&伽玛分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数&称为形状参数（shape parameter），&称为（scale parameter）。
假设随机变量X为 等到第&件事发生所需之等候时间, 密度函数为
特征函数为
Gamma的可加性
当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma
数学表达式
若随机变量X具有概率密度
其中&&0,&&0,则称随机变量X服从参数&，&的伽马分布，记作G(&,&).
1、&=n，&G(n,&)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和中 ,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现 n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有 n 只船到达所需的时间都服从 Erlang分布；
2、当&= 1 , & = 1/& 时，&G(1,1/&) 就是参数为&的,记为exp (&) ；
3、当& =n/2 ，&=1/2时，&G (n/2,1/2)就是数理统计中常用的&2( n) 分布。
4、()、分别为
对于&G(a ,& )，E( X) =a/&，D ( X) =& / (&*&)
5、(Gamma 分布的可加性)：设随机变量 X1 , X2 , &, Xn 相互独立，并且都服从Gamma 分布，即Xi ～&G(&i , &)，i =1 ,2 , &, n , 则：
X1 + X2 + &+ Xn ～ &G(&1 +&2 + &+&n ,& )
其实你只要记住了做积分变换，可得，从而那么 就很好记了。并且伽马分布与一大坨分布有着暧昧的关系，比如：、、、、最后来个分布族谱图：
Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。（最新修改，希望能够行文布局更有逻辑）&&&&&&泊松过程&&&&&&指数分布和泊松分布的关系十分密切，是统计学中应用极大的两种分布。其中泊松过程是一个显著应用。泊松过程是一个计数过程，通常用于模拟一个（非连续）事件在连续时间中发生的次数。为一个泊松过程，则其满足三个性质：①（t=0时什么都没发生）②（增量）之间互相独立：扩展补充：与互相独立，且在计数过程中这是因为③即根据增量独立性，易知其成立。&&&&&&泊松&指数&&&&&&假设为第次事件与第次事件的间隔时间。所以所以即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。&&&&&&指数&Gamma&&&&&再令，即从头开始到第次事件的发生的时间，该随机变量分布即为Gamma分布。即。Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。&&&&&&证明&&&&&&假设且互相独立①Moment Generating Function（MGF）：MGF的定义为则其性质为下证：则为Gamma分布的MGF。MGF:②数学归纳法：已知所以当时成立。假设时成立当时，其中为的pdf。证毕。当然，Gamma分布与Beta，Chi-square分布也有着十分紧密的联系，不过在统计学应用中都不如与指数分布的联系来得重要。
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【小白话通信】连续分布的产生，小白通信分布
由于篇幅有限，前一篇文章《离散分布的产生》中只讲述了用均匀分布产生离散分布的方法，那么本文接着讲如何利用均匀分布产生连续分布的方法。
连续分布主要有以下几种：均匀分布 伽马分布 正态分布 贝塔分布 柯西分布 对数正态分布 双指数分布。
产生各种连续分布的方法有很多，我把它分为两类：通用方法、特殊方法。特殊方法就是根据各个连续分布的特性而特有的方法。
通用方法指的是对于各种连续分布理论上都适用的方法。下面只讲解分布函数法、舍取法这两种通用的方法。
分布函数法
概率积分变换定理
设随机变量X有连续累计分布函数F(x)，令u=F(x)，则U服从(0,1)上的均匀分布。
由概率积分变换定理可知，如果知道一个连续分布函数的累计分布函数F(x)，则可以求得随机变量：X=F-1(U)，其中Y服从0到1内的均匀分布。下面以指数分布来举例说明：
指数分布的累计分布函数F(x)可以表示为：
F(x)={1-e-λx,x≥00,x&0
由于U=F(X)服从(0,1)上的均匀分布，则随机变量：X=F-1(U)=-Ln(1-U)λ。因此只需要产生服从(0,1)上的均匀分布的U，就可以计算得到服从指数分布的随机变量X。
指数分布
X=exprnd(1/lambda);
Fx=expcdf(x,1/lambda);
Px=exppdf(x,1/lambda);
plot(x,Px,'r-')
title('指数分布的pdf')
U=rand(1,N);
X2=-(log(1-U))/
Max=ceil(max(X2));
range=0:step:M
for i=1:length(range)-1
YY(i)=sum(range(i)&=X2&X2&=range(i+1))/N/
XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
plot(XX,YY,'bo')
title('指数分布的pdf')
legend('内置函数产生','分布函数法产生')
结果显示如下：(指数参数λ=1的情况)
分布函数法的局限性：由于该方法的关键就是求出分布函数的反函数，从而得到随机变量X关于均匀分布随机变量U的表达式。然而有些分布是不容易求得其反函数的，例如我们常见的正态分布，其分布函数需要用其概率密度函数表示如下：
F(x)=1σ2π--√∫x-∞e-(t-u)22σ2dt
其中，u和σ分布为均值和标准差。显然，当得知F(x)的取值时，也很难求得此时的x的值。因此，当出现上述问题时，我们可以采用舍去法。
定理：设随机变量Y,V的概率密度函数分布为fY(y)、fV(v)，其中，fY(y)、fV(v)有相同的支撑集且
M=max{fY(y)/fV(v)}&+∞
按下列步骤可以生成随机变量Y服从概率密度为fY(y)的分布：
1. 生成独立的随机变量U,V，其中，U服从0到1的均匀分布,V服从概率密度函数为fV(v)的分布
如果U&1MfY(V)/fV(V),则令Y=V，否则返回到步骤1。
下面以用舍去法生成正态分布来具体说明：假设我们要用舍取法生成标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数如下所示：
确定V的分布
由舍取法的步骤2可知，生成的正态分布变量Y的取值包含于随机变量V的取值中。因此，我们需要根据正态分布随机变量的取值范围，来选择V应该服从的分布！我们一般取V服从均匀分布（当然也可以取其他的分布，注意需要满足取值范围）。
理论上，正态随机变量的取值在整个实数域中，因此V应该服从区间为实数域的均匀分布，显然这个均匀分布我们很难表示出来。但由上图可知，标准正态分布的取值基本在-5到5之间，因此我们只需要使得V服从区间在-5到5的均匀分布即可以很好的近似。
确定M的大小
在公式M=max{fY(y)/fV(v)}中，fV(v)=110，max{fY(y)}=fY(0)=12π√。因此M=102π√
在确定了V的分布以及M的大小之后，便可以根据定理中步骤2的判决方法来生成服从指定分布的随机变量Y。具体的程序实现如下：
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
plot(x,Px,'b-')
while(i&=N)
U=unifrnd(0,1);
V=unifrnd(A,B);
M=1/sqrt(2*pi)*(B-A);
if(U&1/M*1/sqrt(2*pi*sigma2)*exp(-(V-mu)^2/2/sigma2));
Max=ceil(max(X2));
range=A:step:B;
for i=1:length(range)-1
YY(i)=sum(range(i)&=X2&X2&=range(i+1))/N/
XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
plot(XX,YY,'ro')
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','舍取法产生')
结果显示如下：
注意：使用这种方法的时候必须使V服从合适的分布来保证M&+∞，如若找不到这样的分布，则可以参考Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法。
上述的两种通用方法基本上可以用均匀分布产生大多数连续分布，不过由于每种分布有着各自的特性，因此也可以通过特殊的方法来生成。下面以生成标准正态分布(正态分布性质表明：任何正态分布都可以由标准正态分布转化得到)为例：
中心极限定理法
中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。（摘自维基百科）
我们由中心极限定理可知，多个独立同分布的随机变量的和服从正态分布，而关于这个正态分布的均值和方差的确定，我们可以依据林德伯格－列维定理：
林德伯格－列维(Lindeberg-Levy)定理：
设随机变量X1,X2,?,Xn，且具有有限的数学期望E(Xi)=u,D(Xi)=σ2=0(i=1,2,?,n)。记X?=1n∑i=1nXi,Y=X?-uσ/n√，则limn→∞P(Y&z)=Φ(z)，其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。
在程序实现中，我利用10个相互独立的服从区间-5到5的均匀分布来生成标准正态分布Y。而由公式可知，区间0到1的均匀分布的均值为u=-5+52=0,σ2=(5-(-5))2/12=100/12.因此我们需要生成的服从标准正态的随机变量的表达式为：Y=X?-0.5100/12√/n√。具体程序实现如下：
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
plot(x,Px,'b-')
for i=1:10
U(i,1:N)=unifrnd(A,B,1,N);
meanX=mean(U);
X2=(meanX-(A+B)/2)/sqrt((B-A)^2/12)*sqrt(10);
Max=ceil(max(X2));
range=A:step:B;
for i=1:length(range)-1
YY(i)=sum(range(i)&=X2&X2&=range(i+1))/N/
XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
plot(XX,YY,'ro')
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','中心极限定理法产生')
显示结果如下：
Box-Muller法
基本思想：假设U,V是两个相互独立的且服从区间在0到1的均匀分布，并且随机变量X,Y的表达式如下：
X=-2lnU------√cos(2πV),Y=-2lnU------√sin(2πV)
则X,Y是相互独立的，并且服从标准正态分布。
具体的程序实现如下：
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
plot(x,Px,'r-')
U=rand(1,N);
V=rand(1,N);
R=sqrt(-2.*log(U));
theta=2*pi*V;
X2=R.*cos(theta);
Y2=R.*sin(theta);
Max=ceil(max(X2));
range=A:step:B;
for i=1:length(range)-1
YY(i)=sum(range(i)&=X2&X2&=range(i+1))/N/
XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
plot(XX,YY,'bo')
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','Box-Muller法产生')
显示结果如下：
上面我们是以正态分布为例来讲述了特殊法的运用，主要是运用了正态分布与其他分布的关系：多个独立同分布的随机变量和服从正态分布；均匀分布与正态分布之间满足Box-Muller法中的关系。因此，当想要由一种分布生成另一种分布的时候，只需要知道它们之间的关系即可！
原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/
作者：nineheadedbird
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概率论与数理统计课程设计
题目：正态分布随机数生成算法
要编程得到服从均匀分布的伪随机数是容易的。C语言、Java语言等都提供了相应的函数。但是要想生成服从正态分布的随机数就没那么容易了。 得到服从正态分布的随机数的基本思想是先得到服从均匀分布的随机数，再将服从均匀分布的随机数转变为服从正态分布。接下来就先分析三个从均匀分布到正态分布转变的方法。然后编程实现其中的两个方法并对程序实现运作的效果进行统计分析。
1、 方法分析 （1） 利用分布函数的反函数 若要得到分布函数为F(x)的随机变量Y。 可令Y?F?1(u)， 其中u是服从均匀分布的随机变量，有 P(Y?y)?P(U?F?F(y)?1(y)) 因而，对于任意的分布函数，只要求出它的反函数，就可以由服从均匀分布的随机变量实例来生成服从该分布函数的随机变量实例。 现在来看正态分布的分布函数，对于X~N(?,?2)，其分布函数为： 1x???(t??)2?22F(x)??2??e 显然，要想求其反函数是相当困难的，同时要想编程实现也很复杂。可见，用此种方法来生成服从正态分布的随机变量实例并不可取。 （2） 利用中心极限定理 第二种方法利用林德伯格―莱维(Lindeberg―Levi)中心极限定理：如果随机变量序列X1,X2,?,Xn,?独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差E?Xi???,D?Xi???2?0i?(11?,则对一切2,),x?R有 n?limP?n??????n??i?1??Xi?n???x?????x??12?e?t22dt 因此，对于服从均匀分布的随机变量Xi，只要n充分大，随机变量就服从N?0,1?。我们将实现这一方法。 （3） 使用Box Muller方法 先证明?????x2?n?X?n???i?n??i?1?1e2dx?2?： 2令I??????xe2dx，则 I?2?????x2e2dx?????y2e2dy?????e?x?y222dxdy 令x?rcos?,y?rsin?，则有 r2I?2??02??0e?2rdrd??2??e0??r22rdr?2?。 接下来再来得出Box Muller方法： 设?X,Y?为一对相互独立的服从正态分布的随机变量。则有概率密度函数 12??x?y222f?X,Y??x,y??e 令x?Rcos?,y?Rsin?,其中?~?0,2??，则R有分布函数： 2?r0P(R?r)???0212??u2e2udud???r0?u2?r2e2udu?1?e2 ?r令FR?r??1?eR?FR?12 ?2ln?1?Z? ?Z??如果X服从均匀分布，则R的分布函数即为FR?r?。 最后，可以U1用代替?1?Z?，令?为2?U2，其中U1~U?0,1?，U2~?0,1?，得: X?Rcos???2lnU1cos?2?U2?,Y?Rsin???2lnU1sin?2?U2? 从而，只需要有两个服从均匀分布的随机变量U1,U2，就能通过公式 X?Rcos???2lnU1cos?2?U2? 来得到一个服从正态分布的随机变量X。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。我们也将实现这一方法。
2、 实现与分析 （1） 利用中心极限定理方法的实现与分析 利用中心极限定理来生成随机数的函数(C++语言)编写如下：
const int N = 200; double getRand() {
double s = 0;
for (int i = 0; i != N; ++i)
s += double(rand() % 1000) / 1000;
函数生成的随机数是N个[0,1]间服从均匀分布的随机数的和。这里N为200。从而理论上产生的随机数应近似服从N(n?,n?2)，其中n为N，即200，?为0.5，?2为1/12。程序生成了200个随机数，并求出样本均值与样本方差，也即?与?2的最大似然估计： //生成随机数并存储
//得到样本均匀与样本方差 su = sum / 200; for (int i = 0; i != 200; ++i)
sb += (store[i] - su) * (store[i] - su); sb /= 200; ssb = sqrt(sb); double sum, store[200], xi, su = 0, sb = 0, ssb = 0; int cnt = 0; sum = 0; for (int i = 0; i != 200; ++i) {
} xi = getRand(); sum += store[i] = 此次选取y1?90,y2?92,y3?94,y4?96,y5?98,y6?100,y7?102,y8?104, y9?106,y10?108，它们将实轴分成11个互不相交的区间，从而将样本值分成11组。程序统计了每组中的样本数量。为方便计算，程序还计算出了int segments[12], m = 2;
double x1 = 90, x10 = 108; memset(segments, 0, sizeof(segments)); for (int i = 0; i != 200; ++i) {
if (store[i] <= x1)
++segments[0]; else if (store[i] > x10) ?)(yi????：
++segments[10]; ++segments[int((store[i] - x1) / m + 1)]; cout << 'i' << '\\t' << \ << for (int i = 0; i != 11; ++i) {
} cout << i + 1 << '\\t' << segments[i]; if (i < 10)
cout << '\\t' << fixed << setprecision(2) << (90 + i * 2 - su) / cout << 程序的最终运行输出如图2－1所示。
图2－1 最终输出结果 对结果的统计如表2－1所示。由表2－1中可见?2?13.380，今k?11,m?2,并令??0.05,则???k?m?1???0.05?8??15.507.由于22?，故可认为产生的随机数服从正态分布。
表2－1 i (yi?1,yi] ni ?i p?i??ni?200p?i200p2 三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、应用写作文书、各类资格考试、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、专业论文、37正态分布随机数生成算法等内容。
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利用中心极限定理生成符合正态分布的随机量：
根据独立同分布的中心极限定理，有:
&&&&&&&&&&&
这里，其实只要取n=12（这里，亦即生成12个0-1上的随机数序列）就会有比较好的效果。&经验证，用该种方法生成生的随机数序列同样能比较好的符合正态分布特性。
N(a,b)x=b*x0+ax0N(0,1)
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。正态分布随机数生成法（java版） - CSDN博客
正态分布随机数生成法（java版）
&要编程得到服从均匀分布的伪随机数是容易的。C语言、Java语言等都提供了相应的函数。但是要想生成服从正态分布的随机数就没那么容易了。&
& & & &得到服从正态分布的随机数的基本思想是先得到服从均匀分布的随机数，再将服从均匀分布的随机数转变为服从正态分布。接下来就先分析三个从均匀分布到正态分布转变的方法。然后编程实现其中的两个方法并对程序实现运作的效果进行统计分析。
1、&方法分析&
（1）&利用分布函数的反函数&
若要得到分布函数为F(x)的随机变量Y。&
可令，&其中u是服从均匀分布的随机变量，有&
因而，对于任意的分布函数，只要求出它的反函数，就可以由服从均匀分布的随机变量实例来生成服从该分布函数的随机变量实例。&
现在来看正态分布的分布函数，对于
，其分布函数为：&
显然，要想求其反函数是相当困难的，同时要想编程实现也很复杂。可见，用此种方法来生成服从正态分布的随机变量实例并不可取。
（2）&利用中心极限定理&
第二种方法利用林德伯格—莱维(Lindeberg—Levi)中心极限定理：如果随机变量序列
独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差
则对一切x∈R有
因此，对于服从均匀分布的随机变量Xi，只要n充分大，随机变量
为正态分布。我们将实现这一方法。这里 Ri为[0,1]之间均匀分布的随机数
package cn.tan.
* @author ?zil ισνΞ
public class RanZT {
* 这里是我上一篇日记里面产生[0,1]随机数的算法
* @param r 将变量的地址传进函数中，以便每次调用后更新随机种子的值，否则将得到完全一样的数据从而失去随机性
* 这里r我们初始化为5
static double seftRandom(double[] r){
double base,u,v,p,temp1,temp2,temp3;
base = 256.0;
//两个常数
v = 139.0;
//计算总值
temp1 = u*(r[0])+v;
temp2 = (int)(temp1/base);
//计算余数,1到base的余数
temp3 = temp1 - temp2*
//更新随机种子，为下一次使用
r[0] = temp3;
//随机数赋值 ，获取[0,1]的随机数
* 正态分布随机数生成法
* @param u 正态分布的均值
* @param t 正态分布的方差0
* @param r 随机种子
* @param n 正态分布公式的n
static double randZT(double u,double t,double[]r,double n){
double total = 0.0;
for(i = 0;i&n;i++){
total += seftRandom(r);
//得到的随机数
result = u+t*((total-n/2.0)/Math.sqrt(n/12));
public static void main(String[] args){
double u,t,n;
double[] r = {5.0};
//初始化正态分布的均值和方差
System.out.println(&产生十个正态分布的随机数：&);
//循环调用
for(i = 0;i&10;i++){
System.out.printf(&%10.5f\n&,randZT(u,t,r,n));
System.out.println();
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import java.util.*;public class zheng0_1 { public static void main(String[] args) {
double zhengtai...
//正态分布函数，从三种生成法中随机选择一种，更加随机
public class Normal {
public Normal() {
public double normalRand...
[java] view
import java.util.*;  
public class zheng0_1 {  
   ...
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