如何用七条公理构造call/cc？ - 知乎71被浏览4617分享邀请回答62 条评论分享收藏感谢收起([已注销])
(青年哪吒)
(zhangtaotao)
第三方登录：一年大概飞50次，国内国际都有。考虑到我乎年入百万的大有人在，这儿就不谈商务舱和头等舱了，以经济舱的视角切入，谈下我的经验。&br&&br&&b&1. 选好的航空公司&/b&&br&虽然大家都吐槽国航架子大，海航时间差，但就国内线而言，国航和海航的服务整体还是优于东航南航厦航以及其他小航司。国航可是唯一一家把国旗印在飞机上的公司，毕竟是载旗航空，领导出访的专机。海航是Skytrax评出的五星航空，自然也不差。&b&海航经常能碰到韩国，台湾外加俄罗斯的空乘（哪怕国内航班），如果你看腻了国航的大姐姐，可以感受一下海航的帅哥美女们。&/b&&br&&br&&br&外航的话，个人喜欢国泰，全日空，日航，新航，芬航。另外，我是美联航一生黑，不解释。&br&&br&相关问题：&a href=&/question/& class=&internal&&为什么海南航空是中国唯一一家 Skytrax 五星级航空公司？&/a&&br&&br&&b&2. 选好的航班时刻&/b&&br&好的时刻基本就是能做到不晚点，譬如一些航班特别是当天的早班，&b&因为很多飞机后面要执飞国际航线，所以在天气条件允许及空域压力较小的情况下，具有一定程度的优先权。&/b&譬如早班的海航京沪线（HU 7619 PEK-PVG），因为经常后面要接上海-西雅图（HU 7955 PVG-SEA），所以时常赶这一班的我，基本没有碰到晚点的。当然，对于无法早起的同学就比较困难了，因为这些早班机一般都是7点左右的 (&.&)。至于怎么去选这些不晚点的航班，回头再详写一下。&br&&img src=&/v2-3455ecb803e599f305d517_b.jpg& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&466& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/v2-3455ecb803e599f305d517_r.jpg&&&b&（图为海航的787）&/b&&br&&br&&b&3. 选好的执飞机型&/b&&br&再说好的机型，&br&&b&尽量坐新的宽体机！&/b&&br&&b&尽量坐新的宽体机！&/b&&br&&b&尽量坐新的宽体机！&/b&&br&&br&也就是双通道的飞机（经济舱排布一般是3-3-3，2-4-2，2-5-2）。主要有三个原因：&br&&br&&ul&&li&&b&遇到气流颠簸时宽体机整体抗颠簸性一般会好于窄体&/b&。体积和重量摆在那儿啊！至少让你基本不会吐出来，这儿表现最突出的就是A380，简直稳如泰山，再大的风也不怕。另外我跟一班出差狗的哥们都觉得767的抗风能力也是一流，可惜国内除了东航／上航还有几架，其他航司都淘汰了，主要是燃油经济性的问题。其他的宽体机型都差不多，787因为是复合材料的机型，总感觉有点儿飘。&br&&/li&&/ul&&img src=&/v2-c702ca12f9659dee129a12_b.jpg& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/v2-c702ca12f9659dee129a12_r.jpg&&&b&（图为海航的787经济舱，通常为3-3-3排布）&/b&&br&&br&&ul&&li&&b&双通道飞机的经济舱大多有小屏幕暨丰富的机上娱乐设施。&/b&至少宣传是这么说的，对于我这种时不时看下飞行地图知道自己在哪的人，太实用了。当然，一些特别老的机型除外，譬如国航的777-200，第一次坐的时候发现机龄居然22年了，这飞机比我前女友年纪都大啊！南航也有两架老掉牙的777-200，经常拿来飞北京-成都。&br&&/li&&/ul&&img src=&/v2-0bd5fc4dfc5b8_b.jpg& data-rawwidth=&590& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&590& data-original=&/v2-0bd5fc4dfc5b8_r.jpg&&&b&（图为国航的777-200，没有小屏幕，想象下仰着脖子看十个小时的长途是神马感觉）&/b&&br&&br&&ul&&li&&b&越新的宽体机，在客舱整体舒适度上，都有技术层面的迭代和提升。&/b&譬如787的客舱舱压及湿度温度控制，就肯定强于老一代的777-200。&/li&&/ul&大概整理了一下现有的国内四大航司的宽体机列表如下&br&国航：777-200，777-300，330-200，330-300，787-9，747-400，747-8，350（&b&17年到货）&/b&&br&东航：777-300，767，330-200，330-300&br&南航：380（&b&大陆唯一有380的航司&/b&），777-200，777-300，330-200，330-300，787-8&br&海航：330-200，330-300，787-8，787-9&br&&br&另外，空客新推出的用来和波音787竞争的&b&宽体机 A350 XWB&/b&今年国航和川航会到货，大陆以外的航司的话，国泰已经用上了，&b&芬航的赫尔辛基-北京也用的是A350，听说舒适度譬如客舱湿度温度以及噪音控制的比787还要好，期待今年能体验一次。&/b&&br&&br&&img src=&/v2-fd2edd55f4e59d4721bd54_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&477& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/v2-fd2edd55f4e59d4721bd54_r.jpg&&&br&&b&（图为芬兰航空 A350 经济舱，看看人家这良心的座位间距！还有这么大的靠背屏幕！国内航空公司你怎么就不脸红呢！）&/b&&br&&br&需要指出的是宽体机大多用于客源较充足的国内航线（譬如京沪，京蓉，京穗，京深，沪深，沪蓉）或者洲际航线（中美，中欧），如果一线航线坐不到宽体的话，窄体选啥？&br&&br&基本没的选，国内窄体大多是A319，A320，A321和737几个系列，都是已经非常成熟的机型，我个人比较喜欢A321。&br&&br&&b&4. 选一个合适你的好座位&/b&&br&经济舱前三排和紧急通道都是不错的选择，下飞机比较快，空间相对宽裕点。我自己喜欢经济舱第二排，一来不像第一排需要把小屏幕从座位下面拉出来，二来下飞机比较快，而且我海拔不高，不像长腿欧巴那样需要额外的腿部空间。&br&&br&所以问题来了，怎么才能选到你想选的座位？&b&一个办法是提前选座，&/b&&b&现在航司都学坏了，常常把热门航线的前三排锁起来给会员来柜台办登机牌的时候选座，所以另&/b&&b&一个办法是成为航空公司的会员，至少得有个银卡什么的，这样可以要个前三排的座，&/b&一个联盟的航空公司就选一家的会员去积累里程和航段，帮助你快速成为银卡，譬如南航和厦航的都积东航，美联航和全日空的都积国航。&br&&br&&br&&b&推荐一个选座的网站：www.&/b&&b&&a href=&///?target=http%3A//& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 会帮助你更好的决策选座这件事儿。&/b&&br&&br&&img src=&/v2-b76f854940_b.png& data-rawwidth=&1630& data-rawheight=&1088& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1630& data-original=&/v2-b76f854940_r.png&&&br&&br&&b&5. 登机前的准备&/b&&br&短途：尽量不要托运行李，而选择使用登机箱，这样你不至于下来还干等行李一个小时，尤其国内航司出行李的速度真的让让崩溃。选一个好的登机箱真的很重要，原则是经久耐用，这个网上很多推荐，我自己用的是TUMI。&br&&br&长途：坐太久的航班脚基本都会肿，所以自己带上一双拖鞋，酒店的拖鞋就不错，特别是四星五星酒店带出来的拖鞋，比较厚实。女士的话可以敷下面膜，补个水什么的，直男表示这方面完全不懂，就不献丑了。&br&&br&耳机／眼罩／脖枕：降噪耳机特别有用，特别是坐噪音特别大的机型（譬如瑞航的340，海航的330-200），目前广为推崇的是BOSE的QC20，当然价格也比较性感，但买过的人都在安利，说是值得的投资。眼罩和脖枕的话不用说了，长途神器。&br&&br&&img src=&/v2-1be937f151b0e260e8661_b.png& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&852& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/v2-1be937f151b0e260e8661_r.png&&&br&&br&娱乐设备：丰富的机上娱乐设备这个时候就发挥作用了，考虑到很多航司的经济舱是不提供插座的，所以还是把iPad和iPod充满电吧，Kindle也是不错的选择。&br&&br&另外，感冒尽量不要坐飞机，重感冒有时候耳朵塞的连机上广播都听不到。会即使坐也吃两片助眠的感冒药再上去，我大学的时候回国长途都是喝几个Shot的伏特加再上飞机，基本倒头就睡。&br&&br&&b&暂时想到这些，有空再补充，老司机请给个赞啊！&/b&
一年大概飞50次，国内国际都有。考虑到我乎年入百万的大有人在，这儿就不谈商务舱和头等舱了，以经济舱的视角切入，谈下我的经验。 1. 选好的航空公司 虽然大家都吐槽国航架子大，海航时间差，但就国内线而言，国航和海航的服务整体还是优于东航南航厦航以…
&p&拉面除了新开的 Tsuta 走的淡丽路线外，其余无非也就是老的一兰（吃面）豚王（吃蛋），我个人觉得浓汤类的更好吃。。国内的大多面都没味，配料也都很草率，吃两口就不想吃了，拉面比较对我口味，当然，也是被老婆带的。。&/p&&p&沾面，基本看着or的剑心大神攻略走就差不多。。反正即使是国内美食中心的香港，对大神们来说最高分也就是80分左右，毕竟和日本还是差距太大&/p&&p&沾面的话，由于剑心是大勝軒入坑的，所以肯定更喜欢这个&/p&&p&无非就是太古的大勝軒，つけめんTETSU或者你不喜欢的三田，我觉得直接大勝軒去试试，如果还不喜欢，基本就可以放弃HK的了。。&/p&
拉面除了新开的 Tsuta 走的淡丽路线外，其余无非也就是老的一兰（吃面）豚王（吃蛋），我个人觉得浓汤类的更好吃。。国内的大多面都没味，配料也都很草率，吃两口就不想吃了，拉面比较对我口味，当然，也是被老婆带的。。沾面，基本看着or的剑心大神攻略走…
（多图，流量党慎入！）&br&&br&谢邀，我来讲一个四年前的故事。&br&&br&初三的某节数学课上，我突发奇想：&br&&br&&blockquote&&b&在圆周上的n个点两两连线，最多可以把圆分成几份？&/b&&/blockquote&&br&（不要问我为什么会突然想到这个问题……）&br&&br&于是我就拿出纸和笔开始画起来——&br&&br&&img src=&/04d805db51fefcc37d12f_b.jpg& data-rawwidth=&295& data-rawheight=&287& class=&content_image& width=&295&&&br&一个点显然连不了任何直线，所以整个圆还是&b&1&/b&份；&br&&br&&img src=&/9d94b15d826e51d5f5c9018abe1b6f97_b.jpg& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&287& class=&content_image& width=&294&&&br&两个点之间可以连一条线，这样圆就被分成了&b&2&/b&份；&br&&br&&img src=&/6dd6e8543c_b.jpg& data-rawwidth=&291& data-rawheight=&288& class=&content_image& width=&291&&&br&三个点可以连成一个三角形，圆被分成了&b&4&/b&份；&br&&br&&img src=&/8a03f928f9f0c5b4ea8fd31f_b.jpg& data-rawwidth=&293& data-rawheight=&288& class=&content_image& width=&293&&&br&四个点两两相连把圆分成了&b&8&/b&份。&br&&br&啊，这个规律似乎已经很明显了，1、2、4、8，那么下一个肯定是16嘛！&br&&br&&img src=&/dbe7bcb6c960e_b.jpg& data-rawwidth=&291& data-rawheight=&287& class=&content_image& width=&291&&&br&果不其然，五个点两两连线，圆被分成了&b&16&/b&份。&br&&br&于是，我觉得自己已经解决了这个问题，直到……我决定再加一个点。&br&&br&&img src=&/7d2f0c4f1bb960b766f7748c_b.jpg& data-rawwidth=&292& data-rawheight=&287& class=&content_image& width=&292&&&br&为什么是&b&31&/b&份？？？？&br&&br&我又数了一遍，还是31份，并且在圆内也没有出现三线共点的情况……&br&&br&这是什么情况？？？？&br&&br&&img src=&/ec633b6d5216132aca3d12_b.jpg& data-rawwidth=&225& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&225&&&br&于是我又加了一个点：&br&&br&&img src=&/60db4048dee70a7f6b62985_b.jpg& data-rawwidth=&290& data-rawheight=&288& class=&content_image& width=&290&&&br&七个点，&b&57&/b&份。&br&&br&啊，这下跟2的幂彻底没有关系了。&br&&br&&blockquote&&b&那规律到底是啥呢？&/b&&/blockquote&&br&在与几个朋友一起讨论了数个小时之后，我们找到了答案。&br&&br&为了分析这个问题，我们不妨先好好审视一下其中的一条直线，看看它是怎样把圆分割开的：&br&&br&&img src=&/ef5c2b987d20d5aa8f5913_b.jpg& data-rawwidth=&295& data-rawheight=&288& class=&content_image& width=&295&&&br&以上图中突出显示的这条线为例，假设它是从左往右画上去的，我们重现一下画图的过程：&br&&br&&blockquote&从左端点开始，慢慢向右画，每当它碰到一根其他的直线段时，它就把某一块区域彻底地分成了两份，于是总份数就多了一；而当它最后抵达圆周右侧上的点时，总份数又多了一。&/blockquote&&br&也就是说，&b&圆内部的每一个交点都使得总份数增加了一&/b&；除此之外，&b&每一根直线段最后抵达圆周时，总份数也增加了一&/b&。&br&&br&所以，总份数应该是 &b&1 +『圆内部的交点数量』+『直线段的数量』&/b&。&br&&br&为什么会有一个1？因为圆本身最开始就有一份啊。&br&&br&我们先来求直线段的数量——这个很简单，由于n个点中每两个点之间都可以连一条直线段，所以这就相当于是在求&b&『n个点中选2个点有几种选法』&/b&，也就是&img src=&///equation?tex=+%7Bn+%5Cchoose+2%7D& alt=& {n \choose 2}& eeimg=&1&&.&br&&br&那圆内部的交点数量怎么求呢？&br&&br&注意，虽然每个交点都是由两条直线段相交而成的，但我们并不能把这个问题简化为『m条直线段中选2条直线段有几种选法』，因为并不是每两条直线段都相交的。&br&&br&那怎么办？&br&&br&（再往下继续看之前，大家可以自己先想一想=w=）&br&&br&（提示：对角线）&br&&br&&blockquote&啥意思？&/blockquote&&br&再放一张图来提示一下：&br&&br&&img src=&/d454b57c37_b.jpg& data-rawwidth=&333& data-rawheight=&305& class=&content_image& width=&333&&&br&好了我要说答案了：&br&&br&我们可以把圆内部的每个交点看成是某个圆内接四边形的对角线交点，于是在n个点中，任意四个点的组合都对应了圆内部的某个交点。&br&&br&所以求圆内部的交点数相当于是求&b&『n个点中选4个点有几种选法』&/b&，也就是&img src=&///equation?tex=+%7Bn+%5Cchoose+4%7D& alt=& {n \choose 4}& eeimg=&1&&.&br&&br&于是我们最终的公式是：&br&&br&&img src=&///equation?tex=+%7Bn+%5Cchoose+4%7D+%2B+%7Bn+%5Cchoose+2%7D+%2B+1+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B24%7D+%28n%5E4-6+n%5E3%2B23+n%5E2-18+n%2B24%29& alt=& {n \choose 4} + {n \choose 2} + 1 = \frac{1}{24} (n^4-6 n^3+23 n^2-18 n+24)& eeimg=&1&&&br&&br&啊。问题解决了……&br&&br&吗？&br&&br&等等，我还没回答题主的问题呢。所以说这有啥『巧合』？&br&&br&没什么巧合。至少当我在初三那年找到了上述解答之后，我觉得没什么巧合，问题已经解决了……&br&&br&直到半个月前我看到了这个视频：&a href=&///?target=https%3A///watch%3Fv%3D84hEmGHw3J8& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A Curious Pattern Indeed&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&我真想狠狠扇自己的脸！我当年竟然没有多问一句：&br&&br&&blockquote&&b&为什么当n比较小的时候，份数恰好是2的幂？&/b&&/blockquote&&br&而且，当n等于10时：&br&&br&&img src=&/af001bc46_b.jpg& data-rawwidth=&291& data-rawheight=&289& class=&content_image& width=&291&&&br&256份！又是2的幂！&br&&br&为什么？？真的只是巧了吗？？？&br&&br&我非常赞同 &a data-hash=&963ebd03bcd0b4079cd5& href=&///people/963ebd03bcd0b4079cd5& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@郁林成森& data-hovercard=&p$b$963ebd03bcd0b4079cd5&&@郁林成森&/a&在回答中所说的：&br&&br&&blockquote&&b&&u&数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。&/u&&/b&&/blockquote&&br&所以说这到底是为什么呢？&br&&br&原因跟这个东西有关：&br&&br&&img src=&/865bc27c500f3b4ffc8a3f_b.jpg& data-rawwidth=&481& data-rawheight=&329& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&481& data-original=&/865bc27c500f3b4ffc8a3f_r.jpg&&&br&&blockquote&这不就是&b&杨辉（帕斯卡）三角形&/b&么？除了最左与最右的1以外，每个数都是由其左上与右上的两个数相加得到的。这我早就知道了，可是跟这题有啥关系？&/blockquote&&br&啊，说得很对，杨辉三角形的构造方法确实很简单，不过……让我们算一算每一行的和：&br&&br&&img src=&/7bca33ed4cdf4525dae9_b.jpg& data-rawwidth=&581& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&581& data-original=&/7bca33ed4cdf4525dae9_r.jpg&&&br&咦！为什么刚好是2的幂呢？&br&&br&我们可以换一个角度来看杨辉三角形的构造方法：&br&&br&&b&每一个数被复制了两份，分别加进了左下角与右下角的两个数中。&/b&&br&&br&所以下一行的和自然是上一行的两倍，而由于第一行的和是1，所以每一行的和就都是2的幂啦！&br&&br&&blockquote&哦原来是这样，好有道理！不过这跟分圆有啥关系啊？&br&&/blockquote&&br&啊，这是因为，杨辉三角形还有另外一种形式：&br&&br&&img src=&/bda7bf2b92b2e66c74530a_b.jpg& data-rawwidth=&492& data-rawheight=&343& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&492& data-original=&/bda7bf2b92b2e66c74530a_r.jpg&&&br&&blockquote&我去！这是为啥？？&br&&/blockquote&&br&啊，这其实只需要证明&img src=&///equation?tex=+%7Bn-1+%5Cchoose+k-1%7D%2B+%7Bn-1+%5Cchoose+k%7D%3D+%7Bn+%5Cchoose+k%7D& alt=& {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}= {n \choose k}& eeimg=&1&&就好了：&br&&br&如果我们要从n个苹果里选k个苹果，那么我们有&img src=&///equation?tex=%7Bn+%5Cchoose+k%7D& alt=&{n \choose k}& eeimg=&1&&种选法；而假设n个苹果中有一个是坏苹果，那么这&img src=&///equation?tex=%7Bn+%5Cchoose+k%7D& alt=&{n \choose k}& eeimg=&1&&种选法中，选到坏苹果的有&img src=&///equation?tex=+%7Bn-1+%5Cchoose+k-1%7D& alt=& {n-1 \choose k-1}& eeimg=&1&&种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k-1个），没选到坏苹果的有&img src=&///equation?tex=%7Bn-1+%5Cchoose+k%7D& alt=&{n-1 \choose k}& eeimg=&1&&种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k个），所以&img src=&///equation?tex=+%7Bn-1+%5Cchoose+k-1%7D%2B+%7Bn-1+%5Cchoose+k%7D%3D+%7Bn+%5Cchoose+k%7D& alt=& {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}= {n \choose k}& eeimg=&1&&.&br&&br&啊，当我把杨辉三角形写成这种形式之后，之前分圆的公式与2的幂的关系就很紧密了！&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=+%7Bn+%5Cchoose+4%7D+%2B+%7Bn+%5Cchoose+2%7D+%2B+1+%3D++%7Bn+%5Cchoose+4%7D+%2B+%7Bn+%5Cchoose+2%7D+%2B+%7Bn+%5Cchoose+0%7D& alt=& {n \choose 4} + {n \choose 2} + 1 =
{n \choose 4} + {n \choose 2} + {n \choose 0}& eeimg=&1&&，&b&所以实际上n个点情形的公式就是杨辉三角形中第n行第0、2、4列的和。&/b&（注意，我们是从0开始数的！）&br&&br&比如，当n=5时，份数就是第5行第0、2、4列的和：&br&&br&&img src=&/d465e330384abc670adfe4befdc68342_b.jpg& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/d465e330384abc670adfe4befdc68342_r.jpg&&&br&写成之前的形式就是这样：&br&&br&&img src=&/f889c39a3d7d6fdb7761819_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/f889c39a3d7d6fdb7761819_r.jpg&&&br&由于每个数都是左上和右上两个数的和，所以这三个数的和其实就是上一行的和：&br&&br&&img src=&/def1c7b81f6e008fa750bb_b.jpg& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&329& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/def1c7b81f6e008fa750bb_r.jpg&&&br&而我们之前已经说过，杨辉三角形每一行的和都是2的幂，所以当n=5时，份数是2的幂。&br&&br&当n更小的时候，情况类似。&br&&br&而当n=6的时候，问题来了：&br&&br&&img src=&/fb_b.jpg& data-rawwidth=&489& data-rawheight=&335& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&489& data-original=&/fb_r.jpg&&&br&写成原形式：&br&&br&&img src=&/4fb5a04bcbb5fccb8eb4a_b.jpg& data-rawwidth=&478& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&478& data-original=&/4fb5a04bcbb5fccb8eb4a_r.jpg&&&br&而此时，它们的和就不是上一行的和了：&br&&br&&img src=&/e3b70c20ad3bc4da549d5f82ef075597_b.jpg& data-rawwidth=&475& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&475& data-original=&/e3b70c20ad3bc4da549d5f82ef075597_r.jpg&&&br&少了最右边的一。&br&&br&这就是为什么n=6时，结果是31份。&br&&br&而当n=10时：&br&&br&&img src=&/4eecdc211e30d09cb016c_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&343& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&/4eecdc211e30d09cb016c_r.jpg&&&br&这三个数刚好是上一行的一半：&br&&br&&img src=&/cd7dbaa4d635c8a0afafca_b.jpg& data-rawwidth=&511& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&511& data-original=&/cd7dbaa4d635c8a0afafca_r.jpg&&&br&而2的幂的一半也是2的幂，所以n=10时，份数256就是2的幂啦。&br&&br&这就解释了我们之前的『巧合』=w=&br&&br&顺带说一句，杨辉三角形其实水很深，我们甚至可以在杨辉三角形中找到斐波那契数列，不过这里我就不细说了。&br&&br&这篇回答的配图来自于&a href=&///?target=https%3A///watch%3Fv%3DK8P8uFahAgc& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Circle Division Solution&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，不过我初三时的推导方法要比视频中的简洁得多。视频里用了欧拉公式，麻烦了不少，不过也挺有趣的。&br&&br&那么就这样=w=
（多图，流量党慎入！） 谢邀，我来讲一个四年前的故事。 初三的某节数学课上，我突发奇想： 在圆周上的n个点两两连线，最多可以把圆分成几份？ （不要问我为什么会突然想到这个问题……） 于是我就拿出纸和笔开始画起来—— 一个点显然连不了任何直线，所…
&img src=&/v2-18f1cf41d6b34a641fd0a924d386dbef_b.jpg& data-rawwidth=&859& data-rawheight=&1500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&859& data-original=&/v2-18f1cf41d6b34a641fd0a924d386dbef_r.jpg&&&br&&blockquote&&b&序&/b& &/blockquote&&br&&blockquote&如果你听过这样的话：你比较笨，或者你不努力，所以你学不会数学，那么请你忘记！你不是笨或者不努力，而是缺乏资源方法与信息，线索和导引，经验和常识，更缺少：时间，资料，传统（规范），技巧和历史。&/blockquote&&br&&blockquote&数学学的不好，是功夫问题，但是，首先是方法要对，方向要对，这样，随着时间的推移，自然会提高。&/blockquote&&br&&blockquote& 专业和业余之间的差异最根本的，就是眼光与意识，而不是技术。艺术的感觉差，对经典的解读能力差；技术越好，或许在错误的道路上越滑越远。陈振濂 &/blockquote&&br&&blockquote&数学的特征是：技巧性（间接性），抽象性，思想性，通用性。广平中佑&/blockquote&&br&&blockquote&数学研究的对象是关系而不是对象，公理是对关系精确的描述。抽象结构既可以表达简单也可以表达复杂的现象，结构，概念。学习是从具体到抽象理论为目标，研究是从理论到具体为目标。希尔伯特&/blockquote&&br&&blockquote&中学数学建立在150年前精通数学意味着能够做复杂计算或熟练符号推演这样的传统观念之上。大学数学也就是十九世纪以后的数学相对于过去几百年数学不是内容的扩张而是焦点的转换：从强调计算到注重理解。数学对象不局限于特定函数，而是某一抽象性质的载体，证明不仅仅是按照规则变换对象，而是从概念出发进行逻辑推演。&/blockquote&&br&&br&&blockquote&古典数学 解题是通过非数值问题编码成数值问题建立数学方程建模计算求解再解码成问题的答案；&br&而现代数学解题是不通过编码，直接通过非数值问题建立数据结构（对象，关系及对象上的操作）求得答案。&br&&br&这个思想最早的使用是线性代数，把方程表示成线性空间和线性空间的关系及对于线性空间与矩阵的操作（运算），解方程成为对于矩阵的操作（变换）或者是通过矩阵的抽象的对应物映射的核与像的语言描述。&/blockquote&&br&&blockquote&但最为精道的使用是在代数几何，古典形式是解方程求解，而现代则是利用理想来描述。（理想的几何含意是点集拓扑意义下的仿射空间的子集）这样就可以把所有间接的数值运算（方程）换作直接的对象操作。&/blockquote&&br&&img src=&/v2-0b36c63cb6a0dd7c599d0ff1_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&1260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-0b36c63cb6a0dd7c599d0ff1_r.jpg&&&br&&p&&b&第一章
历史继承&/b&&/p&&br&&br&&img src=&/v2-7dc69afca91b2cb398cf8c_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-7dc69afca91b2cb398cf8c_r.jpg&&&br&&b&数学中最深刻的概念是将一个世界的思想与另一个世界的思想联系起来。Manin&/b&&img src=&/v2-bfb191bfaabb1f171d20dc_b.jpg& data-rawwidth=&495& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&495& data-original=&/v2-bfb191bfaabb1f171d20dc_r.jpg&&&br&&p&&b&&br&&/b&&/p&&blockquote&数学最令人困难的地方：不管任何人，想要进入它，就必须在自己心里，依靠自己的力量，一步一步的把它的发展再现一次；所以，哪怕是掌握一个数学概念，如果不能把它所赖以创立的所有的概念及它们的相互联系都加以消化是不可能---&b&菲利克斯 克莱因 &a href=&///?target=http%3A///subject/4787994/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学在19世纪的发展（第一卷） (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/blockquote&&br&&img src=&/59e422fe918f02dfce0a57_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&429& class=&content_image& width=&309&&&br&&p&这本书的风格是这样的：力学中最深刻的是分析的两个分支一阶偏微分方程和变分学的联系。&/p&&img src=&/07e45dad809e6fb08ddf010bcb2783dc_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&435& class=&content_image& width=&306&&&br&&br&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///subject/2059252/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&力学 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&整本书就是对于这句话的注解。“力学中最深刻的是分析的一阶偏微分方程和变分学的联系”仅仅是这本书的第五章。 Lie 认为 HJ方程的解是余切丛的拉格朗日子流形的观点 并且表示这是基于微分方程哈密尔顿系统的解保持余切丛的典范二形式的不变的事实 &/p&&p&在现代数学中力学从属于：&a href=&///?target=http%3A///subject/1070474/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&微分几何讲义 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/badf12ae9e879bf9dd89_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&436& class=&content_image& width=&300&&&br&&p&这本书的附录讲到：&b&欧拉刚体定律&/b&的透过&b&李群&/b&的提升可以推广到&b&流体力学&/b&甚至是达&b&广义相对论，更是杨米尔斯。。。（&/b&背后是&b&主丛理论模型及纤维丛与李群关系）&/b&&/p&&p&&b&但是克莱因&/b&的这本书真正的重点：高斯的椭圆函数论来自正定二次型和算术几何平均及双纽线的关系；&b&黎曼&/b&找到了复变函数和调和分析（函数论）及共形映射（几何）之间的联系。&/p&&p&到了现代，高斯黎曼的上面的命题单值化和单变量代数函数存在性又被重新抽象为覆盖（纤维丛的离散）的模型中得到统一解答。&/p&&p&20世纪数学对19世纪数学不是修修补补，而是推倒重建！&/p&&br&&img src=&/9db742bb62c0544a16aca0_b.jpg& data-rawwidth=&291& data-rawheight=&453& class=&content_image& width=&291&&&br&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///subject/1231205/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黎曼曲面讲义 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就这样的自然的开始了。。。&/p&&p&黎曼曲面作为一维代数曲线仅仅是&b&现代数学&/b&中的一个开端：
&a href=&///?target=http%3A///subject/2196428/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数几何原理 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/5addd6f92f_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/5addd6f92f_r.jpg&&&br&&br&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/4787994/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学在19世纪的发展（第一卷） (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&&b&真正的意义不是简单的引出这些科目而是真正的试图探讨一件事情：数学的统一性&/b&&/p&&img src=&/b0c42e28bfded23_b.jpg& data-rawwidth=&303& data-rawheight=&438& class=&content_image& width=&303&&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/3425159/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的统一性 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&&b&现代数学&/b&也就这样的开始了：&/p&&img src=&/7d44dd5ac54a8da14a9cf331dcfaac3b_b.jpg& data-rawwidth=&203& data-rawheight=&299& class=&content_image& width=&203&&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&普林斯顿数学指南（第一卷） (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&&b&现代数学&/b&的开始是建立在概念途径，其基本的标志是：
1.接受&b&任意函数&/b&概念（任意函数就是说函数仅仅是一种&b&关系&/b&的描述，没有显示表达仅仅是抽象表达）承认&b&无穷大&/b&；
2.&b&关键的是用思想代替计算&/b&,更加关注公理刻画的结构；
3.承认&b&存在性&/b&证明。&/p&&p&数学理论不应该以公式和计算为基础，应该以一般概念为基础：&b&概念一是用确定性代替了模糊性，另一是很好的证明的工具：例如概念微分形式，单位分解，链，就把流形上的问题转化为欧氏空间的问题。&/b&&/p&&p&而解析表达式和计算工具是理论的进一步发展，方程即使没有显式解但是我们依然可以讨论解的存在性和唯一性，这个是现代数学一个标志性转变：&b&方程有解转化到代数结构的存在性---从高斯的二次互反律到可除代数结构存在性到伽瓦罗定理。&/b&&/p&&p&不能求解的问题往往在数学里不是绝望而是希望：添加了新的概念，新抽象，数学就从此开始了。 &/p&&br&&img src=&/v2-62a3dfcdfbf04ec3af97beb2_b.jpg& data-rawwidth=&910& data-rawheight=&2266& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&910& data-original=&/v2-62a3dfcdfbf04ec3af97beb2_r.jpg&&&br&&br&&p&&b&第二章
简单模型&/b&&/p&&br&&br&&br&&img src=&/v2-fba5bbb7d934b178fd0d_b.jpg& data-rawwidth=&804& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&804& data-original=&/v2-fba5bbb7d934b178fd0d_r.jpg&&&br&&br&The combination of the four things: beauty, exactness, simplicity and crazy ideas is just the heart of mathematics , classical music.Gelfand&p&数学的几次抽象过程：小学未知量方程（变量），中学 函数（关系，一代模型），大学 映射（关系），线性代数（二代模型），群（结构），覆盖与纤维丛（映射，关系转化为对象）。&/p&&br&&p&&b&&i&过程---关系----对象（结构）是数学思想改变的一条主线&/i&&/b&&/p&&br&&p&基础物理：小球碰撞 &/p&&p&&b&过程式语言&/b&
1.分为几个过程；摆和球的碰撞、运动的车上的摆和外部小球的碰撞等等又有很多过程，需要理解每个过程发生的原因和结果---&b&牛顿力学--常微分方程；&/b&&/p&&p&&b&函数式语言&/b&
2.利用&b&能量定理和动量定理&/b&：不需要用对具体过程思考，而是整体黑箱，函数输出输入；&b&（函数）&/b&&/p&&p&&b&面向对象语言&/b&
3.而把整个过程转化为弦&b&方程的解&/b&（曲线，研究曲线振动&b&二阶偏微分方程&/b&）将过程转化为对象语言------&b&（对象）&/b&&/p&&br&&p&&b&现代数学中&/b&：&/p&&p&&b&代数几何为什么难以理解？微分几何为什么出现纤维丛？&/b&&/p&&p&本质就是随着&b&复杂度的提升&/b&，数学&b&从过程式语言转化为面向对象语言&/b&：&b&表示动态过程的数学函数转化为映射，而映射转化为了静态结构，通过代数也就变为对象：&/b&&/p&&p&线性代数为什么难学？
中间就有&b&映射（关系）的集合&/b&转化为向量空间（对象）的思想-&b&对偶空间&/b&；&/p&&p&物理中点的运动和弦振动等价也是过程变对象。&/p&&p&&b&爱因斯坦的广义相对论的核心思想：动态运动过程转化为函数对象场方程最后到达静态结构本质（时空几何化）&/b&；&/p&&p&&b&第三章 审美体验&/b&&/p&&blockquote&数学是一门实验科学，而计算就是实验
Gauss&/blockquote&&img src=&/v2-5e5bcc45e56ab08a5378_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&749& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-5e5bcc45e56ab08a5378_r.jpg&&&p&持短笔，照孤灯。陈寅恪&/p&&br&&br&&p&&b&&/b& &i&&b&什么是数学入门&/b&？&/i&&/p&&p&&i&&b&首先&/b&，1.已知数学研究和学习的轨迹应该是：&/i&&/p&&p&第一阶段：数学分析仅是一元，线性代数，这是基础中的基础，类似于加减乘除&b&，但是不应该做为反复学习的对象，基础不是简单，而是根本，是更高层次的思考。&/b&&/p&&p&第二阶段：拓扑学，微分几何初步，仅涉及去曲面和学习外微分形式，复分析，抽象代数，
第三阶段：李群，微分流形，泛函分析及微分方程，
第四阶段：复几何，代数几何 代数拓扑&/p&&p&&b&每个阶段都是抽象层次的提升，每个阶段都是下一个阶段的具体&/b&&/p&&br&&p&&b&实例：&/b&&/p&&p&&b&a.抽象代数与线性代数的关系：&/b& &b&每个线性空间是一个加法交换群&/b&，&b&换句话说线性代数仅仅是群论的一个特例，线性空间可以转化为环上模，然后线性映射分解定理Jordn基本型分解转化为模空间的分解；&/b&&/p&&br&&p&&b&循环群（基本模型整数加法群）是挠群也是有限生成阿贝群的结构基础，&/b&循环群是区别线性代数（域论）和抽象代数（环论整数）的关键，换句话说&b&抽象代数是线性代数理论增加了数论的&/b&基本方法和基本思想。&b&阿贝群（交换群）推广了整数加法的算术&/b&。&/p&&blockquote&&b&commutative rings ? integral domains ? integrally closed domains ? GCD domains ? unique factorization domains ? principal ideal domains ? Euclidean domains ? fields ? finite fields&/b&&/blockquote&&br&&p&&b&b.张量空间的本质是向量空间增加乘积（结合律）后的代数，&/b& &b&它是直接类比是非交换的多项式；----理论物理中的概念只能放在《抽象代数》层次才能给出直接的理解，这是学习理论物理最大的诀窍&/b&&/p&&br&&p&&b&c.&/b&在数学分析中：&/p&&p&古典微积分的概念系统是缺失的，仅仅是数值函数的赋范空间理论。&/p&&p&现代微积分的框架是建立在拓扑向量空间之上的，而微分算子和积分算子都是拓扑向量空间之间的连续线性算子。函数空间的度量是利用内积的积分形式表示的。&/p&&p&微积分基本定理（微分与积分的关系），中值定理（连续性），泰勒公式（函数局部图像），隐函数定理（方程有解条件）--四大基础定理；&b&函数从单变量到多变量向量值的转变&/b&；一维区间连续函数性质&b&中值定理&/b&不动点；二维是复分析&b&儒歇定理&/b&环绕数；三维是向量场（梯度旋度积为0定义&b&同调群&/b&）；向量场推广就是K形式和&b&Frobenius theorem&/b&。&br&&/p&&br&&p&d&/p&&blockquote&&b&复分析之所以重要，是因为它是我们裸眼能看见数学对象&/b&，但是它过于完美（局部等于整体）过于特殊（二维），而面对现实复杂的四维数学对象，所以我们需要从高维往下看，最好的比&b&较对象就是四维Yang-Mills对象：联络等价于黎曼曲面上复变函数；求导得到全纯和反全纯对应霍奇算子下的曲率分解，孤立子就是反自对偶联络S. K. DONALDSON---这就是学习复分析真正的含义&/b& S. K. DONALDSON可以作为现代数学研究的起点&/blockquote&&p&复分析是综合性很强的学科，有很多角度和方法：偏微分方程角度……狄利克雷问题，群角度……莫比乌斯变换延伸是单值化原理，代数拓扑初步……同调同伦――stokes定理（包含了向量场分析），代数几何起点――椭圆函数&/p&&br&&p&最基础的是解析函数的局部整体性质等价：黎曼柯西方程等价与解析函数等价于幂函数等价于共形映射。&/p&&br&&p&&b& e实分析勒贝格理论的意义&/b&&/p&&blockquote&It requires a fair amount of work to set up Lebesgue’s theory, but, once this is
done, &b&many results which were ‘almost true’ in the old analysis become ‘exactly
true’&/b& and many arguments that ‘almost worked’ now work and work easily
Carleson for Beginners Tom K?rner&/blockquote&&br&&p&f&b& 线性代数&/b&&b&与微分几何类比：数与函数，向量对应向量场，线性泛函与微分形式&/b&&/p&&p&&img src=&/v2-38372bcc25acbba61a9b81b28c4afd35_b.jpg& data-rawwidth=&956& data-rawheight=&670& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&956& data-original=&/v2-38372bcc25acbba61a9b81b28c4afd35_r.jpg&&&/p&&br&&p&&i&2.就是承认自己有不会的东西，有犯错的可能性，但是，知道在那本书，那个数据库中寻找自己的问题的答案&/i&。&/p&&p&&b&其次，&/b&&i&知道基本的思想，知识体系和概念联系：&/i&&/p&&p&&b&基本思想&/b&&/p&&p&&b&数学中对偶是最为令数学初学者困惑的概念之一。两个不同数学对象的对偶来源于同一个对象自对偶：自对偶的本质是元素本身的两个不同表示，类比计算机科学中一段代码既可以看做程序也可以看做数据。&/b&&/p&&img src=&/v2-a8aac5d2aed79da729fc4e_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&969& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-a8aac5d2aed79da729fc4e_r.jpg&&&br&&p&1.&b&空间中的元素有两种身份：一是本空间的元素，还有是本空间的对偶空间的线性泛函。
&/b& &b&表示论基本思想：任何环坐标化某个几何对象&/b&
the representation ring
R(U(1)) is the ring one gets by taking sums of these with integral coefficients, i.e.
R(U(1)) = Z[z, z-1]&/p&&p&&b&向量空间同构于其自同构环上模；&/b& &b&群同构与其自同态环上模，阿贝群同构于整数环上模；&/b&
【Artin–Wedderburn theorem：&b&有限长度单环同构于某个可除代数的矩阵环】-----有限群表示论基本定理；&/b&
抽象环同构于某空间（概形）上函数环;
&b&交换bananch代数x同构于紧可分拓扑空间上连续函数代数的子代数,&/b& &b&紧可分拓扑空间是代数x的极大理想&/b&
这个思想在数学中是起到决定性作用：代数几何，泛函分析，代数拓扑；也是最古老的数与函数的类比------&b&沙法列维奇&/b&&/p&&p&2.&b&泛函分析&/b&的&b&本质思想就是一切皆对象&/b&：
（曲线，曲面，函数，泛函，算子）都成为对象空间的点，
定义范数测定性质，完备性决定递推计算完全收敛--空间的封闭性，
将计算和各式各样的问题转化为对象存在性和唯一性问题。&/p&&p&&b&Banach 的几个定理（一致收敛定理。。。）仅仅是说明如何复杂的条件下都有一个正规空间&/b&&/p&&blockquote&A major aim of functional analysis is to understand the connection between the geometry of a Banach space X and the algebra C{X) of bounded linear operators from the space X into itself.&/blockquote&&p&3.&b&定向在《微分几何》中是用定向丛的整体截面表示，而有序性在《抽象代数》中用赋值环表示：&/b&数学&b&性质&/b&利用&b&对象的结构&/b&来讨论，这是数学最精道的思想。&/p&&p&4.读数学最惊奇的在于：&b&方程不需要求解就可以知道解的大体性质（本质借助抽象概念和系统结构参考阿诺德的《常微分方程》）&/b&，而这条原则的基础在代数和几何理论的推理。研究偏微分方程（抽象，一般的问题），原则上转化为理解方程背后的具体，特殊的物理意义和几何意义，也就是方程的来源，这是先验估计和拓扑学研究其解的整体的思想背景。-------丘成桐&/p&&p&5.在数学中常见到的一个&b&似乎具有很大普遍性的概念实 质上与一个小的具体的特例&/b&是一样的. 通常，正是这个特例 首次揭示了普遍性. 阐述“在实质上是一样”的一个精确明晰 的方法就如同一个定理表述. --------P. R. Halmos
例如：一个有界线性泛函的抽象概念表面上看来具有很 大的概括性，然而线性泛函的&b&Riesz定理&/b&：&b&固定一个在内积中的向量就定义了一个有界 线性泛函&/b&；事实上，每个抽象概念都是以具体特定的方式 产生出来的，这个定理也是。&b&证明就是把直观写作形式（直观的例子经过抽象得到数学）。&/b&&/p&&p&6.对象具体的坐标变换表示转化为&b&表示论&/b&：古典的坐标表示对象和几何带来了无限多的复杂计算：微分，张量这些&b&关于坐标的计算都是非本质&/b&需要的。&b&将几何对象赋予坐标是野蛮的一件事—————外尔。&/b&&/p&&p&所有的关于坐标的都转化为群语言（同态和同构，自同态）描述，李群和李代数可有表达所有与坐标无关的计算。&b&坐标变换看做拓扑群&/b&-----Norman Steenrod &/p&&blockquote&物理和工程中数学仅仅是早期数学，代数（抽象）作为现代数学的唯一。局部有方程和坐标，而整体没有方程。研究代数几何，依据代数，不要被几何所误导。Grothendieck的风格不看方程，直接从整体（嵌入）开始---Heisuke Hironaka&/blockquote&&p&&b&7.向量丛&/b&可以当成流形，嵌入映射，向量空间参数化，局部自由层，四种定义，每个都很有用,特别在理解底流形的曲线提升到丛空间时。&br&&/p&&p&&b&同一个数学概念的不同表示&/b&是数学概念定义的一个主要的特色。&/p&&br&&br&&p&&b&知识的联系&/b&&/p&&p&学习&b&《泛函分析》&/b&不会仅仅读泛函分析的书，而会去读偏微分方程，量子力学，微分拓扑，甚至一本概率和表示论的书：
微分拓扑的很多问题可以重新翻译为泛函分析语言。—Hirsch 《微分拓扑学》；代数几何与泛函分析有很深的类比：赋值与范数，希尔伯特零点定理与Banach 代数极大理想。&/p&&p&将数学中所有关于&b&一般位置（微分拓扑，微分几何，代数几何），几乎处处（实分析）&/b&等等的概念翻译成大概率和小概率事件，所有的这些含糊不清的字眼都可以有具体的实现甚至是精准的估计，这就是&b&统计学的对于理论数学&/b&真正的意义所在。&/p&&p&按照这个思想准备，我们可以给以《&b&实分析&/b&》这个学科下一个定义：&b&实分析&/b&本质是对古典分析（尤其是黎曼积分的定义和交换性）的推广，及给予离散和连续现象统一的语言，最后是给予概率统计学严格的表述工具
萨德定理：微分流形之间的光滑映射，则 N 的几乎每一点都是 f 的正则值。换句话说，f 的临界值在 N 中只是一个零测集。但是，其实是说，在适当的光滑性条件下，正则现象是通有的（generic），其几率为 l，而临界现象的几率为 0，常常可以忽略不计。&/p&&br&&br&&img src=&/v2-1e8b18fe3bbd01b669ecad6_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&919& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-1e8b18fe3bbd01b669ecad6_r.jpg&&&br&&p&&b&其三，&/b&&i&知道数学过程中语言和表示改变：古老的教科书和书籍会出现误导人的问题&/i&
1.一阶偏微分方程利用的是解一组常微分方程组的办法，而现代解法是利用微分形式；&/p&&p&2.谱分析古典会用有界线性算子而现代则是放在Banach代数中解决；&/p&&p&3.层概念过去是代数函子方式，现代则有被一般化为某个合适的映射的截面的芽的层；&/p&&p&4.曲率，联络，切向量场的计算放在丛理论计算中，而不是流形本身。――提升&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&5.阿贝群和环上模都是属于阿贝（交换）范畴，利用同调代数（箭头理论）处理，它主要涉及的是核与余核（商模），利用snake 引理，得到范畴（同调）维数移动---serge lang《代数》P134
从导出函子开始用同调代数表示一切： &Mittag-Leffler&逼近过程lim作为导出函子, Cartan's theorems A and B （szyzygytic resolutions）作为其特例&/blockquote&&br&&br&&br&&blockquote&6.在&b&层论&/b&中的serre对偶定理等价于&b&流形拓扑&/b&中的庞加莱对偶定理，仅仅是不同的范畴&b&层和纤维丛的区分是几何的概念一个是函数表示就是层，一个是空间元素表示丛-----参考《常微分方程》阿诺德&/b&；&/blockquote&&br&&blockquote&7. &b&研究微分动力系统的整体问题等价于研究李群作用于流形（GxM--M)，（常微分方程等价于R实数作用流形，）定性研究（整体）常微分方程退化到研究截面的微分同胚，这也就&/b&是庞加莱研究曲面同胚的出发点--S. SMALE：&/blockquote&&p&8 &b&古典数学中函数的一致收敛概念转换为函数的度量空间的元素的距离的上界&/b&&/p&&p&&b&9.扩张是多项式的语言，同时代数拓扑学中同伦提升性质对偶于同伦扩张性质，这导致纤维化问题 &/b&&/p&&br&&img src=&/v2-8e3d0b5b603b022a32da4bda01ae4be2_b.jpg& data-rawwidth=&850& data-rawheight=&591& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&850& data-original=&/v2-8e3d0b5b603b022a32da4bda01ae4be2_r.jpg&&&br&&p&&i&&b&其四&/b&，物理与数学的联系&/i& &/p&&p&1.量子力学与现代数学：狄拉克表示在数学中就是 c*代数
&b&狄拉克的符号&/b&本质是通过&b&希尔伯特空间Riesz对偶表示定理&/b&（f（x）=（x，f））将薛定谔的波函数和海森堡的矩阵法等价；&b&将泛函分析解释为无穷维（函数域）的表示论&/b&，&b&魏格纳：量子场论中粒子是庞加莱群（非齐次洛伦茨群）的表示，&/b&利用&b&李群和李代数指数关系&/b&：得到时间演化生成子是哈密尔顿算子，平移群的生成子是动量算子&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&B. Simon, Quantum dynamics: from autmorphim to Hamiltonian 量子力学中於是關於物理系統的任何有意義的斷言從數學上講都是關於射影空間的點的；量子力学本质是从单参数自同构群导出薛定谔方程的，而不是相反&/b&&/blockquote&&br&&p&2.广义相对论与拓扑学：爱因斯坦的真空方程导致的里奇流方程解决三维拓扑问题。&b&物理基本常数都是和几何量相关联--&/b&Frank Wilczek&/p&&p&爱因斯坦和玻尔对于&b&量子力学的本质的真正分歧&/b&是：爱因斯坦的理解是从黎曼几何角度考世界，&b&黎曼几何是内蕴，&/b&是无关与嵌入和外在世界或者&b&观察者作用，而量子世界是与观察者有关，与测量有关&/b&。其实这个用形变可以在形式上解决问题。&/p&&p&3。微分几何与变分学的关系：微分几何是从局部推理整体性质而变分学是从整体推理局部；变分学在理论物理中应用极为重要：&b&自然界里的平衡状态和运动状态可以用某种极小性质刻画&/b&&/p&&p&&b&第四章&/b& &/p&&br&&br&&img src=&/v2-8cea439b066bb1be223a656_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&464& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&/v2-8cea439b066bb1be223a656_r.jpg&&&br&&br&&p&
&b&数学的学习&/b&&/p&&p&每次我读数学书和计算机书都是感觉自己学会不少思想和概念，但是一段时间不读，&b&我就忘记了，&/b&感觉还是什么也不懂，然后我就又回去读了。后来知道了如何使用&a href=&///?target=https%3A///subject/7061949/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学指南 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/061a41c8d54cd429d0c2f_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&306&&&br&&br&&p&和&a href=&///?target=https%3A///subject/1089331/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学手册 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/9b3be13bd40cbaa8a914149caf0042b8_b.jpg& data-rawwidth=&303& data-rawheight=&438& class=&content_image& width=&303&&&p&这本是国内本土学者编写的最好的一本数学书，没有之一！&/p&&br&&p&知道了&b&知识的联系和逻辑继承&/b&，又知道&b&抽象和复杂的关系&/b&，最后知道了数学&b&成熟度&/b&，&b&慢慢就不担心自己的遗忘了&/b&&/p&&br&&p&&b&附记：数学抽象的意义：&/b&
1. 四维黎曼流形的大多数几何性质可以利用SP(1)表示来理解，对称张量就是SP(1)的表示，对称张量同构于多项式代数。利用抽象，就把复杂的几何问题转化为代数运算。&/p&&p&&b&SO(3)&/b&的&b&基本群的元素是SO(3)的闭曲线&/b&，这个&b&闭曲线是SO(3)的点集合&/b&，但是&b&SO(3)的点不是通常空间我们想象的点，而是每个点都代表了旋转&/b&。----------这就是SO(3)三维空间旋转群最&b&为抽象和初学悖论&/b&的感觉&/p&&p&《Topics in four dimension Riemannian Geometry》&/p&&p&2.透过层层包裹的&a href=&///?target=https%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&莫尔斯理论 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&丰满的&b&几何&/b&外衣，&/p&&img src=&/690fdeadadc_b.jpg& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&453& class=&content_image& width=&294&&&p&J. W. Milnor的《莫尔斯理论》最初几页让人难忘：其实就是把过去一直平躺的环面竖直了，然后就没然后了。 &/p&&br&&br&&br&&p&看到的是&b&Q上的二次型这样代数&/b&做的水晶&/p&&a href=&///?target=https%3A///subject/2117186/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数论教程 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&img src=&/c4f44ee63d35c2e4f622ebf_b.jpg& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&453& class=&content_image& width=&294&&&br&&p&&b&数学成熟度&/b&&/p&&p&所有的数学书都要求这一点数学&b&成熟度&/b&：&/p&&img src=&/f9d5e4d25_b.jpg& data-rawwidth=&252& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&252&&&br&&p&&a href=&///?target=https%3A///subject/1230531/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数拓扑的微分形式 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
（&b&博特这本书真正的意义是给阿蒂亚博特指标定理搭建了一个脚手架，现代数学也就这样从莫尔斯定理到阿蒂亚指标定理再到杨米尔斯场的唐纳森的不变量分为代数几何的和到威腾的物理引申&/b&）&/p&&p&附注：&b&我开始懂了：&/b&德拉姆复形，庞加莱对偶（配对本质泛函关系）=Tom类=拖回（理解沿纤维积分）-欧拉类（高斯博内特：从积分到高斯映射拓扑的映射度的表达，庞加莱霍普福定理）-切场零点和-Stiefel-Whitney。用拓扑空间上局部常数函数组成的空间的维数定义空间连通分支的个数，&/p&&p&&b&是的，我理解了很多，但是，我还是无法理解为什么tom类原始证明是个比较直观的几何构造，到了博特这里出现了推前构造？（本质是K理论）&/b&&/p&&p&直到有一天我读了&b&维基中&/b&关于&b&格罗滕迪克&/b&的关于&b&黎曼罗赫定理&/b&证明的，后来我就理解了&b&推前构造&/b&，并且读了&a href=&///?target=https%3A///subject/1239487/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数几何中的拓扑方法 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/c52fce2a5a9a3452256cf_b.jpg& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&453& class=&content_image& width=&294&&&br&&br&&p&然后我就理解了&b&这本书全部奥秘&/b&，Hirzebruch通过&b&托姆配边定理&/b&证明了流形的指标是庞特里亚金类的多项式的假设，然后就得到了&b&高维的黎曼罗赫定理&/b&。&b&格罗滕迪克&/b&代数化了这个定理得到了&b&簇间的&/b&黎曼罗赫定理（簇间映&b&射分解为投影和嵌入的形变&/b&）。&b&博特和阿蒂亚&/b&通过&b&整性&/b&概念的引导借鉴了Lefschetz &b&复解析流形不动点定理&/b&，可以得到那个我一直不能理解的李群李代数最重要的公式&b&外尔指标定理&/b&&/p&&p&&b&当时我很开心！这就可能就是所谓的数学带来的精神愉悦罢！&/b&&/p&&br&&a href=&///?target=https%3A///subject/1231243/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&img src=&/62f83bb4c9f03e461350c_b.jpg& data-rawwidth=&288& data-rawheight=&462& class=&content_image& width=&288&&&p&（附注：代数的概念：
0维模是挠模，1维模是循环模，n维模主理想模-诺特模；&/p&&p&1维环是可除代数（没有单边理想），n维环是矩阵环，&/p&&p&有限长度单环（没有双边理想）同构于可除代数（1维）上的矩阵环的直和。&/p&&a href=&///?target=https%3A///subject/1440976/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Introduction To Commutative Algebra (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&img src=&/e210e98f41528d1caa8b0d89_b.jpg& data-rawwidth=&297& data-rawheight=&447& class=&content_image& width=&297&&&br&&p&交换代数有两个角度：第一，作为抽象代数域论的推广：&/p&&p&域（代数扩张--嵌入，代数闭包，伽瓦罗定理，）-整环（整扩张，整闭包，希尔伯特零点定理，）-交换环；&/p&&p&&b&理想同构于模语言中的子模，同态于拓扑基。&/b&&/p&&p&欧几里得环-主理想环-（诺特环准素理想交，唯一因子分解环-）；&/p&&p&诺特环（0维诺特环-阿廷环；1维诺特环-戴德金环）&/p&&p&交换代数的第二个角度：利用素理想实现几何的点概念，实现类比点集拓扑的性质。&/p&&p&&b&关键的运算&/b&或者操作：&b&局部化（模素理想保正合性和诺特性质），完备化&/b&（点集拓扑性质类比）：&b&Artin-Ree引理&/b&本质是子模的拓扑和诱导的拓扑等价，其导出了&b&完备化的正合性；交换代数的唯一性&/b&-&b&Krull定理类比复分析中解析函数由泰勒展开系数唯一确定&/b&拓扑可分性的定理的代数描述）&/p&&p&&b&抽象代数的底层或者的起点是复杂的多项式，线性代数，数论，组合学计算和定理&/b&：线性代数中的Cayley–Hamilton 定理推理出抽象代数中&b&Nakayama引理&/b&（交换环上有限生成模同构于域上向量空间），中山引理的整体定理Serre–Swan定理：交换环的投射模同构紧空间的向量丛---维基&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Nakayama_lemma%23cite_note-11& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Nakayama lemma&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&这些书的前言都提到了数学&b&成熟度&/b&。它的含义是：什么是值得读，什么是不值得读的，什么是重点，什么是次要，什么是关键， 这些都需要一&b&定经验和知识储备体系才能达到&/b&，需要时间和思想的&b&抽象的提升&/b&，&b& 当数学的抽象概念从刚性变为柔性，概念就转化为自己的工具。&/b&
类比&b&侦探是目的是正义和公平，而其技术基础在于：细节，线索，交叉点，但是拼的是见识&/b&-----这就是&b&成熟！&/b&&/p&&br&&br&&br&&img src=&/v2-c4a6b57fc6e_b.jpg& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&/v2-c4a6b57fc6e_r.jpg&&&br&&p&&b&读数学书不能总是停留在低级教材，这样不能提高自己的水平，&/b& &b&读一些通论，读一些水平比自己知道的要高一些的书，这样才能有助你的理解和提升。&/b&&/p&&p&读完这些书或者没有读懂这些书怎么办？
&b&学真正的学习的框架体系是什么？英文经典书或者关键学者著作和英文论文构造的，书和论文两者都不可缺少数&/b&&/p&&p&&b&读论文：&/b&&a href=&///?target=https%3A//dou.bz/13zIGt& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Sci-Hub: removing barriers in the way of science&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &b&学会使用&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ：有了不懂的，不理解的数学概念或者定理，利用关键词在这里查询附加&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Main_Page& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wikipedia, the free encyclopedia&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/p&&p&&b&研究的对象是真实的世界，而教材的对象是模拟的世界，人为的世界。数学就是学抽象，在抽象上构造新的几何直观，研究复杂度&/b&，&/p&&br&&p&&b&&/b&&/p&&br&&img src=&/v2-c641ebbac5c65bb05f1b_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&1806& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&/v2-c641ebbac5c65bb05f1b_r.jpg&&&br&&p&&b&&br&&/b&&/p&&p&这个答案很长。但是所有都是在服务于一&b&个中心定理&/b&的构造&b&：&/b&&/p&&p&&b&阿蒂亚辛格指标定理&/b&------它是现代数学和理论物理最低入门界限。&b&S. K. DONALDSON的论文可以作为现代数学起点&/b&&/p&&br&&p&学习数学或者推广到所有的学习：&b&独立思考是最好的学习方法，理解是最好的记忆。&/b&&/p&&p&&b&Subtle is the lord. More is different&/b&&/p&&br&&img src=&/v2-90cbf003e0b2acae6008e_b.jpg& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&764& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&/v2-90cbf003e0b2acae6008e_r.jpg&&&br&&p&&b&&br&&/b&&/p&&a href=&///?target=https%3A///subject/3795033/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学天书中的证明 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&img src=&/b0db239c95b765cfe133e8a_b.jpg& data-rawwidth=&315& data-rawheight=&423& class=&content_image& width=&315&&&p&&b&算法-组合数学-计数（自然数）-时间（R或者是循环）-动力系统；&/b&&/p&&p&&b&本书包含了：组合学与凸分析&/b&&/p&&br&&p&&b&凸分析是线性代数的推广，度量几何的抽象，泛函分析的特例。&/b&&/p&&p&&b&组合学就是研究双射，双射具体表示是集合的排列（一大堆等价模型：编码 函数 序列 树），排列模型的组合参数量： 圈 下降集逆序。（欧拉）其中用图路径计算代数的结构和不变量是代数与组合的关键联系。&/b&&/p&&p&&b&关键内容是有限域结构的几何表示和模型：平面直线构型，图论模型，几何体的分解（平面凸体组合学），拓扑变换（连续形变下不变的性质），集合的分解和组合（图形分解无数个可以重新组合的点集合）&/b&&/p&&p&&b&书中最实用的结论：香农信息论定理，它本身是一首关于数学的诗：组合学图论的模型，概率论的概念与公式，凸优化（线性规划）的方法。让人联想到黎曼的代数函数存在性的证明：转化为流形上热方程的解的存在性又联系到高斯的局部微分几何证明。所以，好的数学结构会反复出现在数学各个角落。&/b&&/p&&br&&br&&img src=&/v2-e731f36b2f01c_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&2579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-e731f36b2f01c_r.jpg&&&br&&p&&b&&/b&
读华罗庚的数学书，经常感觉一种智慧，仿佛深夜中的一道闪电，深深觉得学的有味道，但是学不会；读西方学者的书，经常读到一种思想，就像太阳升起的规律，通过反复练习和思考，可学的&/p&&br&&p&数学最开始学习的&b&坑&/b&：其一，&b&误认为数学直接就是创造，或者是智慧&/b&，数学大多数时候都是学习阅读思考数学的定理和概念并建立新的联系；其二，&b&误认为数学就是与实用有关&/b&，或者是组合术，其实数学是抽象，抽象才能更深入的更本质的看待世界。其三，&b&误认为数学就是计算，&/b&其实现代数学都是利用思想替代计算&/p&&p&有限非Abel(阿贝尔)群中的平衡，表示，和因子分解问题．有趣的是，这些&b&问题可以看做是Rubik魔方 的推广&/b&。----抽象的理论负载在具体的模型中，数论如此，类数论的群论如是之，物理如此。重新复习希尔伯特那句话：&/p&&blockquote&&b&做数学要找到那个特例，它含有了推展到普遍性的所有胚芽。&/b&&/blockquote&&br&&br&&blockquote&&b&数学本质在美和抽象&/b&：將數學結果連貫成有機整體, 使得沒有一片知識是孤立的, 這是數學美的要素之一；数学中一般結果等價於特例--抽象的意义
Greater generality and greater simplicity go hand in hand.---A. Weil&/blockquote&&br&&br&&img src=&/v2-bd338d01ad1aab15e0ae601ae3b524fa_b.jpg& data-rawwidth=&602& data-rawheight=&1870& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&602& data-original=&/v2-bd338d01ad1aab15e0ae601ae3b524fa_r.jpg&&&br&&p&
探讨了那么多数学的美丽的思想和关键的定理，
&b&现在要探讨数学的困难：&/b&&/p&&p&也许我更应该提醒大家的是，某些内容一时看不懂其实无伤大雅。我在从事数学研究时，有90%的时间会有不甚明白的感觉，所以，不必紧张，欢迎来到我的世界。困惑（有时甚至是挫败感）是数学研究的一个必不可少的组成部分。&/p&&blockquote&&b&为了研究数学现象，从开始起唯一明显的困难就是，首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解&/b&。
数学与雕塑一样，普通的木头里没有埋着定理。但从外面却看不出里面究竟埋着什么，只好雕刻着看。数学中的雕刻就是一边进行繁复的计算，一边调查文献，决不是简单的。在许多情况下什么结果也没有。&b&因此数学研究非常费时间&/b&。可以认为，&b&研究的成败主要取决于运气的好坏&/b& &b&小平邦彦 &/b&数学印象&/blockquote&&p&学习和研究数学应该是一门充满快乐的艺术和一种高水平的游戏。你需要游戏，你需要用心，需要乐于探索。&/p&&img src=&/v2-017a5f04d1c652fbfd50_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&1142& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-017a5f04d1c652fbfd50_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-4afe1faad7f6_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&1091& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/v2-4afe1faad7f6_r.jpg&&
序 如果你听过这样的话：你比较笨，或者你不努力，所以你学不会数学，那么请你忘记！你不是笨或者不努力，而是缺乏资源方法与信息，线索和导引，经验和常识，更缺少：时间，资料，传统（规范），技巧和历史。 数学学的不好，是功夫问题，但是，首先是方法要…
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。&br&&br&直到公元前624年，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B3%25B0%25E5%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&泰勒斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。&br&&img src=&/bef0c63ce9c856ca89f0dc80e347924c_b.jpg& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&365& class=&content_image& width=&240&&泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”！（还有比这更牛的称号吗？）&br&&br&其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。&br&&br&尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、&b&可进化&/b&的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。&br&&br&后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”(φ?σι?)的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%E6%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&逻各斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（希腊语：λ?γο?，英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos（算法）创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。&br&&br&几乎和古希腊同一时代，春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止，只是昙花一现。但是限于篇幅，这里不再展开，请到最后的推荐阅读中了解。&br&&br&&br&&b&“自然”&/b&与美&br&古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF%25E4%25B8%25BB%25E4%25B9%2589& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯主义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&走向了科学的反面，成了宗教。&br&&img src=&/54a54e5fddb6d8b43bde_b.jpg& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&350&&毕达哥拉斯主义者庆祝日出&br&&br&这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。参见&a href=&///?target=http%3A///show_hdr.php%3Fxname%3DPPDDMV0%26dname%3DSAS1L41%26xpos%3D30& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯学派美学思想（朱光潜）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&b&“自然”思想的意义&/b&&br&雷军说得好，“在风口上，猪都会飞”！就像乔布斯开启了移动互联网时代，泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。&br&&br&古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。&br&&br&古希腊人还把自然的概念引入社会领域，来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷，认为在所有赚钱方法中，利息是最&b&不自然&/b&的。&br&&br&以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。&br&例如：&br&英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。&br&而&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B5%25B7%25E9%C& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&海里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。&br&&img src=&/a8fc15fd76e2f5f0f85f2b_b.jpg& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&267& class=&content_image& width=&272&&&br&对比之下，宗教等理论体系的基石并不是自然的，靠的是强制手段来确立的权威，这是不稳定的。当强制手段不再有效时，就会使宗教分裂成各种教派。&br&&br&自然思想不同于宗教，靠的是坚实的观察证据和理性思维，任何人都可以反复验证，具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性，古希腊思想被越来越多的人所接受，对后人产生了巨大的影响，几乎奠定了现代所有科学领域的基础。&br&&br&经过2500多年的不懈努力，终于在&b&古希腊文明所铺就的最稳固基石&/b&上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。&br&&br&&br&&b&自然数中的“自然”&/b&&br&古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。&br&&br&但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而&b&发明&/b&出来的，不是自然的数。&br&&br&毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E5%25AD%25B8%25E5%258D%25B1%25E6%25A9%259F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一次數學危機&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。后人认为毕达哥拉斯也发现了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25BB%%E5%E5%%25E6%25AF%2594& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黄金分割率&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。&br&&br&现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25BB%25A3%25E6%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代數數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25B6%258A%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超越數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，也需要了解更复杂的运算。&br&&br&我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关，所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越4000年，穿越到7000年前的苏美尔文明时代。&br&&br&&br&&b&利息的发明&/b&&br&7000年前，美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易，建立起人类最早的文明和城市，参见问题《&a href=&/question//answer/& class=&internal&&为什么会有国家？&/a&》。&br&&br&苏美尔人也第一个发明了利息，一起通过一个虚构的小故事来理解利息的起源：&br&&ul&&li&农民张三经常去城市卖粮食、换日常用品，他发现城里人很喜欢羊奶，这是一个商机！&br&&/li&&li&但是他自己没有母羊，也买不起，于是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。&br&&/li&&li&张三想用大麦作为每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租给他。&br&&/li&&li&因为母羊每年都生羊羔，把母羊给张三，虽然有租金，但羊羔的收益就没了。&br&&/li&&li&张三明白了王二小的顾虑，就承诺他只用母羊产奶，如果母羊生下羊羔，羊羔还是归王二小。&br&&/li&&li&王二小认为这样才比较划算，于是就答应了租借母羊。&br&&/li&&li&张三和王二小到神庙，要在神的见证下订立合同。&br&&/li&&li&公证人用楔形文字把债务合同刻在了泥板上，并明确了租金和羊羔的归属。&br&&/li&&/ul&&br&羊羔收益成为租借者的应得利润，&b&这很公平，也很自然&/b&。&br&&br&后来人们发现借钱也应该给羊羔收益，因为这笔钱如果用来买母羊，每年都会有羊羔收益。所以钱借给贷款者，他除了要归还本金，还要归还这笔钱本应获得的羊羔收益。&br&&br&这个羊羔收益就成为了后来我们熟知的利息，在苏美尔文字中，利息的单词mas原本是牲畜幼崽的意思，随着时间的推移，利息的含义逐渐和牲畜没有了关系。这和我们汉字中货币、宝贝、财产等词中都含“贝”字是一样，因为海贝就是3000多年前夏商时代流通的货币。&br&&br&历史上每次新能源的普及都会引发人类社会革命性的进步，利息就是一种革命性的新能源发明，只是这次驱动的不是机器，而是人。&br&&br&&b&利息的价值就在于其巨大的激励作用&/b&，驱动人们把自己的资源拿出来，分享给其他人使用。利息的激励模式也迅速在实物、粮食、金银等资产借贷上得到普及。金融领域的第二大创新（第一是货币）就这样诞生了。&br&&br&4000多年前的《埃什嫩那法典》（The Law of Eshnunna）中就有了对利息的规定：&br&每1谢克尔&白银&（180粒大麦）的利息是36粒大麦（即利率为20%）；&br&每300塞拉（sila）&谷物&的利息是100塞拉（即利率为33.33%）。&br&&img src=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&535& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_r.jpg&&来源：&a href=&///?target=http%3A//iraq.iraq.ir/museum/fi/.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Iraq National Museum&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&激励机制设计在经济、管理、教育等领域有着核心动力的关键作用，设计好了就可以把人的自身潜能释放出来，这一点，喜欢玩游戏的都有切身体会。正是知乎的激励机制设计的好，我这篇超长文才写得出来。XX问答类网站无法让用户做到，是因为他们激励的方向是数量，而不是质量。&br&&br&尽管利息能激励交换，但人们对利息还是有着爱恨交加的复杂感情：当急需钱时，人们焦急的不惜一切代价筹钱；等到终于借到钱，需要还利息时，人们又开始愤愤不平。&br&&br&柏拉图就曾经主张，人们应该只还本金，不要归还利息。参见&a href=&///?target=http%3A///ReadNews.asp%3FNewsID%3D27306& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&古希腊的债务危机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&他的学生亚里士多德在《政治论》一书中也激烈的抨击利息，认为在所有赚钱方法中，&b&利息是最不自然的&/b&。&br&&blockquote&And this term interest, which means the birth of money from money, is appliedto the breeding of money because the offspring resembles the parent. Wherefore of an modes of getting wealth this is &b&the most unnatural&/b&.&/blockquote&来源：&a href=&///?target=http%3A//classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&classics.mit.edu/Aristo&/span&&span class=&invisible&&tle/politics.1.one.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&每个时代的人们都有他们思想的天花板，亚里士多德的天花板就是不能接受金钱可以像生命一样增殖。他认为这是荒诞的、不是钱原来的属性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在经济系统中的推动作用，他可能会改变观点，整个人类经济和政治史都会彻底改写了。&br&&br&柏拉图和亚里士多德并不是第一个站出来抨击利息的人，但是他们在历代学者和政治精英中的巨大影响力，这些观点后来成为了社会的主旋律，后世的社会现象，例如中世纪教会禁止收息放贷、犹太人被歧视迫害，以及马克思的共产主义思想，都和柏拉图、亚里士多德有着一脉相承的关系。&br&&br&好了，先从历史里出来一会儿，让我们来看一下利息和e的关系。&br&&br&&br&&b&利息中的e&/b&&br&e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%%25E5%259C%%259C%25AF_%28%25E5%E5%25BE%25BD%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&割圆术&i class=&icon-external&&&/i&&/a&来很形象的理解。&br&假设等边形的对角线长为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。&br&&img src=&/93faab14be951b226ad155debe04dacf_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&br&但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，阮一峰翻译的文章《&a href=&///?target=http%3A///article/50264/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学常数e的含义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》说的很好，只是公式太多，并不直观。&br&幸好我在原文《&a href=&///?target=http%3A///articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&An Intuitive Guide To Exponential Functions & e&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。&br&&br&假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！&br&银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元&br&&img src=&/c76ffeb8fe55e54c7faf98c53ca4371c_b.j