大一高数如何学习？ - 知乎1812被浏览366234分享邀请回答1.2K71 条评论分享收藏感谢收起30925 条评论分享收藏感谢收起查看更多回答导读：这里我们用到了本章第五节的定理2及极限运算法则.由上述方法，同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的，β?x?是同一极限过程中的两个无穷小量，等价无穷小量在极限计算中有重要作用.，β?为同一极限过程的无穷小量，在求极限的乘除运算中，在极限运算中，定义2若在某极限过程中，x?x0limV(x)?a， 则有 limV(x).limlnU(x)x?x0limU(x)V(x)?limex?x0V(x)lnU(x)?ex?x0x?x0 ?ealnea?e. 这里我们用到了本章第五节的定理2及极限运算法则. 由上述方法，例7的计算可简化为 ?原式=lim?1??1x??x?2????x?2?1?????xx?2?e?1. 例11
求lim(x?2). x?x01x1x原式=lim???1?x?0???x?x??2x??2??1x2?x?x??2lim??1?x?x?0??2??x?2x??2?e1?2?e??. 第七节
无穷小量的比较 同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度. 定义1
设α?x?，β?x?是同一极限过程中的两个无穷小量，即 limα?x??0，limβ?x??0. （1） 若limα(x)β(x)?0，则称α?x?为β?x?的高阶无穷小量，记为记为α?x??o?β?x??，也称为α?x?的低阶无穷小量； （2） 若limα(x)β(x)?A ?A?0?，则称α?x?是β?x?的同阶无穷小量，记为α?x??o?β?x??.特别地，当A?1时，则称α?x?与β?x?是等价无穷小量，记为α?x?~β?x?. 例如：因为limx?01?cosx?0，所以当x?0时，1?cosx是x的高阶无穷小量，即 x1?cosx?o?x??x?0?. x12因为lim1?cos?，所以当x?0时，1?cosx是x的同阶无穷小量，即 2x?0x21?cosx?ox???x2?0?. 因为limx?0sinx?1，所以当x?0时，sinx与x是等价无穷小量，即 xsinx~x
?x?0?. 等价无穷小量在极限计算中有重要作用. 设α，α?，β，β?为同一极限过程的无穷小量，我们有如下定理： 定理1
设α~α?，β~β?，若limα存在，则 βlimα?α?limβ?β. 证
因为α~α?,β~β?，则limβ?α?α?αβ?α?α?1，由于???，又lim存在，所以 ?1， limββ?αβββαβα?α?αα?limlimlim?lim. β?αββ?βlim定理1表明，在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x?0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~xa，arctanx~x，1?cosx~x2，ex12?1~xx，ln?1?x?~x，1?x?1?，2(1?x)?1~αx
?α?R?. tan7x. x?0sin5x解
因为x?0时，tan7x~7x，sin5x~5x，所以 例1
求limlimaxbxx?0tan7x7x7?lim?. x?05xsin5x5例2
求limx?0e?e
?a?b?. sinax?sinbxe?elim?limx?0sinax?sinbxx?0axbx解
ebx[e(a?b)x?1]a?ba?b2cosxsinx22bx ee?1?lim x?0x?0a?ba?bcosx2sinx22(a?b)x
?lim?1. x?0(a?b)2?x2?lim3?例3
求limx2ln?1?2?. ?x???x?3?3解
当x??时，ln??1?2??2，故 ?x?x(a?b)xlimxln(1?x??23x2)?limx?x??23x2?3. 定义2
若在某极限过程中，α是β的同阶无穷小量（k?0），则称α是β的k阶无穷小k量. 例4
当x?0时，tanx?sinx是x的几阶无穷小量？ 解
由本章第六节例4知，limtanx?3sinx?1，所以，当x?0时，tanx?sinx是x的x?0x2三阶无穷小量. 第八节
函数的连续性 前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等，在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特征，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特征我们称之为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.下面我们将利用极限来严格表述连续性这个概念.
一、函数的连续与间断 定义1
设函数f?x?在x0的某邻域U?x0?内有定义，且有 x?x0limf(x)?f(x0)， 则称函数f?x?在点x0连续，x0称为函数f?x?的连续点. 例1
证明函数f?x??3x2?1在x?1处连续. 证
因为f?1??3?1?1?2，且 limf(x)?lim(3xx?1x?12?1)?2， 故函数f?x??3x2?1在x?1处连续. 例2
y?f?x??x 在x?0处连续. 证
因为y?f?x??x在x?0的邻域内有定义，且 f?0??0，limf(x)?limx?limx2?0. x?0x?0x?0由定义1可知，函数y?f?x??x在x?0处连续. 我们曾讨论过x?x0时函数的左右极限，对于函数的连续性可作类似的讨论. 定义2
设函数f?x?在内x0点及其某个左（右）有定义，且有 ??lim?f(x)?f(x0)
lim?f(x)?f(x0)??x?x0?x?x0?， 则称函数f?x?在点x0是左（右）连续的. 函数在点x0的左、右连续性统称为函数的单侧连续性. 由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系. f?x?在点x0连续的充要条件是f?x?在点左连续且右连续. 定理1
设函数 2??x?3,x?0,f(x)?? a?x,x?0,??问a为何值时，函数y?f?x?在点x?0处连续？ 解
因为f?0??3，且 x?0lim?f(x)?lim?(a?x)?a， x?02x?0lim?f(x)?lim?(xx?0?3)?3， 因此当a?3时，y?f?x?在点x?0处连续. 例4
设函数 ??1,x?0, f(x)??1,x?0.?试问在x0?0处函数f?x?是否连续？ 解
由于f?0??1，而limf(x)??1，于是函数f?x?在点x0?0处不是左连续的，从而函x?0?数f?x?在x0?0处不连续. 若函数y?f?x?在区间?a,b?内任一点均连续，则称函数y?f?x?在区间?a,b?内连续，称函数f?x?为区间?a,b?内的连续函数.若函数y?f?x?不仅在?a,b?内连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称y?f（x）在闭区间??a,b??上连续，称函数f?x?为闭区间??a,b??内的连续函数.半开半闭区间上的连续性可类似定义.函数y?f?x?在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 在工程技术中，常用增量来描述变量的改变量. 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值u2与初值u1的差u2?u1称为变量u的增量，记为Δu，即 Δu?u2?u1. 变量的增量Δu可能为正，可能为负，还可能为零. 设函数y?f?x?在x0的某个邻域U?x0?内有定义，若x?U?x0?，则 Δx?x?x0 称为自变量x在点x0处的增量.显然，x?x0?Δx，此时，函数值相应地由f?x0?变到f?x?，于是 Δy?f?x??f?x0??f(x0?Δx)?f?x0? 称为函数f?x?在点x0处相应于自变量增量Δx的增量. 函数f?x?在点x0处的连续性，可等价地通过函数的增量与自变量的增量关系来描述. 定义3
设函数y?f?x?在x0的某个邻域内有定义，如果， Δx?0limΔy?lim??f(x0??x)?f(x0)???0 ?x?0则称函数f?x?在点x0处连续. 函数f?x?在x0处的单侧连续性，可完全类似地用增量形式描述. 定义4
设函数f?x?在x0的任何去心邻域内存在有定义的点，而f?x?在x0处不连续，则称x0是函数f?x?的一个间断点. 函数在x0处连续的定义可简述为：函数f?x?在x0处的极限存在并且等于x0点的函数值.由此可知，函数f?x?在点x0处间断有下列三种情形： （1）f?x?在x0点无定义，但在x0的任何去心邻域内存在有定义的点； （2）f?x?在x0点有定义，但limf(x)不存在； x?x0（3）f?x?在x0点有定义，并且limf(x))在，但 x?x0x?x0limf(x)?f(x0). 下面举例说明函数间断点的几种常用类型. 例5
考虑函数y?sinx在x0?0处的连续性. x解 由于limsinx?1，但在x0?0处，函数y?sinx无定义，故y?sinx在x0?0处不连x?0xxx续.若补充定义函数值f（0）?1，则函数 ?sinx,x?0,?f(x)??x ??1,x?0.在x0?0处连续. 例6 讨论函数 ?2x,x?0,f(x)?? 1,x?0.?在点x0?0处的连续性. 解
由于limf(x)?lim2x?0，而f(x)x?0x?0x?0?1，由定义知函数f(x)在点x0?0处不连续.若修改函数y在x0?0的定义，令f (0)?0，则函数 ?2x,x?0,f(x)?? 0,x?0.?在点x0?0处连续（见图1-33）. 图1-33 从上述分析和例子中我们知道，有各种情形的间断点，为了方便，通常把间断点分成两大类： （1）若x0点是函数f?x?的间断点，但左极限f(x0?)及右极限f(x0?)都存在，那么x0点称为函数f?x?的第一类间断点； （2）若x0点是函数f?x?的间断点，但它不是f?x?的第一类间断点，则称x0点为函数f?x?的第二类间断点. 由实际应用的需要，间断点的分类还可以进一步细分.例如，我们考察例6，例7中间断点x?0的情形，它们显然是相应函数的第一类间断点，而且只要补充或改变x?0点的函数值，则函数在该点就连续了.对于第一类间断点中的这一类间断点，我们定义如下： 若limf(x)存在，且limf(x)?a，而函数y?f?x?在点x0处无定义，或者虽然有定义，x?x0x?x0 但f?x0??a，则点x0是函数y?f?x?的一个间断点，称此类间断点为函数的可去间断点.此时，若补充或改变函数y?f?x?在点x0处的值为f?x0??a，则可得到一个在点x0处连续的函数，包含总结汇报、党团工作、IT计算机、旅游景点、计划方案、人文社科、专业文献、出国留学以及大一高数第一章
函数、极限与连续等内容。本文共10页
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高数总结求极限方法
█重量█犜屠9
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代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosxlim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)∵lim[x-->1] (1-x)/x=0
∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/hlim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2这实际上是为将来的求导数做准备.4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/xlim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-25. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】lim[x-->0]sinax/sinbxlim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b【例11】lim[x-->0]sinax/tanbxlim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.【例12】lim[x-->∞]sinx/x∵x-->∞
∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)=1/4【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
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