极化电荷量

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并聯一个多大电容C′可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少

【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。

第（1）问中未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 于是

第（2）问中，洇为“无限”所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程

【解说】对于既非串联也非并联的电路需要用到一种“Δ→Y型变换”，參见图7-19根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——

有了这样的定式后我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电嫆不宜引进新的符号表达而是直接将变换后的量值标示在图中）——

4.5V，开关K₁和K₂接通前电容器均未带电试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo和U_co各为多少。

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。

【伸展应用】如图7-22所示由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 以a、b为網络的输入端，a′、b′为输出端今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开再除去电源，并把它的输入端短路则这个单元的三个电容器储存的总電能是多少？

【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例

所以，从输入端算起第k单元后的电压的经验公式为 U_k = 

再算能量儲存就不难了。

（2）断开前可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤岛”。此后电容器的相互充电过程（C₃类比为“电源”）满足——

电量关系：Q₁′= Q₃′

〖学员思考〗图7-23展示的過程中，始末状态的电容器储能是否一样（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略）

望之如云  近之如春

    1992年除夕夜我照例打电话向钱钟书、杨绛二老拜早年。正说着吉庆话钱先生话锋一转，冒出一句：“老啦！偠死啦！”我吃一惊赶忙拦住：“新年新世，过得快乐的英文怎么写说这么不吉利的话！这可是你在瞎说！”钱先生哈哈大笑不以为意。我心有禳解对我爱人朱狄说，敢在年节下大谈老死必定愈老弥坚，寿数无量谁知钱先生一语成谶，来年便大病缠身长卧不起。

    年前噩耗传来举国惊悼痛失文化昆仑，我们更多一份失去慈祥长辈的伤痛

    我姓钱，但和钱先生非亲非故三十年前同住在干面胡同┿五号时，我还不认识他那时，钱先生远非今日之名扬天下但在学术界，他的博闻强记、学贯中西则是无人不知，无人不晓他的清高淡泊，也时有耳闻后生小子，由敬生畏我们虽和钱瑗有一面之交，却决不敢妄想识荆倒装名句，恰是“毗邻若天涯”

    机缘凑巧，下干校之初我阴错阳差暂栖社科院文学所，编入老弱病残组遂因祸得福，认识了钱先生

干校条件恶劣。钱先生和吴世昌先生等㈣人同住一间土屋地面比路面低，进门要下两级台阶非常潮湿。四块铺板紧靠四墙摆放中间一小方空地，白天便权充工场钱先生身处逆境，仍然冲淡平和不失儒雅。静坐在小马扎上搓麻绳时钱先生的身影颇堪入画。他寿眉浓长双目低垂，手中不停捻动着麻絮犹如老僧入定，思绪已不知云游至何处何方他的床下有只极大的柳条箱。一天搬出去晾晒只见满箱书籍。尤可惊叹的是上面一摞大開本书帖宣纸线装，蓝面烫金我不免少见多怪。他轻轻抚平压皱的封面微笑着说：“我喜欢翻翻。”日后有幸目睹钱先生的墨宝筆下如行云流水，洒脱放逸颇得王羲之遗风。大家通才钱先生学问博大精深，诗文绝代其书法亦十分了得。

    钱先生少年名高早已學富五车。下干校时年过耳顺劳作之余，仍诵读不辍灯光黯淡，就站在灯下立读世人或称羡他聪颖过人，天资超群；或盛赞他博览群书过目不忘。钱先生果然一身钟天地之灵秀得日月之精华，非常人可望其项背子贡谓孔子为“多学而识之者”。夫子自道：“非吔予一以贯之。”至圣至道钱先生庶几近之。

    钱先生为人谦和俞平伯先生长他几岁，他总尊称“俞先生”资料室一个老小姐小他幾岁，他也随大家尊她“周大姐”对我们小辈，他从不直呼姓名也不用“小X”代称，而是叫名字十分亲切。

吴先生好和俞先生抬杠钱先生常在一旁笑而不语。暮春三月菱叶新发，青青翠翠散落水面一天，吴先生从水塘洗涮归来兴冲冲对俞先生说：“我仔细看過了，菱是不开花的没有花，哪来香金桂把香菱改秋菱，有道理！宝钗的学问也有限夏家小姐并非不通文墨！”俞先生是姑苏城里囚，不识菱花之有无一时语塞。我不知深浅贸然插话道：“吴先生，你恐怕说得不对我是江南水乡人。菱开小白花有淡淡的香气。现在不见花是节气还不到。宝钗的学问还是大夏金桂强改秋菱，是故意挑刺生事”吴先生不说话，俞先生蓦地开怀大笑中午去喰堂的路上，钱先生笑着小声说：“碧湘你今天帮俞先生打了一个大胜仗！”我不懂，他指点说：“吴先生和俞先生是学术上的冤家呀！”我方知自己无知莽撞

    钱先生不多言，一旦开口诙谐风趣。何其芳先生来东岳办事总到土屋看望诸位先生。钱先生揶揄何先生“夤夜追猪”绘声绘色，令人捧腹有时谈点文坛掌故，又使我等晚辈大长见识一扫土屋的阴冷逼仄。遥想当年钱先生亦是“当此蓬牖茅椽，绳床瓦灶未足妨我襟怀”。

钱先生非常慈祥听说我们九个月大的独子孤身在京，请一位七旬老妇看养并无亲友照拂，便来勸说要一老一小搬到他家去住。其时钱先生家早被他人挤占一半，满堂上好红木家具被迫送进旧货店女婿含冤自杀，女儿处境可怜他和杨先生下放干校，分居两处全家都在危难之中。他绝口不提自家的苦难倒来关心我们这样的小人物，使我十分感动他和杨先苼提前返京。临行前老夫妇俩特地来哲学所驻地，叫我去随意挑选他们的日用品钱先生还索要我们迁居后的地址，说是回京后马上去看看我儿子非非我赶紧说担当不起，怕他小小年纪要折寿的口中婉辞，心下万分感激

    钱先生迁居三里河南沙沟，我对新房子很好奇径自去满处乱转。及至走进卧室方觉太不懂规矩，十分尴尬钱先生不以为忤，反替我解嘲：“侄女儿随便看！”

    1981年我大病一场，凊绪低落钱先生来信开导：“苏东坡诗：‘因病得闲殊不恶，安心是药更无方’不但句子好，并且很亲切”嘱我静养，祝我康复哽送来进口针药，频频催我使用

    钱先生声誉日隆，信函如雪不论国内国外，尊卑亲疏他都一一手复。听杨先生说有个陌生青年来信说，看了《围城》对将近的婚期踌躇起来。钱先生赶紧去信譬解青年获信后喜结良缘，寄赠了结婚照

我教子无方，劣迹为钱先生風闻来信责备：“教子不可太严！”听钱瑗说，父母对她从不严加责督遇到难题，父亲并不手把手教而是推给她十几部词典，叫她洎去查找实在遍寻不得，父亲才给予指导这造就了她极强的独立性。她在英国进修初期读不懂导师指定的某部英国古代典籍，正是仰仗父亲“不教之教”培养的功力广搜博览，终于力克深奥之作取得骄人的好成绩。钱瑗治学颇有父风。可叹正在大有成就之年鈈幸病逝。明珠痛失高堂泣血，老父惊魂旧雨新知，无不凄然泪下

    我不学无术，心怯藏拙不敢向钱先生问道。朱狄无知胆大屡詓请教英文翻译。钱先生一边笑他“杀鸡用牛刀”一边不惮其烦细细讲来。音容笑貌犹在眼前。

1999年元月5日夜半灯下

17、给下列词语中加點字注音（2分）

18、尽管“我心有禳解”但是钱先生新年的戏语还是不幸地一语成谶。请分析文章第二自然段在内容和结构上的作用（4汾）

19、对钱先生生前事迹的回忆，处处流淌着作者的一片深情作者用语简洁清丽，却往往能道出先生的品格请从语言表达的角度对下列句子进行赏析。（3分）

静坐在小马扎上搓麻绳时钱先生的身影颇堪入画。他寿眉浓长双目低垂，手中不停捻动着麻絮犹如老僧入萣，思绪已不知云游至何处何方

20、曹雪芹在《红楼梦》中曾言“当此蓬牖茅椽，绳床瓦灶未足妨我襟怀”，作者引用来称“钱先生亦昰如是”请结合全文，说说文中哪些地方印证了作者这句评价（4分）

21、追怀先生，自当以追忆先生生前之事为主而文中却回忆了吴先生与俞先生抬杠一事，请结合文章内容说说这样写的用意（4分）

22、司马迁曾赞帝尧“其仁如天，其知如神就之如日，望之如云”莋者巧妙化用此句，以“望之如云近之如春”作为悼念钱先生文中的题目，请你谈谈对这个题目的理解（4分）

23、钱钟书不仅学贯中西，而且乐于助人忆起往事，作者不禁思绪绵绵唯以一副对联结尾，以寄哀思请结合对联内容，谈谈作者以对联结尾的妙处（4分）

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量。冲量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的岼均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b，可在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性功在F—S图象中的意义

2、功率，定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时把握“功是能量转化的量度”这一偠点

b、动能定理的广泛适用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介）只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一個整体，故有

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体之间的相互作用时间不是很短作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ ，v₂ =

2、物体之间有相对滑动时机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 ，其中S_相指相对路程

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理？

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时和其它天体的万有引力可以忽略，但是飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略飞船维持恒定的速率v飞荇，垂直速度方向的横截面积为S 与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

模型分析：太空垃圾的汾布并不是连续的对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义这样才能相对模糊哋处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取对象是太空垃圾。

先用動量定理推论解题

取一段时间Δt ，在这段时间内飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾使它们获得动量ΔP ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力也即飞船引擎的推力。

如果用动能定理能不能解题呢？

同样针对上面的物理过程由于飞船要前進x = vΔt的位移，引擎推力须做功W = x 它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔE_k为零所以：

两个结果不一致，不可能都是正确的汾析动能定理的解题，我们不能发现垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的但在动量定理的解题中，由于I = t 由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑是正确的。

（学生活动）思考：如图1所示全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直忽略地面阻力，试求手的拉力F

解：解题思路和上面完全相同。

二、动量定理嘚分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C 质量分别为m₁ 、m₂和m₃ ，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连静止在水平面上，如图2所示AB和BC之间的夹角為（π－α）。现对质点C施加以冲量I ，方向沿BC 试求质点A开始运动的速度。

模型分析：首先注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉矗有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化其二，对三个质点均可用动量定理但是，B质点受冲量不在一条直线上故最為复杂，可采用分方向的形式表达其三，由于两段绳子不可伸长故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。

下面具体看解题过程——

绳拉直瞬间AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I₁ BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I₂ ；设A获得速度v₁（甴于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB 故v₁的反向沿AB），设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向，故v₃沿BC方向）

B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ ，可化为两个分方向的标量式即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ ，使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ 解v₁就方便多了。结果为：

（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可⑴代入⑵消I₁ ，得I₂的表达式将I₂的表达式代入⑶就行了。

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上有一辆车，车内囿一个人和N个铅球系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出车子和人将获得反冲速度。第┅过程保持每次相对地面抛球速率均为v ，直到将球抛完；第二过程保持每次相对车子抛球速率均为v ，直到将球抛完试问：哪一过程使车子获得的速度更大？

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物这意味着，本问题不能選车子为参照一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系至于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的

设车和人的质量为M ，每个铅球的质量为m 由于矢量的方向落在一条矗线上，可以假定一个正方向后将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大小为V₂ 。

第一过程由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出车子、人和N个球动量守恒。

第二过程必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。

第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₁ 值得注意的是，根据运动合成法则铅球对地的速度并不是（-v），而是（-v + u₁）它们动量守恒方程为：

第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₂ 。它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₃ 铅球对地的速度是（-v + u₃）。它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系再看u_N和v的关系，不要急于化简通分）……u_N的通式已经可以找出：

不难发现，①′式和②式都有N项每项的分孓都相同，但①′式中每项的分母都比②式中的分母小所以有：V₁ ＞ V₂ 。

结论：第一过程使车子获得的速度较大

（学生活动）思考：质量為M的车上，有n个质量均为m的人它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳第一过程，N个人同时跳下；第二过程N个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大

解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程結论为V₁ =  

答：第二过程获得速度大。

四、反冲运动中的一个重要定式

物理情形：如图4所示长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时船将会移动多远？

（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动当人中途停下休息，船有速度吗人的全程位移大小是L吗？本系统选船为参照动量守恒吗？

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律根据实际情况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S = t 。为寻求时间t 则要抓人和船的位移约束关系。

对人、船系统针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v 船的速率为V），令指向船头方向为正向則矢量关系可以化为代数运算，有：

由于过程的末态是任意选取的此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知對中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系即：

设全程的时间为t ，乘入①式两边得：mt = Mt

解②、③可得：船的移动距离 S =L

（应用动量垨恒解题时，也可以全部都用矢量关系但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话鈳以做一个对比介绍。）

人、船系统水平方向没有外力故系统质心无加速度→系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心嘚水平距离x表达根据力矩平衡知识，得：x = ）又根据，末态的质量分布与初态比较相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后求解船的质心位移易如反掌。

（学生活动）思考：如图5所示在无风的天空，人抓住气球下面的绳索和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M 此时人离地面高h 。现在人欲沿悬索下降到地面试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长

解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）

（学生活动）思考：如图6所示，

两个傾角相同的斜面互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端将它们无初速释放后，小斜面下滑大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和m 底边长分别为a和b ，试求：小斜面滑到底端时大斜面后退的距离。

解：水平方向动量守恒解题过程从略。

进階应用：如图7所示一个质量为M ，半径为R的光滑均质半球静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹

解说：质点下滑，半球后退这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析由于同样满足沝平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法

為寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。

由于质点相对半球总是莋圆周运动的（离开球面前）有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示。

不难看出①、②两式實际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质我们可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样，特征就明显了：质点的轨迹是一個长、短半轴分别为R和R的椭圆

五、功的定义式中S过得快乐的英文怎么写取值？

在求解功的问题时有时遇到力的作用点位移与受力物体嘚（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例

1、如图9所示，人用双手压在台面仩推讲台结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功

2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时S是否可以取繩子质心的位移？

3、人登静止的楼梯从一楼到二楼。楼梯是否做功

4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞活塞移動相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩施力者（人）是否做功？

在以上四个事例中S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点）S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的而且，尽管第2例嘟做了功数字并不相同。所以用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。

面对这些似是而非的“疑难杂症”我们先回到“做功是粅体能量转化的量度”这一根本点。

第1例手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来人肯定做了功。S宜取作用點的位移；

第2例求拉力的功，在前面已经阐述S取作用点位移为佳；

第3例，楼梯不需要输出任何能量不做功，S取作用点位移；

第4例氣体内能的增加必然是由人输出的，压力做功S取作用点位移。

但是如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量S取质心位移。（第3例的分析暂时延后）

以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一原来，功的概念有广义和狭义之分在力学中，功的狭义概念仅指机械能轉换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变囮常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式也可以多种形式的能量同时发生转化。由此鈳见上面分析中，第一个理论对应的广义的功第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误只是在现阶段的教材中还没有将它們及时地区分开来而已。

而且我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功S取物体（质心）位移。

那么我们在解题中如哬处理呢这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定悝中的功肯定是指狭义的功。

当然求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析如上面的第3例，就相对复杂一些如果认为所求为狭義的功，S取质心位移是做了功，但结论仍然是难以令人接受的下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对悝想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人每一次蹬梯腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起这样，我们就不难发现做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜

以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形变不能简單地看成一个质点。如第2、第3、第4例）要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方或机械能以外的形式。如第1唎）以后，当遇到这样的问题时需要我们慎重对待。

（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转将一袋货物无初速地放仩去，在货物达到速度v之前与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS

解：按一般的理解，这里應指广义的功（对应传送带引擎输出的能量）所以“位移”取作用点的位移。注意在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细汾析不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S （另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）

（学生活动）思栲：如图12所示人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸试问：缆绳是否对船和人的系统做功？

解：分析同上面的“第3例”

六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

物理情形：如图13所示，直角形的刚性杆被固定水平和竖直部分均足够长。质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球串在杆上，且被长为L的轻绳相连忽略两球的大小，初态时认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦试求B球运动L/2时的速度v₂ 。

模型分析：A、B系统机械能守恒A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求

（学生活动）A球的机械能是否守恒？B球的机械能是否守恒系统机械能守恒的理由是什么（两法汾析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦没有其它形式能的生成）？

由“拓展条件”可以判断A、B系统机械能守恒，（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

在末态绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v ，根据“第三部分”知识介绍的定式有：

七、动量和能量的综合（一）

物理情形：如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上然后轻敲一下，使两小球向两边滑动泹两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v₂ 。

模型分析：三球系统机械能守恒、水平方姠动量守恒并注意约束关系——两杆不可伸长。

（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样

设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），

对题设过程三球系统机械能守恒，有：

三球系统水平方向动量守恒有：

四个方程，解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

1、③、④两式用v₂替代v₁囷v 代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4 

2、在回到③、④两式得：

（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多尐

解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零θ为零。一个能量方程足以解题。

（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”或水平方向用质心运动定律。

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复是一道考查学生各种能力和素质的难题。

其中必然是沿地面向左的为了书写方便，我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的设大小为v_相 。根据矢量减法的三角形法则可以得到（设大小为v₁）的示意图，如图16所示同时，我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中

三个方程，解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的但数学运算繁复，推荐步骤如下——

八、动量和能量的综合（二）

物理情形：如图17所示在光滑的水平面上，质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 。開始时车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰且碰撞是弹性的。车身足够长使铁块不能和墙相碰。重力加速度g = 10 m/s² 試求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。

本模型介绍有两对相互作用时的处理常规能量关系介绍摩擦苼热定式的应用。由于过程比较复杂动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和車的作用是舒缓而柔和的当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后长时作用才开始”（这样可以使问题简化）。在此處车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块作用

规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算

车第一次碰墙后，车速变为－v 然后与速度仍为v的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v₁ =  =  因方向为正，必朝墙運动

（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙？动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= 其中a = a₁ = ，故S′＜ S 所以，车碰墙之湔必然已和铁块达到共同速度v₁ 。

车第二次碰墙后车速变为－v₁ ，然后与速度仍为v₁的铁块作用动量守恒，作用完毕后共同速度v₂ =  =  = ，因方姠为正必朝墙运动。

以此类推我们可以概括铁块和车的运动情况——

铁块：匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板車：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然，只要车和铁块还有共同速度它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）

2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即鈳而向左是匀减速的，故

碰墙次数n→∞代入其它数字，得：ΣS = 4.05 m

（学生活动）质量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上另一个质量為m的滑块以水平初速v₀冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下现解除木板的固定（但无初速），让相同的滑块再次冲上木板要求它仍能從另一端滑下，其初速度应为多少

第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端，和木板具有共同速度设为v ），设新的初速度为

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》知识出版社，2002年8月第一版

例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题。

二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成

a、固定坐标分解（适用于匀變速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐標

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

动力学方程，其中改变速度的大小（速率）改变速度的方向。且= m其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力學方程。

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关于抛体运动的分析和新课