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一次函数单元测试B卷(含答案)
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你可能喜欢一次函数 - 搜狗百科
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一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词。1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数。”上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
一次函数有三种表示方法，如下：1、解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。2、列表法把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。3、图像法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
一次函数的解析式为：其中m是斜率，不能为0；x表示自变量，b表示y轴截距。且m和b均为常数。先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的斜率，从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。
1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）。2. 当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(0,b)。当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。3. k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°)。4. 当b=0时(即 y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。5. 函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直。6. 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。
1. 作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；（2）描点：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0, 0)和(1, k)两点画出。（3）连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-与（，0），（0，b））2. 性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0）正比例函数的图象都是过原点。3. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4. k，b与函数图象所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)当k&0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k&0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限；当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限；当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限；当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。当b&0时，直线必通过一、二象限；当b&0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k&0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k&0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。5. 特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数。6. 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k&0,b&0：经过第一、二、三象限k&0,b&0：经过第一、三、四象限k&0,b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k&0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k&0,b&0：经过第一、二、四象限k&0,b&0：经过第二、三、四象限k&0,b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k&0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。7. 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k(x-n)+b。
当平面直角坐两一次函数平行标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为相反数。关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为相反数的证明：如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。就像这一样，可以设这2个函数的表达式分别为；y=ax, y=bx。在x正半轴上取一点（z,0)（便于计算），做与y轴平行的直线，如图，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：OA=√z^2+(a*z)^2OB=√z^2+(b^z)^2又有OA^2+OB^2=AB^2，得z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0，故为az-bz）化简得：z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^22z^2=-2ab*z^2ab=-1即k=-1所以两个K值的乘积为-1。注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。两一次函数垂直
1.要理解函数的意义。2.联系实际对函数图象的理解。3.随图象理解数字的变化而变化。
1.对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；2.对一次函数图象和性质存在思维误区；3.忽略一次函数自变量取值范围；(有时x∈Z ,其图象表现为非连续性的点的集合）4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。
和方程的异同
1.一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。2.一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。3.一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。
和不等式关系
从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k,0)。当k&0时，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k；当k&0的解为：不等式kx+b&0的解为：x&- b/k，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k。
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
1.求函数图象的k值：(y1-y2)/(x1-x2)，即k=tanα（α为直线与x轴正方向的夹角）2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) （若分母为0，则分子为0）(x,y)的正负性为 +，+（正，正）时该点在第一象限(x,y)的正负性为 -，+（负，正）时该点在第二象限(x,y)的正负性为 - ，-（负，负）时该点在第三象限(x,y)的正负性为 +，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，则k1×k2=-110.设原直线为y=f(x)=kx+by=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(，0)，与y轴的交点：(0，b)
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）。
常见题型一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图象过点(2, -1)，求这个函数的解析式。解： 一次函数 的图象过点(2, -1)，，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1时，求这个函数的解析式。三. 两点型例3.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。解：设一次函数解析式为y=kx+b由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4。四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________。解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图象过点(1, 0)、(0, 2)有所以k=-2b=2故这个一次函数的解析式为y=-2x+2。五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2或y=-2x-2。六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图象解析式为___________。解析：设函数解析式为 y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图象解析式为。七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围，别忘了考虑变量存在等于0的情况。八. 面积型例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4。九. 对称型若直线与直线y=kx+b关于（1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b；（2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b；（3）直线y=x对称，则直线的解析式为；（4）直线y=-x对称，则直线的解析式为；（5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b。例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1。十. 开放型例10. 已知函数的图象过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解：（1）若经过A、B两点的函数图象是直线，由两点式易得y=-2x+6（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图象还可以是双曲线，解析式为。（3）其它（略）十一. 几何型例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。解：（1）由直角三角形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0)，由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是x=-√3 　（2）连结OE、OF，则、。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E、F，由待定系数法可求得一次函数解析式为。十二. 方程型例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为，求经过点P和Q的一次函数图象的解析式解：由根与系数的关系得点P(11, 3)、Q(-11, 11)设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b则有解得故这个一次函数的解析式为。十三. 综合型例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线上，直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组，求这条直线的解析式。解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：y1=-7x2+14x-12，顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18顶点D2解方程组得，即C1(-1, -4)，C2(2, -1)由题意知C点就是C1(-1, -4)，所以过C1、D1的直线是；过C1、D2的直线是。
函数和方程1. 从形式上看：一次函数y=kx+b，一元一次方程ax+b=0 。2. 从内容上看：一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系，它有无数对值；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。3. 相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。函数和不等式解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k, 0)。当k&0时，不等式kx+b&0的解为：x&-b/k，不等式kx+b&0的解为：x&-b/k；当k&0的解为：不等式kx+b&0的解为：x&-b/k，不等式kx+b&0的解为：x&-b/k。与二元一次方程的关系1. 以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=(-a/b)x+c/b的图象相同。2. 二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数y=(-a1/b1)x+c1/d1和y=(-a2/b2)x+c2/d2的图象的交点。方法小结把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象，找出两图像的交点，即可知方程组的解。区别二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。1. 面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组值，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1, 3)，(2, 1)…都在一次函数y=-2x+5的图象上。2. 一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程。如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(3, -1)，则x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一组解。> 【答案带解析】（2015o泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实...
（2015o泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（
试题分析：根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
考点分析：
考点1：一次函数
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
对函数概念的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量；
②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1。
理解函数的概念应扣住下面三点：
（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有惟一确定的值”；
（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要地是看对于x的每一个确定的值。y是否有惟一确定的值和它对应；（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的表示方法：
（1）解析法：两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示方法叫做解析法．
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法．
（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．
函数的判定：
①判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应。
②函数不是数，他是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
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