设函数连续和可导的关系f（x)在[a，b]上连续

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-25 16:41 标签： 已知二次函数f(x)满足
设函数f(x)在[a,b]上三阶可导，证明：存在一点e∈(a,b)，使得【数学分析吧】_百度贴吧
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f(b) = f(a) + 1/2 (b-a) [f'(a) + f'(b)] - 1/12 (b - a)^3 * f'''(e)如何构造辅助函数？
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试试用泰勒公式将f(a+b/2)分别在f(a)，f(b)处展开
用“K”值法证明：解出三阶导数，记为K；再令：F(x)=f(x)-f(a) - 1/2 (x-a) [f'(a) + f'(x)] -1/12 (x - a)^3K.则：F(a)=F(b)=0，用Rolle定理，F'(c)=0；又F'(a)=0，再用Rolle即可.
顶，也遇到了，不会做
见楼上，看有符号问题没？感觉你那样令F（x），需证f（e）&'=-k，应该有个符号问题。
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设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．
悠悠8pHf疯
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令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，则f（c）=g（c）=>F（c）=0，于是由罗尔定理可得，存在ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得F′（ξ1）=F′（ξ2）=0．再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ1，ξ2），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c1，c2取得最大值，则f（c1）=g（c2）=M，于是F（c1）=f（c1）-g（c1）＞0，F（c2）=f（c2）-g（c2）＜0，于是由零值定理可得，存在c3∈（c1，c2），使得F（c3）=0于是由罗尔定理可得，存在ξ1∈（a，c3），ξ2∈（c3，b），使得F′（ξ1）=F′（ξ2）=0．再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ1，ξ2），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
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由所证结论f″（ξ）=g″（ξ）可联想到构造辅助函数F（x）=f（x）-g（x），然后根据题设条件利用罗尔定理证明．
本题考点：
有界闭区域上连续函数的性质介值定理；用罗尔定理判断导函数根的存在问题．
考点点评：
对命题为f（n）（ξ）=0的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为f（n-1）（x）的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证f（n-1）（x）在包含x=ξ于其内的区间上满足罗尔定理条件．
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若f(x)在[a,b]上连续,a<x1<x2<……<xn2),则在（x1,xn）内至少有一点u,使f（u）=[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n,如何证明?
啊★影子件
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f(x)在[a,b]上连续,则在[x1,xn]上连续,则在[x1,xn]上必能取得最大和最小值,M和m设f(c)=M,f(d)=m 其中 c,d在x1,和x2之间(有可能在端点)如果M=m,说明f(x)是常数函数,结论是显然的.如果M≠m,则c≠d.这里有）[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n <= (M+M+...M)/n=M=f(c) (右边的每一个放大成M)同样 [f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n >= m ,由于m,M不等,所以两个不等式等号不会同时成立如果两个等号都不成立,由介值定理,存在p在c,d之间(这里可以不包含端点),c,d又在[x1,xn]之间.x1<p<xn,使得那等式成立.如果有一个等号成立（这里不妨设第一个等号成立）那么必有 f(x2)=M,而x1<x2<xn,x2就为所求故命题成立
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设f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内的 左导数 处处存在且恒为零,证明f(x)为常值函数注意是“左导数”,如果是“导数”就太简单了左导数定义：
匿袭TA1154
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有限覆盖定理就可以说明了.
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设函数f(x)在【a,b】上连续且单调增加,求证∫[a ,b] xf(x)dx >=a+b/2∫[a ,b] f(x)dx
兔亜kcPF64JN32
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记：g(x)=S[a,x]tf(t)dt-[(a+x)/2]S[a,x]f(t)dt,a
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