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第3章 傅里叶变换分析
第3章? 重点：傅里叶变换1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法8.希尔伯特变换3.1 傅里叶变换的产生傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年狄 里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。 傅里叶的两个最主要的贡献： （1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”; （2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”.3.2 周期信号的傅里叶分析三角函数 1,cos t ,sin t ,cos 2t,sin 2t,?,cos kt,sin kt,? 就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完 备正交函数的三个条件： 1. 归一化：?t2 t1fi (t ) fi* (t )dt ? 12. 归一正交化：?t2 t1fi (t ) f j * (t )dt ? 0， i ? j3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号3.2.1 傅里叶级数的三角形式设三角函数的完备函数集为：{1,cos ?1t ,sin ?1t ,cos 2?1t ,sin 2?1t ,?,cos k?1t,sin k?1t,?}周期的终点其中2π 2π ?1 ? ? T t2 ? t1周期的起点周期 基频三角函数集也可表示为：{cos(n?1t ),sin(n?1t ) n ? 0,1, 2,?}满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有?t2t2 t1cos(n?1t ) sin(m?1t )dt ? 0cos(n?1t ) cos(m?1t )dt ? 0 ? ?t1 ? ? , m?n t2 ?t1 sin(n?1t ) sin(m?1t )dt ? 0 ? ?（2）“单位”常数性，即当 n ? 0 时，有?t2 t1cos (n?1t )dt ? ?2t2 t1T t2 ? t1 sin (n?1t )dt ? ? 2 22?t2t11dt ? T ? t2 ? t1可以将“任意”周期函数 t ) f(??在这个正交函数集中展开为f (t ) ? a0 ? ? (an cos n?1t ? bn sin n?1t )n ?1称为傅里叶级数t2 ? 2 f (t ) cos(n?1t )dt ? t ? t ?t1 f (t ) cos(n?1t )dt , n ? 0 ?t1 ? an ? ?? 2 1 t2 t2 cos 2 (n?1t )dt ? 1 f (t )dt , n ? 0 ?t1 系 ? t2 ? t1 ?t1 ? t2数bn? ?t2 t1f (t ) sin(n?1t )dtt2 t1?sin 2 (n?1t )dt2 ? t2 ? t1?t2 t1f (t ) sin(n?1t )dta0 ?? 或 f (t ) ? ? ? (an cos n?1t ? bn sin n?1t ) 2 n ?1傅里叶级数的 三角展开式2 an ? t 2 ? t1?t2 t1f ( t )cos( n?1t )dt同上式另一种形式a0 ?? f (t ) ? ? ? cn cos(n?1t ? ?n ) 2 n ?1n=0 n=0?? ? t ? ?直流分量基波分量n次谐波分量bn 式中，? n ? arctan an为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。cn ? an 2 ? bn 2！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！f (t )可展开为傅里叶级数的条件：（1）f (t ) 绝对可积，即： f (t ) dt ? ?t1?t2（2）f (t )在区间内有有限个间断点； （3） f (t ) 在区间内有有限个极值点。Direchlet条件傅里叶级数存 在的充要条件3.2.2 傅里叶级数的复指数形式1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导e j( n?1t ??n ) ? e? j( n?1t ??n ) 利用欧拉公式: cos( n?1t ? ? n ) ? 21 ?? 1 ?? f (t ) ? ? [cn e j( n?1t ??n ) ] ? ? [ An e j( n?1t ) ] 2 n ??? 2 n ???式中2 2 An ? cn e? j?n ? an ? bn (cos ?n ? jsin ?n )复指数幅度cn ? a ? b2 n2 nbn ?n ? arctan( ) an相位An 的具体求法如下：2 t2 2 t2 An ? an ? jbn ? ? f ( t )cos( n?1t )dt ? j ? f ( t )sin( n?1t )dt T t1 T t1 2 t2 2 t2 ? ? f ( t )[cos( n?1t ) ? jsin( n?1t )]dt ? ? f ( t )e ? jn?1t dt T t1 T t12. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f (t )在复变正交函数空间{e j( n?1t ) n ? 1, 2,?}中展开，有f (t ) ?n ??????? Fn ? e j(n?1t ) ? ? ?式中 Fn? ? ?t2 t1t11 ? t2 (e jn?1t )(e jn?1t )* dt T? j?nf (t )(e jn?1t )* dt?t2 t1f (t )e ? jn?1t dtFn ? Fn eAn ? 2? T (t )0例 已知冲激序列?T (t ) ?0k ???? ? (t ? kT )0?… -T0? (t )O? (t ? T0 )… T0 2T0 t求 ? T0 (t ) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。解1 Fn ? T0?T0 2 T0 ? 2 ?? (t )e?? jn?0t1 dt ? T01 ?T0 (t ) ? T0n ???e jn?0t ?1 a0 ? T0又2 an ? T0?T0 2 T0 ? 2 ?2 ? (t ) cos n?0tdt ? T0bn ? 01 2 ? ? T0 (t ) 的三角傅里叶级数为：?T0 (t ) ? ? ? cos n?0t T0 T0 n ?1例 解求下图中三角波的三角傅里叶级数。 （1）将周期函数 f (t )在 t ?[0, T0 ]内的函数记为A t ) ?u (t ) ? u (t ? T0 ) ? T0f1 (t ) ? ( A ?f (t )A-T0 O T0 2T0 t则 f (t ) 为 f1 (t ) 的周期延拓，即? ?? ? A f (t ) ? ? f1 (t ? nT0 ) ? ? ?[ A ? (t ? nT0 )][u(t ? nT0 ) ? u(t ? (n ? 1)T0 )]? T0 n ??? n ??? ? ?将 f (t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f AC (t )? f AC (t ) ? f ?(t ) ? ??n ??????A [u (t ? nT0 ) ? u (t ? (n ? 1)T0 )] ? T0? ? A [ A ? (t ? nT0 )]{? (t ? nT0 ) ? ? (t ? (n ? 1)T0 )}? ?? T n ??? ? 0 ? ? A A 1 2 ? 2A ? ? ? ? A ? ? (t ? nT0 ) ? ? ? A( ? ? cos n?0t ) ? ? cos n?0t T0 T0 T0 T0 n ?1 T0 n ?1 n ???2A ? t A ? sin n?0t f AC (t ) ? ? ??? cos n?0? d? ? π ? n T0 n?1 n ?1fD ? A / 2故A A ? sin n?0t f (t ) ? ? ? 2 π n ?1 n（2）利用直接法求解1 a0 ? T0?0 ?T0?A A tdt ? T0 2an ? 02 bn ? T0故A A ??T0 ? T0 t sin n?0tdt ? nπ0A A ? sin n?0t f (t ) ? ? ? 2 π n ?1 n3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。f (t ) ?n ?? N? FenNjn?1t? a0 ? ? an cos(n?1 t ) ? ? bn sin(n?1 t )n ?1 n ?1NN用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的 （不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.3 周期信号的对称性1．纵轴对称性（1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有 直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有 正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。定义：? 奇谐函数满足 f (t ? T / 2) ? ? f (t ) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后的信号与原 信号关于横轴对称。 满足 f (t ? T / 2) ? f (t ) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后信号与原信 号重合。? 偶谐函数2．横轴对称性（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐 波分量也包含有偶次谐波分量。！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。例解f (t )E 2已知奇谐函数：f (t ) E2 ? T1 o 2 E sin ?1 t ? 2f (t )T cos(?1 t ? 1 ) E 2 2 T1 2?T1 2of (t )T1 t E 2 ? T 2 f (t ? 1 ) 2T o T1 t ? 1 2 T1 2 E cos ?1 t ? sin(?1 t ? ) 2 2tf (t ) E2 T1 2f (t )E 2 T1 2?osin 2?1 t? E 2T1 2t?T1 2otE ? cos 2?1 t 23.4 常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念表示信号含有的各个频率分量 的幅度值。其横坐标为频率 ? （单位为赫兹），纵坐标对应 各频率分量的幅度值 Fn 。 表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵 坐标对应各频率分量的相位 ? n （单位常用度或弧度）。? 振幅频谱 频 谱 图 （幅频特性图）? 相位频谱 （相频特性图）例? ? ? ?1, ? ? kT ? t ? ? kT f (t ) ? ? 2 2 ，求频谱 ? 0, 其它 ?f (t )1?????T? ?2 o?2Tt解（1）单边频谱：? 4 n? ? ? sin( 1 ), n ? 0 ? ? n? T n?1? 2 ? 1 ? 2? An ? ? Sa( ) ?? 2 ? 2? , ? T n?0 ? T ? ? ?（2）双边频谱：1 Fn ? T1 e ? jn?1 t ? ?? / 2 e dt ? T ? ? jn?1? /2? jn?1 t ? / 2 ?? / 22 sin 21 ? b ? b 2 ? 4ac ? ? T n?1 2an? ?n?1? ? sin n?1? ? 2 ? ? n?1? ? Sa( ), T T 2 2n ? 0, ? 1, ? 2,?包络线频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度?变化情况1： ? ?T ? ? n?? 1 n? , Fn ? Sa( ) ? Sa( ) 4 T T 4 4? 第一个过零点为n =4 。 Fn 在? ? 2π/? ? 4?1 有值（谱线）f (t )1?????T谱线间隔2π ?? T?? o 21 4?2TSa( ?? ) ? 0 2t?? 2π ?π ?? ? 2? Fn2? ?第一个过零点：O?情况2： ? ?T ? ? n?? 1 n? , Fn ? Sa( ) ? Sa( ) 8 T T 8 8第一个过零点n=8脉冲宽度缩小一倍1f (t )???T??? ?2 o?2Tt谱线间隔不变2π ?? T? Fn1 8幅值减小一倍第一个过零点增加一倍o 2π??情况3：? ?T ? ? n?? 1 n? , Fn ? Sa( )? Sa( ) 16 T T 16 16第一个过零点为n =16。脉冲宽度再缩小一倍1f (t )示意图?????T? ?2 o1 16?2Tt谱线间隔不变2π ?? T? Fn幅值再减小一倍o第一个过零点再增加一倍2π??结 论? ? 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽，? 确定了带宽。? ? 由大变小，频谱的幅度变小。 ? 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 ? ? 2π /T 不变。2）脉冲宽度?不变, 周期T变化 情况 1： 时，谱线间隔第一个过零点1???f (t )??示意图?T ? 2 o ? T 2谱线间隔?? 2π π ? T 2?1 4t幅值: F0 ?? Fn?TSa (0) ?1 402π??第一个过零点情况 2：时，谱线间隔第一个过零点周期T扩展一倍1??f (t )示意图???T? ?2 o ? 21 4TTt幅值减小一倍? Fn谱线间隔减小一倍1 8? Fno 0第一个过零点不变2 2 π???? ?情况 3：时，谱线间隔 第一个过零点周期T再扩展一倍f (t )1???2T示意图???T? ?2 o ?2? Fn1 1 8 16T2Tt谱线间隔再减小一倍? Fn幅值再减小一倍22π ?0 0????第一个过零点不变结 论? ? 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变。 ? T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。?T ? ? 时，谱线间隔 ? 0 ，这时：周期信号 ? 非周期信号；离散频谱 ? 连续频谱3.4.2 常见周期信号的频谱典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或 傅里叶变换。典型周期信号如下： 1. 周期矩形脉冲信号2. 周期对称方波信号3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解 设周期矩形脉冲：脉宽为?，脉冲幅度为E，周期为T1f (t )ET1?? / 2 o ? / 2T1tT1 T1 f (t ) ? E[u (t ? ) ? u (t ? )], ? ? t ? 2 2 2 2???f (t )是偶函数E??1 n?1? E? ? a0 ? , bn ? 0, an ? Sa( ) T1 π 2 E??1 n? ? E? cn ? a0 ? , cn ? Sa ( 1 ) T1 π 2? 0, ?n ? ? ? π, Fn ? F? n三角cn ? 0 cn ? 0 n?1? 1 E? ? an ? Sa ( ) 2 T1 2n ???指数 E? n?1? E? E??1 ? f (t ) ? ? ? Sa( 2 ) cos(n?1t ) ? T T1 π n?1 1? Sa(?n?1? jn?1t )e 2（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱1 周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为 , n 2π 主要能量集中在第一个零点以内，即 ? ? 0 ~?称为其频带宽度B ( B? ?E? T12π?, Bf ? )1?Cn2π幅度谱?4ππn?1 ?O?n相位谱??2π 4πO?1 2?1??幅度谱与相位谱合并c0Cn2π 4π实数频谱?O ?12?1??复数频? 2πE? T1?Fn2π4π??O ?1 2? 1?2. 周期对称方波信号的傅里叶级数 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点：(1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2。f (t )E 2O?T1?T1 / 4T1 / 4T1E ? 2t? 偶函数且 ? a0 ? 0，bn ? 0 奇谐函数 an ? ESa( nπ 2E )?? , n ? 1,3,5... 2 nπnπ c0 ? 0， cn ? an ? ESa ( ), n ? 1,3,5... 2 ? 0, cn ? 0 1 E nπ ?n ? ? , Fn ? F? n ? cn ? Sa ( ) 2 2 2 ? π, cn ? 02E ? 1 nπ 三角 f (t ) ??? ? sin( ) cos(n?1t ) ? π n ?1 n 2 E ? 1 nπ jn?1t ??? ? ? sin( )e , n ? 1,3.. ? π n ??? n 2指数1 周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律 n an2?1 3?14?1 5?1O?1an?幅度谱?nπ相位谱O ?1 2?1 3?1 4?1 5?1?O?13?15?17?1 ?3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解f (t )E 2T1 2 ? T1 2O? E 2t周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 an ? 0 ， 可求出傅里叶级数系数bn。 如何求bn留作思考！其傅里叶级数表达式为：f (t ) ? E? 1 1 ? sin(?1t ) ? sin(2?1t ) ? sin(3?1t ) ? ?? π? 2 3 ? ?E ? n ?1 1 ? ? (?1) sin(n?1t ) π n ?1 n此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解f (t )E?T1 O 2T1 2t，周期三角脉冲信号，是偶函数，故可求出傅里叶级数系数a0 、an。 bn ? 0如何求bn留作思考！其傅里叶级数表达式为：E 4E ? 1 1 ? f (t ) ? ? 2 ?cos(?1t ) ? cos(3π1t ) ? cos(5π1t ) ? ?? 2 π ? 9 25 ? E 4E ? 1 2 nπ ? ? 2 ? 2 sin ( ) cos(nπ1t ) 2 π n ?1 n 2此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解f (t )E?T1?T1 o 2T1 2T1t，周期半波余弦信号，是偶函数，故 可求出傅里叶级数系数a0 、an。 bn ? 0 如何求bn留作思考！其傅里叶级数表达式为：E E 4 4 f (t ) ? ? [cos(?1t ) ? cos(2?1t ) ? cos(4?1t ) ? ?] π 2 3π 15 E 2E ? 1 nπ 2π ? ? cos( ) cos(n?1t ) ， ?1 ? ? π π n ?1 (n 2 ? 1) 2 T1此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐 波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解f (t )E?T1 ? T1 o T1 T12t2周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为2π f1 (t ) ? E cos(?0t ), ?0 ? T0 则，全波余弦信号为：f (t ) ? f1 (t ) ? E cos(?0t )其傅里叶级数表达式为：f (t ) ? 2E 4E ? 1 1 1 ? ? cos(2?1t ) ? cos(4?1t ) ? cos(6?1t ) ? ?? π π ?3 15 35 ? ?2E 4E ? 1 n ?1 ? ? ? (?1) 4n2 ? 1 cos(2n?0t ) π π n ?1此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐 波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。3.4.3 吉布斯效应如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信 号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n=∞ . ? ? ? 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则误差函数和均方误差 ? 误差函数? 均方误差例对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。E/2-T1/4o-E/2T1/4tf (t ) ? 2πE (cos ?1t ? 1 cos3?1t ? 1 cos5?1t ??) 3 5对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1、2、3时的逼近波形） （1）N=1: S2 ?2E (cos ?1t ), ππ 3E1 ? 0.05E 2（2）N=2: S2 ? 2 E (cos ?1t ? 1 cos 3?1t ), E2 ? 0.02 E 2 （3）N=3:1 0.82E 1 S3 ? (cos ?1t ? cos 3?1t π 3 1 ? cos 5?1t ), 50.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.5E3 ? 0.01E 2-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5有限项的N越大，误差越小例如: N=92E 1 1 1 S9 ? (cos ?1t ? cos3?1t ? cos5?1t ? ? ? cos11?1t ) π 3 5 111 0.80.60.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6-0.8-1 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5结论lim ? N越大，越接近方波 N ?? S N ? f (t )? 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；? 慢变信号，低频分量，主要影响顶部；? 任一分量的幅度或相位发生相对变化时， 波形将会失真； ? 有吉伯斯现象发生。3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现以周期矩形脉冲为例：f (t ) ?n ???? G? (t ? nT ),?(? ? 1, T ? 5)只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m 的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在 绘制频谱时采用stem而非plot命令。谐波阶数取 Nf ? 60还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的 反褶。 上机练习！3.5 非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换E f (t ) E f (t )??T1?? T1 ? 2 2? 2?T1 2T1 ? ?T1t?? 2? 2t对周期矩形脉冲信号，有2 E? nπ? cn ? a n ? Sa( ) T1 T1T1 ?2π ?1 ? ? T1谱线间隔 ? 谱线间隔 ? 0T1 ? ?2π ?1 ? ?0 T11．从周期信号到非周期信号 ――从傅里叶级数到傅里叶变换由于 T1 ? ?,1 Fn ? T1?T1 2 T ? 1 2f (t )e ? jn?1t dt ? 0从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。从数学角度来看：f (t ) ?n ????Fen?jn?1t1 ? ? C ne jn?1t n ??? 2?无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。结论 信号的频谱分布是不会随着信号的周 期的无限增大而消失的。T→∞ 时，信号的频谱分布仍然存在。所以，傅里叶级数展开为：f (t ) ?n ?????F (n?1 )e jn?1t1 1 T2 F (n?1 ) ? ? T1 f (t )e? jn?1t dt T1 ? 2两边同乘以T1 , T1 ? ?, ?1 ? 0, 取极限: lim T1 F ( n?1 ) ? lim 2πF ( n?1 ) ? lim ?T1 ?? T1 2 T1 ? 2T1 ???1 ? 0?1f ( t )e ? jn?1 t dt定义 F (? ) ? lim2πF ( n?1 )T1 ???1? lim ?T1 ??T1 2 T1 ? 2f ( t )e ? jn?1t dt为频谱密度函数。周期信号：频谱是离散的，且各频率分量 的复振幅 Fn为有限值。 非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅F (? ) d? 2π为无限小量。！所以，对非周期信号来说，仅仅去 研究那无限小量是没有意义的，其频 谱不能直接引用复振幅的概念。2．傅里叶逆变换――怎样用 F ( j? )计算 f (t )f ( t ) ? limT ??n ??? ???Fen??jn?1 tF (jn?1 ) jn?1t ? lim ? e T ?? T n ?????1 1 ?? jn?1 t ? lim ? ? F (jn?1 )e ? F (j? )e j? t d? ?1 ? 0 2π 2π ??? n ???1 ?? f (t ) ? F ( j? )e j?t d? 2π ??? 1 ?? 1 ?? ? j? (? ) j?t ? F ( j? ) e e d? ? F ( j? ) e j[?t ?? (? )]d? 2π ??? 2π ??? 1 ?? ? ? ? ??? F ( j? ) ?cos ??t ? ? (? ) ? ? jsin ??t ? ? (? ) ?? d? 2π ?? 1 ?? j ? ??? F ( j? ) cos[?t ? ? (? )]d? ? 2π π ??? F ( j? ) sin[?t ? ? (? )]d? 2π 1 ?? ? ??? F ( j? ) cos[?t ? ? (? )]d? 2π3. 正、逆傅里叶变换 正变换 反变换F (? ) ? ????f ( t )e? j? t dt1 ? f (t ) ? F (? )e j? t d? 2π ???傅里叶变换存在的充分条件:????f ( t )dt ? ?用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。 ! 傅里叶变换对的形式并不唯一4．傅里叶变换的另外几种形式F (j2π f ) ? ?????f (t )e? j2π f t dt1 ?? f (t ) ? F (j2πf )e j2π f t d(2πf ) 2π ??? ???? ??F (j2πf )e j2π f t df??F( f ) ? ? f (t ) ? ???f ( t )e? j2πft dt????F ( f )e j2π f t dfF (j? ) ? F [ f ( t )] ? 2π? f (t ) ? F [F (j? )] ? ??1 ?? ??????f (t )e? j? t dtF (j? )e j? t d?F (j? ) ? F [ f ( t )] ? f ( t ) ? F [ F (j? )] ??11 2π 1?????f ( t )e ? j? t dt F (j? )e j? t d?2π?????3.5.2 常见信号的傅里叶变换本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。 1.单边指数信号 6. 符号函数2. 双边指数信号3. 奇双边指数信号 4. 矩形脉冲信号 5. 钟形脉冲信号7. 冲激函数傅里叶变换对8. 冲激偶的傅里叶变换 9. 阶跃信号的傅里叶变换 10. 复正弦信号1. 单边指数信号的傅里叶变换单边指数：f (t ) ? e u (t )其傅里叶变换为：? at(a ? 0)（复函数）利用傅里叶变换定义公式F (? ) ? ?? 0???f (t )e ? j?t dt(? a ? 0)? ? e ? at e ? j?t dt ?? e0 ? ? ( a ? j? ) t1 dt ? ? e ? ( a ? j? ) t ( a ? j? )? 01 ? a ? j?单边指数信号的频谱如下：f (t ) ? e u (t )1? at( a ? 0)频域频谱时域波形O1 a1 2a Ot? ? (? ) ? ? arctan( )π 2 aF (? ) ?1 a2 ? ? 23a??Oπ 2?2. 双边指数信号的傅里叶变换偶双边指数：f (t ) ? e其傅里叶变换为：?a t(a ? 0)（正实函数）求解过程利用傅里叶变换定义公式F (? ) ? ???? 0f (t )e? j?tdt ? ? e?? ? 0??a te ? j?t dt?? e e??at ? j?tdt ? ? e? at e? j?t dt0??1 e ( a ? j? ) t ( a ? j? )???1 e ? ( a ? j? ) t ( a ? j? )?01 1 2a ?? ? ? 2 , 2 a ? j? a ? j? a ? ?(a ? 0)双边指数信号的频谱如下：2 aF (? ) ? 2a a2 ? ? 21f (t ) ? e?a t( a ? 0)时 域 波 形Ot频 域 频 谱1 aO3a?相位? (? ) ? 03. 奇双边指数信号的傅里叶变换?e?at , t ?0 ? 奇双边指数：f (t ) ? ? ?at ? ?e , t ?0 ?(a ? 0)（纯虚函数）1时域波形?e?at， t ?0 ? f (t ) ? ? ?at t ? ?e ，?0 ?(a ? 0)频谱如下：Ot频域频谱2? 1 F (? ) ? a2 ? ? 2 aπ 2? π ?? 2 ? ? (? ) ? ? ? π ? 2 ?? ?0 ??0O??a Oa?π ? 24. 矩形脉冲信号的傅里叶变换? ? 矩形脉冲：f (t ) ? E[u (t ? ) ? u (t ? )] 2 2实函数? ? f (t ) ? E[u (t ? ) ? u (t ? )] 2 2OE?? 2π?? F (? ) ? E? Sa （ ） 22? ? 6π ?t时域有限的矩形脉冲信 号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为?Oπ -π???? ?2π?, ?f ? 1?? 1 ? 2π ?B ? ?f ??5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换（高斯脉冲）钟形脉冲：f (t ) ? E e其傅里叶变换为：t ? ） （ 2?（正实函数）Ef (t ) ? E et 2 ? （ ）?时域波形E eO?tπE?π E? eF (?) ? π E? e?? ? ） （ 2 2因为钟形脉冲信号是频域频谱一正实函数，所以其 相位频谱为零。O2 ??6. 符号函数的傅里叶变换?1， t ? 0 ? ? at ? ?e , t ? 0 f (t )= sgn(t ) ? ?0， t ? 0 ? lim ? ? at a ?0 ? ?e , t ? 0 ? ? ?1，t ? 0 ?其傅里叶变换为：（纯虚数函数）2 ? F (? ) ? ? ? ? ? ? π ? ?? 2 , ? ? 0 ?? (? ) ? ? ? ? ? π, ? ?0 ? ? 2 ? ?sgn(t )1OF (?)?1tO?? (? )π 2符号函数不满足绝对可积 条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数 衰减函数相乘，求出奇双边指 数的频谱，再取极限，从而求O π ? 2?得符号函数的频谱。7. 冲激函数傅里叶变换对f (t ) ? ? (t )F (?) ? F[?(t )] ? ? ?(t )e ? j? t dt ? 1?? ?1 ? 1 jωt F [δ (ω)] ? ??? δ (ω)e dω ? 2? 2??1F [1] ? 2?δ (ω) F [ E ] ? 2?Eδ (ω)！直流信号的傅里叶变换是冲激函数? (t )o t1Of (t ) ? 1tF (? )1Oδ (ω)2??O?均匀谱或白色谱8. 冲激偶的傅里叶变换f (t ) ? ? ?(t )1 ? j?t ? (t ) ? ? e d? 2π ??d ?? (t )? dt 1 ? ? ( j? )e j?t d? 2π ???d? (t ) FT d ??? j? F (? ) ? FT [ ? (t )] ? j? 记为 dt dt dn FT [ n ? (t )] ? ( j? ) n dt 同理，有 dn FT (t n ) ? 2π( j)n ? (? )? n ? d?9. 阶跃信号的傅里叶变换1 1 f (t ) ? u (t ) ? ? sgn(t ) 2 2 1 1 F (? ) ? FT [ ] ? FT [ sgn(t )] 2 2 1 ? π? (? ) ? j?幅频特性 F (? ) ? π ? (? ) ?2 2u(t)1OtF (? )1?2O? ?0 ? 0, ? 相频特性 ? (? ) ? ?? π/2, ? ? 0 ? π/2, ? ? 0 ??10．复正弦信号f (t ) ? e j?ct1 IFT (1) ? 2π?e????e j?t d? ? ? (t )?????e d? ? ?j?t??? jxt??dx ? ?????e? j?td??????e? j?t d? ? 2π? (t )? ?tt ? ? ? ?cF (ω)2?FT (ej?ct) ? ? e? j(? ??c )t dt ? 2π? (? ? ?c )????ej?c t? 2π? (? ? ?c )j?c t 的傅里叶变换为一位于结论?c 且强度为 2π 的冲激函数。eO?c ?补充升余弦脉冲信号的傅里叶变换EE/2f (t )升余弦脉冲信号： E πt f (t ) ? [1 ? cos( )], (0 ? t ? ? ) 2 ? 其傅里叶变换为：?? ?? O 2E?? 2 F (? )? t（实数）其频谱由三项构成，均为矩 形脉冲频谱，只是有两项沿 频率轴左、右平移了 ? ? π/?E? 2?Oπ 2π 3π 4π ? ? ? ?求解过程 利用傅里叶变换定义公式E πt ? j?t F (? ) ? ? f (t )e dt ? ? [1 ? cos( )]e dt ?? ?? 2 ? π E 0 ? j? t E ? j ? t ? j? t E ? ? j? t ? j?t ? ? e dt ? ? e ? e dt ? ? e e dt 2 ?? 4 0 4 0 E? π E? π ? E? Sa(?? ) ? Sa[(? ? )? ] ? Sa[(? ? )? ] 2 ? 2 ?? ? j?t ?化简得：3.5.3 MATLAB仿真实现MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。 （1）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f)2）F=fourier(f,v)f ? f (? )F ( jv) ? ? f (t )e? jvt dt?? ? ?3）F=fourier(f,u,v)F ( jv) ? ? f (u )e? jvt dt??（2）傅里叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F)2）f=ifourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u)在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到 的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对 fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义 符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中 的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。书中例题可上机练习！3.6 傅里叶变换的性质1. 傅里叶变换的唯一性f (t ) ? F (? ) F (? ) ? F [ f (t )] ? ??1 ? ??Ff (t )e ? j?t dt1 ? f (t ) ? F [ F (t )] ? F (? )e j?t d? 2π ???时间函数 某种运算 变 化！?? ? 频谱 ?关系建立对应?????? 变化 ????? ? ? 借助基本性质运算傅里叶变换的唯 一性表明了信号 的时域和频域是 一一对应的关系。2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）若 f (t ) ? F (? ) ，则 F (t ) ? 2πf (?? )FF证明F (t ) ? f ?(? ) f ?(? ) ? F [ F (t )] ? ? F (t )e ? j?t dt?? ?F1 ? ? 2π F (t )e j ( ?? )t dt ? 2πf ?(?? ) 2π ??? F 1 即 f ?(?? ) ? f (? ) ? F (t ) ? 2πf (?? ) 证毕 2π！若为偶函数，则或即f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子： （1）冲激函数? (t )F(ω)O F(t)tOω2π? (? )OtOω（2）直流函数1?? / 2 Of (t )?tF (? )O? 2π 2π??? Sa ( ??2? /2?)?c 2πf (t )1OF (? )t?c2π?2π2π?c?cSa (?c t2?)?c2O?c2?f (t ) ? e? atFT1 F (?) ? a ? j?f 换成F1?换 成t1 F1 (ω) ? FT [ ]?? a ? jt对 称 性t 换成ωF (ω) ? 2?f (?ω) ? 2?e ? aω 1例? 1 ? 求:F ? 2 ? t ? 1? ?解e?at2a ? 2 2 a ??1 ?t 1 ? e ? 2 1? ?2 1 1 ?? ?? ? 2 ? 2π e ? πe t ?1 23. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱＝各个单独信号的频谱之和证明F (? ) ? F [ f (t )] ? F [a1 f1 (t ) ? a2 f 2 (t )] ??? ??a1 f1 (t ) ? a2 f 2 (t )]e ? j?t dt? ??? a1 ?f1 (t )e? j?tdt ? a2 ????f 2 (t )e ? j?t dt推论a1 f1 (t ) ? a2 f 2 (t ) ? a1F ?1[ F1 (? )] ? a2 F ?1[ F2 (? )] F [a1 f1 (t ) ? a2 f 2 (t )] ? a1F [ f1 (t )] ? a2 F [ f 2 (t )] F ?1[a1 F1 (? ) ? a2 F2 (? )] ? a1F ?1[ F1 (? )] ? a2 F ?1[ F2 (? )]例 解求 f(t) 的傅里叶变换f (t )2 1tf ( t ) ? [u( t ? ) ? u( t ? )] ? [u( t ? ? ) ? u( t ? ? )] 2 2?????? / 2? /2?F (? ) ? ? [ Sa(?? / 2) ? 2 Sa(?? )]4. 奇偶虚实性 无论 f (t) 是实函数还是复函数，下面四式均成立:FT [ f (t )] ? F (? ) FT [ f (?t )] ? F (?? )FT [ f * (t )] ? F * (?? ) FT [ f * (?t )] ? F * (? )更广泛地讲，函数f(t)是t的复数；令时域反摺 频域也反摺 时域共轭频域 共轭并且反摺f (t ) ? f1 (t ) ? jf 2 (t )虚部 实部F ( j? ) ? R(? ) ? jX (? )F ( j? ) ????[ f1 (t ) ? f 2 (t )]e ? j?t dt ?e? j?t ? cos ?t ? jsin ?t整理上式得出：R(? ) ?????? [ f (t ) cos ?t ? f1?? ??2(t ) sin ?t ]dtX (? ) ? ? ? [ f1 (t ) sin ?t ? f 2(t ) cos ?t ]dt1 ? f (t ) ? 2π?????F ( j? )e j?t d?...... ?1?F ( j? ) ? R( j? ) ? jX (? )..... ? 2 ? e j?t ? cos ?t ? jsin ?t..... ? 3?把式（2）、（3）代入式（1）整理得：1 f1 (t ) ? 2π 1 f 2 (t ) ? 2π????? [ R(? ) cos?t ? X (? ) sin(?t )]d? ? [ R(? ) sin ?t ? X (? ) cos ?t ]d?????特殊情况讨论：性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则F (? ) 的实部与虚部将 分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有?? ??R(? ) ????f (t ) cos ?tdt ,X (? ) ? ? ? f (t ) sin ?tdt??从上式可以得出结论:R(?? ) ? R(? ) , X (?? ) ? ? X (? ) F (? ) ? R(? ) ? jX (? ), F (?? ) ? R(? ) ? jX (? ) ? F (?? ) ? F * (? )F (? ) ? ? f (t ) cos ? tdt ? j? f (t )sin ? tdt?? ????偶函数奇函数R(? ) ? R(?? )X (? ) ? ? X (?? )F (?? ) ? F * (? )FT [ f (?t )] ? F (?? ) FT [ f (?t )] ? F * (? )特点 实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.性质2 虚函数 设f(t)是纯虚函数 f (t ) ? jf 2 (t ), f1 (t ) ? 0则R (? ) ? X (? ) ????? ???f 2 (t ) sin ?tdt f 2 (t ) cos ?tdt???因而R(? )是 ? 的奇函数,而 X (? ) 是 ? 的偶函数。? F (?? ) ? ? F * (? )反之也正确.性质3 实偶函数设f(t)是t的实偶函数，则 f (t ) ? f (?t )F (? ) ? ?????f (t )e? j?t? R(? ) ???dt ? ?????f (t )cos ?tdt ? j??? 0????f (t )sin ?tdt???f (t ) cos ?tdt ? 2 ? f (t ) cos ?tdtX (? ) ? 0结论实偶函数的傅里叶 变换仍为实偶函数推论反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。例 解f (t ) ? e?? t(?? ? t ? ??)2? F (? ) ? 2 ? ? ?2f(t)? (? ) ? 0F(ω)OtOt性质4 奇实函数R(? ) ?设f(-t)=-f(t) ，则：?????f (t ) cos ?tdt ? 0R ( j? ) ? 0?? ??X (? ) ? ? ? f (t ) sin ?tdt?? ????X (? ) ? ? ? f (t ) sin ?tdt ? ?2 ? f (t ) sin ?tdtf (t ) ? ?1 π??0? X (?) sin ?td?0结论实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数 反之，若一实函数f(t)付里叶积分是 一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。推论例 解?e? at f (t ) ? ? ? at ? ?e(t ? 0) (t ? 0)Of(t)?2 j? F (? ) ? 2 ? ? ?2t2? F (? ) ? 2 ? ? ?2|F(ω)|? π ?? 2 (? ? 0) ? ? (? ) ? ? ? π (? ? 0) ?2 ?F(ω) π/2 φ(ω) ω ωOωOO-π/2同理可以推出： 性质5： 若 f (t ) 是虚函数且还是偶函数，则 f (t ) 的傅 里叶变换为虚偶函数。 性质6： 若 f (t ) 是虚函数且还是奇函数，则 f (t ) 的傅 里叶变换为实奇函数。读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明如果将 f (t )按照奇偶来划分f (t ) ? f o (t ) ? f e ( t ) f e (t ) ? R(? ), f o (t ) ? X (? ) R (? ) ? 2 ? f e (t ) cos ?tdt , X (? ) ? ?2 ? f o (t ) sin ?tdt0 ? 0 ? ? ?f e (t ) ?1 1 R(? ) cos ?td? , f o (t ) ? ? X (? ) sin ?td? π? π0 0? ?? ?F (? ) ? ?[ f e (t ) ? f o (t )]e ? j?t dt ?????f e (t ) cos ?tdt ? j ? f o (t ) sin ?tdt??而F (?) ? Re[ F (?)] ? jIm[ F (?)]? fe (t ) ? Re[ F (? )], f o (t ) ? jIm[ F (?)]? R(? ) ?????? [ f (t ) cos ?t ? f1 ?? ?? ??2(t ) sin ?t ]dtX (? ) ? ? ? [ f1 (t ) sin ?t ? f 2(t ) cos ?t ]dt ? f1 (t ) ? 1 ? R(? ) cos?t ? X (? ) sin ?t ]d? 2π ????1 f 2 (t ) ? ? R(? ) sin ?t ? X (? ) cos ?t ]d? 2π ??由此可看出，此时F(ω)是虚函数且是ω的奇函数。对于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。上述讨论的结果如下: f(t) 一般 F(ω) 实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇 实部偶 虚部奇 虚部偶 实部奇实偶 奇虚偶 奇5. 尺度变换特性 时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数a ，其关系为f (t ) ? F (? ) 则1 ? f (at ) ? F( ) a a证明F[ f (at )] ? ? f (at )e-j?t dt???令x=at，则dx=adt ，代入上式可得1 FT [ f (at )] ? a????f ( x)e? j?x a1 ? dx ? F(j ) a a结论 时域压缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩。时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）2 F (2? )展πf(t/2) 缩 缩展2?Oπ?? O? t????f(2t) 缩 1 缩 展? /2O1 F (? / 2) 2展?? / 4 O ? / 4t?4π?4π??例 尺度变换变换后语音信号的变化f(t)0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0f(2t)f(t/2)f (t)f (1.5t)f (0.5t)0.050.10.150.20.250.30.350.4一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz定义等效脉冲宽度若高度为 f (0) 的矩形与 f (t ) 的面积相等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度 。 若高度为 F (0) 的矩形与 F ( f )的面积相 等，则称矩形宽度为等效频带宽度 。等效频带宽度1 ? f (t ) ? F (? )e j? t d? 2π ???F (? ) ? ????f (t )e ? j? t dt????F ( f )df ? f (0)????f (t )dt ?F (0)f (0) ?? ? F (0) ? ? F (0) ? B f ? f (0) ?Bf ?1?结论 信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。上述反比特性的物理意义： (1) 函数 f(at) 表示函数 f(t) 在时间刻度上压缩 a倍，同样 F (? / a) 表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然。(2) 脉宽×频宽＝常数6. 时移特性若 FT ? f (t )? ? F (? )? j? t0 则 FT ? f (t ? t0 )? ? F (? )e证明则令 x ? t ? t0FT ? f ( x) ? ? ? ?e? j? t0???f ( x)e ? j? ( x ?t0 ) dx????f ( x)e ? j? x dx ? e ? j? t0 F (? )FT ? f (t ? t0 )? ? e? j? t0 F (?)同理可推得：带有尺度变换的时移特性1 ? ?j FT ? f (at ? t0 ) ? ? F ( )e a a? t0aFT [ f (at ? t0 )] ? ?令 x ? at ? t0???f (at ? t0 )e? j?t dt(a ? 0)t ? ( x ? t0 ) / a1 ? FT [ f (at ? t0 )] ? ? f ( x)e ? j? ( x ?t0 ) a dx a ?? ?t ?t ? ?j x 1 ? j a0 ? 1 ? j a0 ? ? e f ( x)e a dx ? e F( ) ??? a a aa & 0时加绝对值例 求三脉冲信号的频谱 解单矩形脉冲 f0 (t ) 的频谱为2 有如下三脉冲信号：F0 (? ) ? E? Sa(??)f (t ) ? f 0 (t ) ? f 0 (t ? T ) ? f 0 (t ? T )其频谱为F (? ) ? F0 (? )(1 ? e j? T ? e ? j?T ) ? F0 (? )(1 ? 2 cos ?T ) ? E? Sa(??2)(1 ? 2 cos ?T )7. 频移特性FT ? f (t )? ? F (? )FT [ f (t )e j?0t ] ? F (? ? ?0 ) FT [ f (t )e? j?0t ] ? F (? ? ?0 )频移特性与时移特性对称（这里ω0为实常量）j?0t证明FT [ f (t )e ??? ??]? ????f (t )e j?0t e ? j? t dtf (t )e ? j(? ??0 ) t dt ? F (? ? ?0 )同理可得1 f (t ) cos ?0t ? [ F (? ? ?0 ) ? F (? ? ?0 )] 2 j f (t ) sin ?0t ? [ F (? ? ?0 ) ? F (? ? ?0 )] 2若 f (t ) ? F (? )1 [ f (t ? T ) ? f (t ? T )] ? F (? ) cos ?T 则 2例 矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosω0 t 相乘后信号的频谱函数。解 宽度为? 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为F ( j? ) ? A? ? Sa(利用频移特性可得??4)1 1 F [ f (t ) cos ?0t ] ? F [ j(? ? ?0 )] ? F [ j(? ? ?0 )] 2 2 (? ? ?0 )? (? ? ?0 )? 1 ? { A? ? Sa[ ] ? A? ? Sa[ ]} 2 2 2F(ω) f (t) A- t /20t /2to?f (t)cos ?0 tF(ω)At - t /2 t /2? ?0o?0?8. 微分特性（1）时域 若 FT [ f (t )] ? F (? ) ，则df (t ) FT [ ] ? j? F (? ) dt d n f (t ) FT [ ] ? ( j? ) n F (? ) dt ndF (? ) ? jtf (t ) ?? ? d?FT（2）频域FT f (t ) ?? F (? ) ，则 ? 若证明（略）dn (? jt ) f (t ) ?? ? n F (? ) d?n FT9. 积分特性 （1）时域积分 若 FT [ f (t )] ? F (? )? t f (? )d? ? ? F (? ) ? πF (0)? (? ) 则 FT ? ? ?? ? ? ? j?? f (t ) ?? F (? ) ? ? ?1 ? ? f (t ) ?? F (? ) / j? ? ?2 f (t ) ?? F (? ) /( j? ) 2 ? ? ? ? ? ? f ? n (t ) ?? F (? ) /( j? ) n ? ?若 F (0) ? 0 , 则(2) 频域积分 若 FT [ f (t )] ? F (? )? f (t ) ? πf (0)? (t ) ? ? F (?)d? 则 ? ?? jt10 . 卷积定理（1）时域卷积定理设有两个时间函数f1(t)和f2(t)，它们分别对应的频谱函数为F1(ω)和F2(ω)： 若 FT [ f1 (t )] ? F1 (? ), FT [ f 2 (t )] ? F2 (? )则 FT [ f1 (t )* f 2 (t )] ? F1 (? ) ? F2 (?)f1 (t ) ? F1 (? )可简记为Lf 2 (t ) ? F2 (? ) f1 (t ) ? f 2 (t ) ? F1 (? ) ? F2 (? )LL证明F [ f1 (t ) ? f 2 (t )] ? [ ? f1 (? ) f 2 (t ? ? )d? ]e ? j?t dt?? ? ? ???式中??f1 (? )[ ???f 2 (t ? ? )e ? j?t dt ]d?????f 2 (t ? ? )e? j?t dt ? F2 (? )e? j???F [ f1 (t ) ? f 2 (t )] ? ? f1 (? ) F2 (? )e ? j?t dt??? F2 (? ) ????f1 (? )e ? j?t dt ? F2 (? ) ? F1 (? )（2）频域卷积定理若 FT [ f1 (t )] ? F1 (? ), FT [ f 2 (t )] ? F2 (? )1 则 FT [ f1 (t ) ? f 2 (t )] ? F1 (? ) ? F2 (? ) 2πf1 (t ) ? F1 (? )可简记为Lf 2 (t ) ? F2 (? ) 1 f1 (t ) ? f 2 (t ) ? F1 (? ) ? F2 (? ) 2πLLF1 (? ) ? F2 (? ) ? ? F1 (? ) F2 (? ? ? )d????3.7 周期信号的傅里叶变换3.7.1 正、余弦信号的傅里叶变换1. 用频移特性令 f 0 (t ) ? 1F0 (? ) ? FT [ f0 (t ) ] ? 2π? (? )F[e j?1t ] ? 2π? (? ? ?1 ) F [e? j?1t ] ? 2π? (? ? ?1 ) F [ f 0 (t ).e j?1t ] ? F0 (? ? ?1 )j? t 由频移特性 FT [ f 0 (t ).e 1 ] ? F0 (? ? ?1 )1 j?1t ? j?1t FT [cos ?1 t ] ? FT [ (e ? e )] ? π[? (? ? ?1 ) ? ? (? ? ?1 )] 21 j?1t ? j?1t FT [sin ?1 t ] ? FT [ (e ? e )] ? jπ[? (? ? ?1 ) ? ? (? ? ?1 )] 2jπ? ?1F (? )πjF (? )πo?1?? ?1o?π?1?余弦信号频谱正弦信号频谱2. 用极限方法有限长余弦 f 0 (t )看成矩形 G (t ) 乘以 cos ?1t 。对 f 0 (t )求极限即可得到无限长余弦信号。f 0 (t ) ? G(t ) cos ?1t ? G(t )(e j?1t ? e? j?1t ) / 2 1 F0 (? ) ? FT ? f 0 (t ) ? ? [G (? ? ?1 ) ? G (? ? ?1 )] 2 ? ? ? ? ? Sa[(? ? ?1 ) ] ? Sa[(? ? ?1 ) ] 2 2 2 2cos ?1t ? lim f 0 (t )? ??? ?? ? F [cos ?1t ] ? lim ? Sa?(? ? ?1 ) ? ? ? Sa?(? ? ?1 ) ? ?? 2 2 ? ?? 2 2 ? ?? ? (? ) ? lim Sa(?? ) ? ?? πFT [cos ?1t ] ? π[? (? ? ?1 ) ? ? (? ? ?1 )]? /2??1?? / 21f 0 (t )? /2 t-1F0 (? )?1F (? )?π??1π?1?3.7.2 一般周期信号的傅里叶变换周期信号 f (t ) ?n ?????Fn e jn?1t1 T1 / 2 式中 Fn ? ? f (t )e? jn?1t dt T1 ?T1 / 2? e j?1t ? 2π? (? ? ?1 )? ? jn?1t ? F (? ) ? FT ? ? Fn e ? ? n ??? ? ?n ?????Fn ? FT ?e jn?1t ? ? 2π ? Fn? (? ? n?1 ) ? ?n ????例 求单位冲激序列 ? T (t ) 的傅里叶变换 解? T (t ) ?n ???? ? (t ? nT )1?FT ??T (t )? ? 2π ? Fn? (? ? n?1 )n ????1 T1 / 2 1 T1 / 2 ? ? jn?1t Fn ? ? ?T (t )e dt ? ? ? (t ? nT1 )e ? jn?1t dt ? T1 ?T1 / 2 T1 ? T1 / 2 n ??? 1 T1 / 2 1 ? jn?1t ? ? ? (t )e dt ? ?T1 / 2 T1 T1? 2π ? F (? ) ? ? ? (? ? n?1 ) ? ?1 n? ? (? ? n?1 ) T1 n??? ???? (t )(1) O1F0 (? )tO?Fn? T (t )FS1/ T1??1 OT1tFT?12?1 ??1??1 OF (? )?12?1 ?小结 周期信号傅里叶变换的特点：(1) 周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信 号则只能求傅里叶变换； (2) 非周期信号的频谱 F0 (? ) 是连续谱，它的大小是有限值； (3) 周期信号的频谱 F (? ) 是离散谱，其幅值是无穷大（含谱 密度概念），它的大小用冲激表示； (4) F0 (? ) 是 F (? ) 的包络的 1/ ?1倍； (5) F (? ) 是单个复谐波成份的复振幅，而 F0 (? ) 是单位带宽内 所有复谐波成分的合的复振幅值；（6） Fn的单位是伏特或安培，而 F (? )的单位则是(伏特/赫，安培/赫)； (7) Fn 代表的是信号的功率分配, 而 F (? )代表了信号的能量 分布。3.8 抽样定理取样目的及所遇到的问题：取 样量 化模 拟 信 号 输 入模 拟 信A/ D 转换器数字信号 处理器D/ A 转换器号 输 出数字信号处理系统简单框图问题: （1) 取样后离散信号的频谱是什么样的？它 与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？（2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样 的信号还原成原始信号？抽样连续信号还原(有条件)离散信号自然抽样(矩形抽样) 时域抽样 抽样 频域抽样 带通（了解) 理想抽样(冲激抽样)平顶抽样低通(掌握)3.8.1 时域抽样 1．矩形脉冲抽样（自然抽样） 抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t) 的乘积来描述。抽样信号为 f s (t ) ? f (t ) p(t )时 域 抽 样 简 图 连续信号f(t)抽样信号 f s (t ) 量化 数字信号 编码抽样脉冲p(t)此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽 样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种抽样称为“自然抽样”。（1）抽样信号频谱推导令模拟带限信号傅氏变换为 F (? )，即 f (t ) ? F (? )取样脉冲序列的傅氏变换为 p(t ) ? P(? )设取样为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为?s ? 2πf s ? 2π/Ts由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅氏变换为:P(? ) ? 2π ? Pn? (? ? n?s )n ????1 式中： Pn ? Ts?Ts / 2 ?Ts / 2p(t )e? jn?s tn?s? E? dt ? Sa( ) Ts 2由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。 1 Fs (? ) ? F (? ) * P(? ) 2π代入上面计算出的p(t)E? Fs (? ) ? Ts！n?s? ? Sa( 2 ) F (? ? n?s ) n ????信号在时域被抽样后，它的频谱Fs (? )是连续信号的 频谱 F (? )以取样角频率 ?s为间隔周期地重复而得到 的。在重复过程 中，幅度被取样脉冲p(t)的傅里叶 系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。F (?)1 抽样前频谱E??sFs (?)抽样后频谱-?m o ?m?o ?m ?s?！ 当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律 变化。从 Fs (? ) 的频谱图可见，抽样后的信号频谱包 括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频 谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平 移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。因矩形脉冲 占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。（2）抽样频率的选择?s ? 2?m1 或Ts ? 2 fm取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。 ！ (1) 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十 分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。(2) 通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字 信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样)（3）矩形脉冲抽样f (t)FTt点 乘1F (? )o??m o ?m ?卷 积P (t)?FT? 2πE?? sP(? )2π?of s (t )Tst??s o?sE?? s??FTo?2π?2πt??s o?s??2. 冲激抽样（理想抽样） 若取样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激取样”或 “理想抽样”。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为?p(t ) ? ?T (t ) ?因?T(t)的傅氏系数为:n ???? ? (t ? nT )s? jn?s t1 Pn ? Ts?Ts 2 T ? s 2?T (t )e1 dt ? Ts故冲激取样信号的频谱为： 1 ? Fs (? ) ? ? F (? ? n?s ) Ts n???周期单位冲激序列的FT：?T (t ) ?n ???? ? (t ? nT1 ) ??n ?????Fn .ejn?1t1 ? T1n ???e jn?t ??1 ? FT [ f (t )] ? 2π ? ? (? ? n?1 ) T1 n ???F (? ) ? FT [? T (t )] ? ?1 ? ? (? ? n?1 )n ? ???(1)? (t )1F0 (? )oto1/ T1?Fn? T (t )otFS??1 o?1 2?1 ?FT?1??1 oF (? )?1 2?1 ?由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以 F (? ) 是以?s 为周期等幅地重复，如下图所示：F (?)1 TsFs (?)? ?m?m?? ?s?s?抽样前信号频谱抽样后信号频谱下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结： （1）时域理想抽样的傅里叶变换f (t )FTFT1 2πF (? )相乘1 ? Fs (? ) ? ? F (? ? n? s ) Ts n???FT?相卷积? T (t ) ?n ? ??? ? (t ? nT )s?p(? ) ? ? sn ? ??? ? (? ? n? )s（2）关于非理想抽样1 Pn ? Ts?Ts 2 T ? s 2?p(t )e? jn?s tn?s? E? dt ? Sa( ) Ts 2p(? ) ? 2π ? Pn? (? ? n?s )n ???1 Fs (? ) ? F (? )* p(? ) 2π n?s? E? ? Fs (? ) ? ? Sa( 2 )F (? ? n?s ) Ts n???比较理想抽样非理想抽样1 ? Fs (? ) ? ? F (? ? n? s ) Ts n???理想抽样和非理想抽样的对比p( t ) ? ? T ( t ) ?n ???? ? ( t ? nT )s?p( t ) ?p(? ) ? ? sn ???? ? (? ? n? )s?n ???? G? (t ? nT )s?p(? ) ? 2π ? Pn? (? ? n? s )n?s? E? Pn ? Sa( ) Ts 2 1 Fs (? ) ? F (? )* p(? ) 2πn ????1 P ? n Ts 1 Fs (? ) ? F (? )* p(? ) 2π1 Fs (? ) ? Tsn ???? F (? ? n? )s?n?s? E? ? Fs (? ) ? ? Sa( 2 )F (? ? n?s ) Ts n???(1) 矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频结 论 谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频 谱分量的幅度是按包络 率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着 相同的幅度，不随频率而减少；f m 是信号本身固有的； Ts ? 1/ 2 f msin nπ? nπ?的变化规律随频(2)(3)是人为的；2 f m称为奈奎斯特抽样频率； Ts ? 1/ 2 f m称为奈奎斯特抽样间隔；(4)抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有 这样才能无失真地恢复出原信号。3．抽样定理定理3.1 设有一连续信号 f(t)，它的频谱 F ( j? ) ?10? ? ?m其它则只要取样间隔满足 T ? ? ，连续信号f(t)就可表示为： ?m?m ? sin[?m (t ? nT )] f (t ) ? ? f (nT ) ? (t ? nT ) ? n??? m证明由于f(t)的频带有限,而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证 ?m 内为 F (? ) ，) 则重复周期应满足 s ? 2?m ,将取样信号 Fs (?通 ?过截止频率为 ? m 的理想低通滤波器，便能从中 恢复 F (? ) ,也就是说，能从取样信号fs(t)中恢复出原始信号 f(t)。F (? )? ? mO ? m ?Fs (? )? ? mO ? m?复原始信号f(t)。设 f (t ) ? F (? ) f s (t ) ? Fs (? ), 、则当 Fs (? ) 通过截止频率为 ? 的理想低通滤波器m时，滤波器的响应频谱为 F (? ) ，显然滤波器的 作用等效于一个开关函数 G2? 同 Fs (? ) 的相乘。 m 即F (? ) ? G2?m Fs (? )由时域卷积定理知：f (t ) ? f s (t ) ? g (t )
由傅里叶变换的对称性可知：G2?m (? ) ? g (t ) ?而 f s (t ) ? 则?mπSa(?mt )?n ?????f (t )? (t ? nT ) ?n ????f (nT )? (t ? nT )(内插公式)f (t ) ? g (t ) ? f s (t ) ???mπSa(?mt ) ??mπn ?????f (nT )? (t ? nT )?mπn ?????f (nT ) Sa[?m (t ? nT )] ?n ?????sin[?m (t ? nT )] f (nT ) ?m (t ? nT )证毕定理3.2设f(t)是一带限连续信号，最高频率为?m,根据定理一对f(t)进行抽样，得f(nT)，则f(nT)经 过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得 到f(t). (自证) 由于定理二是讨论由离 散信号恢复成连续信号， 所以又称重建定理。H ( j?)1? ?c0?c?3.8.2 频域抽样频域抽样定理 若信号 f (t ) 为时限信号，它集中在?tm ? tm1的时间范围内，若在频域中，以不大于 2t 的频 m 率间隔对 f (t ) 的频谱 F (? ) 进行抽样，则抽样后的 频谱 F1 (? ) 可以唯一地表示原信号。 频域有限 时域有限 时域无限 频域无限 但反之不一定成立 如：白噪声时域取样与频域取样的对称性 f(t)TsF ( j? )以 ?s 为周期重复F ( j? )?sf(t)以T为周期重复离散性与周期性2π 时域周期(T1 ) ? 频域离散(?1 ? ) T1 频域周期(?1 ) ? 时域离散(Ts ? 2π?s)根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理f (t ) ?n ??????cπf (nTs ) Sa[?c (t ? nTs )]变 量 置 换偶函数?T ? F (? ) ? ? F ?n? s ?Sa? (? ? n? s )? ?2 ? n ? ???频域取样后的时间函数F (? )0IFT1f (t )?? ? (? )00(1)IFT1/ ?1? T1? T (t ) ?1t? ?1F1 (? )?1?相 乘IFTT1卷 积01/ ?1tf (t )? ?1 0 ?1?0tF (? )F1 (? ) ? F (? )?? (? )IFT? ? (? ) ?n????? (? ? n? )1?IFTf1 (t ) ?1?1 n???? f (t ? nT1 )?IFTf (t )1 f1 (t ) ? f (t ) * ? T (t ) ?11 ? p(? ) ? ? ? (t ? nT1 ) ?1 n???抽样定理小结? 时域对 f (t ) 取样等效于频域对 F (? ) 重复时域取样间隔不大于 1 2?m 。? 频域对 F (? )抽样等效于时域对 f (t )重复频域 取样间隔不大于 1 2tm。 ? 满足取样定理，则不会产生混叠。3.9 功率频谱与能量频谱3.9.1 周期信号的功率谱周期性信号的能量无穷大，功率有限，因此可从功率方面进行研究。(1) 正交分解与信号功率对周期信号f(t)做正交分解，有： f (t ) ? ? ci f i (t )则总功率为 t2 t2 1 1 2 2 P? ?t1 f (t )dt ? t2 ? t1 ?t1 [? ci fi (t )] dt t2 ? t1 iit2 t2 1 1 2 ? [ci fi (t )] dt ? ? [ci fi (t )]2 dt ? ? Pi ? ?t t2 ? t1 ?t1 i i t2 ? t1 1 it2 1 [ci fi (t )]2 dt ，为正交信号分量的功率 式中 Pi ? t2 ? t1 ?t1注意 例 解如果信号在非正交函数集中分解后，信号的 功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。 利用信号傅里叶级数分解后的信号分量，计算 原信号的功率 因为傅里叶级数分解是正交分解? ? Ai 1 2 2 2 P ? ? Pi ? ? (ai ? bi ) ? ? ? ? ci i i ?0 2 i ?0 2 i ? ?? 2 ?帕塞瓦尔定理： （1）周期信号的表示形式P ? P0 ? ? Pnn ?1 ?A0 2 1 ? 2 ? ( ) ? ? An 2 2 n ?1时域求得的信号功率频域求得的信号功率对于周期信号，在时域中求得的信号功率 ＝频域中的信号各谐波分量功率之和。 这就是 Parseval 定理在周期信号时的表示形式（2）信号有效值 与信号有着相同的功率的直流信号的大小，称为 信号的有效值。设 f 0 为某直流信号的幅度值。若信 号f (t )的功率与该直流信号的功率相等，则 t2 t2 1 1 2 f (t )dt ? f 0 2dt ? f 0 2 t2 ? t1 ?t1 t2 ? t1 ?t11 t2 2 f0 ? ?t1 f (t )dt ? P t2 ? t1式中， P 称为信号 f (t ) 的有效值。注意！ 信号的有效值不能叠加f0 ? P ??P ? ? fi i i2 i? ? fii例解求标准正弦信号的有效值.f0 ? ?1 t2 ? t1 1 t2 ? t1?t2t1? A ? cos(?t )? dt2?t2t1A2 A 1 ? cos(2?t ) ? dt ? ? 2 2例 解利用信号傅里叶级数分解后的信号分量计算信号 的有效值。? ? 2 ?1 2 2 f 0 ? P ? ? Pi ? ? (ai ? bi ) ? i i ?0 2Ai ?2 ? i ?0? cii ?02（3）周期性信号的功率谱将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图 的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的 功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似， 但有稍许不同： (1) 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频 率上，子信号功率 ? An 2 / 2 ，直流信号的功率为 A0 2 / 4 (2) 对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为： An 2 2 cn ? ( ) 2 (3) 功率谱只有大小（幅度），没有相位。3.9.2 能量频谱对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以 它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。 （1）能量谱 非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只 能用能量密度谱 G (? ) 描述单位频带内的信号能量。 信号总能量：：W ?? ?????f 2 (t )dt ? ?????f (t ) f * (t )dt ? ?????f * (t )1 ?? F ( j? )e j?t d?dt 2π ????? ?? 1 ?? 1 ?? F ( j? ) ? f * (t )e j?t dtd? ? F ( j? ) ? f * (t )e j?t dtd? ?? ?? 2π ??? 2π ???* ?? 1 ?? 1 ?? ? j? t * ? ??? F ( j? ) ??? f (t )e dt d? ? 2π ??? F ( j? ) F ( j? )d? 2π 1 ?? 1 ?? 2 2 ? F ( j? ) d? ? ? F ( j? ) d? 2π ??? π 0??定义1 2 F ( j? ) 双边能量谱 G (? ) ? 2π如果信号是实数信号，则还可以得到其单边能量谱为： 1 2 G (? ) ? F ( j? ) π 单位角频率 ? 如果换成单位频率 f 则信号总能量为W ??????F ( j2πf ) df222双边能量谱： G ( f ) ? F ( j2πf ) 单边能量谱：G ( f ) ? 2 F ( j2πf )注意！能量谱和功率谱一样，同样只 有大小（幅度），没有相位。（2）Rayleigh定理 ? 能量信号：信号在时间区间(-?,+ ?)内的能量为有限值，而在时间区间(-?,+ ?)内的平均功率P=0，这样的信号称 对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得, 为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定 也可以从频域中求得。 的数值；而当 t?∞ 时数值为0时。即为能量信号。 这就是 Parseval 定理在非周期信号时的表示形式 ? 能量信号的能量的计算公式：信号的总能量1 W ? ? [ f (t )] dt ? ?? 2?2 ?，可以推导出：????F ( j? ) d? ?2??1?0F ( j? ) d?2时域求得的信号能量频域求得的信号能量例sin 5 t 求信号 f (t ) ? 2 cos 997t ? 的能量。 ?t1 cos 997t ? [? (? ? 997) ? ? (? ? 997)]G? (t ) ? ? Sa (解???2)根据对称特性：t? ? Sa( ) ? 2? G? (? ) 2令? =1010Sa(5 t ) ? 2? G10 (? )?sin 5 t 1 f (t ) ? cos 997t ? ? cos 997t ? 10Sa(5 t ) ? 5t ? 10根据频域卷积定理：1 F ( j? ) ? ? 2πG10 (? ) ? [? (? ? 997) ? ? (? ? 997)] 2π ? G10 (? ? 997) ? G10 (? ? 997)信号的能量为：1 ? 1 ? 10 2 2 W ? ? [ f (t )] dt ? F ( j? ) d? ? ? F ( j? ) d? ? 焦耳 ?? 2π ? ?? π 0 π2 ?（3）脉冲信号的脉冲宽度和频带宽度对于信号的能量分析，同样可以运用等效时宽和等效频宽的约束性。 等效时宽 脉冲的绝大部分能量集中的时间区间 ??t0 ?? t0f (t ) dt ? ?2等效频宽 脉冲的绝大部分能量集中的频率区间 B 1 ?0 ? B 2 ??0 F ( j? ) d? ? ? π 对于同一种信号而言 ? ? B ? 常数3.9.3 两个信号相似程度的描述相关系数 在信号分析中有时要比较两个信号是否相似。一般可以用误差能量 ? 2 来度量确定信号的相似性。设x(t)、 y(t)为两个确定信号， 误差能量定义 为?? ??2??? x(t ) ? ay(t )?2dt式中, a为系数， 选择合适的a使ay(t)与x(t)的误差 能量 ? 2最小， 即：? d 2 ? ? 2? ? x(t ) ? ay (t ) ?? ? y (t ) ? dt ? 0 ?? da得? a???? ?x(t ) y (t )dt y 2 (t )dt?，此时：? 2??? min 2 ? ????? x(t ) y (t )dt ? ? x(t ) ? y (t ) ??? ? dt ? ? y 2 (t )dt ? ??? ? ? ? ??定义相对误差能量为：? min 2x 2 (t )dt?2 1 ? ? xy??式中, ? xy ??????x(t ) y (t )dt? 1/ 2? x 2 (t )dt y 2 (t )dt ? ??? ? ??? ? ? ??为相关系数。? 1/ 2因为????x(t ) y(t )dt ? ? ? x 2 (t )dt ? y 2 (t )dt ? ? ?? ? ?? ? ?所以相关系数满足关系 |ρxy|≤1ρxy=1， x(t)、 y(t)线性相关，形状完全相似，注意！误差能量 ρxy=-1，x(t)、y(t)线性相关，形状完全相反， 误差能量 ρxy=0， x(t)、 y(t)线性无关，形状完全不同。两个无时差信号的相似性可用相关系数来表示，当遇到两个有时差信号，如无线接收机收到的两个不同（电离层反射）路径的信号，这时相似性研究就需要用相关函数表示。相关函数研究的是信号在时移过 程中的相关性。相关函数 对两个不同信号或同一个信号在时移过程中的相 似性研究， 分别用互相关函数与自相关函数来表示。1. 互相关函数定义两个能量信号x(t)、 y(t)的互相关函数为Rxy (? ) ? ? x(t ) y (t ? ? )dt ? ? x(t ? ? ) y? (t )dt? ?? ????同理Ryx (? ) ? ? y(t ) x (t ? ? )dt ? ? y(t ? ? ) x? (t )dt? ?? ????若x(t)、 y(t)均为实能量信号， 则Rxy (? ) ? ???? ?x(t ) y (t ? ? )dt ? ???? ?x(t ? ? ) y (t )dt y (t ? ? ) x(t )dtRyx (? ) ? ???y (t ) x(t ? ? )dt ? ???一般Rxy(τ)≠Ryx(τ)定义两个功率信号x(t)、 y(t)的互相关函数为1 T /2 Rxy (? ) ? lim ? x(t ) y ? (t ? ? )dt T ?? T ?T / 2 1 T /2 Ryx (? ) ? lim ? y (t ) x? (t ? ? )dt T ?? T ?T / 2若x(t)、 y(t)均为实功率信号， 则1 T /2 1 T /2 Rxy (? ) ? lim ? x(t ) y (t ? ? )dt ? lim ? x(t ? ? ) y (t )dt T ?? T ?T / 2 T ?? T ?T / 2 1 T /2 1 T /2 ? Ryx (? ) ? lim ? y (t ) x (t ? ? )dt ? lim ? y (t ? ? ) x(t )dt T ?? T ?T / 2 T ?? T ?T / 22. 自相关函数若x(t)=y(t)，互相关函数便成为自相关函数, 此时Rxx(τ)一般用R(τ)表示为Rxx ?? ? ? R ?? ? ? ????x(t ) x (t ? ? )dt ? ?????x(t ? ? ) x? (t )dt x(t ? ? ) x(t )dt若x(t)为实能量信号， 自相关函数可表示为Rxx ?? ? ? R ?? ? ? ????x(t ) x(t ? ? )dt ? ????若x(t)为功率信号， 自相关函数可表示为 1 T /2 Rxx ?? ? ? R ?? ? ? lim ? x(t ) x? (t ? ? )dt T ?? T ?T / 2 若x(t)为实功率信号， 自相关函数可表示为 1 T /2 Rxx ?? ? ? R ?? ? ? lim ? x(t ) x(t ? ? )dt T ?? T ?T / 23. 相关函数的特点 (1)一般情况下 R xy (? ) ? R yx (? ) (2) Rxy (? ) ? R yx (?? ) (3) R(? ) ? R(?? ) 相关与卷积的关系?Rxy (? ) ? R * yx (?? )R(? ) ? R * (?? )x(t )* h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d???变量 互换Rxh (? ) ? ?????x(t )h(t ? ? )dtx(? )h(? ? t )d?h (t)h (-t)Rxh (t ) ? ???没有反褶Rxh (t ) ? x(t ) * h(?t )相关定理若 F [ x(t )] ? X (? ) F[ y(t )] ? Y (? )则 F[ Rxy (? )] ? X (? ).Y * (? )证明? ? x(t ) y* (t ? ? )dt ?.e ? j? ? d? F [ Rxy (? )] ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? y* (t ? ? )e ? j? ? d? ? dt ? ? x(t ) ? ? ?? ? ?? ? ??? ? x(t )Y * (? )e ? j? t dt ? X (? )Y * (? )???自相关函数与幅度谱的平方是一对FT：F [ Rxx (? )] ? X (? ) X (? ) ? X (? )*2若有y(t)是实偶函数， (? ) 也是实偶函数则此 Y 时相关定理就是卷积定理 去共轭y(? ? t )?F [ ? x(t ) y* (t ? ? )dt ]??变量互换? X (? ) ? Y * (? ) ? X (? )Y (? ) ? ? x(? ) y(t ? ? )d? ??例 周期余弦 x(t ) ? E cos ?1t 的自相关 解取一个 周期T对功率有限信号1 R(? ) ? lim T ?? TT 2?2 ?T 2Tx(t ) x(t ? ? )dt同周期?1? lim ?T ???T 2E2 E 2 cos ?1t.cos[?1 (t ? ? )]dt ? cos ?1? 2例 求周期余弦信号x(t)=E cosω1t 的自相关函数。 解E2 ? T E2 ? T2E2 R(? ) ? T?T /2?T / 2cos ?1t cos ?1 (t ? ? )dt? ?T /2?T / 2 T /2cos ?1t ? cos ?1t cos ?1? ? sin ?1t sin ?1? ? dt cos ?1t cos ?1tdt ? ?2 T /2 ?T / 2?T / 2cos ?1t sin ?1t sin ?1? dtT /2 T /2 ? ? E ? 1 ? ? sin ?1? ? ?1 ? 2 ? cos ?1? ? t ? sin 2?1t ? ?? sin ?1t ? ? ? T ? 4 ?2 ? ?T / 2 ? 2 ? ?T / 2 ? ? ?E2 ? E2 ? cos ?1? ? ? cos ?1? T 2 T可见周期信号的自相关仍为同周期的函数。3.10 系统频域分析法? 在时域中,卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函 数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。 ? 本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信 号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。3.10.1 周期性信号的稳态响应在时域中 在频域中y (t ) ? h(t ) ? f (t )Y ( j? ) ? H ( j? ) F ( j? )响应的频谱 输入的频谱Y ( j? ) H ( j? ) ? ? F ( j? )? H ( j? ) e j? (? )其中：H(j?)=FT[h(t)] 称频域系统函数。 则h(t)= IFT[H(j?)]H ( j? ) 也称系统的频率响应。H ( j? ) 称为幅频特性， ? (? ) 称相频特性。频域系统函数 设激励 f(t)=ej?t, 则系统零状态响应为yzs (t ) ? h(t ) ? e ?e式中 H ( j? ) ? ??? ??j? tj? t???? ??h(? )e j? (t ?? )d???? ??h(? )e? j?? d? ? H ( j? )e j? t为h(t)的傅里叶变换，h(? )e ? j?? d?即有 h(t)?H(j?)！可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励ej?t 乘以加权函数H(j?)，此加权函数H(j?)即为频域系统 函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。周期信号激励下的系统响应 ? 正弦信号激励时的响应 设输入信号为正弦信号，即 f (t ) ? A cos(?0t )F ( j? ) ? π A[? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]Y ( j? ) ? H ( j? ) F ( j? )? π AH ( j? )[? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]? π A[ H (? j?0 )? (? ? ?0 ) ? H ( j?0 )? (? ? ?0 )]? π A H (j?0 ) [e? j?0 ? (? ? ?0 ) ? e j?0 ? (? ? ?0 )]所以y(t ) ? H (j?0 ) A cos(?0t ? ?0 )例设系统的频率响应 H ( j? ) 为0 ? ? ? 20 ? (? ) ? ?60? ? 1.5 H ( j? ) ? ? ? ? 20 ? 0 若输入信号 f (t ) ? 2cos(10t ? 90?) ? 5cos(25t ? 120?)求系统响应 y (t ) 解 用叠加定理： f1 (t ) ? 2cos(10t ? 90?) 作用于系统时y1 (t ) ? H ( j10) 2cos(10t ? 90? ? 60?) ? 3cos(10t ? 30?)H ( j 25) ? 0 对于 f 2 (t ) ? 5cos(25t ? 120?) 作用于系统时，? ? 20 故响应为零。因此系统响应为 y(t ) ? 3 cos(10t ? 30?)例正弦波通过RC电路R??f (t ) ? cos100t ? cos3000t带宽 1/ RC ? 1000 ，求系统响应 解 系统函数为f (t )?Cy (t )?Y ( j? ) 1/( j?C ) 1 1/ RC H ( j? ) ? ? ? ? F ( j? ) R ? 1/( j?C ) j? RC ? 1 j? ? 1/ RC幅频特性H ( j? ) ?1/ RC? 2 ? (1/ RC ) 2相频特性 ? (? ) ? ?arc tan(? RC )? 用MATLAB画出的幅频和相频特性图截止频率当 ? ? 100 rad/s时H ( j100) ? 0.995当 ? ? 3000rad/s时? (100) ? ?5.71?H ( j3000) ? 0.316所以，系统响应为? (3000) ? ?71.6?y(t ) ? 0.995cos(100t ? 5.71?) ? 0.316cos(3000t ? 71.6?)? 用MATLAB画出的输入和输出波形例某线性非时变系统的幅频响应|H(j?)|和相频响应?(?)如图所示。若激励 f (t ) ? 1 ? ? 1 cos n t , 求该系统的响应y(t)。n ?1?n2 -2 解|H(j?)|?(?)?0?2?-20 -?2?1 1 f (t ) ? 1 ? ? cos n t ? 1 ? cos t ? cos 2t ? ? 2 n ?1 n1 F ( j? ) ? 2π? (? ) ? π[? (? ? 1) ? ? (? ? 1)] ? π[? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] ?? 2该信号通过系统后，其响应的频谱为：Y ( j? ) ? H ( j? ) F ( j? ) ?| H ( j? ) | F ( j? ) e j? (? ) ? {4π? (? ) ? π[? (? ? 1) ? ? (? ? 1)]}e ? 4π? (? ) ? π[? (? ? 1) ? ? (? ? 1)]eπ ?j ? 2π ?j ? 2π 傅里叶反变换即可得：(t ) ? 2 ? cos( t ? ) ? 2 ? sin t y 2 非正弦周期信号激励时的响应? ? Yn ? H ( jn?) Fn 为输出信号的频谱由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用 Matlab来计算。例RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图 所示。求系统响应。 f (t )1???2???0.5 o 0.52t? 解 输入信号的频谱为 Fn ? ? Sa( n?? ) T 2n ? 0, ? 1, ? 2, ?其中，T=2，基波频率，因此，有? ? 0.5Sa( nπ ) Fn 2RC电路的频率响应为n ? 0, ? 1, ? 2, ?1/ RC H ( j? ) ? j? ? 1/ RC1/ RC 因此， H ( jn?) ? H ( jπ) ? jnπ ? 1/ RC1/ RC RC 电路的频率响应为 H ( j? ) ? j? ? 1/ RC 1/ RC 因此， H ( jn?) ? H ( jπ) ? jnπ ? 1/ RC输出信号的频谱为系统响应为? e jn ? t y (t ) ? ? Ynn ????RC电路输出的幅度频谱RC电路输出的时域波形3.10.2 非周期信号通过线性系统的零状态响应? 频域分析的方法的求解步骤为： ? 先求出输入信号的频谱F(j?)和频域系统函数H(j?) ? 由于y(t)=h(t)?f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶 变换的时域卷积性质，有 Y(j?) = H(j?) F(j?) ，求出输出信号的频谱? 将Y (j?)进行傅里叶反变换就得到 y(t)1f (t )补充RC电路，若输入信号 为矩形脉冲波如图所 示。求系统响应。?0.5o0.5t矩形脉冲波解输入信号的频谱为 F ( j? ) ? Sa( )?21/ RC RC电路的系统函数为 H ( j? ) ? j? ? 1/ RC因此，输出频谱为1/ RC ? Y ( j? ) ? H ( j? ) F ( j? ) ? Sa( ) j? ? 1/ RC 2因为 G (t ) ? Sa( ? ) ? 2 sin( ? ) ? 1 (e j0.5? ? e ? j0.5? ) 1 2 ? 2 j?令1/RC=a，可得Y ( j? ) ?a 1 j0.5? ? (e ? e ? j0.5? ) j? ? a j?1 1 ? ] ? (e j0.5? ? e? j0.5? ) j? j? ? a 1 j0.5? 1 ? j0.5? ? (e ?e )? (e j0.5? ? e? j0.5? ) j? j? ? a ?[y(t ) ? [u(t ? 0.5) ? u(t ? 0.5)] ? [e?a (t ?0.5)u(t ? 0.5) ? e? a (t ?0.5)u(t ? 0.5)] ? [1 ? e? a (t ?0.5) ]u(t ? 0.5) ? [1 ? e? a (t ?0.5) ]u(t ? 0.5)? 用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况RC电路输出的幅度频谱RC电路输出的时域波形? 由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰 减，故输出波形不能迅速变化。结 ? 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规 论 律逐渐上升和下降。? 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输 出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波 形相比，失真减小。y zs (t ) ? h(t ) ? f (t )f (t )h(t )傅里叶变换F ( j? )H ( j? )傅里叶反变换Yzs ( j? ) ? H ( j? ) F ( j? )例1 h 在如图所示系统中，f(t)为已知激励 ， (t ) ? 。 πt求零状态响应 y(t)。 f(t)h(t)h(t)y(t)解设 f(t) ? F(j?)2 2 ? sgn t ? , 根据对偶性 : ? 2π sgn(?? ) ? ?2π sgn(? ) j? jt1 ? ? ? jπ sgn(? ) 即有：H(j?)=F [h(t)]=-j sgn(?) t 故得：R(j?)=H(j?) F(j?)= [-jsgn(?)] [-j sgn(?)] F(j?) =-sgn(?) sgn(?) F(j?)= -F(j?)所以：y(t)= -f(t)可见此系统为一反相器。3.10.3 MATLAB仿真实现1．h=freqs(b,a,w) 式中b 对应于式(3-159)中的向量[b1 , b2 ,?, bm ] ，a 对应于式（3-159）中的向量[a1 , a2 ,?, an ]，w为频率取值范围，使用形式如?1 : p : ?2 ， 1 为起始频率， 2 为终止频率， ? ?? 上的系统函数样值。p 为频率取样间隔。向量 h返回在频率向量2．[h,w]=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，200个频率点记录在w中。 h3．[h,w]=freqs(b,a,n)该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量 h ，n 个频率点记录在w中。4．freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样值，而 是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。例右图是常见的用RLC元件 构成的某系统电路。设L ， C ? 0.1F R ? 2?， ? 0.8H， 试用MATLAB的freqs()函数 求解该系统频率响应并绘图。RLC二阶低通滤波器电路图解根据原理图，容易写出系统的频率响应为：H ( j? ) ? 1 L 1 ? ? LC ? j? R2将R、L、C的值代入 H ( j? ) 的表达式，得：1 H ( j? ) ? ? H ( j? ) e j? (? ) 0.08( j? )2 ? 0.4j? ? 1式中，1 ? 0.082 ? 4 0.4? ? (? ) ? ? arctan( ) 2 1 ? 0.08?H ( j? ) ?1MATLAB源程序为： b=[0 0 1]; a=[0.08 0.4 1]; % 生成向量b，a [h,w]=freqs(b,a,100); % 求系统频响特性 h1=abs(h); % 求幅频响应 h2=angle(h); % 求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel('角频率(W)'); ylabel('幅度'); title('H(jw)的幅频特性'); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel('角频率(w)'); ylabel('相位(度)'); title('H(jw)的相频特性'); 程序运行结果如图所示。RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性3.11 希尔伯特变换2 已知符号函数的傅里叶变换 F ?sgn ? t ? ? ? ? ? j? 1 2 ? 根据对称性得到 sgn ? ?? ? ? sgn?? ?为奇函数 2π jt1 ? jsgn ? ?? ? 则 πt若系统函数为1 ? ? jsgn ?? ? πt?90? 90?1 πt?? j ? H ( j? ) ? ? jsgn ?? ? ? ? ?j ???0 ??0则冲激响应 h ? t ? ? IFT ? H ? j? ? ? ? ? ?f ?t ?系统框图:F ?? ??h?t ?? j sgn?? ? ?? f ?t ? ? ? F ?? ?系统的零状态响应 利用卷积定理? ?t ? ? f ?t ? ? h ?t ? ? f ?t ? ? 1 f πt?? jF ?? ? ? ? 0 ? ? t ? ? ? F ?? ? ? F ?? ? ? ? ? jsgn ?? ? ? ? ? ? FT ? f ? ? ? ? ? ??0 ? jF ?? ? ?结论 具有系统函数为 ? jsgn ?? ? 的网络是一个使相位滞π 后 弧度的宽带相移全通网络。 2 1 同理可得到: 若系统冲激响应为 h ? t ? ? ?πt?j ? H (? ) ? FT ? h ? t ? ? ? jsgn ?? ? ? ? ? ? ?? j ? ? f ?t ? h?t ? 该系统框图为 ? ? F ?? ? ? j sgn?? ?其网络的系统函数为90? 90???0 ??0F ?? ? f ?t ? ?? ? t ? ? h ? t ? ? f? ? t ? ? (? 1 ) 输出信号 f ? t ? ? f πt ? ?0 ? jF ?? ? ? ?? ? ? jsgn ?? ? ? ? 利用卷积定理 F ?? ? ? F ? ?? jF ?? ? ? ? 0 ?结论 具有系统函数为 jsgn ?? ?的网络是一个使 相位滞后 π/2弧度的宽带相移全通网络。希尔伯特变换： 希尔伯特正变换? ? t ? ? 1 ? f ?? ? d ? HT ? f ? t ? ? ? f ? ? π ??? t ? ?? ?t ? ? f ?t ? ? 1 f πt希尔伯特反变换? f ?? ? ? ? f ? t ?? ? f ? t ? ? ? 1 IHT ??? t ? ? d? ? ? π? ?t ? ? ? ? 1 ? f ?t ? ? f ? ? πt? ?可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应h ?t ? ? h ?t ? ? u ?t ?即:h ?t ? ? 0t ?0? 1 1 ? 其傅里叶变换 H ? j? ? ? H ? j? ? ? ? π? ?? ? ? ? 2π j? ? ?又H ( j? ) ? H ? j? ? ej? ?? ?? R ? j ? ? ? jX ( j ? ) 则? 1 1 ? R( j? ) ? jX ? j? ? ? ? R ? j? ? ? jX ? j? ? ? ? ? π? ?? ? ? ? ? 2π ? j? ? ?j ? 1? 1 ? 1? ? ? πR ? j? ? ? X ? j? ? ? ? ? ? 2π ? πX ? j? ? ? R ? j? ? ? ? ? 2π ? ? ? ??1 1 ? X ? j? ? ? 所以 R ? j? ? ? jX ? j? ? ? ? R ? j? ? ? ??? ? ? ? d ? ? 2π ?2 ? ? X ? j? ? 1 ? R ? j? ? ? ? j? ? ? d ?? ?? ? ? ? 2π ? 2 ?根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得? 1 X ? j? ? R ( j? ) ? ? d? π ?? ? ? ?1 R ? j? ? X ? j? ? ? ? ? d? π ?? ? ? ??结论因果系统系统函数 H ( j? ) 的实部与虚部 满足希尔伯特变换约束关系。常用希尔伯特变换对f ?t ?? f ?t ?cos ?0tsin ?0t? cos ?0t ? je j?0t? jm ? t ? e j?0tsin ?0te j?0tm ?t ? e说明j?0t对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都 满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作 为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。例 已知h(t )=e?? t u(t ) ，证明 FT ? h(t )? 的实部与虚部满足希尔伯特变换的约束关系。 证明1 因为 F ? h ? t ? ? ? F ?e u (t ) ? ? ? ? ? ? ? ? j??? t即系统函数H ? j? ? ?? ? ??2 2?j? ? ??2 2? R ? j? ? ? jX ? j ? ?式中：实部? 2 ? ?2 ? 虚部 X ? j? ? ? ? ? 2 ? ?2R ? j? ? ??现在求X ? j? ? 的希尔伯特变换1 ? ?? 1 ? X ? j? ? ? ? d? H ? X ? j? ? ? ? ? ? ? π ?? ? ? ? d ? π ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? A B C 令 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? j? ? ? j? ? ? ?可求出各分式系数 1 1 ? ? 2 ,B ? 2 ,C ? ? A? ? ? j? ? ? j? ?2 ?? 2 则1 1 ? ? ? ? ? 1 ?? ? 2 2 H ? X ? j? ?? ? ? ? ?d? ? ? π ?? ? ? j? ? ? j? ? ? ? j? ? ? j? ? 2 2 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???1 1 ? ? ? ? ? 1 ?? ? 2 2 H ? X ? j? ?? ? ? ? ?d? ? ? π ?? ? ? j? ? ? j? ? ? ? j? ? ? j? ? 2 2 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ?d? 2 2 2 ??? ? 2 ? ?? ? π ? ?? ? ? ????? ? 1 ?2 ?? ? ? ? ? 2 ? ?d? 2 2 2 2 ??? ? 2 ? ?? ? ?? ? π ?? ? ? ? ? ? ? ??1 ? ? ? ? ? arctan ? ln ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ln ? ? ? ? ? ? ? ? π ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ??1 ? ?π π? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 0? ? ? ? π ?? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ?2 ?? 2?? R ?? ?例? 求f ? t ? ? cos ?0t 的希尔伯特变换 ? t ?。 f用三种方法求解此题解方法1 :π ? f ? t ? 比 f ? t ?滞后 弧度，即 希尔伯特变换 2? ? t ? ? H ? f ? t ? ? ? cos ? ? t ? π ? ? sin ? t f 0 ? 0 ? ? ? 4? ? 方法2：因F ?? ? ? F ?cos ?0t ? ? π? ?? ? ?0 ? ? π? ?? ? ?0 ?则希尔伯特变换的频谱函数为? F ?? ? ? F ?? ? ? ?? jsgn ?? ?? ? jπ? ?? ? ?0 ? ? ? ? j? π? ?? ? ?0 ? ? ?即? F ?? ? ? jπ ?? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ? ? ? f? ? t ? ? sin ?0t ? ?方法3： 直接用希尔伯特变换定义式1 ? cos ?0? H ? cos ?0t ? ? ? d ? ? sin ?0t ?? t ? ? π本章小结1. 傅里叶级数分解是一种正交分解，有三角级数分 解和指数分解两种形式。2. 只有周期信号才能进行傅里叶级数分解，我们常用表示。3. 没有引入奇异函数时，Direchlet条件是能够进行傅里叶级数分解的充要条件；而引入奇异函数后，Direchlet条件弱化为能够进行傅里叶级数分解的充分条件。4. 周期偶函数，则傅里叶级数中只有直流和余弦分量；周期奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；奇 谐函数，则傅里叶级数中只有奇次谐波分量；偶谐函 数，则傅里叶级数中只有偶次谐波分量。 5.频谱有单边频谱和双边频谱之分。频谱可分解为 幅度谱和相位谱，工程中常采用幅度谱。 6.周期信号的频谱呈现离散性。 7. Gibbs现象是因为跳变引起的，不可消除。8. 非周期信号能够进行傅里叶变换，傅里叶正变换和逆变换是一一对应的。因为引入了奇异函数，所以 Direchlet条件是能够进行傅里叶变换的充分条件。 9. 单边指数函数、双边指数函数、奇双边指数函数 、矩形脉冲函数、钟形函数、符号函数、冲激函数、 冲激偶函数、阶跃函数、复正弦函数的傅里叶变换。 10. 傅里叶变换的十个性质：唯一性、对称性、线 性、虚实奇偶性、尺度变换性、时移性、频移性、微 分性、积分性、卷积性。11. 周期信号既能进行傅里叶级数分解，又能进行傅里叶变换。周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换密 切相关，可以互相推导。 12. 无论是自然抽样还是理想抽样，只要抽样信号 的频率大于等于被抽样信号的最高频率的两倍或两倍 以上，那么抽样离散信号就能够还原为原信号。 13. 时域的离散性对应于频域的周期性；频域的周 期性对应于时域的离散性。14. 周期信号可用功率谱描述，非周期信号可以用 能量谱描述。它们都满足能量守恒。15. 时宽变窄，则频宽增加；反之时宽增加，则频宽变窄。16. 不同信号的相似程度用互相关函数描述；同一信号不同时刻的相似程度用自相关函数描述。 17. 可以用微分方程、仿真框图、电路图、单位冲激 响应、频谱、幅频特性和相频特性去描述一个系统。 它们可以互相转化，都可求出系统函数。18. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变 化。 19. 对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是 求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出 是求积分，即傅里叶逆变换。 20. 因果系统的系统函数，其虚部和实部满足希尔 伯特约束关系。
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