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作者：Vamei 出处：http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！
随机变量的函数
在前面的文章中，我先将概率值分配给各个事件，得到事件的概率分布。
通过事件与随机变量的映射，让事件&数值化&，事件的概率值转移到随机变量上，获得随机变量的概率分布。
我们使用随机变量的函数，来定制新的随机变量。随机变量的函数是从旧有的随机变量到一个新随机变量的映射。通过函数的映射功能，原有随机变量对应新的随机变量。通过原有随机变量的概率分布，我们可以获知新随机变量的概率分布。事件，随机变量，随机变量函数的关系如下:
一个简单的例子是掷硬币。出现正面的话，我赢1个筹码，负面的话，我输1个筹码。那么，投掷一次，赢的筹码数是一个随机变量X，X可能取值为1和-1。因此X的分布为:
$$P(1) = 0.5$$
$$P(-1) = 0.5$$
换一个角度来思考，我们将正负面&换算&成输赢的钱。如果一个筹码需要10元钱买，那么投掷一次硬币，赢的钱是一个随机变量Y，且[$ Y = 10X $]。Y的分布为:
$$P(10) = 0.5$$
$$P(-10) = 0.5$$
Y实际上是随机变量X的一个函数。X的1对应Y的10，X的-1对应Y的-10。即[$Y = 10X $]
小总结，在上面的实验中，硬币为正面为一个事件。赢得的筹码数为一个随机变量X。赢得的钱是X的函数Y，它也是一个随机变量。
随机变量的函数还可以是多变量函数，[$Y = g(X_1, X_2, ..., X_n)$]。Y的值y对应的是多维空间的点[$(x_1, x_2,..., x_n)$]。比如掷硬币，第一次赢的筹码为[$X_1$]，第二次赢的筹码为[$X_2$]。我们可以构成一个新的随机变量[$Y = X_1 + X_2$]，即两次赢得的筹码的总和。
获得新概率分布的基本方法
一个核心问题是，如何通过X的概率分布，来获得[$Y=g(X)$]的概率分布。基本的思路是，如果我们想知道Y取某个值y的概率，可以找到对应的X值x的概率。这两个概率相等。
因此，我们使用如下方法来获得Y的概率。如果有函数关系[$Y=g(X_1, X_2, ..., X_n)$]，获得Y分布的基本方法是:
1. 通过[$Y=g(X_1, X_2, ..., X_n)$]，找到对应[$\{ Y \le y \}$]的[$(x_1, x_2, ..., x_n)$]区间I。
2. 在区间I上，积分[$ f(x_1, x_2, ..., x_n) $]，获得[$ P(Y \le y) $]
3. 通过微分，获得密度函数。
如果有函数关系[$ Y = X^2 $]， 而X满足下面的分布:
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$
对于任意[$y \ge 0$]来说，
$$F(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) $$
$$F(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$$
对上面的F(y)微分，即获得密度函数
$$f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, 0 \le y \le \infty$$
绘制密度函数&
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
pi = np.pi
x = np.linspace(-10, 10, 200)
y = np.linspace(0.1, 10, 100)
fx = 1/np.sqrt(2*pi)*np.exp(-x**2/2)
fy = 1/np.sqrt(2*pi)*(y**(-1/2))*np.exp(-y/2)
plt.plot(x, fx, color = "red", label="X distribution")
plt.plot(y, fy, label="Y distribution")
plt.title("Y = X*X")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("pdf")
plt.legend()
plt.show()
上面的例子展示的是单变量函数，我们看一个多变量函数的例子。即[$ Y=g(X_1, X_2, ..., X_n) $]，且已知[$X_1, X_2, ..., X_n$]的联合分布为[$f(x_1, x_2, ..., x_n)$]。我们需要找到满足[$ g(x_1, x_2, ..., x_n) \le y $]的区间。
比如，[$ Y = X_1 + X_2 $]，且[$X_1, X_2$]满足如下分布:
$$f(x_1, x_2) = \frac{1}{2 \pi} \exp \left( -\frac{1}{2} \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \right)$$
为了让[$x_1 + x_2 \le y$]，我们可以让[$x_1$]任意取值，而让[$x_2 \le y - x_1$]
$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{y - x_1} f(x_1, x_2)& dx_2dx_1 $$
让x_2 = v - x_1，有
$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{y} f(x_1, v - x_1)dvdx_1 =& \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{\infty}f(x_1, v - x_1)dvdx_1$$
微分，可得y的分布为:
$$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, y - x_1) dx_1& = \int_{-\infty}^{\infty}&\frac{1}{2 \pi} \exp \left( -\frac{1}{2} \left( x_1^2 + (y - x_1)^2 \right) \right) dx_1 $$
上述方程也可以使用数值方法求解:
# By Vamei
import numpy as np
import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt
pi = np.pi
core of the integral
def int_core(y):
f = lambda x: 1.0/(2*pi)*np.exp(-0.5*(x**2 + (y-x)**2))
calculate f(y)
def density(y):
rlt = scipy.integrate.quad(int_core(y), -np.inf, np.inf)
return rlt[0]
# get distribution
= np.linspace(-10, 10, 100)
fy = map(density, y)
plt.plot(y, fy)
plt.title("PDF of X1+X2")
plt.ylabel("f(y)")
plt.xlabel("y")
plt.show()
上面的int_core()函数是一个闭包，它表示积分核部分。density()函数用于求某个y值下的积分结果。
(我们也可以利用解析的方法，推导出f(y)满足分布[$N(0, \sqrt{2})$]。如果有微积分基础，可以将此作为练习。)
单变量函数的通用公式
上面求新的随机变量分布的步骤较为繁琐。在一些特殊情况下，我们可以直接代入通用公式，来获得新的分布。
(通用公式实际上是从基本方法推导出的数学表达式)
对于单变量函数来说，如果[$Y=g(X)$]，g是一个可微并且单调变化的函数 (在该条件，存在反函数[$g^{-1}$]，使得[$X=g^{-1}(Y))$]。那么我们可以使用下面的通用公式，来获得Y的分布:
$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$
假设X为标准分布，即[$N(0, 1)$]，且[$Y = 5X + 1$]，那么[$g^{-1}(y) = (y - 1)/5$]，因此:
$$f_Y(y) = f_X((y-1)/5) \cdot (1/5) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}e^{-(y-1)^2/(2 \times 25)}$$
可以看到，新的分布是一个[$\mu = 1, \sigma=5$]的正态分布，即[$N(1, 5)$]
并不是所有的函数都有反变换，所以这里的&通用&公式并不能适用于所有的情况。
多变量函数的通用公式
在一些特殊情况下，我们可以使用多变量函数的通用公式。
如果[$U=g_1(X, Y), V=g_2(X, Y)$]，且存在反变换，使得
$$X = h_1(U, V)$$
$$Y = h_2(U, V)$$
那么，我们可以通过如下公式，从X,Y的分布获得U,V的联合分布:
$$f_{UV}(u, v) = f_{XY}(h_1(u, v), h_2(u, v))|J|$$
J表示雅可比变换(Jacobian tranformation)，表示如下
$$J = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| =\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} $$
如果X和Y是独立的随机变量，且有相同的分布$$f(x) = e^{-x}, x \ge 0$$。如果[$U = X+Y, V= Y$]，求U和V的联合分布。
由于X和Y独立，所以
$$f_XY(x, y) = f(x)f(y) = e^{-x}e^{-y}$$
根据[$ U=X+Y $]，[$V= Y$]，可以得到[$ u \ge 0, v \ge 0$], 且有:
$$X = U - V$$$$Y = V$$
$$f(u, v) = e^{-(u-v)}e^{-v} = e^{-u}, u \ge 0, v \ge 0$$
通过随机变量的函数，我们可以利用已知随机变量，创建新的随机变量，并获得其分布。
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概率论讲义 第章
随机变量及其分布.doc 18页
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概率论讲义 第章
随机变量及其分布
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随机变量及其分布
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象统计规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．
2. 随机变量的引入
在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.
抛掷骰子,观察出现的点数.
二、随机变量的概念
定义 设随机试验E的样本空间是S = {e}, X = X (e)是定义在样本空间S 上的实值单值函数, 则我们称X = X (e)为随机变量.
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.
下面我们举几个随机变量的例子:
(1) n次射击命中目标的次数X (或随意抽验n件产品, 其中不合格品的件数), 它有n + 1个可能取值: 0, 1, 2, …, n.
(2) 灯泡寿命X, 可以取[0, +((上的任意值.
(3) 测量误差X, 可以取(((, +((上的任意值.
有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来.
例如, 从一批产品中任意取出10件, 若用X表示其中的废品数, 这时, {少于2件废品}、{恰有1件废品}两个事件, 就可以分别用{X & 2}、{X = 1}来表示.
又如单位时间内电话交换台接到的呼唤次数用X表示, 此时{接到不少于1次呼唤}、{没有接到呼唤}两个事件, 可以分别用{X ( 1}、{X = 0}来表示.
再如, 上面(2)中事件{寿命不少于200小时而不超过1000小时}的事件, 就可用{200 ( X ( 1000}来表示.
例1 “掷一颗骰子”是随机现象, 用随机变量X表示出现的点数, 求
(1) X的取值范围; (2) 概率P{X ( 4}及P{X & 4}; (3) 概率P{X & 4}及P{2 ( X & 4}.
引进了随机变量, 就可以通过随机变量来描述随机试验中各种事件, 全面反映试验的情况. 因此, 我们对随机现象统计规律性的研究, 就可以由对事件与事件的概率的研究扩大为对随机变量的研究.
离散型随机变量极其分布律
如果随机变量它所有可能取的值是有限个或可列个值, 则我们就称之为离散型随机变量.
设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k = 0, 1, 2, …), X取各个可能值的概率, 即事件{X = xk}概率为
P{X = xk}= pk,
k = 0, 1, 2, …
则我们称(1)式为离散型随机变量X的分布律或概率分布. 分布律也可以用表格的形式来表示:
X x1 x2 … xn …
pk p1 p2 … pn …
由概率的定义, pk满足如下两个条件:
1( 0 ( pk ( 1, k = 0, 1, 2, …;
注: 凡满足(2)的函数pk一定是某个离散型随机变量的分布律.
例1 (1) 设随机变量X的分布律为, k = 1, 2, 3, 求常数c的值.
(2) 设随机变量X的分布律为, k = 0, 1, 2, …, ( & 0,
求常数c的值.
下面介绍三种重要的离散型随机变量.
一、(0 ( 1)分布(或两点分布)
设随机变量X只可能取0或1两个值, 它的分布律为, k = 0, 1, (0 & p & 1), 或
pk 1 ( p p
则称X服从(0 ( 1)分布.
凡是只有两个结果的试验都可以用(0 ( 1)分布来描述.
二、伯努利试验、二项分布
在实践中, 我们经常遇到下列类型的重复试验:
(1) 每次试验的条件都相同, 且试验结果; 只有两个: A及, 且P(A) = p, P() = q = 1 ( p (0 & p & 1),
(2) 每次试验的结果(即基本事件)是相互独立的.
我们称之为n重伯努利(Be
正在加载中，请稍后...大学概率统计 随机变量的函数及其分布_中华文本库
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第六章 随机变量的函数及其分布o 离散型 o 连续型返回主目录第六章随机变量的函数及其分布随机变量的函数设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， Y ? g ?X ? , 则 Y也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y ? g ?x?本节的任务就是：已知随机变量 X 的分布，并且已知Y ? g ? X ?， 要求随机变量Y 的分布．返回主目录第六章随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量的函数 设X是离散型随机变量，其分布律为 ? n ? 1, 2 , ? ? P? X ? xn ? ? pnX或x1 p1x2 p2?， ?，xn pn? ?PY是X 的函数：Y ? g ? X ?，则Y也是离散型随机变 量，它的取值为其中 yn ? g ?xn ?y1 ， y2 ， ?， yn ， ?? n ? 1， 2， ? ?返回主目录第六章随机变量的函数及其分布第 一 种 情 形如果y1 ， y2 ， ?， yn ， ?两两不相同，则由P? Y ? yn ? ? P?X ? xn ? P?Y ? yn ? ? pn或?n ? 1， 2， ?? ? n ? 1,2, ? ?可知随机变量Y 的分布律为Y Py1 p1y2 p2?， ?，yn pn? ?返回主目录第六章 随机变量的函数及其分布第 二 种 情 形如果y1 ， y2 ， ?， yn ， ? 有相同的项，则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相 应的概率相加，即可得随机变量Y ? g ? X ?的分布律.返回主目录第二章 随机变量及其分布§5随机变量的函数的分布例 1设离散型随机变量 X 的分布律为X P-21 601 331 2随机变量 Y ? X ? 1，试求 Y 的分布律．Y ? X ? 1 的取值为? 3, ? 1, 2. 解：随机变量Y ? X ?1 由此得随机变量 这些取值两两互不相同 ．的分布律为 YP -31 6-11 3 1 22目 录前一页后一页退 出第六章 随机变量的函数及其分布例 2设离散型随机变量X 的分布律为X P-31 252-15 252015 252235 252670 2529126 252随机变量Y ? 2 X ? 3 ，试求Y 的分布律．解：随机变量Y ? 2 X ? 3 的取值为? 9， ? 5， ? 3， 1， 9， 15，返回主目录第六章 随机变量的函数及其分布例 2（续）这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量Y ? 2X ? 3的分布律为Y P-91 252-55 252-315 252135 252970 25215126 252返回主目录第六章 随机变量的函数及其分布例3 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求Y = (X-1)2的分布律.1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,返回主目录第六章 随机变量的函数及其分布例 3（续） Y=(X-1)2 同理,1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
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寻找更多 ""2018考研数学概率论重点：随机变量及分布
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　2018考研交流群
　　 今天给大家总结下去年考试概率论的出题特点，2018考研数学概率论重点：随机变量及分布，希望对大家有帮助，快总结起来吧。
　　第二章 随机变量及其分布
　　本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。
　　1.本章的重点内容：
　　随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)r分布律和概率密度的性质(充要条件)r八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用r会计算与随机变量相联系的任一事件的概率r随机变量简单函数的概率分布。
　　近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。
　　2.常见典型题型：
　　求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数r一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定r反求或判定分布中的参数r求一维随机变量在某一区间的概率r求一维随机变量函的分布。
　　附：概率与数理统计学科的特点
　　(1)研究对象是随机现象
　　高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。
　　(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些
　　比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.
　　(3)高数和概率相结合
　　求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。
　　以上是中公考研为大家准备整理的2018考研数学概率论重点：随机变量及分布的内容。中公考研提醒大家2018考研招生简章、2018考研招生目录、2018考研大纲已陆续公布，中公考研将为大家及时提供相关资讯。另外，为了帮助考生更好地复习，中公考研为广大学子推出2018考研、、系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，还会根据每年的考研大纲进行针对性的分析哦~欢迎各位考生了 解咨询。同时，中公考研一直为大家推出，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力!
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(责任编辑：赵白雪)
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