用数学解决实际问题（组篇）
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用数学解决实际问题（组篇）
九年义务教育数学教学大纲明确规定：“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”“形成用数学的意识。”我们经常看到有些学生遇到一个实际问题，无处下手束手无策时，当我们把这个问题化为数学模型，用数学语言加以表达后，他马上就会解了。可见，建立适当数学模型，是利用数学解决实际问题的前提。解决实际问题，特别是综合性较强的实际问题的过程，实际上就是建立数学模型的过程。在教学中解决实际问题时，要注意引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力。&&&&& 一、化实际问题为数学模型，要注意的问题&&&&&& 1．要排除语言障碍。读题是解题的基础，通过读题能识别、理解、解释数学问题的语言表达，并能用自己的语言表述，然后准确的翻译为数学语言。　　　　　　&&&&&& 2．要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，善于将这些空间形式和数量关系用数学语言表示出来。&&&&&& 3．要掌握一些基本类型的数学应用题。如列方程解应用题，列函数式解应用题，最值问题的一些应用题，几何问题的应用题，三角问题的应用题以及其他方面的典型应用题，以增强建模能力。&&&&&& 二、解决实际问题中常见的数学模型&&&&& 实际问题是复杂多变的，但是初中数学解决实际问题常见的模型还是有规律可以归纳总结的。初中数学常见的数学模型主要包括方程模型，函数模型，不等式模型，设计模型，几何模型等，下面举例说明：&&&&&& 1．建立几何模型：&&&&& 诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。&&&&& 例：在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受到其影响。&&&& （1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？&&&&&（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？&&&&&解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型。（3）求解：利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解。（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。&&&&&&& 2．建立方程模型：方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程。&&&&&& 例：在宽为20米，长为32米的的矩形地面上，修筑同样宽的两条路互相垂直，余下部分种草坪，要使草坪面积540平方米，道路的宽应为多少米？&&&&& 分析：如图：作整体思考，设路的宽度为xm,则问题转化为求方程(20-x)(32-x)=540的解，解得x=2或x=50（不合题意舍去）&&&&&& 3．建立直角坐标系与函数模型：&&&&&&&当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论。&&&&&& 例：一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。&&&&& (1)建立直角坐标系，求抛物线的解析式；&&&&& (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时他跳离地面的高度是多少？简解：1°由于抛物线的顶点是(0,3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。&又由于抛物线过(1.5,3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。&&&2°当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：&&&&& (1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；&&&&& (2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；&&&&& (3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(h,k)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-h)2+k求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)时，可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式。&&&&& (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。&&&&&&&&&&4．建立不等式模型：&&&&&&& 在我们的现实生活中，不等关系非常普遍。因此，利用不等式（组）解决问题是常见的方法。一般来说，当问题中出现“不超过”、“最多”、“至少”等关键词的实际应用题时，可考虑建立不等式（组）的数学模型解之。&&&&&& 例：学生若干住若干宿舍，如果每间住4人，则还余19人；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍和多少名学生？&&&& 分析：设有x间宿舍，依题意，学生应有4x+19人，当每间住6人时，假设全住满，则有6x人，但是没有住满；当一个宿舍完全空出来时，只能住6(x-1)人，肯定住不下，因此有了下列不等式：<math title="6(x-1)<4x+196(x-1)&4x+19&6x，又因为人数为整数，所以可解出。&&&&&&& 三、用数学模型解决实际问题可以达到以下目的&&&&&&& 1．用数学模型解决实际问题便与理论联系实际数学教学中，往往忽视运用数学知识解决实际问题的所谓“掐头去尾烧中断”的教学方法，使得中学数学脱离现实生活。因此，解题中要注意引导学生联系日常生活，把日常生活中的一些实际问题用数学来解决。要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程。通过数学模型方法解题，可以把数学与实际问题沟通起来，互相渗透，互相转化，是数学更生地扎根于实际。&&&&&&& 2．用数学模型解决实际问题，能提高学生学习兴趣。不少学生感到数学枯燥无味，所以要数数学学习过程中充满乐趣。数学模型是从实际提炼出来，而后又用之解决问题，可激发学生极大的兴趣；学会了主动学习，学会了去索取自己所要学的知识，对数学有了新的认识，学习数学的兴趣更高了，更自觉了&&&&&& &3．用数学模型解决实际问题，有助于培养学生创造思维。&&&&&& 在高分下令人忧虑的是，中学生应用意识薄弱，动手能力差，虽善于解题，但创造能力差，而运用数学模型解题恰能起到改善作用。数学模型具有激趣、求异、探究的特点，使学生思维处于活跃状态，多角度、多层次的观察、认识、思考问题，使学生充分发挥自己的想象力和主观能动性。独立思考，大胆探索，标新立异，积极提出自己的新观点、新思路、新方法，从地位特点上说带有探索性，在方法形式上富有创造性，有助于培养学生的创新思维和创造性能力。&&&&&& 运用数学模型解决实际问题，不仅体现了数学的应用价值，而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能，它对于实施素质教育有着巨大的推动作用。& & & & & & & &数学是什么普洛克鲁斯(411-485)说：&数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智能；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。&开普勒(Johannes Kepler，)说：&对外部世界进行研究的主要目的在於发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。&&法国哲学家孔德（A.Comte，)说：&&只有通过数学，我们才能透彻地理解什么是真正的科学。只有在数学中，我们才能以高度的简明性、严格性来认识科学规律以及人类思维所能达到的抽象境界。&& 英国数学家哈代（G. H. Hardy，）说：&& 在真正的数学中，存在着严肃性、寓意深远、美丽、一般性、深刻性、意外性、必然性和经济性。&&数学确属美妙的杰作，宛如画家或诗人的创作一样，——是思想的综合；如同颜色或词汇的综合一样，应当具有内在的和谐一致。对于数学概念来说，美是她的第一个试金石；世界上不存在畸形丑陋的数学。&&美国数学家卡迈克尔说：&数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。&&伯兰特·罗素（）说：&&数学具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷静而严肃的美。这种美没有绘画或音乐的那些华丽装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格得只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至高至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。&&德国数学家外尔（Hermann Weyl，）说：&&数学是除了语言与音乐之外，人类心灵自由创造力的主要表达方式之一，而且数学是经由理论的建构成为了解宇宙万物的媒介。因此，数学必需保持为知识，技能与文化的主要构成要素，而知识与技能是得传授给下一代，文化则得传承给下一代的。&&物理学家阿尔伯特·爱因斯坦（）说：&&数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险之中。&数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学以某种程度的可靠性。&&M.克莱因（Morris?Kline,）说：&&数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度；亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。&&数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。&&音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。&德国数学家R.柯朗在其名著《数学是什么》中说：&&&&&& 数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。& & & & & & 什么是数学素养数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点：　　１、 在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；　　２、 在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑；　　３、 在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶，效益是公司的泛涵等等。　　　更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯，“三句话不离本行”，我们希望把我们的专业搞得更好，更精密更严格，有些这种优秀的职业习惯当然是好事。人的所有修养，有意识的修养比无意识地、仅凭自然增长地修养来得快得多。只要有这样强烈的要求、愿望和意识，坚持下去人人都可以形成较高的数学素养。　　一位名家说：真正的数学家应能把他的东西讲给任何人听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质，因而掌握这种数学思想总是容易的，这一点在大家学习数学时一定要明确。在现代科学中数学能力、数学思维十分重要，这种能力不是表现在死记硬背，不光表现在计算能力，在计算机时代特别表现在建模能力，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法、好场所。希望同学们消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增进学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想、提高数学悟性和数学意识、培养数学思维的习惯。　　请注意，我们往往只注意到数学的思想方法中严格推理的一面，它属于“演绎”的范畴，其实，数学修养中也有对偶的一面――“归纳”，称之为“合情推理”或“常识推理”，它要求我们培养和运用灵活、猜想和活跃的思维习惯。　　下面举一个例子，看看数学素养在其中如何发挥作用。１８世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。　　这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，建模如下：见图右，能否从一个点出发不离开纸面地画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。　　以下开始演绎分析，一笔画的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为０或为２。这是他为数学的一个新分枝――图论所作的奠基性工作，后人称此为欧拉定理。　　这个例子是使用数学思维解决了现实问题，另一个例子“正电子”的发现正好相反，是先有数学解，预言了现实问题。１９２８年英国物理学家狄拉克Ｄｉｒａｃ在研究量子力学时得到了一个描述电子运动的Ｄｉｒａｃ方程，由于开平方，得到了正负两个完全相反的解，也就是说，这个方程除了可以描述已知的带负电的电子的运动，还描述了除了电荷是正的以外，其他结构、性质与电子一样的反粒子的运动。１９３２年物理学家安德森(Ａｎｄｅｒｓｏｎ)在宇宙射线中得到了正电子，并于１９３６年获得诺贝尔物理学奖。我国物理学家赵忠尧１９３０年正在加州理工学院读研究生，他的试验结果一出来，安德森在他的办公室隔壁办公，他受启发，立刻意识到试验结果表明：一种尚未认知的物质出现了，进一步做工作获得成功，赵忠尧与诺贝尔奖擦肩而过。四、如何提高数学修养　　要讲这个题目确实很困难，要提高数学素养只有自己去探索、去总结，世界上没有一种万能的学习方法对所有人都适用，可是回避这个问题，又十分遗憾。我们还是用一个折衷的办法：介绍数学中一个人和一件事，相信青年朋友们能从其中得到许多力量和启迪。　　１、读读欧拉　　日，欧拉Euler ( ) 出生于瑞士，在大学时受到著名教授伯努利及其家族的影响，阅读了不少数学家的原著，17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授、科学院院士。他一生论著数量巨大，涉猎面广，开创性成果多，发表论文和著作５００多篇（部），　　加上生前未及出版和发表的手稿共886篇（部）之多。在数学的各领域，及物理学、天文学工程学中留下了举不胜数的数学公式、数学定理。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉积分、欧拉微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程，欧拉流体力学方程等。　　欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他28岁时，为计算彗星的轨迹，奋战三天三夜，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明，又不顾眼病回到严冷的俄国彼得堡工作，左眼也很快视力减退，他深知自己将会完全失明，没有消沉和倒下，他抓紧时间在黑板上疾书他发现的公式，或口述其内容，让人笔录。双目失明后，他的寝室失火，烧毁了所有的专著和手搞，后来妻子又病故了，他在所有这些不幸面前不仅没有退缩，而是以非凡的毅力继续拼搏，他以罕见的记忆力和心算能力，继续研究，让人笔录，直到生命的最后一刻。在双目失明的17年中，他口授论文达400篇和几本书，包括经典名著《积分学原理》，《代数基础》。　　欧拉学识渊博品德高尚，非常注重培养与选拔人才，当时19岁的拉格朗日把自己对“等周问题”的研究成果寄给他，他发现其解决问题的方法解题与自己的不同，立即热情的给予赞扬，并决定暂不发表自己的成果，使年轻的拉格朗日先后两次荣获巴黎科学院的科学奖，后来他又推荐30岁的拉格朗日代替自己任科学院物理数学所所长，他的品德赢得了全世界的尊敬。他晚年的时候，全世界的大数学家都尊称他为“我的老师”。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾多次深情地说：“ 读读欧拉，他是大家的老师”，他不愧为“数学家之英雄”，他这种精神境界至今仍是年轻人学习的榜样。　　2、关于费马（Fermat，）大定理的证明法国业余数学家费马猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ，对于大于2的整数，不存在x，y，z的非零整数解。他在一本算术书的页边空白处写着“我对此有一种奇妙的证明，只是此处空白太小写不下”。后人称此为费马大定理，人们曾查遍他的手稿和用过的书籍，始终未能得到这个证明。后来的事实证明，这是难于上青天的事。莱布尼兹、高斯、欧拉、柯西等大数学家都失败了，仅在1909年到1911年这三年间就有一千多篇论文，提出各种证明都因为不严格而否定，几百年来有人废寝忘食，有人神魂颠倒，甚至于有人失败后自杀了。　　韦尔斯（ Wｉｌeｓ）1953年生于英国剑桥，1977年在剑桥大学获博士学位，1982年成为普林斯顿大学数学教授，他在10岁时就被费马大定理迷住了，立志要证明它。1986年他开始下决心要征服这个难题。当教授必须每年发表论文，否则影响职务和前途，这个难题不知道何时才能征服，是否能成为论文都很难说，他想了个两全之策，他将其它项目中的成果写成几篇论文，留着以后慢慢发表。他深知必须运用最近的数学成果和创造出新的方法才能解决这个问题。为了避免干扰，他闭门谢客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了证明的论文。日他应邀在剑桥大学的国际数学会议上宣读论文。当时座无虚席，他的论文朗读了3天，黑板上写了擦，擦了又写，几万名听众急于想听到结果。到6月23日快结束时，他最终在黑板上写出了费马大定理，然后转身过来，谦逊地说，我想就到此为止了，大厅响起热烈的掌声，消息立刻传遍了世界。韦尔斯被“人物”（people）杂志列为与克林顿、黛安娜王妃齐名的本年最有魅力人物。可惜高兴得太早，不久后他自己给数学界同行发了一个电子邮件，信中说到他发现证明中有漏洞，这可不是小事，如果仍旧解决不了，一环扣一环的证明将全部瓦解，七载心血将付诸东流，将不成熟的论文公开发表也是十分难堪的事情。但是他不灰心，在最艰难的日子里，他的好友萨尔纳克（Ｓａｒｎａｋ）不仅鼓励他，并提议他找一位值得依靠的年轻帮手，经过考虑，他邀请他在英国的学生――剑桥大学讲师泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，又经过一年的功夫终于把漏洞部分补上了。　　　　 1994年8月国际数学大会在苏黎世又召开大会，他做了最后的报告，人们热烈地鼓掌，肯定了他们部分证明了预备定理的成绩和数论方面的其它成果。又过了2 个月，在日的早晨，他与泰勒讨论问题时，突然有了新的想法，又经过一个月的努力终于取得了完全的证明。日，他们向数学界的朋友发了另一个电子邮件， 由两篇论文组成，第一篇是“模椭圆曲线与费马最后定理”，作者韦尔斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代数环论的性质” 作者是泰勒和韦尔斯 。第一篇长文证明了费马定理，其中关键一步依赖于第二篇短文。　　这一次人们十分谨慎，直到1998年（四年以后）在柏林举行的国际数学大会上，第一次向45岁上的数学家颁发了一个费尔兹（Fields）特别奖，正式承认他们卓越贡献。证明过程中开辟了好多数学的新领域与使用了很多新的方法，证明了很多新的猜想与得到许多新的定理，为数学的发展，特别是在数论的重要分支——代数数论和环论方面做出了重要贡献，上述前仆后继、艰苦卓绝的证明的现实意义也在于此。& & & & 回归本源，自然数的定义最近整理数学笔记，想想自己所学的东西，基础的也有，高级的也不乏，从最简单的微积分基本定理开始到复杂的泛函分析都已经有了比较深刻的理解。但是大脑间充斥着这些所谓“高级”的定理，却有时令人感到困惑。对一些高级定理的运用，如果我们只是单纯的“套用”定理解题，也许能得到正确的答案，但是有些时候不知其分析假设基础而滥用就可能导致灾难。&这里我们就举几个简单的小例子，比如呢：一：把零当除数用我们都知道很著名的消去率：ab=bc可以推出a=c。但是如果我们滥用这个定理，就有可能从1*0=2*0中推出2=1这个荒谬的结论。因为我们忽略了消去率要求b=0不成立这个假设前提。&二：发散级数高中的时候我们就学过求类似的无穷和（记得当时还被李老师狂骂了一顿）S=1+1/2+1/4+1/8+1/16.....当时我们用了这样的花招：把等式两边同时乘以2，然后使用错位相减，得到：2S=2+1+1/2....=2+S然后得到S=2但是如果我们对级数S=1+2+4+8...用同样的手段，我们就会得到S=-1这种荒谬的结论这些例子还是相当的明显，但是，在有些更加复杂的情形里，事情可能变的更加的隐秘所以，我们怎么避免这种情况呢？这，就是数学分析所存在的原因。&谈到分析，自然就有一个很明显的问题：我们在什么地方做分析呢？或者，我们从什么地方开始分析呢？所以，在这里，我们就探讨一下数学最初最本源的问题，也就是我写这篇文章的目的-自然数的定义。从小学到现在，我们已经学习了大量的数系，从最简单的自然数系N，整数系Z，有理数系Q还有实数系R，最后还有复数系C。很明显的，我们用自然数系来构成整数系，然后用整数系来构成有理数系，有理数系构成实数系，最后实数系构成复数系。所以，我们如果想回归数学的本源，就要仔细考察我们最初的本源-自然数系。&那么，我们就必须回答这个最基本的问题：自然数的定义是什么？或者，到底什么是自然数？&这是一个看起来非常简单容易的问题，但是要想真正的回答却是非常的困难的。究其原因，我们已经使用自然数太久太久了。从我们学习数字1开始，我们就已经开始学习并使用自然数了（虽然当时我们还不知道什么叫做自然数）。想想，自然数已经伴随我们将近16个年头了，这些数都已经深深地铭刻在了我们的心底。我们不用思索就能做出很多关于这个数系的一些假设（注意是假设而不是公里或定理），比如1+2=3等等。所以，麻烦也就来了，我们很难去“认真”的研究这个数系，因为有太多不应该存在的假设去妨碍我们的研究。所以，为了研究自然数系，我们要先忘记一些很明显的概念：所谓加法，减法，乘法除法，一些数率算法等等都要统统的忘记。我们将试图在定义自然数的过程中逐步用已经有了的定义去定义这些新的概念。这样，我们就能明白什么是所谓“本来”就有的东西，什么是我们的假设。当然，这些限制会给我们带来很多，或者很恐怖的麻烦，特别是当我们试图去证明一些“显然的”命题是更会感到如此。顺便来一句，我们要把十进制也给忘了。再提几个很小的问题：为什么000111等于111而111000不等于111？0后面是什么数呢？4为什么不等于0呢？2为什么不等于3呢？&好吧，回答这些问题之前，我们就先进行文章的主题，定义自然数（我写文章总是乱写，写了半天也没有进入正题唉）。&咱自己当然没有本事定义啦，我参考了一些大数学家的分析类书籍，总结了一下，得出一些这样的结果：&定义：自然数是指集合：N:={0,1,2,3,...}的元素。&这个定义很清楚地告诉我们什么是自然数，但是，这里依然有很多的问题。比如，我们怎样进行计算呢？凭什么1+2=3？还有，我们怎么能知道我们能无休止的数下去而不回归到0呢？在这里，我们遵从数学的一般规律，利用简单的定义来定义复杂的定义（感谢李老师把这么重要的东西逼迫我们强行记住哈）。所谓指数运算，就是重复的乘法运算；所谓乘法运算，就是重复的加法运算。这里有趣的就来了，那所谓的加法运算是什么呢？加法运算就是我们本源的运算吗？想想我们在做加法的时候都做了什么。1+2，我们做的是1+1+1。5+3，我们做的是5+1+1+1。所以，这里似乎有比加法更加基本的运算，也就是+1这个运算。为了方便，我们就把这个说成是“增法”运算，写成1++（这里定义参照Professor Tao的写法）这里，我们大概的定义了什么是自然数以及自然数之间的“关系”，也就是所谓的运算。而且，我们在这里也明确了我们需要的“本源”定义：如下1：数02：增法运算。&从而，我们得到下面的公理：（公理不用证明恩）0是自然数；任意自然数进行增法运算后依然得到自然数。&然后我们进行一些小小的，但是很重要的定义：1:=0++2:=1++=(0++)++&下面我们解决前面的问题：公理：对于任意自然数n，n++不等于0&现在，我们就可以证明3不等于0了，用公理简单易行。&还有一个公理也需要说明，也就是自然数系的唯一性：对于任意n不等于m，n++不等于m++。现在，我们也可以证明3不等于2了。&到这里，我们已经基本上说明了自然数系的基本性质，也回答了前面的部分问题。&我们顺便说一下我们伟大的数学归纳法：（这也是一个公理）设P(n)是关于n的一个性质。假设P(0)和P(n)成立，如果P(n++)也成立，则所有的P(n)成立。&最后，我们可以顺便定义一下加法，简单来说我们可以这么说明他：定义一下（标准定义大家还是看书恩）：设m是自然数，我们说0＋m:=m。然后使用归纳假设，假定已经定义好什么是m加上n，那么我们把m加上n＋＋定义为：（n＋＋）＋m:=（n＋m）＋＋& & & & & & & 什么是《代数》什么是《代数》中文名：代数外文名：algebra所属学科：数学学科特点：抽象目录1、简介2、溯源3、组成（1）初等；（2）高等4、解方程5、西文6、交换环上的代数代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。1、简介在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解bx＋k＝0这类用符号表示的方程的技巧。这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。2、溯源古希腊数学家丢番图如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖，而真正创立代数的则是古阿拉伯帝国时期的伟大数学家默罕默德·伊本·穆萨（我国称为“花刺子密”，生卒约为公元780-850年）。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。代数的起源可以追溯到古巴比伦的时代[1]，当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算。经由此系统的被使用，他们能够列出含有未知数的方程并求解，这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地，这一时期大多数的埃及人及西元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的，如在兰德数学纸草书、绳法经、几何原本及九章算术等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作，以几何原本为其经典，提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答方程之更一般的系统之架构。代数（algebra）导源于阿拉伯语单字“al-jabr”，其出自&al-Kitāb al-mu?ta?ar fī ?isāb al-?abr wa-l-muqābala这本书的书名上，意指移项和合并同类项之计算的摘要，其为波斯回教数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此词的意思为“重聚”。传统上，希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”，的成果到今日都还有用途，且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetical里出现的更为基本，且Arithmetical是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。[3]另一位波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出代数几何出，且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解，其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中，并于十年后由莱布尼茨继续发展着，其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔·克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪，一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。3、组成（1）初等初等的代数运算①基本内容三种数——有理数、无理数、复数三种式——整式、分式、根式中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。②规则五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方,底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积。初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。1）a－b＝0，a＝b2）a＋b＝0，a＝﹣b，b＝﹣a3）a×b＝0，a＝0&或&b＝04）（a－b）－（a－b）＝0，a＝b（2）高等研究对象高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步&、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。与线性代数的区别和联系很多人把高等代数和线性代数混为一谈，不明白其中的区别。高等代数是大学数学专业开设的专业课，线性代数是大学中除了数学专业以外的理科，工科和部分医科专业开设的课程4、解方程（1）复杂的运算复杂的运算初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了，但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。数学家们说不用把复数再进行扩展。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。5、西文代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“ilm al-jabr wa'1 muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后，简译为algebra。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》。6、交换环上的代数在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常径称代数。定义设R为一交换环，R上的代数（或称A-代数）是下述结构：集合A是个&R-模。A上有一个二元运算*，而*是双线性的，即：r（a×b）＝（ra）×b＝a×（rb）对任何成立[1]最常考虑的情形是R是一个域，这时称域代数，一些作者也将代数定义成域上的代数。若A上的乘法满足交换性ab＝ba，则称之为可交换代数；若A上的乘法满足结合律a（bc）＝（ab）c，则称之为“结合代数”，详阅主条目结合代数。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。& & & & &代数与代数基本定理的历史&代数与代数基本定理的历史1.关于代数的故事在十九世纪以前，代数被理解为关于方程的科学。十九世纪，法国数学家伽罗华（Evaristr Galois）开创群论以后，代数不再以方程为中心，而是以各种代数结构为中心。作为中学数学课程的代数，其中心内容就是方程理论。代数的发展是和方程分不开的。代数对于算术来说，是一个巨大的进步，代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量，根据问题的条件列同方程，然后解方程求出未知量，我们举一个例子：一个乘以3，再除以5，等于60，求这个数。算术求法（公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的：既然这个数的3/5是60，那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍，即100。代数解法：设某数为x&，则可见代数解法与算术思路不同。各有自己的一套规则，代数解法比较简单明了。古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。据说，1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷，他惊奇地发现，这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题（当然都是用象形文字表示的）。例如有一个问题翻译成数学语言是：“啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。”如果用x表示这个问题中的求知数，就得到方程，解这个方程，得到。令人惊奇的是，虽然古埃及人没有我们今天所使用的方程的表示和解法，却成功得到解决了这个答数。我国古代的代数研究在世界上一直处于领先地位，在经典数学著作《九章算术》中，除了方程外，还有开平方、开立方、正负数的不同表示法和正负数的加减法则等代数的最基本问题，到宋、元时代，我国对代数的研究达到了高峰。贾宪等的高次方程数值解方法，秦九韶的联立一次同余式解法，李治的列方程一般方法，朱世杰的多元高次方程组解法，及其有限级数求和的“招差法公式”，都早于欧洲几百年。“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的，来自拉丁文（Algebra），它又是从阿拉伯文变来的，其中有一段曲折的历史。公元825年左右，花拉子模的数学家阿尔——花拉子模写了一本书《Kitabaljabr-W’al-mugabala》意思是“整理”和“对比”，这本书的阿拉伯文版已经失传，但12世纪的一册拉丁文译本却流传到今，在这个译本中，把“aljabr”译成拉丁语“Aljebra”,并作为一门学科，它的课题最首要的就是用字母表示的式子的变形和解方程的规则方程。我国清代数学李善兰，1859年编译西方代数时，把“Algebra”译成了“代数学”。从些，“代数”这个名词便一直在我国没用下来。2.代数基本定理任何n（n&0）次多项式在复数域中至少有一个根。一元一次方程有且只有一个根，一元二次方程在复数域中有且只有两个根，因此，人们自然研究一元n次方程在复数域中有几个根。此外，当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题：是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积，或分解成实系数的一次因式和二次因式的积？这样的分解，关键证明代数基本定理。代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，其基本思路如下：设f&(z)为n次实系数多项式，记z = x + yi&(x,&y为实数)，考察方程：f&(x + yi) =&u&(x, y) +&v&(x, y)i&= 0即u&(x, y) = 0与v&(x, y) = 0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出u&(a, b) =&v&(a, b) = 0即f (a + bi) =&0，故此便是代数方程f&(z)的一个根。这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准来看，依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂的。高斯后来又给出了另外三个证明方法，第二个证法中，不依靠几何的论据，但是却应用了当时未经证明的命题：设多项式p&(x)&在x的两个不同的值之间没有零点，则它在这两个值处不可能改变符号。高斯在71岁时还公布了第四个证法，在这个证法中，他容许多项式的系数是复数。应指出，在许多证法中，这个定理都不是在最一般的情况下证明的，都是假定了多项式中的文字系数表示实数，但整个定理却包括复系数的情况。复变函数论发展后，代数基本定理已作为其他定理的推论。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。& & & &&& & & & &数学思想中的思维逻辑随着对于自然科学的探索，人们对各个领域之间的关系也有越来越多深入的了解。一直以来，数学作为不可或缺的领域，对所有科目有着极为重要的影响，也有着千丝万缕的联系。今天为大家推荐一本讲述数学中逻辑思维的书——《逻辑思维训练500题》前序：思维训练让你更高、更强！当今时代是一个知识爆炸的时代，也是一个头脑竞争的时代；在竞争日益激烈的环境下，一个人想要很好地生存，不仅需要付出勤奋，而且还必须具有智慧。随着人才竞争的日趋激烈和高智能化，越来越多的人认识到只拥有知识是远远不够的。因为知识本身并不能告诉我们如何去运用知识，如何去解决问题，如何去创新，而这一切都要靠人的智慧——大脑思维来解决。认真观察周围的人我们也会发现，那些在社会上有所成就的人无不是具有卓越思维能力的人。那么，思维的力量真的如此强大吗？为什么思维会对人有如此大的影响呢？早在20世纪40年代，西方发达国家就开始对人的大脑思维进行深入研究，希望能够揭开人类智慧的本质。通过研究他们发现，那些具有创造型思维和复合型思维的人，他们比一般人更善于思考，更懂得如何提炼有用的信息、如何驾驭和运用知识去解决新问题；从而，他们也就往往比其他人知道更多的信息，拥有更多的知识，在社会上也就混得更好。世界著名的物理学家劳厄曾说过，“重要的不是获得知识，而是发展思维能力。教育无非是一切已学过的东西都遗忘掉的时候所剩下来的东西。”大量的事实也表明，个人的观察、分析、判断、理解、思考、决策、创意、策划、想像、洞察和战略规划等思维技能是否成熟，是否接受过系统的训练，将决定个人未来的职业发展前途。因此，一个人要想在激烈的脑力竞争中生存，就要学会更新自己僵化的头脑、简单的思维模式，让自己成为一个思维技能训练有素的人。知识固然重要，但它并不一定能让我们变得智慧；因为，一个人智力的高低百分之九十取决于他拥有什么样的思维，知识只占百分之十。这也是为什么我们现代人虽然在知识的拥有量上已远远超过古人，但却还是达不到孔子和牛顿的智慧高度的原因。爱因斯坦曾说过这样一句话：“如果仅仅死记书本上可以翻到的东西，什么事件啦、人名啦、公式啦，等等，根本就不用上大学。这也就是说，一直以来学校教育教给我们的主要是知识的教育，而非思维的教育。所以，我们的思维也需要接受训练，一种可以让一个有许多知识的头脑变得更为灵活、更富创造力的训练。爱迪生说过，“天才，就是百分之一的灵感加百分之九十九的努力！”其实，我们每个人都有一所金矿，这座金矿不是别的，就是我们自己的大脑。人有了大脑就能思维，就能在世界上创造出形形色色的奇迹。对于成功而言，可以说头脑中那百分之一的灵感才是最宝贵的；但遗憾的是，很少有人去研究那最宝贵的百分之一，去提高那最宝贵的百分之一。而本书——《思维训练500题》就是通过各种各样的测试题，让人们运用思维进行分析、综合、比较、抽象和概括，从而训练自己高超的思维技巧，让头脑变得越来越聪明，越来越灵活。信息化的时代已经来到，面对竞争，我们应当培养什么样的头脑去迎接挑战呢？西方有句谚语：上帝偏爱有准备的头脑。只要你能够像训练体能一样训练你的逻辑思维能力，那么你的思维就会变得更快、更高、更强；在激烈的智力竞争中，你就能领先一步，更高一筹！今天为大家推荐几道题目，答案将会在明天的推送中出现哦！1．如何问问题？有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话；乙则是只说真话，不说假话。但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。有一天，一个人面对两条路：A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。那么，这个问题应该怎样问？2．他们的职业是分别什么？小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学，一个人参军了。此外他们还知道以下条件：小赵的年龄比士兵的大；大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样。请推出这三个人中谁是商人？谁是大学生？谁是士兵？3．谁做对了？甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？4．鞋子的颜色小丽买了一双漂亮的鞋子，她的同学都没有见过这双鞋了，于是大家就猜，小红说：“你买的鞋不会是红色的。”小彩说：“你买的鞋子不是黄的就是黑的。”小玲说：“你买的鞋子一定是黑色的。”这三个人的看法至少有一种是正确的，至少有一种是错误的。请问，小丽的鞋子到底是什么颜色的？5．谁偷吃了水果和小食品？赵女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友，谁知，这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了，但她不知道是哪个儿子。，为此，赵女士非常生气，就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品。老大说道：“是老二吃的。”老二说道：“是老四偷吃的。”老三说道：“反正我没有偷吃。”老四说道：“老二在说谎。”这4个儿子中只有一个人说了实话，其他的3个都在撒谎。那么，到底是谁偷吃了这些水果和小食品？中级题：6为什么小张是A队的有一天，学校的学生在做游戏，A队只准说真话、B队只准说假话；A队在讲台西边，B队在讲台东边。这时，叫讲台下的一个学生上来判断一下，从A、B两队中选出的一个人——小张，看他是哪个队的。这个学生从A或B队中任意抽出了一个队员去问小张是在讲台的西边而是东边叫其中一个队员的人去问小张是在讲台西边还是东边。这个队员回来说，小张说他在讲台西边。这个学生马上判断出来小张是A队的，为什么？7．凶手是谁小阳的妹妹是小蒂和小红；他的女友叫小丽。小丽的哥哥是小刚和小温。他们的职业分别是：小阳：医生小刚：医生小蒂：医生小温：律师小红：律师小丽：律师这6人中的一个杀了其余5人中的一个。（1）假如这个凶手和受害者有一定的亲缘关系，那么说明凶手是男性；（2）假如这个凶手和受害者没有一定的亲缘关系，那么说明凶手是个医生；（3）假如这个凶手和受害者的职业一样，那么说明受害者是男性；（4）假如这个凶手和受害者的职业不一样，那么说明受害者是女性；（5）假如这个凶手和受害者的性别一样，那么说明凶手是个律师；（6）假如这个凶手和受害者的性别不一样，那么说明受害者是个医生。根据上面的条件，请问凶手是谁？提示：根据以个陈述中的假设与结论，判定哪3个陈述组合在一起不会产生矛盾。8．小王是怎么算出来的某企业老板在对其员工的思维能力进行测试时出了这样一道题：某大型企业的员工人数在之间，这些员工的人数如果被5除余3，如果被7除余4，如果被11除余6。那么，这个企业到底有多少员工？员工小王略想了一下便说出了答案，请问他是怎么算出来的？9．幼儿园里有多少小朋友老师让幼儿园的小朋友排成一行，然后开始发水果。老师分发水果的方法是这样的：从左面第一个人开始，每隔2人发一个梨；从右边第一个人开始，每隔4人发一个苹果。如果分发后的结果有10个小朋友既得到了梨，又得到了苹果，那么这个幼儿园有多少个小朋友？10．桌子分别是什么价格一个家具店里有三种桌子，其价格分别如下：（1）他们的单价各不相同；（2）它们的单价加起来共4000元；（3）第二种桌子比第一种桌子便宜400元；（4）第三种桌子的单价是第二种的2倍。那么这三种桌子的单价各是多少？高级题：11．两对双胞胎。在老北京的一个胡同的大杂院里，住着4户人家，巧合的是每家都有一对双胞胎女孩。这四对双胞胎中，姐姐分别是ABCD，妹妹分别是abcd。一天，一对外国游人夫妇来到这个大杂院里，看到她们8个，忍不住问：“你们谁和谁是一家的啊？”B说：“C的妹妹是d。”C说：“D的妹妹不是c。”A说：“B的妹妹不是a。”D说：“他们三个人中只有d的姐姐说的是事实。”如果D的话是真话，你能猜出谁和谁是双胞胎吗？12．奇怪的两姐妹。有一个人在一个森林里迷路了，他想看一下时间，可是又发现自己没带表。恰好他看到前面有两个小女孩在玩耍，于是他决定过去打听一下。更不幸的是这两个小女孩有一个毛病，姐姐上午说真话，下午就说假话，而妹妹与姐姐恰好相反。但他还是走近去他问她们：“你们谁是姐姐？”胖的说：“我是。”瘦的也说：“我是。”他又问：现在是什么时候？胖的说：“上午。”“不对”，瘦的说：“应该是下午。”这下他迷糊了，到底他们说的话是真是假？13．走哪条路？有一个外地人路过一个小镇，此时天色已晚，于是他便去投宿。当他来到一个十字路口时，他知道肯定有一条路是通向宾馆的，可是路口却没有任何标记，只有三个小木牌。第一个木牌上写着：这条路上有宾馆。第二个木牌上写着：这条路上没有宾馆。第三个木牌上写着：那两个木牌有一个写的是事实，另一个是假的。相信我，我的话不会有错。假设你是这个投宿的人，按照第三个木牌的话为依据，你觉得你会找到宾馆吗？如果可以，那条路上有宾馆哪条路上有宾馆？请同学们开动脑筋吧，答案将在明天公布！&不知道同学们有没有认真思考上期中的问题呢，今天将为大家公布答案：初级题：1．这个人只要站在A与B任何一条路上，然后，对着其中的一个人问：“如果我问他（甲、乙中的另外一个人）这条路通不通向京城，他会怎么回答？”如果甲与乙两个人都摇头的话，就往这条路向前走去，如果都点头，就往另一外一条走去。2．小张是商人，小赵是大学生，小王是士兵。假设小赵是士兵，那么就与题目中“小赵的年龄比士兵的大”这一条件矛盾了，因此，小赵不是士兵；假设小张是大学生，那就与题目中“大学生的年龄比小张小”矛盾了，因此，小张不是大学生；假设小王是大学生，那么，就与题目中“小王的年龄和大学生的年龄不一样”这一条件矛盾了，因此，小王也不是大学生。所以，小赵是大学生。由条件小赵的年龄比士兵的大，大学生的年龄比小张小得出小王是士兵，小张是商人。3．假设丙做对了，那么甲、乙都做错了，这样，甲说的是正确的，乙、丙都说错了，符合条件，因此，丙做对了。4．假设小丽的鞋子是黑色的，那么三种看法都是正确的，不符合题意；假设是黄色的，前两种看法是正确的，第三种看法是错误的；假设是红色的，那么三句话都是错误的。因此，小丽的裙子是黄色的。5．是老三偷吃了水果和小食品，只有老四说了实话。用假设法分别假设老大、老二、老三、老四都说了实话，看是否与题意矛盾，就可以得出答案。中级题：6．若这个人是B队的，则找到的人是A队的，那人会说在讲台西，而这个人会说在东；若这个人是A队的，找到的是A队的，会说在西，若这个人是A队的，找到的是A队的，会说在西；若找到B队的，他会说在西，结果还是说西，所以只要说西，这人一定是讲真话那一队的。7．根据上述中的假设，（1）和（2）中能适用于实际情况只有一个，同样，（3）和（4），（5）和（6），也是一样的情况。根据上述中的结论，（2）和（5）适用于实际情况的可能不太大。因此，能适用于实际的情况，有以下几组中的一组或多组：A．（1）、（4）和（5）B．（1）、（3）和（5）C．（1）、（4）和（6）D．（1）、（3）和（6）E．（2）、（4）和（6）F．（2）、（3）和（6）假如选项A能适用于实际情况，则根据（1）的结论，凶手是男性；根据（4）的结论，受害者是女性；可是根据（5）的假设，凶手与受害者性虽相同。因此A不适用。假如选项B能适用于实际情况，由假设可知，凶手与受害者有亲缘关系而且职业与性别一样。这与每个家庭的组成情况不相符，因此B不适用。假如选项C能适用于实际情况，则根据有关的结论，凶手是男性，受害者是个女性医生。又根据（1）和（4）的假设，凶手是律师，凶手与受害者有亲缘关系，这与各个家庭的组成情况不相符，因此C不适用。假如选项D能适用于实际情况，则根据（1）的结论，凶手是男性，根据（3）的结论，受害者也同样是男的；又根据（6）的假设条件，凶手与受害者的性别不一样。因此D不适用。假如选项E能适用于实际情况，则根据（2）的结论，凶手是医生；根据（6）的结论，受害者也是医生，又根据（4）的假设条件，凶手与受害者职业不一样。因此E不适用。所以，根据以上的推论，只有F能适用于实际情况，凶手是医生，受害者是男性医生，根据组成的情况，凶手是女性。又根据各个家庭的组成情况，凶手必定是小蒂，（2）的假设则说明，受害者是小刚；而且，（3）的假设和（2）、（6）的论相符合。8．小王是这样得出答案的：对题目中所给的条件进行分析，假如把全体员工的人数扩大2倍，则它被5除余1，被7除余1，被11除余1，那么，余数就相同了。假设这个企业员工的人数在之间，满足被5除余1，被7除余1，被11除余1的数是5*7*11+1=386，386+385*8=3466，符合要求，所以这个企业共有1733个员工。9．158个小朋友。10个小朋友拿到梨和苹果最少人数是（2+1）×（4+1）×（101）+1=136人，然后从左右两端开始向外延伸，假设梨和苹果都拿到的人为“1”，左右两边的延伸数分别为：3×5－3=12人，3×5－5=10人。所以，总人数为136+12+10=158。10．第一种桌子的单价是1300，第二种桌子的单价是900元，第三种桌子的单价是1800元。假设第一种桌子的价格减少400元，那么，第一种桌子就与第二种桌子的价格相同了，这时，将总价格减少400元，就变以成3600元了，3600元是4个第二种桌子的总价格。元，900*2=1800元，900+400=1300元。高级题：11．假设B说的是事实，则C就是d的姐姐，按D的依据就是C也为真，那么出现有两个人说的是事实，与题意矛盾，所以B说的不是事实，同时也知道C不是d的姐姐，则BC的话都是假的，所以只有A说的是真话，则A就是d的姐姐，A说B的妹妹不是a，又不可能是d，所以B的妹妹只可能是b或c，根据C的假话知道D的妹妹就是c，B的妹妹就是b，最后C的妹妹就是a。12．假设是下午，那么瘦的说的就是真话，但是到底谁是姐姐就无法确定了。所以不可能是下午。那么就是上午，此时姐姐说真话，而胖的说是上午，所以胖的是姐姐，瘦的是妹妹。13．假设第一个木牌是正确的，那么第一个小木牌所在的路上就有宾馆，第二条路上就没有宾馆，第二句话就该是真的，结果就有两句真话了；假设第二句话是正确的，那么第一句话就是假的，第一二条路上都没有宾馆，所以走第三条路，并且符合第三句所说，第一句是错误的，第二句是正确的。接下来为大家介绍另一种类型第二章 计算法计算时间，可以得出生命；计算贡献，可以得出价值。计算可以说充满着人的整个世界，人的每时每刻都需要用到计算。一个人如果可以加强自己的计算思维，那么他的人生将是慎密而精彩的。初级题：1．如何分酒？一个人晚上出去打了10斤酒，回家的路上碰到了一个朋友，恰巧这个朋友也是去打酒的。不过，酒家已经没有多余的酒了，且此时天色已晚，别的酒家也都已经打烊了，朋友看起来十分着急。于是，这个人便决定将自己的酒分给他一半，可是朋友手中只有一个7斤和3斤的酒桶，两人又都没有带称，如何才能将酒平均分开呢？2．赔了多少？一天，小赵的店里来了一位顾客，挑了20元的货，顾客拿出50元，小赵没零钱找不开，就到隔壁小韩的店里把这50元换成零钱，回来给顾客找了30元零钱。过一会，小韩来找小赵，说刚才的是假钱，小赵马上给小李换了张真钱。问：在这一过程中小赵赔了多少钱？3．马匹喝水。老王要养马，他有这样一池水：如果养马30匹，8天可以把水喝光；如果养马25匹，12天把水喝光。老王要养马23匹，那么几天后他要为马找水喝？中级题：4．三针什么时候重合？在一天（包括白天和黑夜）当中，钟表的三根针能够重合吗？什么时候重合？5．概率是多少？在一次贸易会上，有5个人进入贸易厅都要把自己随身携带的公文包交给保安验证，经过验证后保安再把公文包还给他们。由于保安的疏忽四个人离开时发现每个人拿的都不是自己的公文包。想一下，这种情况发生的概率是多少？如果是n个人呢？（n&1）6．卖丝巾。一家饰品店在关门之前处理货物，一条丝巾以20元的价钱卖不出去，老板决定降价到8元一条；结果没人要，无奈，老板只好再降价，降到3.2元一条，依然卖不出去，无奈，老板只好把价格降到1.28元一条。老板心想，如果这次再卖不出去，就要按成本价销售了。那么这条丝巾的成本价是多少呢？高级题：7．开始打工的日子。有一个小伙子在一家工地上连续打工24天，共赚得190元（日工资10元，星期六半天工资5元，星期日休息无工资），他记不清自己是从1月下旬的哪天开始打工的，不过他知道这个月的1号是星期日，这个人打工结束的那一天是2月的哪一天？8．三个火枪手。在古英国曾有这样一个故事：三个火枪手同时看上了一个姑娘，这个姑娘不好选择，提出让他们以枪法一较高低。谁胜出她就嫁给谁。第一个火枪手的枪法准确率是40%，第二个火枪手的准确率是70%，第三个火枪手的准确率是百分之百。由于谁都知道对方的实力，他们想出了一个自认为公平的方法：第一个火枪手先对其他两个火枪手开枪，然后是第二个，最后才是第三个火枪手。按照这样的顺序循环，直至剩下一个人。那么这三个人中谁胜出的几率最大？他们应采取什么策略？9．电影院卖票。有一些人排队进电影院，票价是5角。查了一下，进电影院人的个数是2个倍数，在这些人当中，其中一半人只有5角，另外一半人有1元纸票子。电影院开始卖票时竟1分钱也没有。有多少种排队方法使得每当一个1元买票时，电影院都有5角找钱？（拥有1元的人都是纸币，没法破成2个5角的纸币）大家开动脑筋思考吧！今天为大家公布上次答案初级题：1．第一步，先将10斤酒倒满7斤的桶，再将7斤桶里的酒倒满3斤桶；第二步，再将3斤的桶里的酒全部倒入10斤桶，此时10斤桶里共有6斤酒，而7斤桶里还剩4斤；第三步，将7斤桶里的酒倒满3斤桶，再将3斤桶里的酒全部倒入10斤桶里，此时10斤桶里有9斤酒，7斤桶里只剩1斤；第四步，将7斤桶里剩的酒倒入3斤桶，再将10斤桶里的酒倒满7斤桶；此时3斤桶里有1斤酒，10斤桶里还剩2斤，7斤桶是满的；第五步，将7斤桶里的酒倒满3斤桶，即倒入2斤，此时7斤桶里就剩下了5斤，再将3斤桶里的酒全部倒入10斤桶，这样就将酒平均分开了。2．首先，顾客给了小赵50元假钞，小赵没有零钱，换了50元零钱，此时小赵并没有赔，当顾客买了20元的东西，由于50元是假钞，此时小赵赔了20元，换回零钱后小赵又给顾客30元，此时小赵赔了20+30=50元，当小韩来索要50元时，小赵手里还有换来的20元零钱，他再从自己的钱里拿出30元即可，此时小赵赔的钱就是50+30=80元，所以小赵一共赔了80元。3．第一步：根据题意可以知道这道题是在理想情况下的。30匹马8天把水喝光，马匹数加上所用天数就是38；第二步：25匹马12天喝光水，马匹数加上所用天数是37；第三步：由于第一步的加和是38，第二步的加和是37，说明马匹数加上喝光水所用天数的和是逐次递减的；第四步：如果23匹马把水喝光所用天数加上马匹数就应该是36，所以答案应该为3623=13天，即23匹马13天能把水喝光。中级题：4．设三针完全重合的时间是a+b小时，此时的时针，分针，秒针的角度(与12点方向的顺时针夹角)相等。先考虑时针与分针重合的情况：时针1小时走过30度，分针1分钟走过6度，可列出方程(a+b)30=b*60*6，330b=30ab=a/11(a=0，1，2，3，…．10)当b=1，相当于12点，这时是时针开始走第2圈了。将b小时换成分钟，是60a/11分，a=0时，0时0分0秒，重合；a=1时，60/11分=5分300/11秒，不重合；a=2时，120/11分=10分600/11秒，不重合；a=3时，80/11分=16分240/11秒，不重合；a=4时，240/11分=21分540/11秒，不重合；a=5时，300/11分=27分180/11秒，不重合；a=6时，360/11分=32分480/11秒，不重合；a=7时，420/11分=38分120/11秒，不重合；a=8时，480/11分=43分420/11秒，不重合；a=9时，540/11分=49分60/11秒，不重合；a=10时，600/11分=54分360/11秒，不重合。所以一天24小时(从0时0分0秒到23时59分59秒)中完全重合2次，分别是0时0分0秒和12时0分0秒。5．1/25，1/n*n6．老板降价是有规律的，他每次都是以原价格的2.5倍往下降，20/8=2.5，8/3.2=2.5，3.2/1.28=2.5，1.28/2.5=0.512。因此，这条丝巾的成本价是0.512元。高级题：7．这个小伙子一周可以赚钱10ⅹ5+5=55（元）。190/55=3……25，商为3，说明这个小伙子在打工期间有连续的三个七天，余数为25，说明还有一个星期六在工作，另外还有两天在工作，这三天中不能再有星期天，因为三个7天加一个星期六再加2天已经为24天，所以打工最后一天一定为星期六，而打工第一天为星期四，根据已知，一月1号为星期天，小伙子是从一月下旬某天开始，看日历图可知一月26日开始打工，2月18日结束。一月和二月日历日一二三四五六1、2、3、4、5、6、78、9、10、11、12、13、1415、16、17、18、19、20、2122、23、24、25、26、27、2829、30、311、2、3、45、6、7、8、9、10、1112、13、14、15、16、17、1819、2078．第一个火枪手。因为每个人肯定都先射枪法最好的枪手。第一轮第一个火枪手可以选择不开枪。其他两个火枪手都会选择打枪法最准的。第一个火枪手和第二个火枪手都会打枪法最准的。分析：先解决一个不太直观的概率，当第一个火枪手与第二个火枪手两个对决(第一个火枪手先手)，第一个火枪手的生存率为:x=40%+60%*(50%*0%+50%*S)，解得：x=57．14%第一个火枪手的生存率=50%*x+50%*40%=48．57%第一个火枪手的生存率=50%*0%+50%*(1x)=21．43%第三个火枪手的生存率=50%*0%+50%*60%=30%(实际就是148．57%21．43%)分析一下，如果小第一个火枪手第一轮不放弃而打第三个火枪手的话第一个火枪手的生存率=40%*(50%*0+50%*x)+60%*(50%*x+50%*40%)=40．56%显然没有48．57%高，所以,第一个火枪手第一轮会放弃。9．此题不在于计算，而在于找技巧。电影院能否找钱，关键在于买票的人如何排队。2a个人有（2a）！/[a！a！]种排法，电影院不可以找钱的排法有（2a）！/[（a1）！（a+1）！]两者之差就是电影院能够找开钱的排队方法，答案为（2a）！/[a！（a+1）！]此外，还知道以下条件：（1）一独木舟上只坐三个人，只三条独木舟；（2）每一舟上必须坐一个父母辈；（3）同一个家庭的人不能独占一个独木舟。问题：（1）如果两个母亲(许三妻与李四妻)在同一条独木舟上，而许三的三个儿子分别坐在不同的独木舟上，下面的哪一个断定一定是正确的：A．每条独木舟上都有男有女；B．有一条独木舟上只有女性；C．有一条独木舟上只有男性；D．李娜和李珊两姐妹坐在同一条独木舟上B．李四妻、许三和许明同乘一条独木舟；C．李四妻、李珊和许亮同乘一条独木舟；D．李四妻、许明和许亮同乘一条独木舟；E．李娜、许三和李珊同乘一条独木舟。（4）许三家的三个儿子乘坐不同的独木舟。对此，P、Q、张三个人作出三种断定:p断定:李四家的两个女儿不在同一条独木舟上；Q断定:李四和李四妻夫妻俩不在同一条独木舟上；张断定:许三和许三妻夫妻俩不在同一条独木舟上。哪一种判断肯定是正确的：A．只有P的断定对；B．只有Q的断定对；C．P和Q的断定对，张的断定错；D．P和张的断定对，Q的断定错；E．P、Q、张的断定都对。（5）途中，李四和两个男孩子徒步旅行，剩下的六个人则乘坐两条独木舟继续旅行。如果题设的其他已知条件不变，下面哪一组的孩子们可能留下来乘坐独木舟：A．许涛、李娜、李珊；B．许涛、李珊、许亮；C．许涛、许明、许亮；D．许涛、许明、李珊；E．李珊、许明、许亮。5．哪一项圈出后不用找零某天，两男两女走进一家自助餐厅，每人从机器上取下一许如下图所示的标价单。50、9545、9040、8535、8030、7525、7020、6515、6010、55（1）四人要同样的食品，他们的标价单被圈出了同样的款额（以美分为单位）。（2）一个人只能带有四枚硬币。（3）两位女性的硬币价值相等，但彼此间不能有一枚硬币价值相同；两位男士也是如此。（4）四个人都要按照各自在标价单上圈出的款额付款，不用找零。问题：哪一个数目是被圈出的？注意：硬币面值可是1、5、10、25、50，单位是美分或1美元（合100美分）。（提示：想法为硬币组对，找到这样的两组硬币：一组四枚，总值相等，但是组对的两方不能有一枚硬币面值相同。然后从这些组对中找到能付清账目而不用找零的款额。）6．许先生的老婆许先生认识张、王、杨、郭、周五位女士，其中：（1）五位女士分别属于两个年龄档，有三位小于30岁，两位大于30岁；（2）五位女士的职业有两位是教师，其他三位是秘书；（3）张和杨属于相同年龄档；（4）郭和周不属于相同年龄档；（5）王和周的职业相同；（6）杨和郭的职业不同；（7）许先生的老婆是一位年龄大于30岁的教师。请问谁是许先生的未婚妻？A．张B．王C．杨D．郭E．周高级题：7．密码组合问题一种密码只由数字1、2、3、4、5组成，这些数字由左至右写成且符合下列条件才能组成密码。这组数字是:甲．密码最短为两个数字，可以重复；乙．1不能为首；丙．如果在某一密码文字中有2，则2就得出现两次以上；丁．3不可为最后一个字母，也不可为倒数第两个字母；戊．如果这个密码文字中有1，那么一定有4；己．除非这个密码文字中有2，否则5不可能是最后一个字母。问题：（1）下列哪一个数字可以放在2与5后面形成一个由三个数字组成的密码：A．1B．2C．3D．4E．5（2）下列哪一组是一个符合条件的密码：A．1224B．2532C．3225D．4315E：5413（3）如果某一种密码只有数字1、2、3可用，且每个密码只能用两个数字组成，那么可组成密码的总数是：A．1B．3C．6D．9E．12（4）1、2、3、4、5等五个数字能组成几个由三个相同数字组成的密码：A．1B．2C．3D．4E．5（5）下列五组字母中，有一组不是密码，但是只要改变数字的顺序，它也可以变成一个密码。这组数字是:A．22345B．22214C．31454D．41232E．53322（6）下列选项不能使密码3322514变成另一个密码的是:A．用4替换每个2B．用5替换第一个3C．用5替换4D．把5移至4右边E．把第二个3移至1的左边（7）下列哪一组密码能用其中的某个数字来替换这个密码中的8，从而组成一个符合规则的密码?A．31845B．38134C．83315D．83521E．8512248．一家人有这样的一个三口之家，父母双方在结婚前，有一个人总是说真话，有一个人总是说假话，结婚后的两个人受到双方的影响，将真话的人已习惯于每讲三句真话就讲一句假话，讲假话的人，则己习惯于每讲三句假话就要讲一句真话。讲真话的是苗族人，讲假话的是傣族人。而他们的儿子结合两个人的性格，有时说真话，有时说假话，有时真假交替。这家人没人都有自己的数字代号。他们的名字分别是甲、乙、丙。一家人进行了不记名谈话，根据他们的谈话，我们猜测一下：A、B、C三人的身份，以及他们各自的名字、民族和代号？他们讲的话如下：A：（1）甲的号码是三人中最大的；（2）我过去是个苗族；（3）B是我的妻子；（4）我的号码比B的大22。B：（1）A是我的儿子；（2）我的名字是甲；（3）C的号码是54或78或81；（4）C过去是个傣族。C：（1）乙的号码比丙的大10；（2）A是我的父亲；（3）A的号码是66或68或103；（4）B过去是个苗族。9．住中间房间的人是谁？张涛、李明和赵亮三人住在三个相邻的房间内，他们之间满足这样的条件：（1）每个人喜欢一种宠物，一种饮料，一种啤酒，不是兔就是猫，不是果粒橙就是葡萄汁，不是青岛就是哈尔滨；（2）张涛住在喝哈尔滨者的隔壁；（3）李明住在爱兔者的隔壁；（4）赵亮住在喝果粒橙者的隔壁；（5）没有一个喝青岛者喝果粒橙；（6）至少有一个爱猫者喜欢喝青岛啤酒；（7）至少有一个喝葡萄汁者住在一个爱兔者的隔壁；（8）任何两人的相同爱好不超过一种。住中间房间的人是谁？提示：判定哪些三爱好组合可以符合这三人的情况；然后判定哪一个组合与住在中间的人相符合。& & & & & & & &数学解题方法数学解题方法一、换元法&&&&“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。&&&在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。&&&&用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。&&&&例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。&&&&换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。二、消元法&&&&对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。&&&&消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。&&&&用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。三、待定系数法&&&&按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。&&&&确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。（一）比较系数法&&&&比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。&&&&比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+…+an≡b0xn+b1xn-1+…&+bn&的充分必要条件是&a0=b0,&&a1=b1,……&&an=bn&。&&&（二）特殊值法&&&&特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。&&&&特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。&&&&待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。四、判别式法&&&&实系数一元二次方程ax2+bx+c=0&&(a≠0)&&&&&&&&①的判别式△=b2-4ac具有以下性质：&&&&&&&＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根&&△&&&＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；&&&&&&&＜0，当且仅当方程②没有实数根。对于二次函数&&&&&&&&y=ax2+bx+c&&(a≠0)②它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：&&&&&&&&&＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；&&△&&&&＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；&&&&&&&&&＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。&&&&利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。&&&&在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。五、 分析法与综合法&&&&分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。六、 数学模型法数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。&&利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1）&&&&建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。2o分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。（3）&&&&评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。七、试验法&&&&&解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。&&&&&用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。&&&&任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。八、分类法&&&&分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。&&&&不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。&&&&用分类法解题，大体包含以下几个步骤：&&&&第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；&&&&第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，…An;&&&&第三步：在子集A1，A2，…An内逐类讨论；&&&&第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。&&九、数形结合法&&&&&数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。&&&&&数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。&&&&&数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。&&&&&中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。十、反证法与同一法&&&&&&反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。&&&&反证法的解题步骤：&&&&第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。&&&&第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。&&&&第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。十一、同一法&&&&互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。&&&&对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。&&&&同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：&&&&第一步：作出符合命题结论的图形。&&&&第二步：证明所作图形符合已知条件。&&&&第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。第四步：断定原命题的真实性。& & & & & & 学好数学其实很简单数学的魅力——学好数学其实很简单【许永忠】&在未来的十年中领导世界的国家将是在科学的知识、解释和运用方面起领导作用的国家.整个科学的基础又是一个不断增长的数学知识总体.我们越来越多地用数学模型指导我们探索未知的工作.——H.F.Fehr&世界微分几何之父、著名数学大师陈省身先生早在上世纪80年代初，就在国内多所著名大学的讲坛上响亮地提出：“我们的希望是在21世纪中国将成为数学大国！”从此，“21世纪中国要成为数学大国”这个“陈省身猜想”便在数学界以至社会上广为流传.在2002年北京世界数学家大会上，陈先生还即兴为参加少年数学论坛的中学生题词：“数学好玩”.“陈省身猜想”是一位老科学家对中国数学的期盼，因为任何一位真正的科学家都明白：数学强则科技强，科技强则国力强.一、数学是个什么东西？这本书给同学们讲的是如何学好数学，我们似乎应该首先搞明白：什么是数学？为什么要学数学？书上一般是这样写的：数学是研究数量关系和空间形式的科学.数学有三个特点：高度的抽象性，严密的逻辑性，应用的广泛性.在《数学之旅》一书的前言中则是这样写的：“数学是科学，还是艺术？也许都是，也许都不是。数学这个主题与人类其他所有成就不同。它是智慧与想象力的接口，在这里，现实与虚幻配合得天衣无缝。”现实中，很少有人去关注数学的定义（其实它没有定义），处在不同阶段、不同层次、不同学科的人，对数学会有着不同的理解，这些理解从不同侧面反映了数学的某些属性，但都不是数学的全部.★数学是一门必修课有个中学老师，是我在网络上认识的朋友，写了一篇长长的文章，题目是《“数学”是个什么东西》，发表在“天涯论坛”上。下面是开头部分：“数学”很可能是个好东西！真的，非常可能！！！你问我为什么？难道你忘了吗？你还在妈妈的怀抱里的时候，你的妈妈还有周围的很多很多人都在不断的教你：1、2、3、……；当你费了九牛二虎的力气，终于可以数到10的时候，你的妈妈会非常自豪的逢人就说：“看，我儿子多聪明，他都能数到10了！”从此以后，数学将伴随你整个的学习生涯！无论你愿意不愿意；无论你喜欢还是不喜欢；也无论你是在读小学、中学、还是大学、研究生，数学将永远是你课程表中的一门课程！几乎所有的考试都要考数学，几乎所有的录取，都要看数学成绩！难道这还不能说明问题吗？“数学”真的是个好东西吗？值得怀疑，很值得怀疑！！！先不说数学是一个很难学好的东西；单说我们与之玩了十几年的命，拿到了我们想拿到的所有证书，满怀豪情地走向社会之后，你会突然发现，除了在妈妈怀抱中学的1、2、3、……，以及小学学的加减乘除之外，数学好像突然失去了踪迹，它与你绝缘了！不信？你问一问你身边那些工作了多年的人（数学家、大科学家除外，当然还有数学老师），在他们十几、二十年的工作和生活当中，他们用过三角函数吗？他们证明过两条直线互相垂直吗？如果他们两这些简单的东西都没用到过，那么高等数学、线性代数？……一个难学、不好玩、并且“没有用”的东西你能说它是好东西吗？那么，“数学”到底是个什么东西？同学们也可以搜索出来看一看。那里面用风趣的语言，介绍了一些数学知识。在这篇文章的跟帖中，有一个同学是这样写的：数学就是你不想学，但不得不学的，明知会杀死大剂量的脑细胞，但是还是要思考的，不过真经的说，数学千万要好，如果你是高中的，那你的物理以后就都基本靠数学了。通过这个同学短短几句话，可以看出他对数学的认识还是蛮丰富的。这几句话体现了如下几点：①数学是一门你不得不学的课程；②数学需要大量思考；③数学一定要学好；④其他学科（特别是物理）对数学有极强的依赖性.从现实来看，这个同学的话代表了相当一部分同学对数学的看法：数学就是一门课程.不管你喜欢还是不喜欢，为了高考，为了应付家长和老师，不想学也要拼命学.从小学、初中到高中，一直就是这样过来的.其实，你完全可以不这样悲观地对待数学.数学是一门课程，全世界都是如此.既然全世界每个学校都开设数学课，那么这门课程就肯定有非学不可的理由.在中国，你可以找借口说，都是被高考逼的，然而国外的升学考试并没有中国这么严格，人家不也是一学就是十几年吗？所以，我们对数学的认识，不能停留在“数学只是一门高考课程”这种肤浅的认识层次上，而要深刻思考一下，数学这门课到底有什么作用？要从数学对提升人的素养的作用、数学在科学及实践中的重要作用等多方面去重新思考、认识数学，把学好数学当成自己义不容辞的义务和责任.为了高考，要学好数学，不为了高考，同样也要学好数学.★数学是一种重要工具人们需要掌握的工具有许多，而做为现代文明人的必备工具就是：语文和数学。有人提出一个公式：未来的精英=语言能力+数学