“相似三角形”考法分析--《数学学习》2015年06期
“相似三角形”考法分析
【摘要】：正相似三角形是初中数学中空间与图形领域的一块重要内容,相似三角形的知识体系是在全等三角形知识体系的基础上的拓广和发展,相似三角形与全等三角形是承上启下的关系,其中包含了重要的数学思想:从特殊到一般.学好相似三角形的知识,为今后进一步学习三角函数及与相似有关的比例线段等知识打下良好的基础,相似三角形内容主要包括比例线段,相似三角形,相似三角形的条件、性质及其应用,相似多边形,图形的位似等.这些内容是以比例线段为基础,以相似
【作者单位】：
【分类号】：G634.6
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相似三角形知识点整理
1相似三角形知识点整理重点、难点分析1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。内容提要一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）涉及概念①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。第二套二、有关知识点1相似三角形定义对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2相似三角形的表示方法用符号“∽”表示，读作“相似于”。3相似三角形的相似比相似三角形的对应边的比叫做相似比。4相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5相似三角形的判定定理1三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下反比性质CDAB?更比性质B或合比性质D????BCADCB（比例基本定理）BANDBMCANBNMDB??????????0等比性质相似基本定理推论骨干定理平行线分线段成比例定理基本定理（应用于△中相似三角形判定定理定理1定理2定理3RT△推论推论的逆定理推论2类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。6直角三角形相似1直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。2如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。7相似三角形的性质定理1相似三角形的对应角相等。2相似三角形的对应边成比例。3相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。4相似三角形的周长比等于相似比。5相似三角形的面积比等于相似比的平方。8相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。比例线段复习知识考点本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。精典例题【例1】已知，那么＝。变式1已知0543??ZYXZYX??，若，则＝。2?FEDCBA3??FDB32FDBECA变式2已知，求的值。12?ZYXYXZ??变式3已知，则的值为。ACBACBK???K3【例2】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证CD∶BD＝CF∶BE。变式1已知如图，D是△ABC的边BC的中点，且，求的值。31?BEAFC变式2如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。变式1图FEDCBA变式2图FEDCBA例2图1GFEDCBA【例3】如图，在△ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。（1）求证DE∥BC；（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问M是否为BC的中点探索与创新【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证。ACBD?作业比例线段一、填空题1．三条平行线截两条直线填空，所得的成比例。2．已知，则______________。XY5?Y例3图MPEDCBA问题图EDCBA43．线段B是线段A、C的比例中项，若A2，B3，那么C，4．若X∶Y∶Z2∶5∶9，则。???ZYX25．。??22,753,10ZZ则且若6．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C680，AMMB＝12，则∠MNA_______度，ANNC＝__________。7．如图，△ABC中，DE∥BC，AD1，DB2，AE2，则EC。8．若。??YXX则,389、若，则_________??075??ACBACB?10．、如图，梯形ABCD中，DC∥MN∥EF∥AB，若DCMNEFAB123工4，则SCDMNSNMEFSFEAB。二、选择题1．如果，则等于（）32?BAB?（A）L（B）（C）（D）1532．如果D是A、B、C的第四比例项，则其比例为（）AABCD（B）ABDC（C）ADBC（D）DABC3．已知，且，则（）32??DB?（A）（B）5（C）（D）5134．D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，如果，AE15，那23?DBA么EC的长是（）（A）10（B）225（C）25（D）65．如图，直线L1∥L2∥L3，直线AC和DF分别L1、L2、L3相交于A、B、C和点D、E、F，若AB2，EF1，则（）（A）BC∶DE2BBC∶DECBCDE2DBCDE26．已知，那么下列式子成立的是（）0754??ZYX5（A）（B）（C）（D）43??ZYX61???YXZ167??ZYX21???ZYX7．如图，平行四边形ABCD中，AB5，DF1，AG3，FG延长线交AD、CB延长线于E、H，则EFFGGH。A1∶3∶5B1∶2∶2C1∶2∶3D1∶3∶28．若，则?YX?????YX（A）25∶1B1∶25CD2783三、解答题1．已知如图，L1∥L2∥L3，AB3，BC5，DF12。求DE和EF的长。2．如图，在△ABC中，点D在AC边上，∠A∠DBC求证BC是AC和DC的比例中项。2．设。的值求BACBAC???,相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直BHGEDCAF6相似三角形判定的变化模型CBEDA【例1】已知在△ABC中，AD是角平分线。求证思考已知在△ABC中，外角平分线AD交BC延长线于D。求证【例2】如图，在△ABC中，D，E为BC的三等分点，F为AC中点，BF分别交AD，AE于M，N两点。求证BM∶MN∶NF【例3】已知如图，△AOC中，∠AOC＝120，∠AOC的平分线交AC边于B。求证BDAC?1OACB??OCBANMFEDCBABDAC?ABCD12_D_C_B_A7【例4】如图，在正方形ABCD中，M，N分别在AB，BC边上，且BM＝BN，又BP⊥MC，垂足为P。求证PD⊥PN【例5】已知如图正△ABC和正△DEF，BC和EF的中点均为M。求证AD⊥CF【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CF∥AB。BP的延长线交AC于E交CF于F。求证PEFCDBANMDCBA【例7】如图，CD是RT△ABC斜边上的高，M为AC的中点，MD与CB的延长线交于N。求证BDCN＝CDDN【例8】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，BC边上一点F，使得EF＝3，DF＝4，DE＝5。那么，正方形ABCD的面积是__________。BFECDA2BPE??MPNDCBAFMEDCBA8【例9】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足⑴求证△ADB∽△EAC；⑵若∠BAC＝40，求∠DAE的度数。CBEDAEDCBA21【例10】如图D、E为线段BC上两定点，且BDCE，A为BC外一点，当点A运动到使∠1∠2时，判断△ABC的形状并证明。26如图，矩形ABCD中，AB6，BC，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，23且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为T秒（T≥0）（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间T的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与T之间的函数关系和相应的自变量T的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的T，使△AOH是等腰三角形若存在，求出对应的T的值；若不存在，请说明理由2ABDCE??CDACOEFBP26题图CDACOEFBP26题图
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中考数学基础知识点梳理之相似三角形
14:45:00 　来源：南京爱智康
& & &&& 【智康语】中考数学基础知识点梳理之相似三角形！很快就要进入中考一轮复习，对于数学学科知识点框架一定要铭记于心，那么对于中考数学基础知识点梳理，今天南京爱智康小编就为大家梳理了中考数学基础知识点梳理之相似三角形，供同学们参考！
& & & &中考数学基础知识点梳理之相交线与平行线！大家介绍好了，如果大家还有什么问题的话，请直接拨打免费咨询电话：!有专业的老师为您解答!
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