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高等数学_不定积分例题、思路和答案(超全)
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＞＞＞定积分∫21|3-2x|dx=______．-数学-魔方格
定积分∫21|3-2x|dx=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∫12|3-2x|dx=∫32&1(3-2x)dx+∫232(2x-3)dx=（3x-x2）|&321+（x2-3x）|&232=12故答案为：12．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“定积分∫21|3-2x|dx=______．-数学-魔方格”主要考查你对&&定积分的概念及几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
定积分的概念及几何意义
定积分的定义：
设函数f（x）在[a，b]上有界（通常指有最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为（i=1，2，…，n），在上任取一点ξi，作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）&（i=1，2，…，n），并求和，记λ=max{△xi；i=1，2，…，n }，如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，&称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。
定积分的几何意义：
定积分在几何上，当f（x）≥0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。 定积分的性质：
（1）（k为常数）； （2）； （3）（其中a＜c＜b）。 &定积分特别提醒：
①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：&②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的，
发现相似题
与“定积分∫21|3-2x|dx=______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
864396805190873625868790832467836802您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
高等数学定积分高习题.doc 21页
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··········
将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
=_________．
由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()
与轴所围成的图形的面积．故=．
本题也可直接用换元法求解．令=（），则
比较，，．
分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．
在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又
，从而有．
在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此
例4 估计定积分的值．
要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
设 , 因为 , 令，求得驻点, 而
设，在上连续，且，．求．
由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则
例6求, 为自然数．
这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
利用积分中值定理
设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得
当时, , 而, 故
利用积分不等式
由积分中值定理 可知
因为，故有
设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．
由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．
由题设在上连续，由积分中值定理，可得
其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．
（1）若，则=___；（2）若，求=___．
这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可
（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得
设连续，且，则=_________．
对等式两边关于求导得
故，令得，所以．
函数的单调递减开区间为_________．
，令得，解之得，即为所求．
求的极值点．
由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：
故为的极大值点，为极小值点．
已知两曲线与在点处的切线相同，其中
试求该切线的方程并求极限．
两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．
由已知条件得
且由两曲线在处切线斜率相同知
故所求切线方程为．而
该极限属于型未定式，可用洛必达法则．
此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
试求正数与，使等式成立．
易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．
由此可知必有，得．又由
得．即，为所求．
例16 设，，则当时，是的（
A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小．
C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．
故是同阶但非等价的无穷小．选B．
将展成的幂级数，再逐项积分，得到
证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有
令=，当时，，则
故单调增加．即 ，又，所以，其中．
由于单调增加，有，从而
被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
例19 计算．
被积函数在积分区间上实际是分段函数
设是连续函数，且，则．
本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．
因连续，必可积，从而是常数，记，则
从而，所以 ．
设，，，求, 并讨论的连续性．
由于是分段函数, 故对也要分段讨论．
（1）求的表达式．
的定义域为．当时，, 因此
当时，, 因此
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56页71页62页82页63页33页65页96页73页56页2015年考研高等数学定积分三点建议
来源：　 11:21:10　【】　
2015年考研高等数学定积分三点建议，更多2015考研资讯、考研资料等信息，请关注考试吧考研网或搜索公众微信号“考研”。
　　大家好，在前面了，我陆续讲了极限，导数等知识的复习方法。高等数学从本质上讲只有三种运算：极限，导数与积分。所以，今天我就来说下怎么复习定积分的相关知识。
　　大家也非常熟悉了，我们还是先看一下高等数学的整体框架：
　　我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在此，跨考教育数学教研室向蠢鲜Ω蠹姨峁┤缦卵敖ㄒ椋
　　1.明晰知识体系
　　在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。
　　2.深刻理解知识点
　　在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。
　　3.适量习题
　　在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。在这里，我坚决反对题海战术。因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。那么针对定积分这章，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，关键是每做一个题就要理解，要反思，要多想想考察了知识点那些方面。然后对次重点知识辅助做一些题，了解就够了。
　　总之，希望大家经过这三个步骤能够学习好定积分，为以后的高等数学的复习打好基础。祝大家考研顺利，马到成功!【】　|　搜索公众微信号"考研"　　相关推荐：
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北京师范大学英语语言美文学硕士。屠老师的课堂气氛活跃...[]
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北京外国语大学英语语言文学学士、北京大学哲学系宗教硕士...[]
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