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万有引力定律
万有引力定律是在1687年于《》上发表的。牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间种类无关。
万有引力定律的发现是近代经典物理学发展的必然结果。科学史上普遍认为，这一成果应该归功于伟大的牛顿。但是，其他杰出的科学家如胡克、哈雷等在这一方面也做出了非常重要的贡献。
万有引力定律推理依据
在1632年实际上已经提出和的初步想法。布里阿德在1645年提出了引力平方比关系的思想.牛顿在年的手稿中，用自己的方式证明了离心力定律，但向心力这个词可能首先出现在《》的第一个手稿中。一般人认为离心力定律是在1673年发表的《》一书中提出来的。根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。
万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，是发现引力平方反比定律过渡到发现万有引力定律的必要阶段.·牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的时间，才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序，终于提出“万有引力”这个概念和词汇。·牛顿在《》第三卷中写道：“最后，如果由实验和天文学观测，普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引，并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例，则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。另一方面，它显示出，我们的海洋被月球重力所吸引；并且一切行星相互被重力所吸引，同样被太阳的重力所吸引。由于这个规则，我们必须普遍承认，一切物体，不论是什么，都被赋与了相互的引力（gravitation）的原理。因为根据这个表象所得出的一切物体的万有引力（universal gravitation）的论证……”
在年间只用离心力定律和，因而只能证明上的而不是上的引力平方反比关系。在1679年，他知道运用开普勒第二定律，但是在证明方法上没有突破，仍停留在年的水平。只是到了1684年1月，、、和牛顿都能够证明圆轨道上的引力平方反比关系，都已经知道椭圆轨道上遵守引力平方反比关系，但是最后可能只有牛顿才根据开普勒第三定律、从离心力定律演化出的向心力定律和数学上的极限概念或概念，才用法证明了这个难题。
万有引力定律假设检验
万有引力定律牛顿的猜想
地球与太阳之间的吸引力与地球对周围物体的引力可能是同一种力，相同的规律。[2]
万有引力定律猜想的依据
（1）与太阳之间的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力使物体不能离开地球；（2）在离地面很高的距离里，都不会发现有明显的减弱，那么这个力必然延伸到很远的地方。
万有引力定律检验的思想
如果猜想正确，月球在轨道上运动的与地面的比值，应该等于地球半径平方与半径平方之比，即
万有引力定律检验的结果
地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力是同一种力。
万有引力定律万有引力
万有引力定律公式表示
F: 两个物体之间的引力
m1: 物体1的质量
m2: 物体2的质量
r: 两个物体之间的距离(大小)(r表示径向矢量)
依照国际单位制，F的单位为(N)，m1和m2的单位为千克(kg)，r 的单位为米(m)，常数G近似地等于
G=6.67×10??? N·m?/kg?（牛顿平方米每二次方千克）。
由此可知排斥力F一直都将不存在，这意味着净的力是绝对的。（这个符号规约是为了与相容而订立的，在库仑定律中绝对的力表示两个之间的作用力。）
万有引力定律适用范围
经典万有引力定律反映了一定历史阶段人类对引力的认识，在十九世纪末发现，在的移动速度比理论值大，即发现水星轨道有旋紧，轨道旋紧的快慢的实际值为每世纪42.9″。这种现象用万有引力定律无法解释，而根据计算的结果旋紧是每世纪43.0″，在观测误差允许的范围内。此外，广义相对论还能较好地解释谱线的和光线在引力作用下的等现象。这表明广义相对论的引力理论比经典的引力理论进了一步。
在和之后，人们看到物理的实在除了还有电磁场。具有和且能传播。这使人们联想万有引力定律也是物理的实在，能传播引力波，也有许多人努力探测它，但尚无很好的结果。电磁波的传播可用光子解释，类似地，光子也导致引力子概念的引出。万有引力也不再是，而以为媒介。但这些都是物理学家正在探索的领域。
经典力学的适用范围并引入和真空中来界定的领地。粗糙的说，经典的万有引力定律适用范围也可用一数量表示。现在引入引力半径
，G、m分别表示引力常量和产生引力场的球体的球体的质量，c为光速。用R表示产生力场球体之半径，若
，则可用牛顿。对于太阳，
,应用牛顿引力定律无问题；即使是对致密的，
，也仍然可用牛顿；至于和，应当是应用的。
万有引力定律引力常量
牛顿在推出万有引力定律时，没能得出引力常量G的具体值。G的数值于1789年由利用他所发明的得出。的扭秤试验，不仅以实践证明了万有引力定律，同时也让此定律有了更广泛的使用价值。
扭秤的基本原理是在一根刚性杆的两端连结相距一定高度的两个相同质量的重物，通过的中心用一扭丝悬挂起来。可以绕扭丝自由转动，当重力场不均匀时，两个质量所受的重力不平行。这个方向上的微小差别在两个质量上引起小的水平，并产生一个力矩使悬挂系统绕扭丝转动，直到与扭丝的扭矩平衡为止。扭丝上的小镜将光线反射到记录相板上。当扭丝转动时，光线在相板上移动的距离标志着扭转角的大小。与扭秤常数和重力位二次导数有关。在一个测点上至少观测3个方位，确定4个二次导数值，一般达几。
根据系统的构造形状，分为z型、L型和斜臂式扭秤。z型扭秤由一个轻金属制成的z型秤臂、两个质量相等的重荷和一根细金属丝组成的。两个重荷分别固定在z型秤臂的两端。细金属丝将整个系统悬挂起来，组成一套扭力系统。由于两个重荷处于不同的位置，所以，当通过两个重荷的重力等位面Q?和Q?。互不平行或弯曲时，两个重荷将受到水平分量的作用。当水平分量gH?和gH?的大小和方向不同时，秆臂就要绕着扭丝转动，直到水平旋转的重和扭丝的相平衡为止。秤臂偏转的角度除和扭力系统的构造和扭丝的扭力系数有关外，还和两个重荷间的重力变化有关。因此，准确记录扭力系统的偏角，就可以求出重力位的二次导数。由于扭力系统的灵敏度很高，秤臂稳定下来的时间较长。同时还需要在3～5个方向上照相记录，所以，仪器附有自动控制系统，并安放在特制的小房里工作。仪器的操作和测量结果的计算都比较烦琐，每测—个点需要2～3小时，工件效率较低。
扭秤的测量结果用矢量图表示，用一短线表示曲率，矢量方向相应于最小曲率平面的方位，矢量长度表示等位面曲率差大小 。在短线中心以箭头画出总梯度，指向重力增加的方向。
扭秤的灵敏度很高并可测多个参数，但是也有其不足之处。由于具有极高的灵敏度，对于测试环境的要求也很高，易受外界干扰，包括温度、地面震动、波动、扭丝的效应等。因此对于要求不高的重力测量工作，一般都是重力仪去完成。但是对于高精度的测量，如物理方面的测量，以及高精度仪器的验证以及标定，都需要利用扭秤来完成。因此即便是如今，扭秤在领域也有着相当重要的地位。
卡文迪许测出的G=6.67×10???N·m?/kg? ，与现在的公认值6.67×10???N·m?/kg?极为接近；直到1969年G的测量精度还保持在的水平上。[3]
万有引力定律科学意义
万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和运动的规律统一了起来，对以后和的发展具有深远的影响。它第一次解释了（自然界中四种相互作用之一）一种的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。
万有引力定律揭示了天体运动的规律，在上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上、、的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。利用万有引力公式，第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的。他依据万有引力定律和其他定律，对地球两极呈扁平形状的原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。推翻了古代人类认为的神之引力。
对文化发展有重大意义：使人们建立了有能力理解天地间的各种事物的信心，解放了人们的思想，在科学文化的发展史上起了积极的推动作用。
万有引力定律力学应用
万有引力定律自由落体运动
令a1为事先已知质点的。由知， 即。取代前面方程中的F
同理亦可得出a2.
依照，（同其他一般加速度）的单位被规定为 (m/s?或 m·s??)。非国际单位制的单位有、单位g（见后）以及 英尺每秒的平方。
请注意上述方程中的a1，质量m1的，在实际上并不取决于m1的取值。因此可推论出对于任何物体，无论它们的质量为多少，它们都将按照同样的比率向地面坠落（忽略空气阻力）。
如果物体运动过程中r只有极微小的改变——譬如地面附近的——重力加速度将几乎保持不变（参看条目）。而对于一个庞大物体，由于r的变化导致的不同位点所受重力的变化，将会引起巨大而可观的潮汐力作用。
令m1为地球质量5.98*10??kg，m2为1kg，R为地球半径6380000m，代入万有引力公式，计算出F=9.8N，这说明1kg的物体在地球表面受重力为9.8N。换句话说，等式两边同除以m2，结果就是重力加速度g。
具有空间广度的物体：
如果被讨论的物体具有空间广度（远大于理论上的），它们之间的万有引力可以以物体的各个等效质点所受万有引力之和来计算。在极限上，当组成质点趋近于“无限小”时，将需要求出两物体间的力（矢量式见下文）在空间范围上的积分。
从这里可以得出：如果物体的质量分布呈现均匀球状时，其对外界物体施加的万有引力吸引作用将同所有的质量集中在该物体的原理时的情况相同。（这不适用于非球状对称物体）。
地球附近空间内的重力示意图：在此数量级上地球表面的弯曲可被忽略不计，因此力线可以近似地相互平行并且指向地球的中心牛顿万有引力定律亦可通过矢量方程的形式进行表述而用以计算万有引力的方向和大小。在下列公式中，以粗体显示的量代表矢量。
地球的重力示意图
F??: 物体1对物体2的引力
G: 万有引力常量
m?与m?: 分别为物体1和物体2的质量
r?? = | r? r? |: 物体2和物体1之间的距离
r?1= r?+r? 物体2和物体1之间的距离
: 物体1到物体2的单位矢量
可以看出式方程的形式与之前给出的标量式方程相类似，区别仅在于在矢量式中的F是一个矢量，以及在矢量式方程的右端被乘上了相应的单位向量。而且，我们可以看出：F?? = F??
同样，重力加速度的矢量式方程与其标量式方程相类似。
万有引力定律重力与引力
1.重力是由于地球的吸引而产生的，但能否说万有引力就是重力呢？分析这个问题应从地球自转入手。由于地球自转，地球上的物体随之做圆周运动，所受的向心力F?=mrω?=mRω?cosa,F?是引力F提供的，它是F的一个分力，cosa是引力F与赤道面的夹角的余弦值，F的另一个分力F?就是物体所受的重力，即F?=mg。
由此可见，地球对物体的万有引力是物体受到重力的原因，但重力不完全等于万有引力，这是因为物体随地球自转，需要有一部分万有引力来提供向心力。
2.重力与万有引力间的大小关系
（1）重力与的关系
在赤道上满足mg=F-F向（物体受万有引力和地面对物体的支持力Fn的作用，其合力充当向心力，Fn的大小等于物体的重力的大小）。
在地球两极处，由于F向=0，即mg=F，在其他位置，mg、F与F向 间符合。同一物体在赤道处重力最小，并随纬度的增加而增大。
（2）重力、重力加速度与高度的关系
在距地面高度为h的高处，若不考虑地球自转的影响时，则mg'=F=GMm/(R+h)?；而在地面处mg=GMm/R?。
距地面高为h处，其重力加速度g'=GM/(R+h)?，在地面处g=GM/R?。
在距地面高度为h的轨道上运行的宇宙飞船中，质量为m的物体的重力即为该处受到的万有引力，即mg'=GmM/(R+h)?，但无法用测力计测出其重力。
万有引力定律匀速圆周运动
一个天体环绕另一个中心天体做。其向心力由万有引力提供。即F引=GMm/r?≈mg=ma向，而a向=v?/r=ω?r=vω=(4π?/T?)r=4π?f?r，因此应用万有引力定律解决天体的有关问题，主要有以下几个度量关系：F引=GMm/r?(r为轨道半径）=mg=ma向=mv?/r=mω?r=m(4π?/T?)r=m4π?f?r.
球状星团 M13 证明重力场的存在。重力场是用于描述在任意空间内某一点的物体每单位质量所受万有引力的矢量场。而在实际上等于该点物体所受的重力加速度。
以下是一个普适化的矢量式，可被应用于多于两个物体的情况（例如在地球与月球之间穿行的火箭）的计算。对于两个物体的情况（比如说物体1是火箭，物体2是地球）来说，我们可以用 替代并用m替代m?来将重力场表示为：
因此我们可以得到：
该公式不受产生重力场的物体的限制。重力场的单位为力除以质量的单位；在国际单位制上，被规定为N·kg（牛顿每千克）。
万有引力定律天体力学领域
1.计算天体质量
(1)计算地球质量
若不考虑地球自转,地面上物体所受重力即地球对它的万有引力
mg=GmM/R?由此可得地球质量 M=gR?/G
(2)计算太阳质量
测量地球绕太阳,公转轨道半径,将轨道看成圆,匀速圆周运动向心力就是万有引力
即 GMm/R?=m(2π/T)? R 地球质量为m, 太阳质量 M=4π?R?/GT?
运用类似方法已知人造卫星质量,卫星绕某天体运动的周期和轨道半径
可算出天体质量
2.估算天体密度
若设某天体半径R,卫星绕天体表面运行时,轨道半径为R,
又测得已知运行周期为T
设卫星质量为m 则 GMm/R?=m(2π/T)?R 天体质量M=4π?R?/GT?
体积V=4πR?/3 ρ=M/V=3π/GT?
万有引力定律存在问题
尽管牛顿对重力的描述对于众多实践运用来说十分地精确，但它也具有几大理论问题且被证明是不完全正确的。
万有引力定律理论问题
没有任何征兆表明重力的传送媒介可以被识别出，牛顿自己也对这种无法说明的感到不满意（参看后文条目“局限性”）。
牛顿的理论需要定义重力可以瞬时传播。因此给出了古典自然时空观的假设，这样亦能使所观测到的角动量守恒成立。但是，这与爱因斯坦的理论有直接的冲突，因为狭义相对论定义了速度的极限——中的光速——在此速度下信号可以被传送。
万有引力定律观测问题
牛顿的理论并不能完全地解释出在沿其轨道运动到时出现的进动现象。牛顿学说的预言（由其它行星的重力拖曳产生）与实际观察到的进动相比每世纪会出现43弧秒的误差。
牛顿的理论预言的重力作用下光线的偏折只有实际观测结果的一半。则与观察结果更为接近。
所有物体的与相同的这一观测现象是牛顿的系统所不能解释的。广义相对论则将它作为一个基本条件。参看条目等效原理。
万有引力定律理论局限性
当牛顿非凡的工作使万有引力定律能够为数学公式所表示后，他仍然不满于公式中所隐含的“”观点。他从来没有在他的文字中“赋予产生这种能力的原因”。在其它情况下，他使用运动的现象来解释物体受到不同力的作用的原因，但是对于重力这种情况，他却无法用实验方法来确认运动产生了重力。此外，他甚至还拒绝对这个由地面产生的力的起因提出假设，而这一切都违背了科学证据的原则。
牛顿的经典力学只适用于、、弱引力，而不适用于、与强引力。
牛顿对重力的发现埋葬了“哲学家至今仍在愚蠢地试图探索自然”(philosophers have hitherto attempted the search of nature in vain)这句所谓的真理，就同他深信着的“有各种因素”使得“各种迄今未知的原因”是所有“自然现象”的基础。这些基本的现象至今仍在研究中，而且，虽然存在着许多种的假设，最终答案仍然没有找出。 虽然的假设的确比牛顿的假设更能精确地解释确定案例中万有引力的作用效果，但是他也从来没有在他的理论中为这种能力赋予一个原因。在爱因斯坦的方程式中，“物质告诉空间怎么扭曲，空间告诉物质怎么移动”(matter tells space how to curve, and space tells matter how to move)，但是这个完全异于牛顿世界的新的思想，也不能使爱因斯坦所赋予“产生这种能力的原因”比万有引力定律使牛顿所赋予的原因更能使空间产生扭曲。牛顿自己说：
我还没有能力去从现象中发现产生这些重力特性的原因，而且我无法臆测……我所解释的定律和丰富的运动的计算已经足够于说明重力的确存在并能产生效果。一个物体可以不通过任何介质穿过真空间的距离对另一个物体产生作用，在此之上它们的活动和力可以传送自对方，这对于我来说简直就是一个天大的谬论。因此，我相信，任何有足够的哲学思维能力的人都不会沉溺于此。I have not yet been able to discover the cause of these properties of gravity from phenomena and I feign no hypotheses... It is enough that gravity does really exist and acts according to the laws I have explained, and that it abundantly serves to account for all the motions of celestial bodies. That one body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediation of anything else, by and through which their action and force may be conveyed from one another, is to me so great an absurdity that, I believe, no man who has in philosophic matters a competent faculty of thinking could ever fall into it.
需注意的是，这里使用的单词“原因(cause)”并不是“起因(cause)和影响”或者“被告导致(cause)受害者死亡”中所表示的意义。何况，当牛顿使用单词“原因(cause)”时，他（明显地）意指为一种“解释”。或者说，像“牛顿学说的重力是行星运动的原因”这个短语的意思就是牛顿学说的重力解释了行星的运动。
万有引力定律演化过程
万有引力定律过往理论
引力理论 亚里士多德认为，物体的运动速度和其所受外界的合力是成正比(或者是该物体所受的自己本身的引力)，并且和物体运动介质的粘度成反比。
（Nikola Tesla）宣布但是从未发表的引力动力学理论；部分原因是因为理论的细节（如果有的话）并没有透露，并没有得到物理学家们的重视。
感应引力（Induced Gravity），由（Andrei Sakharov）提出，认为广义相对论可能起源于量子场论。
雷萨吉万有引力理论（Le Sage's Theory of Gravitation）（也叫做雷萨吉引力理论），由乔治-路易斯·雷萨吉（Georges-Louis Le Sage）提出，以一种充满整个宇宙轻的气体的流动来解释这种现象。
万有引力理论（Nordstr&m's Theory of Gravitation），的早期竞争者。
万有引力理论，（Whitehead's Theory of Gravitation）广义相对论的另一个早期竞争者。
万有引力定律牛顿的万有引力定律
存在于任何两个物体之间的由质量引起的相互吸引力，力的作用线约在两物体质心的连线上，其大小与两物体的质量成正比，与两物体的距离平方成反比。万有引力定律是牛顿追索地面上的物体受重力作用的原因而发现的，1687年正式发表。以m1、m2表示两物体的质量，r表示两者之间的距离，则相互吸引的力F为：
，式中G称为万有引力常数。这就是万有引力定律的数学表达式。严格地说，上式是对两质点而言的。因为“两个物体之间的距离”一语指的是两个质点的距离。如果一个是质点，另一个是有限体，则可把有限体分割成许多质点，并求出它们引力的矢量和，就能得到整个有限体对质点的作用力。牛顿曾证明：一个密度是到球心距离r的函数的球体对球外一质点的引力同整个球体质量集中在球心的情况无异。牛顿用万有引力定律证明了开普勒定律、月球绕地球的运动、潮汐的成因和地球两极较扁等自然现象。牛顿的万有引力定律是天体力学的基础。人造卫星、月球和行星探测器的轨道，都是以这个定律为基础来计算的。万有引力存在的实验证明和引力常数G的测定是卡文迪什于1798年作出的。目前引力常数的公认值是G=6.6732×10??? m?/kg·s? 。
万有引力定律广义相对论
1859年，法国天文学家勒威耶发现水星近日点进动速率的数值与用万有引力定律算得的数值有每百年38″（美国天文学家S.纽康的测定值为43″）的偏离。1915年，爱因斯坦创立广义相对论，终于说明了这个问题，并预言光线在引力场中的偏折和光谱的红移。天文学家还曾预言黑洞的存在，使广义相对论进入了与宇宙演化有关的新境界。爱因斯坦以加速坐标系和引力场的等效性否定了惯性坐标系在宇宙空间的存在，又用引力场改变了空间特性。他认为物体在引力场的运动是沿四维弯曲的黎曼空间的短程线。但是在弱引力场的情况（例如太阳系）下，对许多力学问题，用牛顿万有引力定律比用爱因斯坦的广义相对论计算要简单得多，而且两者相差极微。对简单的二体问题，由于“同时”概念混杂，难以用广义相对论进行数学处理。
在粒子相互作用的微观世界里，万有引力是最弱的—种，万有引力与电磁力、核力的统一问题有待于科学家们的进一步努力。
万有引力定律参考文献
1、词条作者：汪家訸．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：万有引力：中国大百科全书出版社，1987 ：490页．
解读词条背后的知识
．人民教育出版社[引用日期]
．凤凰网[引用日期]
．腾讯[引用日期]
中国力学学会是国际理论...
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& 学年高一物理必修二教学案：3.2《万有引力定律的应用》（粤教版）
学年高一物理必修二教学案：3.2《万有引力定律的应用》（粤教版）
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资料概述与简介
万有引力定律的应用
课前自主预习
1．万有引力定律的表达式　　　　　，其适用条件　　　　　　　　　　　
2．引力常量：表达式中的为引力常量，其大小在数值上等于质量各为1kg的物体相距1m时的万有引力。　　　　　　　　是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。
3．分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是　　　　　　　
,所需的向心力由　　　　　　
提供,即　　　　　　=　　　　　　=　　　　　　。
4．万有引力定律具有普遍性、　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　。
5．(单选)对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是(
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋于零时，万有引力趋于无限大
C．m1、m2相等时，两物体受到的引力大小才相等
D．两物体受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
课前自主预习答案:
1.,两个质点间
3.匀速圆周运动,万有引力,,,
4.相互性,宏观性,特殊性
课堂互动探究
知识点1：天体质量和密度的计算
卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的质量”，他是根据
“称”地球的质量的。天体质量不可能直接称量，但可以间接测量．天体卫星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，即＝m＝mr，因此可得M＝
，测出天体卫星的环绕周期和环绕半径即可计算天体质量．
答案：万有引力定律，
1．基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，F引＝mg，即G＝mg，整理得GM＝gR2.
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F引＝F向
一般有以下几种表达形式：
①G＝m　②G＝mω2r　③G＝mr
天体质量和密度的计算
(1)“g、R”计算法：利用天体表面的物体所受重力约等于万有引力．得：M＝；ρ＝.
(2)“T、r”计算法：利用绕天体运动的卫星所需向心力由万有引力提供，再结合匀速圆周运动知识．得：M＝；ρ＝(R表示天体半径).
【例1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M.(保留一位有效数字，引力常数未知)
解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得
G＝m(2π/T)2r①
对地球表面物体m′，有m′g＝G②
①②两式联立，得M＝，代入数据得
M＝2×1030 kg.
1．已知太阳光射到地面约需时间497S，试估算太阳的质量。
解析：应用万有引力定律可以“称重”天体的质量，本题要求我们“称量”太阳的质量，注意由光的传播速度得出日地间距。
地球绕太阳运行的轨道半径就是太阳和地球之间的距离，这个距离是
地球绕太阳运行的周期为1年，即SS
设太阳和地球的质量分别为M和m，由于
点评：求解天体质量的两个主要数据，一是绕天体运行的行星或卫星的轨道半径（r），二是运行周期（T）。注意本题中运行周期为隐含条件（地球公转周期为1年）。
【例2】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常数为G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为什么？
解：设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则M＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度ρ＝＝＝
当卫星距天体表面距离为h时有
G＝m(R＋h)，M＝
2．“神舟六号”飞船在预定圆轨道上飞行，每绕地球一圈需要时间为90 min，每圈飞行路程为L＝4.2×104 km.试根据以上数据估算地球的质量和密度．(地球半径R约为6.37×103 km，引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)
解：由L＝2πr得r＝＝6.69×103 km
由G＝mr，得M＝＝＝6.2×1024 kg
又由ρ＝，V＝πR3
得ρ＝＝＝5.6×103 kg/m3.
知识点2：人造地球卫星和宇宙速度
美国有部电影叫《光速侠》，是说一个叫Daniel Light的家伙在一次事故后，发现自己拥有了能以光速奔跑的能力．
根据所学物理知识分析，如果光速侠要以光速从纽约跑到洛杉矶救人，
能实现吗？
答案：不可能实现．因为当人或物体以大于第一宇宙速度的速度在地表运动时，会脱离地表，到达外太空，即在地表运动的速度不能超过7.9 km/s.
1．人造地球卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它所做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合．这样就存在三类人造地球卫星轨道(如图3－2－3所示)：
(1)赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星始终处于赤道上方；
(2)极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空；
(3)一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度．
2．人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关系
(1)由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，即ω∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其角速度越小．
(3)由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长．
(4)由G＝ma得a＝，即a∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小．
3．地球同步卫星
(1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，T＝24 h.
(2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内．
(3)在赤道上空距地面高度有确定的值．
由万有引力提供向心力得
G＝m(2π/T)2(R＋h)，
解得h＝－R＝3.6×107 m.
4．三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度．
(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
(4)特别提醒：
①三种宇宙速度均指发射速度，不要误认为是环绕速度．
②任何星体都有对应的宇宙速度．以上三种宇宙速度是对地球而言的．
【例3】地球的半径为R0，地球表面的重力加速度为g，一个质量为m的人造卫星，在离地面高度为h＝R0的圆形轨道上绕地球运行，则(　　)
A．人造卫星的角速度ω＝
B．人造卫星的周期T＝2π
C．人造卫星受到地球的引力F＝mg
D．人造卫星的线速度v＝
解析：离地面的高度为R0时，离地心的高度为r＝2R0，由ω＝和代换公式GM＝gR知ω＝，选项A正确；同理，由T2＝可得T＝2π＝4π，B错误；由万有引力公式F＝G得F＝mg，C错误；由v＝得v＝＝，D错误．
3．(双选，汕头质检)如图3－2－4所示，T代表“天宫一号”飞行器，S代表“神舟八号”飞船，它们都绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图中所示，则( AD )
A.T的周期大于S的周期
B.T的线速度大于S的线速度
C.T的向心加速度大于S的向心加速度
D.S和T的速度都小于环绕速度7.9 km/s
解析：由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长，故T的周期大于S的周期，A对。由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小，故B错，D对。由G＝ma得a＝，即a∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小，故C错。
方法技巧\易错易混\实验透视
双星问题：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．双星运动有以下几个特点：
(1)角速度相同；
(2)圆心相同，轨道半径之和等于两者间距r；
(3)彼此之间的万有引力提供向心力．
【例4】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试计算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
解：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是
ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2①
r1＋r2＝r②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
G＝m1ωr1③
G＝m2ωr2④
联立以上各式解得r1＝⑤
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝⑥
联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝.
4．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．求：(结果可用根式表示)
(1)岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)岩石颗粒A和B的周期之比．
解：(1)设土星质量为M0，岩石颗粒质量为m，岩石颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律有＝
对于A、B两岩石颗粒分别有
vA＝，vB＝
(2)设岩石颗粒绕土星做圆周运动的周期为T
对于A、B两岩石颗粒分别有
TA＝，TB＝
一、单项选择题
1．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，则地球表面的重力加速度为原来的( D )
解析：由G＝mg，＝＝.
2．下列说法正确的是( D )
A．在某行星表面上的物体质量越大，加速度越大
B．对于同一行星来说，不计行星的自转，在行星某一高度处的重力加速度与距行星表面高度成正比
C．对于同一行星来说，不考虑自转影响，在行星某一高度处的重力加速度与距行星表面高度的平方成反比
D．以上说法均不对
解析：由G＝mg，g＝，可知选项A、B、C均错．
3．某宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的平均密度，只需测定( A )
A．运动周期
B．环绕半径
C．行星的体积
D．运行速度
解析：由ρ＝，可知选项A对．
4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是(　　)
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析：第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错；万有引力提供向心力，由G＝m可知第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D错．
5．下列关于地球同步卫星的说法正确的是( B )
A．它的周期与地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度越高，速度越小
B．它的周期、高度、速度都是一定的
C．我国发射的同步卫星定点在北京上空
D．我国发射的同步卫星周期不一定相同
解析：地球同步卫星相对地球是静止的，因此周期等于地球自转周期，等于24h；由G＝m(2π/T)2r和v＝可知选项B对．
二、双项选择题
6．卫星绕行星做匀速圆周运动，若已知引力常量为G，由以下物理量能求出行星质量的是( BC )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的线速度和轨道半径
C．卫星的运转周期和轨道半径
D．卫星的密度和轨道半径
解析：由G＝＝mr，可知选项B、C正确．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所受万有引力与轨道半径的关系( D )
解析：卫星所受的万有引力F＝G，故选项D对．
2．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的表面重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )
解析：由G＝mg，则＝·，得g火＝0.4g.
3．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并列出了行星的轨道半径和运动周期，由此可推算出( C )
A．行星的质量
B．行星的半径
C．恒星的质量
D．恒星的半径
解析：设行星轨道半径为R，周期为T，恒星的质量为M，行星质量为m，由G＝mR得M＝，选项C对．
4．在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员可以自由“漂浮”，其原因是宇航员( B )
A．不受地球重力作用
B．受到的地球重力提供向心力
C．受到地球的重力和浮力相抵消
D．受到的地球重力和月球引力相抵消
解析：在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员受到的地球重力（万有引力）恰好提供向心力，飞船对他无力的作用，B对。
5．某质量分布均匀的球状行星的密度为ρ，若在赤道随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，已知引力常数为G，则该行星自转周期为( C )
解析：由G＝m(2π/T)2R和M＝ρ·πR3得T＝.
6．由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动．对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是( D )
A．向心力都指向地心
B．速度等于第一宇宙速度
C．加速度等于重力加速度
D．周期与地球自转的周期相等
解析：静止在地面上的物体饶地轴做匀速圆周运动，故向心力指向地轴，速度不等于第一宇宙速度，加速度也不等于重力加速度，但是周期与地球自转周期相等，选项D正确。
双项选择题
7．已知万有引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可估算出的物理量有( BD )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行的速率
解析：由M＝，v＝，知选项B、D对．
8．下列关于地球同步卫星的说法中正确的是( BD )
A．为避免同步卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B．同步卫星定点在地球赤道上空某处，所有同步卫星的周期都是24 h
C．不同国家发射同步卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
D．不同同步卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的
解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，T＝24 h，通信卫星的运行轨道一定，离地面的高度也一定，地球对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为圆心做圆周运动，且轨道一定在赤道平面上方，故选项B对，C错；不同的通信卫星轨道半径相同，速度大小相等，无相对运动，不会相撞，选项A错；由v＝和a＝ω2r，知选项D对．
9．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，若已知火星和地球绕太阳运动的周期之比，则可以求得( BD )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和地球到太阳的距离之比
C．火星和太阳的质量之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
解：我们研究火星和地球绕太阳做圆周运动，火星和地球作为环绕体，无法求得火星和地球的质量之比，故A错误；根据题目已知条件，不能求得火星和太阳的质量之比，故B错误；研究火星和地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：G＝mr得T＝2π，所以能求得火星和地球到太阳的距离之比，故C正确；由G＝m得v＝.即v∝，所以能求得火星和地球绕太阳运行速度大小之比，故D正确．故选CD．
点评：求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用
10．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T，离地面高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和万有引力恒量G，能计算出的物理量是( AD )
A．地球的质量
B．宇宙飞船的质量
C．飞船所需的向心力
D．飞船线速度的大小
解析：选AD.根据飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
由（GMm）/(R＋H)2＝m(R＋H)(2π/T)2，
得到：M＝4π2(R＋H)3/(GT2)
由v＝2π(R＋H)/T，可以计算出线速度大小．
11．(双选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路线示意图如图3－2－5所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移图3－2－5轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星
A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为
C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速
解析：由万有引力提供向心力可以判断不同轨道的速度、周期之间的关系．卫星轨道变大时，周期变大，速度(动能)减小，但机械能增大，即需要加速．
由G＝m，得v＝ ，
所以＝ ＝ ，选项A正确．
由G＝mr得＝ ＝ ，选项B错误．由v＝ 可知，轨道半径越大，运行速度越小，所以选项C错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D正确．
12．(双选)在某行星表面以不太大的初速度v0竖直上抛一物体，测得物体由抛出到返回到抛出点所用的时间为t，该行星的半径为R，万有引力恒量为G，则下列叙述正确的( BD )
A．该行星表面的重力加速度g＝
B．该行星的质量为M＝
C．该行星的密度ρ＝
D．该行星的第一宇宙速度v＝
解析：该行星表面的重力加速度为g＝＝，故选项A错；由G＝mg，得M＝＝，选项B对；由ρ＝＝，选项C错；由G＝mg，又G＝m得v＝，选项D对．
13．某国试图发射一颗人造地球卫星，下列设想中可以实现的是(已知地球半径R＝6.4×106 m，g取9.8 m/s2)( BD )
A．环绕速度为9.7 km/s
B．环绕速度为7.8 km/s
C．周期为1 h
D．周期为90 min
解析：由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小，第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球运动的最大速度为7.9 km/s，故A错，B对。由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长，而人造地球卫星的最小周期为85min，故C错，D对。
14．已知引力常数为G，地球半径为R，月球和地球之间的距离为r，同步卫星距地面高度为h，月球绕地球运转的周期为T1，地球自转周期为T2，地球表面的重力加速度为g，则地球的质量表达式正确的是( AC )
解析: 本题主要考查怎样利用万有引力定律来估算天体的质量。解决本题的关键在于对天体或卫星的运动进行正确的分析。解决天体运动问题的一条主线就是利用万有引力等于向心力，向心力公式可根据需要采用不同的表达式。再以黄金代换作为辅助。
方法一：对月球绕地球做圆周运动，由，得，故A对。
方法二：在地面重力近似等于万有引力，由，得，故C对。
15．假如做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( CD )
A．根据v＝ωr，可知卫星的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据F＝m和F＝G，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
解析：根据F＝m和F＝G，得v＝.即v∝，A错、D对。根据公式F向=F万＝G，B错、C对。
三、非选择题
16．宇航员站在某一星球表面上高H处，其中H<<R，沿水平方向以某一初速度水平抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量和密度．
解：小球在星球上做平抛运动，则
H＝gt2，g＝
由G＝mg，得M＝＝
又ρ＝＝＝.
17．已知某行星半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为T，该行星上发射的同步卫星的运行速度为v，则同步卫星距行星表面高度为多高？求该行星的自转周期．
解：对近地卫星有G＝m1(2π/T)2R　①
对同步卫星有G＝m2②
联立①②式求得h＝－R
同步卫星周期与自转周期相等，即
T自＝T同＝＝.
18．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行．另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式的星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
F1＝，F2＝，F合＝F1＋F2＝
运动星体的线速度v＝①
设周期为T，则有T＝②
答图3－2－1
(2)设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有：
F合＝2cos 30°⑤
F合＝mR′⑥
结合③～⑥得：r＝R.
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