1、为什么罗素悖论产生一次数学危机&br&&br&这要从当时的数学背景说起。之前由于不严密的使用微积分导致了数学危机二。柯西，阿贝尔等人严密化了微积分。这使数学家看到了严格的数学应该是什么样子的——严格得公理化体系。皮亚诺提出了自然数论得公理。于是，自然的，希尔伯特提出一个计划，要给整个数学建立一套公理系统，使得所有数学命题都能在这个系统中表示。大多数数学命题可以通过自然数结构，及其子集的相关运算（概念）表示。例如实数可以用自然数的子集表示。更一般的，集合论被认为是极其本的（它只包含一个概念，隶属关系，其他一切命题都通过这个关系，和基本的逻辑语言，存在，任意，或，非，来表示），就是这样一个简单的结构，能够表示所有的其他数学领域的命题。费雷格等人给出了集合论的公理，也就是熟知的ZF系统。当时数学界普遍认为，集合论可以表示所有数学命题。但这时，罗素提出一个&b&看似合理&/b&的，由集合论的语言定义的概念，“由所有不包含自身的集合构成的集合”。罗素从这个概念出发，导出了矛盾（考虑这个集合是否包含它自身，不论包含与否都有矛盾。罗素用理发师比喻，“一个给所有不给自己理发的人理发的理发师”）。&b&罗素悖论之所以引起危机，在于，当时普遍认罗素悖论中使用的概念是合理的（这是因为集合论被看做应该包含一切的理论，因此诸如“全体集合”、罗素悖论中涉及到的集合，都被认为可以当做集合）。&/b&所以费雷格说“在我的书即将出版时，罗素发现了这个悖论，使得整个理论大厦全然崩塌”。&br&&br&&b&罗素悖论现在已经得到了“解决”。&/b&解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。首先，冯诺依曼提出，全体集合构成的集合，不能是集合论的一个对象、元素。罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这中的区别很大，听起来有点玄，有兴趣可以参考数理逻辑基础知识），亦即不能说这个东西属于某个集合。同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。这样一来，罗素悖论就“不再存在”（没有严格证明集合论不存在悖论，但自新集合论公理提出后没有人再发些悖论，数学界也普遍相信新集合论没有悖论。并且哥德尔证明了“无法本质上证明集合论无矛盾”）。&b&但这样一来，原本被认为合理的东西，比如“全体集合构成的东西”，却也无法在集合论的体系内讨论了。也就是说，罗素悖论虽然可以避免，但代价是，这个系统不像人们当初设想的那么包罗万象。&/b&罗素悖论“解决”后，人们进一步想严格证明两个事情，一是集合论是无矛盾的（罗素悖论及其各种变种不再存在但或许有别的矛盾呢），二是所有集合论的命题（从而所有数学命题）都能从集合论的公理按逻辑演绎的法则推导出来（完备性）。如果这两件事能成，任何数学命题，要知道真假，所要做的不过是从几条公理出发，按逻辑演绎法则去推，早晚要么证明其为真，要么得到其否命题。从而，说明数学本质上是机械的。这两件事，就是著名的希尔伯特纲领。当时诸多一流数学家都曾尝试，例如冯诺依曼。至此，第三次数学危机结束。&br&&br&2、后续影响 （这一部分不太赞同 @小明 的答案的后半部分）&br&&br&&b&后来哥德尔先后否定了这两个目标的可行性，这就是哥德尔的第一不完备定理，和第二不完备定理。&/b&第一不完备定理说任何足够复杂的包含有限条公理的系统（比如集合论），都存在为真但无法从这组公理推出的命题。第二不完备定理说如果这个系统无矛盾，则这个系统的无矛盾性，就是这样的命题（如果该系统有矛盾，则有矛盾是可以证明的）。哥德尔的结果进一步说明，没有一个系统能够穷尽所有数学，数学本质上是创造性的，数学的基础归根结底依赖于直觉（相信自然数论的无矛盾性）。&br&&br&虽然哥德尔证明了公理化方法无法穷尽所有数学，也无法自圆其说（集合论无法证明自己是无矛盾的），但&b&公理化体系、集合论仍然是数学的基础&/b&（数学并没有就此走上所谓的三条道路，验证一个数学家的结论是否正确的理论上的基础，是判断其推理的每一步是否能从上一步结合某个公理通过逻辑推理得到下一步，也就是希尔伯特的“形式主义”、公理化体系。此外，就我所知，没有人给出“可构造性”的严格定义，可能在具体的领域有一些定义，但它们不是普适的。这个概念就和“可计算”一样难缠。给出一个定义，数学家往往能直观上指出这个定义是否是可构造的，但可构造这个概念没有严格的定义）。即使有严格的定义，非可构造的定义也已经被数学家普遍接受，因为非可构造的定义未必不能转换成可构造的。其他数学家或许有各种各样的数学哲学观点，例如布劳威尔坚持直觉主义，但他们的观点并没有最终被数学主流接受。&br&&br&大多数数学家相信集合论是无矛盾的。绝大多数数学家相信自然数论是无矛盾的。我的答案&br&&a class=&internal& href=&/question//answer/&&不完备定理有哪些显著的哲学影响？ - mathiq galory 的回答&/a&，更详细说明了哥德尔定理产生的哲学影响。答案还包括：如果有一个数学命题无法从当前的公理出发，如何确定它的正确性？这样的数学命题的例子有哪些？&br&&br&&b&动摇数学的确定性（柏拉图主义）是哥德尔的定理，而不是罗素悖论或第三次数学危机。&/b&二者的关系上述答案已经说明，把哥德尔的定理看做是第三次数学危机的产物，略有些牵强。哥德尔不完备定理可以说是希尔伯特计划的产物。它进一步说明了罗素悖论所预示的一些结论（没有任何单个系统能穷尽所有数学）。&br&&br&&b&罗素悖论并没有让当时数学家为了数学基础所做的努力打脸，也没让希尔伯特计划&u&&i&当场&/i&&/u&全部泡汤。&/b&集合论仍然是数学的基础，其公理系统仍然是费雷格等人当时提出的那些公理。罗素悖论提出后，许多一流数学家仍在致力于完成希尔伯特计划，例如冯诺依曼、哥德尔等。冯诺依曼等人提出的解决（罗素悖论）方案，虽然使得一些看似合理的东西，例如“全体集合的集合”，无法讨论，但&新的&集合论依然可以表示当时（和现在）所知的全部数学命题。因此，人们依然（现在仍然）把集合论当做数学的基础。因此，希尔伯特和许多一流数学家继续着希尔伯特的纲领——证明集合论的无矛盾性和完备性，直到哥德尔两个不完备定理产生。是哥德尔不完备定理终结了希尔伯特计划，而不是罗素悖论。罗素悖论，从后来（哥德尔定理产生后）看，对哥德尔的结果所说明的东西有一定的预示。但至少当时没有任何数学家（包括冯诺依曼，可能哥德尔除外）从罗素悖论中看到这个预示。
1、为什么罗素悖论产生一次数学危机 这要从当时的数学背景说起。之前由于不严密的使用微积分导致了数学危机二。柯西，阿贝尔等人严密化了微积分。这使数学家看到了严格的数学应该是什么样子的——严格得公理化体系。皮亚诺提出了自然数论得公理。于是，自然…
这是 ZFC 版本下的 separation： &br&&blockquote&如果&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&是一个集合，并且&img src=&///equation?tex=%5Cphi%28x%29& alt=&\phi(x)& eeimg=&1&&是一个描述，那么我们可以把那些属于&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&并且满足描述&img src=&///equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&的个体搜集在一起构成一个集合。&/blockquote&这是粗鄙的 separation：&br&&blockquote&如果&img src=&///equation?tex=%5Cphi%28x%29& alt=&\phi(x)& eeimg=&1&&是一个描述，那么我们可以把那些满足描述&img src=&///equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&的个体搜集在一起构成一个集合。&/blockquote&区别在于，ZFC 下面的 separation 不是凭空产生的，而依赖于原有的集合。&br&&br&在粗鄙的情况下，会产生罗素悖论。令&img src=&///equation?tex=%5Cphi%28x%29%3A%3Dx%5Cnot%5Cin+x& alt=&\phi(x):=x\not\in x& eeimg=&1&&就可以得到&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%3Ax%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&\{x:x\not\in x\}& eeimg=&1&&，然后问这个集合是否属于自身，便得到悖论。但是在 ZFC 中，即便没有 foundation， 也不会出现这样的问题，因为根本就没有&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%3Ax%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&\{x:x\not\in x\}& eeimg=&1&&这样的写法，只有&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%5Cin+A%3Ax%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&\{x\in A:x\not\in x\}& eeimg=&1&&这样的写法，而就算是没有 foundation，我们光从&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%5Cin+A%3Ax%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&\{x\in A:x\not\in x\}& eeimg=&1&&也得不到矛盾。将&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%5Cin+A%3Ax%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&\{x\in A:x\not\in x\}& eeimg=&1&&这个集合记作 B，只有在&img src=&///equation?tex=B%5Cin+A& alt=&B\in A& eeimg=&1&&并且&img src=&///equation?tex=B%5Cnot%5Cin+B& alt=&B\not\in B& eeimg=&1&&的情况下才会有问题。那么我们只需要选择&img src=&///equation?tex=B%5Cnot%5Cin+B& alt=&B\not\in B& eeimg=&1&&并且&img src=&///equation?tex=B%5Cnot%5Cin+A& alt=&B\not\in A& eeimg=&1&&就能避免矛盾了。当然，另一条线依旧是不能选择的：假设&img src=&///equation?tex=B%5Cin+B& alt=&B\in B& eeimg=&1&&，那么我们就得到&img src=&///equation?tex=B%5Cin+A& alt=&B\in A& eeimg=&1&&并且&img src=&///equation?tex=B%5Cnot%5Cin+B& alt=&B\not\in B& eeimg=&1&&，而这一边依旧是一个矛盾。但是没关系，另一边已经不再封闭了。&br&&br&于是，在 ZFC 里面，罗素悖论的形式帮助我们看清了这一点：对于任何一个集合 A，总存在一个集合 B，使得 B 不在 A 里面。换而言之，不存在所有集合的集合。
这是 ZFC 版本下的 separation： 如果A是一个集合，并且\phi(x)是一个描述，那么我们可以把那些属于A并且满足描述\phi的个体搜集在一起构成一个集合。这是粗鄙的 separation： 如果\phi(x)是一个描述，那么我们可以把那些满足描述\phi的个体搜集在一起构成…
&p&正则公理保证了这一点。&/p&&p&正则公理说：&/p&&blockquote&对于任意非空集合 x，x 包含了某个与 x 不交的元素 y。&/blockquote&&p&说人话就是：&img src=&///equation?tex=%5Cforall+x%28x%5Cnot%3D%5Cemptyset%5Cto+%5Cexists+y%28y%5Cin+x%5Cwedge+y%5Ccap+x%3D%5Cemptyset+%29%29& alt=&\forall x(x\not=\emptyset\to \exists y(y\in x\wedge y\cap x=\emptyset ))& eeimg=&1&&&/p&&p&显然如果&img src=&///equation?tex=x%5Cin+x& alt=&x\in x& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx%5C%7D& alt=&\{x\}& eeimg=&1&&这个集合就不满足正则公理，因为&img src=&///equation?tex=x%5Cin+%5C%7Bx%5C%7D%5Cwedge+x%5Cin+x& alt=&x\in \{x\}\wedge x\in x& eeimg=&1&&，因此&img src=&///equation?tex=x%5Cin+%5C%7Bx%5C%7D%5Ccap+x& alt=&x\in \{x\}\cap x& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&另外，正则公理从某种意义上来说不是必须的，去掉它只会让我们得到一些奇奇怪怪的结构，但是不会让这个结构本身是不一致的。见：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&请问ZFC公理体系下正则公理的必要性？ - 知乎&/a&&/p&
正则公理保证了这一点。正则公理说：对于任意非空集合 x，x 包含了某个与 x 不交的元素 y。说人话就是：\forall x(x\not=\emptyset\to \exists y(y\in x\wedge y\cap x=\emptyset ))显然如果x\in x，那么\{x\}这个集合就不满足正则公理，因为x\in \{x\}\wed…
1897年，福尔蒂揭示了&a href=&///?target=http%3A///view/26152.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&集合论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，&a href=&///?target=http%3A///view/6118.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&罗素&i class=&icon-external&&&/i&&/a&又发现了一个悖论，它除了涉及&a href=&///?target=http%3A///view/1078151.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&集合概念&i class=&icon-external&&&/i&&/a&本身外不涉及别的概念。&a href=&///?target=http%3A///view/34072.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&罗素悖论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：&理发师是否自己给自己刮脸？&如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。&br&罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎&a href=&///?target=http%3A///view/232696.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&弗雷格&i class=&icon-external&&&/i&&/a&在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：&一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地&。于是终结了近12年的刻苦钻研。&br&承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代&a href=&///?target=http%3A///view/184370.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&公理集合论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。&br&为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。&br&数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、&a href=&///?target=http%3A///view/1197.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&有理数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&与&a href=&///?target=http%3A///view/1167.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&无理数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&a href=&///?target=http%3A///view/14749.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&实数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&与&a href=&///?target=http%3A///view/1302.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&虚数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与&a href=&///?target=http%3A///view/747984.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&离散&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。&br&矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。&br&人类最早认识的是&a href=&///?target=http%3A///view/19911.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。从引进零及&a href=&///?target=http%3A///view/71543.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&负数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使&a href=&///?target=http%3A///view/689812.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&乘法&i class=&icon-external&&&/i&&/a&有了&a href=&///?target=http%3A///view/325558.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&逆运算&i class=&icon-external&&&/i&&/a&——&a href=&///?target=http%3A///view/346210.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&除法&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用&a href=&///?target=http%3A///view/1197.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&有理数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&来表示?于是发现&a href=&///?target=http%3A///view/1167.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&无理数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就导致了&a href=&///?target=http%3A///view/23290.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一次数学危机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，而危机的解决也就促使逻辑的发展和&a href=&///?target=http%3A///view/17425.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&几何学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的体系化。&br&&a href=&///?target=http%3A///view/5925.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&方程&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的解导致了&a href=&///?target=http%3A///view/1302.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&虚数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的出现，&a href=&///?target=http%3A///view/1302.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&虚数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决&a href=&///?target=http%3A///view/14749.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&实数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。&br&&a href=&///?target=http%3A///view/17425.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&几何学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的发展从&a href=&///?target=http%3A///view/880869.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&欧几里得几何&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、&a href=&///?target=http%3A///view/532153.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&乘方&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、开方求出根来；古希腊&a href=&///?target=http%3A///view/15136.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&几何&i class=&icon-external&&&/i&&/a&三大问题，即三等分&a href=&///?target=http%3A///view/1431218.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&任意角&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、倍&a href=&///?target=http%3A///view/1114453.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&立方体&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&a href=&///?target=http%3A///view/481415.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&化圆为方&i class=&icon-external&&&/i&&/a&不能通过&a href=&///?target=http%3A///view/51988.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆规&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、直尺作图来解决等等。&br&这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，&a href=&///?target=http%3A///view/556393.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的&a href=&///?target=http%3A///view/1515726.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&形式系统&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了&a href=&///?target=http%3A///view/45218.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数理逻辑&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的大发展&br&对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。&br&====================分割线~以上引用百度百科~（被打脸了..）&br&感觉问题就是姨妈坑~~~最后补充影响吧~从此数学基础走上三个方向~形式主义、逻辑主义和构造主义。形式主义即希尔伯特为首的数学家，强调数学是形式公理化（说到形式主义，又要说到哥德尔大坑）。逻辑主义即罗素为首的数学家，强调数学是逻辑化的、数学概念源于逻辑（详见《数学原理》），构造主义即克罗内尔为首的数学家，强调数学的前提需要严格构造。现在形式主义是主流方向。&br&===================分割线~&br&其实这是数学哲学了吧~~第三次数学危机至今还没有完美解决（我的理解）。因为形式主义的数学家解决这个问题采取了回避正则的态度，即选择性的增删公理。而数学的本质也没有得到真正统一。&br&===================分割线~再次补充一下~&br&数学家自第二次数学危机以来~就更加注重数学公理基础~就陷入数学算术的基础是什么~由此出现了皮纳尔公理和朴素集合论等等基本理论。这些理论在当时被发现能解释了极大部分的数学理论，即能作为其他数学定理的公理。也由此出现了希尔伯特计划。罗素悖论的出现，使得朴素集合论被打脸了~而形式主义为了规范，采取新的公理系统，不过后来被哥德尔打脸了。罗素其实也看不惯形式主义的公理系统选择，所以采取从数学逻辑性来解释数学的基础，不过很繁琐~
1897年，福尔蒂揭示了中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，又发现了一个悖论，它除了涉及本身外不涉及别的概念。曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发…
属于罗素悖论，数学上的做法是，想办法修改公理让你说不出这句话
属于罗素悖论，数学上的做法是，想办法修改公理让你说不出这句话
ZFC 不讨论涉及自我指涉的集，由正则公理规定
ZFC 不讨论涉及自我指涉的集，由正则公理规定
先说一点，ZFC中有一条正则公理：&img src=&///equation?tex=%5Cforall+x%5Cleft%28+x+%5Cne+%5Cphi+%5Crightarrow+%5Cexists+y%5Cin+x%28%5Cforall+z%5Cin+y%28%5Cneg+z%5Cin+x%29%5Cright%29+%29& alt=&\forall x\left( x \ne \phi \rightarrow \exists y\in x(\forall z\in y(\neg z\in x)\right) )& eeimg=&1&&意思是说对于所有不空的集合x，存在x中的元素y，y中的所有元素都不属于x。这条公理可以排除很多奇异集合，比如：&br&命题：对于任意集合x，都有&img src=&///equation?tex=x%5Cnotin+x& alt=&x\notin x& eeimg=&1&&成立。&br&证明：假设命题不成立，即存在一集合，满足&img src=&///equation?tex=x%5Cin++x& alt=&x\in
x& eeimg=&1&&。构造集合&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ x \right\} & eeimg=&1&&，易见&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ x \right\} & eeimg=&1&&不空且有唯一元素&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，因此&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+%5Ccap+x%3Dx& alt=&\left\{ x \right\} \cap x=x& eeimg=&1&&。因为&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ x \right\} & eeimg=&1&&只有元素&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，因此&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ x \right\} & eeimg=&1&&中不存在元素&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&所有的元素都不属于&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+x+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ x \right\} & eeimg=&1&&。这与正则公理矛盾，因此假设不成立，原命题成立。（证毕）&br&再说罗素悖论，我大略看了一下，那篇文章很有问题。首先罗素悖论产生的原因是对概括原则的滥用，而不是什么“自属集”。ZFC排除悖论的方式是对概括原则进行限制（分离公理）。我猜你和那篇文章大概的意思应该想用类似正则公理那种方式排除罗素悖论，但那是做不到的。&br&构造集合T={x：&img src=&///equation?tex=x%5Cnotin+x& alt=&x\notin x& eeimg=&1&&}，根据概括原则T是一个集合，问T属不属于T？根据上面的命题可以直接排除&img src=&///equation?tex=T%5Cin+T& alt=&T\in T& eeimg=&1&&的情况。那么&img src=&///equation?tex=T%5Cnotin+T& alt=&T\notin T& eeimg=&1&&，但根据T的定义，T就应该属于T，依然矛盾。
先说一点，ZFC中有一条正则公理：\forall x\left( x \ne \phi \rightarrow \exists y\in x(\forall z\in y(\neg z\in x)\right) )意思是说对于所有不空的集合x，存在x中的元素y，y中的所有元素都不属于x。这条公理可以排除很多奇异集合，比如： 命题：对于…
（后文会有历史上有趣的悖论）不行的，得出悖论不代表得出矛盾。由一个已知条件得出了一个悖论，不能说明该条件不成立。举一个经典例子：对于一个运动的物体来说，由于每个时刻（即每个瞬间）物体都是静止的，那么这个物体应该是静止的才对，那能说原来的条件是错的吗，肯定不能，因为它忽略了时间是连续的。&br&&br&得出悖论和得出矛盾是不一样的，只有得出了矛盾才能推翻假设，而得出悖论则需要更深层次的去挖掘命题包含的内在逻辑。我们需要深入的去了解悖论：&br&&br&&strong&悖论的性质是什么呢？&/strong&&br&悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称&br&&br&所以说悖论是一种知性认识。虽然悖论不能得出可靠结论但是却能让人深省命题的内在逻辑的不足，在知识发展的过程中，悖论扮演的不可忽视的作用，很多时候数学家都是通过知识的正面去发展知识（比如费马大定理引导了无数数学家开创了很多新领域），而悖论则从知识的反面——不严谨去推动知识的发展。&br&&br&拓展一点，罗素悖论可以通俗的理解为“&strong&理发师悖论&/strong&”，即一个小镇的理发师说他只给“不给自己理发的人”理发，那么理发师给不给自己理发呢？&br&因为集合论是数学大厦的基石，罗素悖论的出现动摇了这块基石（这就是传说中数学的第三次危机），后来所有数学家达成一个共识：ZF公理系统和NBG公理系统，简单来说就是把这个“理发师”排除在小镇之外了。&br&&br&下面是历史遗留的有名悖论：&br&1、苏格拉底曾说过：我只知道一件事，那就是什么都不知道。&br&（突然脑补经典对白：男主深情凝视女主，我什么都不在乎，我只在乎你，画外音，啊啊啊啊）&br&&br&2、柏拉图说：苏格拉底下面这句话是错的&br&
苏格拉底：柏拉图说得对&br&
（好基友，一辈子）&br&&br&3、霍金在时间简史里有这样的假设：如果你乘着时光机回到你祖父祖母相遇前把你祖父杀掉会发什么？&br&（我觉得说不定你见到年轻的祖母就喜欢上了）&br&&br&4、皮诺曹对自己的鼻子说：我的鼻子会变长。会发生什么。&br&&br&5、曾经有一个海盗岛，岛上全是海盗，每次有商人路过这个岛屿就会被抓起来，然后问一个问题，如果答对了就放他走，答错了就被杀掉，每次海盗都会问你猜我会不会杀掉你，一般的商人遇到这样的情况都很慌乱失去理性最后答错被杀，直到有一次一个商人说你会杀掉我（这就导致了一个矛盾），最后海盗也不知道该不该杀他，最后放他走了。&br&&br&6、还有很多有趣的悖论就不一一列举了，以后有时间慢慢补充啦，回笼睡觉zzz
（后文会有历史上有趣的悖论）不行的，得出悖论不代表得出矛盾。由一个已知条件得出了一个悖论，不能说明该条件不成立。举一个经典例子：对于一个运动的物体来说，由于每个时刻（即每个瞬间）物体都是静止的，那么这个物体应该是静止的才对，那能说原来的条…
&p&罗素悖论的最终解决&/p&&p&维特根斯坦：“不被任何人理解是非常痛苦的。”&/p&&p&1、关于理发师悖论&/p&&p&在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。这就是著名的“理发师悖论”。&/p&&p&当前主流的解悖方案是蒯因的方案。蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。&/p&&p&这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，理发师给出的规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。如何解决呢？很简单，关于“理发师是否给自己理发”，理发师可以再制定一个新规则。&/p&&p&2、维氏对于数学基础：数学家更多是在发明&/p&&p&从罗素时代至今，很多学者会认为数学家的工作是在发现真理。但在维氏看来，数学家的工作更多的是在发明。&/p&&p&维特根斯坦反复强调：“数学家不是发现者，而是发明者。”，又说“数学家一直在发明新的描述形式。有的人受实际需要的刺激，另一些人出自审美需要，还有些人以其他种种方式。”&/p&&p&数学家的工作与纯逻辑家的工作不同，他们并不只是进行分析与推理，更重要的是进行综合与创造，欧氏几何与非欧氏几何的公理都是综合与创造。当数学家在概念框架内推演定理，他们是在进行分析与推理，这时候比较接近于“发现”。当数学家在给出定义、公理与概念框架的时候，他们是在综合与创造，这时候比较适用于“发明”。&/p&&p&所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。&/p&&p&3、关于罗素悖论&/p&&p&理发师悖论可以表达成集合论的形式，就是罗素悖论。&/p&&p&R={x | x不属于x }，然后现在问R是否属于R。如果R不属于R，那么根据定义，R属于R；如果R属于R，那么根据定义，R不属于R。&/p&&p&基于这两种不同的数学哲学基础，面对悖论问题时，可以得出很不相同的分析方式和解决方式。一百年前出现罗素悖论的时候，数学家们普通接受“发现”的数学哲学观点，当数学出现悖论的时候，就觉得天塌下来了：我的上帝，是不是客观真理出问题了，或者上帝旨意出问题了？如果是以维氏“发明”的数学哲学观点，就觉得没有什么大不了的，根本不是客观真理出问题了，而是数学家主观观念出问题了。数学家构造的规则矛盾了，在矛盾的地方再构造一个新规则就是了。&/p&&p&举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=c iff a=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。&/p&&p&那么，具体到罗素悖论，如何分析和解决呢？很简单，R是数学家发明构造的，数学家给出的规则对于“R是否属于R” 给出了一个矛盾式的规则，相当于没有定义。没有定义起码有三种可能性：缺少定义，重言定义，矛盾定义。例如对于变量x没有任何定义，这是缺少定义；对于x定义为x，这是重言定义；对于x定义为（x=0 if x=1 and x=1 if x=0），这是矛盾定义。这三种定义，都没有给出正确的定义。&/p&&p&那么，如何解决罗素悖论呢？很简单，对于“R是否属于R”此处进行重新定义，属于不属于都可以，或者说此处没有意义也可以。数学家构造的理论出现矛盾了，就像人们讲话出现了矛盾了一样，解决的方法很简单：“对不起，我没有注意到这里有矛盾，我重新说明一下，此处应该是如此如此。。。”&/p&&p&如果你认为数学家是在发现客观真理，那么你就不会接受维氏的分析和解决。如果你认为数学家是在发明主观理论，那么维氏的分析和解决再清楚再简单再合理不过了。&/p&&p&爱因斯坦说：“我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。”&/p&&p&有时候，数学的问题，应该在数学之外得到解决。&/p&&br&&br&&p&进一步参阅：&/p&&p&1、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月（入选《中国分析哲学 2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页）&/p&&p&2、 庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月.&/p&&p&3、庄朝晖，基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论，《厦门大学学报（哲社版）》，第2期，2008（并以此文获得首届洪谦哲学论文奖）&/p&
罗素悖论的最终解决维特根斯坦：“不被任何人理解是非常痛苦的。”1、关于理发师悖论在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自…
谢邀。下面分别对应题主的3步骤推理进行评论:&br&&br& 1.将集合分为自含和非自含的（姑且全都使用题主的术语吧），是二分法，而不是排中律。只有当我们说，一个集合要么是自含的，要么不是自含的，才是排中律。现在，罗素做出了一个“奇怪的”集合：（i）如果它是自含的，那么可以推出它是非自含的；（ii）但如果说它是非自含的，却又可以推出它是自含的。（i）与（ii）合起来构成一个矛盾。在此情形下，我们首先倾向于否认存在罗素构造的那个集合，而不是在那个集合存在的假定下去讨论它到底是自含还是非自含的。&br&&br& 2.我没搞懂为什么允许一个集合A包含自身，就会使这个集合A大于集合A了？比如有这样的一个集合B，它是所有集合的集合。很明显集合B包含自身，但是这里却并没有引发罗素悖论。可见，罗素悖论的产生与允不允许一个集合包含自身没有直接关联。而且，像集合B这样的集合并未违反同一律。你要判断集合的大小，得去考虑它的成员，它的外延。集合的同一性是由外延公理界定的。&br&&br& 3.罗素构造的集合确实违反矛盾律了，但诚如上一点所言，这不是由于罗素允许集合包含自身导致的。（补充：标准集合论通过一些公理排除了包括罗素构造的集合在内的一大堆奇怪的自含集合。非标准集合论相对而言更“宽容”一点，容忍了少量的自含集合，尽管它也把罗素构造的那种集合给排除了。）&br&&br&注意！罗素悖论并不是基于对同一律的违反，论证出集合不能包含自身。当然，罗素悖论是一个关于自指的问题，如果题主对自指引发的逻辑悖论感兴趣，最好去关注一下现代最伟大的逻辑学家哥德尔的逻辑成就 (⊙o⊙)
谢邀。下面分别对应题主的3步骤推理进行评论: 1.将集合分为自含和非自含的（姑且全都使用题主的术语吧），是二分法，而不是排中律。只有当我们说，一个集合要么是自含的，要么不是自含的，才是排中律。现在，罗素做出了一个“奇怪的”集合：（i）如果它是自…
至于这句话是不是罗素说的，我并未查证。但是罗素说过这么两句话，大意是这样的：&br&&br&“人的兴趣应该是向外发展的，如此才算健康的人格，才能活得幸福。”
&br&&br&“实际上，过于专注于任何一件事都是错误的，特别是这件事是无法实施的时候。”&br&&br&均取自《罗素谈理性》一书。&br&结合这两句话，凭借片面的推倒，你说的这句话还的确有罗素的味道。
至于这句话是不是罗素说的，我并未查证。但是罗素说过这么两句话，大意是这样的： “人的兴趣应该是向外发展的，如此才算健康的人格，才能活得幸福。” “实际上，过于专注于任何一件事都是错误的，特别是这件事是无法实施的时候。” 均取自《罗素谈理性》…
&p&喵喵喵？……现在确实有人认为历史不是前进的了……但问题在于……如果历史不是前进的，那罗素又怎么会过时？……&/p&
喵喵喵？……现在确实有人认为历史不是前进的了……但问题在于……如果历史不是前进的，那罗素又怎么会过时？……
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