线性代数入门的简单理解 - 简书
线性代数入门的简单理解
线性代数研究的最重要的是线性空间，伴随着最实用的核心产物就是解线性方程组。向量空间那么为什么要研究向量呢？因为向量的全体就构成了一个线性空间。正如研究实数数，实数的全体构成了实数域一样，而且，也仅有线性运算，才能保证运算结果还在这个“域”内，也即“封闭性”。于是，类似地，八条公理定义了向量空间（来自百度百科）：(?a, b∈F及u, v, w∈V)：1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；2. 向量加法交换律：v + w = w + v；3. 向量加法的单位元：V里有一个叫做零向量的0，?v∈V , v + 0= v；4. 向量加法的逆元素：?v∈V,?w∈V，使得v + w = 0；5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = av + bv；7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(bv) = (ab)v；8. 标量乘法有单位元: 1 v = v,这里1是指域F的乘法单位元。先看第八条，在实数域中，我们有“1”使得1*a=a（a为实数），从而能表示该域当中所有的元素；在向量空间中，我们需要找到一个能包含一个空间中所有维的单位元，使得“1”*v=v，其中v是一个n维向量。若已知
类似实数域，那么通过单位元的表示为：
这里的“1”，记录的是xi在这个n维向量中的位置与伸缩倍数，这就和数域中的“1”类似了。在二维空间和三维空间中，我们有定义“正交”，虽然难以直观想象，但可以定义在n维空间的正交，无疑，在用一堆向量表示任意一个向量的时候，正交向量是最方便的。那么，可以用另一个方式来解释（1.1）式：每一根轴上的单位向量构成了一个标准正交向量组，x1, x2…xn为每一个单位向量伸缩的倍数。矩阵和线性方程组
但是，在表示任意一个n维向量时，得到的往往不是那么美丽的标准正交基，而是任意的一组由n个向量组成、能充满n维空间的基。
求Xi即要是解线性方程组：
???????????????????????????????????????这里再换一种角度，看成向量：
若有f(X)=v，那么f就是一个从X到v的线性映射。把这个线性映射如此排列，就成了矩阵：
以上还是n*n的矩阵，任意的m*n矩阵，m是向量维数，n是未知量Xi的个数。到这里，就可以方便地是用高斯消元法了，其本质就是把线性方程组分成主元列和自由列,。消元、化成行标准形之后剩下的主元个数就是矩阵的秩。
从而，有以下两种情况：1.不存在自由列：也就是矩阵、或者说线性方程组的系数A满秩。
对于方程组AX=b，主元和增广矩阵（不再赘述）的最后一列是一一对应的，那么方程有唯一解。1.存在自由列：如果，r(A)&r(A|b)，即没有主元的一行对应了增广的一列元素不为0，此时显然AX=b无解。如果r(A)=r(A|b)，由于
可以简单地得到其特解：
特征值和特征向量
矩阵A的作用就像一个函数，在微积分中函数表示作用在变量x上得到f(x)。在线性代数中，扩展到多维上，A作用在x上得到Ax。其中，变换后方向保持一致的向量尤为特殊。多数情况下，对于给定的A，得到的Ax方向与原先不同；如果Ax与原来方向平行，就称x为特征向量。于是，有更加简单的表示方法：λX，λ就是在这个方向上的伸缩倍数。为了方便地求矩阵的幂了，假设存在A的n个线性无关的特征向量{x1,x2, …xn}，放在一个方阵里，构成方阵P，算一下乘积：
举例，对于A^k，k -& ∞时什么情况下A^k -& 0？由矩阵的对角化可以得到|λ|&1。所以，特征值的几何意义在于表达了在某个空间上特征方向的伸缩比例：λ&1，扩张；λ&1，收缩；λ=1，不变。至于矩阵的相似，就是同一个线性变换在不同基下对应的矩阵，在之前的一组基下我们用变换A，在另一组基下，就是B了。从这个角度来看，对角化就是在寻找一组基，使得在此之下的线性变换达到最简形式，看起来就像微积分中的成正比一样。最后的二次型，本质也是一样：在保持图形不变的基础上找到一组基使得方程形式最简。
会静由吾心。
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原作者：Sasha Martin 文章来源：Baked Milk Custard | Leche Asada 翻译：Adam Zune 译文仅供个人学习，不用于任何形式商业目的，转载请注明原作者、文章来源、翻译作者及简书链接，版权归原文作者所有 美食国家：玻利维亚 这周给大...线性代数题目求解
如图求解万能的jr们
初中没毕业，我无法解答，就算能解答了，这能干啥？一大堆字母，毕业了到底生活中能用多少？数学真的太专业课！对于生活中的还是文比较无压力！越学越深！太累人
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维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。这些知识的背后凝结着数学归纳法、等价类、标准形、不变量、数形结合、数学建模等重要的数学思想。本课程不仅适合各类高校理、工、经管等多个专业的学生，也适合其他需要线性代数基础知识的学生、教师、工程技术人员和社会人员。
?周次学习内容1第1讲 线性代数课程绪论第2讲 矩阵的定义及例子第3讲 矩阵的加法及数乘第4讲 矩阵乘法的定义第5讲 矩阵乘法的性质2第6讲 矩阵的转置第7讲 分块矩阵第8讲 矩阵的初等变换第9讲 初等矩阵3第10讲 逆矩阵的定义及性质第11讲 逆矩阵的计算第12讲 求解矩阵方程第13讲 行列式的定义4第14讲 行列式的性质第15讲 行列式按行(列)展开第16讲 行列式的计算第17讲 伴随阵与逆矩阵5第18讲 抽象矩阵的可逆性第19讲 克拉默法则第20讲 矩阵秩的定义第21讲 矩阵秩的等式第22讲 矩阵秩的不等式6第23讲 向量的概念第24讲 向量的线性组合和线性表示第25讲 向量组的秩7第26讲 向量的线性相关性第27讲 线性相关性的等价刻画I第28讲 线性相关性的等价刻画II第29讲 向量组的极大无关组8第30讲 向量空间、基、维数和坐标第31讲 基变换和坐标变换第32讲 内积第33讲 标准正交向量组和正交矩阵9第34讲 线性方程组和Gauss消元法第35讲 齐次线性方程组有非零解的条件第36讲 齐次线性方程组的基础解系10第37讲 非齐次线性方程组的解第38讲 非齐次线性方程组的解的结构第39讲 向量组极大无关组的计算第40讲 线性方程组的最小二乘解11第41讲 相似矩阵的定义及性质第42讲 特征值(向量)的定义第43讲 特征值(向量)的求法第44讲 特征值的性质12第45讲 相似于对角阵的条件第46讲 相似对角化与方阵的幂第47讲 实对称矩阵的相似对角化第48讲 已知特征值(向量)，求矩阵13第49讲 二次型的定义、矩阵表示及标准形第50讲 用正交变换化二次型为标准形第51讲 用配方法化二次型为标准形第52讲 矩阵的合同与惯性定理第53讲 正定二次型定义及判定矩阵理解矩阵的概念，理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义。理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算。了解分块矩阵的运算性质，掌握常见的分块方法和分块矩阵的运算规则。理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念以及二者之间的联系，理解矩阵等价、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及矩阵等价标准形的概念，掌握将一个矩阵化为行阶梯形、行最简形以及等价标准形的方法。理解矩阵的可逆性的概念，掌握判别矩阵是否可逆的方法，掌握逆矩阵的性质，掌握利用初等变换求逆矩阵以及解简单的矩阵方程的方法。理解阶行列式的定义，掌握行列式的性质，掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算，了解行列式的乘法定理，了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法，理解法则，掌握用法则求解方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系，掌握关于矩阵的秩的等式和不等式。．维向量理解向量的概念，掌握向量的线性运算的性质，理解线性组合和线性表示的概念。理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质，理解向量组的线性相关性的概念。掌握向量组的线性相关性的判别方法和一些常用的重要结论。理解向量组的极大线性无关组的概念，理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的极大线性无关组。知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间的基及它们的维数，知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质，理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握正交化方法，理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。线性方程组理解线性方程组的基本概念，掌握消元法。理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法。理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。了解线性方程组的最佳近似解的概念和求最小二乘解的方法。矩阵的特征值和特征向量理解相似矩阵的概念与性质。理解矩阵的特征值、特征向量的概念，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法。熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法。熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。．二次型理解二次型及其矩阵表示的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法。理解二次型的标准形与规范形的概念，理解合同的概念，掌握用配方法化二次型为标准形的方法，理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，理解惯性定理以及惯性指数的概念，掌握判断实对称矩阵合同的方法。理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。
多项式、二元一次方程组、平面向量、数学归纳法。
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1. 陈建龙、周建华、张小向、韩瑞珠、周后型编，线性代数（第二版），科学出版社，20162. 周建华、陈建龙、张小向编，几何与代数，科学出版社，20093. 张小向、陈建龙编，线性代数学习指导，科学出版社，2008
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线性代数的典型解题方法
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