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浅谈集合列的上下极限
浅谈集合列的上下极限
◎卢成鑫（三明学院数学与计算机科学系福建三明
【摘要】从集列的上下极限的定义出发，系统总结并讨论了
集列上下极限的一般性质，并研究了上下极限在Lebesgue积分论与测度空间问题上的应用.
【关键词】集合列；上极限；下极限；Lebesgue积分；测度空间由德国数学家Cantor创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，它是实变函数的基础，在现代数学中，集的概念已被普遍地采用，因而集的应用显得更加重要，其中集列的运算就是一种重要的运算.下面我们从集列的上下极限定义着手，进一步研究集列上下极限的实质与内涵．事实上，上下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，本文也基于此目的，主要侧重于对集合列的上下极限概念系统的总结，并分别在测度空间和Lebesgue积分论中，给出了一些应用方法．
1.基本定义与结论
定义1［1］设A1，A2，…，An，…是任意一列集，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上极限集，简称上极限，记为An或limsupAn．
劢＝．劢＝A；c
4.相关结论
A劢＝劢疑胰A
=劢劢胰A劢
=胰疑A=A．劢
劢＝劢=疑劢=胰疑A劢疑A劢
=疑胰A=A．疑劢胰A劢
定理4．2设｛An｝是一集列，χA（x）是An的特征函数，则limAn
存在圳limχA存在；A=limAn圳xA=limχA．
limAn存在圳An=n，
显然，用数学符号形式化，可表为An＝｛x｝存在无限多
limχA存在圳χA=limχA．
个An，使x∈An｝．此外，也不难证明：An＝｛x|坌n∈N,埚k≥n,
使x∈Ak｝．
定义2［1］设｛An｝是任意一集合序列，除有限个下标外，属于该集合列中的每个集合的元素全体所组成的集合称为该集合列的下极限集，简称下极限，记为An或liminfAn．当然，也
χA（x）圳中有无限x∈An圳坌N,埚n＞N，使得x∈An圳圳n=1
多个取值为1圳
χA（x）=limsupχA（x）=1，x埸n圳
可以表示为
An=｛x|当n充分大以后，都有x∈An｝=｛x|埚n∈N,使
χA（x）圳中自Nx后全为0圳埚Nx∈坌n＞Nx有x埸An圳圳n=1
χA（x）=limsupχA（x）=0．
坌k≥n，x∈Ak｝．由上述定义，明显地，总有An哿An．
同理可证：χlimA=limχA．
定义3［2］如果An=An则称集列｛An｝收敛，将这一集
于是limAn存在圳limχA存在，从而A=limAn圳χA=limχA．
称为｛An｝的极限，记为limAn．
定理4．3设fk∈C（Rn）（k＝1，2，…)，α∈β，则Rnk＜α是Fσ型
2.集列上下极限的两个等价定义
定义4设｛An｝是一集列A1，A2，…，An，…，有n=
集，Rnk≥α与Rnk=∞是Gδ型集．
定义5设｛An｝是一集列A1，A2，…，An，…，有n=
3.单调集列
定义6［3］如果集列｛An｝满足An奂An＋1（An劢An＋1），n＝1，2，3，……，则称｛An｝为单调增加（减少）集列，单调增加与单调减少的集列统称为单调集列．
定理3．1单调集列是收敛的，
（1）若｛An｝单调增加，则limAn=
劢劢＜α劢f≤α-1劢证明R，=胰疑劢≥α劢＜α劢所以R=αRα=f＞α-1劢，胰疑R劢≥α劢所以R是G型集．
=∞劢=∞圯R=胰疑R（f＞m）是G型集．
m，k＝1i＝k
m，k＝1i＝k
定理4．4设An＝｛m∶m∈Z｝（n＝1，2，…），则An=Z，
（2）若｛An｝单调减少，则limAn=
证明对于单调增加集列｛An｝而言，x∈
就意味着，x
证明显然有Z奂n奂n奂Q，
既属于无限多个An，又至多不属于有限个An，从而x∈n=
（1）假设埚x∈Q，使x∈limAn，所以埚N＞0，当n＞N
时，有x∈An，特别地，x∈An，x∈An+1，所以埚m1,m2∈Z，使x=
对于单调减少集列｛An｝，同理可证．
m，x=m，所以m=m，从而m=m+m，这与
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3秒自动关闭窗口我从概率论和测度论的关系的角度给你解释一下啊，测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。&br&&br&概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合系”。”事件发生的可能性“是对事件的一种度量，对应到测度论就是“集合的测度”。&br&&br&不是每个事件都可以定义其概率（发生的可能性的大小）的，对应的就是不是每个集合都可以定义测度，可以定义测度集合就是可测集。同时，事件必然要涉及到事件的组合运算（复杂事件是可由基本事件表示出来），对应的就是集合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合，所以又需要保证做可列次这些运算不能超出全体范围（即可测集的范围要足够大，以保证集合的可列次交、并、差、余、极限的运算，之后还在里面）&br&&br&那么什么样的集合系，才能保证其中的集合是可测集（可以定义测度，又对那些运算封闭）呢？测度论中讲了，只要集合系是σ-代数（也叫σ-域）就可以了。σ-代数的基本定义是：1. 全集在里面；2. 里面每个集合的余集在里面；3. 里面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。&br&&br&所以，集合X+该集合上的一个σ-代数F，（X，F）就是一个可测空间了，即可以定义测度的空间（F中任一集合都可以定义其测度（某种度量））。进一步再定义了测度μ，那么（X, F, μ）就是测度空间。&br&&br&对应到概率论中，样本空间Ω，事件域F（是个σ-代数），概率测度P，放一起（Ω，F，P）就是概率测度空间。概率测度P是满足特殊要求的一种测度：P(Ω)=1.&br&&br&Borel Feild就是Borel σ-代数，表示实数轴上的σ-代数，可由实轴上的所有开集生成（的σ-代数），也可由实数轴上所有的(-∞,a]这样的区间生成（σ-代数），是相等的。按σ-代数前面说的，实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、极限集的运算，都超不出该Borel σ-代数的范围。&br&&br&Borel σ-代数（我用Br表示）有什么用？其实概率论中的随机变量，对应测度论中的可测函数，而可测函数就是从可测空间（X，F)到（R，Br）的可测映射。&br&&br&&p&再说说随机变量，前面说了概率论中要用集合表示事件，但事件五花八门，怎么统一用一种简单的集合表示呢？这就用到映射的概念，建立一种从样本空间（基本事件的全体）到实数轴的映射（一一对应）就可以了，这种映射就是随机变量。有了它，基本事件映射到实数轴上就是的基本区间，基本事件经过运算生成的复杂事件，映射到实数轴上就是实数轴上Borel σ-代数中的集合。&/p&&p&因为有了这个对应关系，要度量“事件发生的可能性的大小”（即概率测度），只要度量“实数轴上Borel σ-代数中的集合” 就可以了（前面说了Br因为是σ-代数是可以定义测度的，给Br中的集合定义概率测度就行了）。&/p&&p&所以，随机变量的测度论语言定义是这样的：设（Ω，F，P）为概率测度空间，若对实数轴上Borel σ-代数中的任一集合（称为Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，则称X(w)为随机变量。&/p&&p&总之，随机变量就是建立了“随机事件”到“实数轴上Borel σ-代数”的一种对应，并且保证了建立了这种对应的随机事件都是可以定义概率测度的。&/p&&p&既然随机事件{w∈Ω: x(w) ∈B}属于F，那么可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意义的，为了简单，概率中就记P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。&/p&&p&特别地，若取B=(-∞,x), 则事件{X∈B}的概率&/p&&p&P{X∈B} = P{X≤x} :=
F(x)&/p&&p&就定义成随机变量X的分布函数。因为对任意的区间(a,b], 都可表示成&/p&&p&P{X ∈(a,b] } =
P{a&X≤b} = P{X≤b} - P{X≤a} = F(b)-F(a)&/p&&p&进而，由这样的区间经过至多可列次交、并、差运算的复杂的实数轴上的Borel集都可以用F(x)给出其概率。&/p&
当然，随机变量也可以定义为从样本空间到平面R2上的映射，就是二元随机变量。
我从概率论和测度论的关系的角度给你解释一下啊，测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。 概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合…
有理数集是可列的，测度为 0，和空集的测度相等。&br&无理数集是不可列的，测度非零，但是 &img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-有限的。&br&&br&简单来说，无穷和无穷之间也是有差别的。虽然有无穷多个有理数，但是在无穷多个无理数面前，有理数的无穷太弱了，甚至和「没有」没什么差别。&br&&br&答案是：&br&无理数的概率是 100%&br&有理数的概率是 0%
有理数集是可列的，测度为 0，和空集的测度相等。 无理数集是不可列的，测度非零，但是 \sigma-有限的。 简单来说，无穷和无穷之间也是有差别的。虽然有无穷多个有理数，但是在无穷多个无理数面前，有理数的无穷太弱了，甚至和「没有」没什么差别。 答案是…
没有测度论和有测度论的概率论，大概可以类比微积分和（以定义了实数完备性为主要区别）的数学分析吧。测度论是现代概率论的地基，是严格定义很多事情的前提。地基深可以把房子盖高，但建出多漂亮的房子是概率论自己的事情。&br&----&br&好吧还是展开说一说。按照我本科和PhD所在学校的教学设置，在没有测度论的前提下，一般可以开概率论和应用随机过程。这些课会包含古典/几何概型，常见分布，不证明的大数定律和中心极限定律，马氏链，泊松过程，条件期望和鞅，甚至一点点布朗运动。对不以随机分析和花式scaling limit为方向的人来说，这些已经足够开始科研了。但其实这里很多事情我们都说不清：比如连续变量的条件概率，比如马氏过程常返性中涉及的无穷样本轨道，比如强大数定律a.s.和i.o.……而测度论算是填上了这个背景里的坑。&br&&br&但之所以我们还是兴致勃勃的研究概率论，是因为概率论除了Borel代数上的有限测度有很多概率直观才有的概念，而这些概念往往不需要测度论就可以了解：&br&
上应随时的CDY老师曾经说过，做泛函分析的人们认为马氏链不过是离散空间上的马氏半群/转移矩阵的幂，让他们来研究一下停时看看……&br&
再比如zero大大说的独立性，延伸一下便是鞅和选样定理这个每次用到都觉得神奇的构造。&br&
又或者布朗运动是定义在全体连续函数上的Wiener测度，但几乎处处考虑的都是处处不可微的连续函数，我不知道有多少分析的人，会对这样性质不友好的函数感兴趣。概率里会有不变原理，会有重对数律。&br&&br&事实上，正如广大非数学专业的人们不知道实数系完备定理还是可以使用微积分，学数学的人们也不知道还有多少会每天用到这些。测度论对于概率论也是这么一回事，没学到不用心急，一旦学过以后知道就好了。我老板就曾经感慨过，他已经好几年没有用过测度论了。（不过看在他最近做了有关TASEP的东西，也许要收回这句话了吧）&br&&br&个人观点，其实题主没有必要羡慕一上来就讲实变概率论的班级。我很感谢本科教我概率论的ZFX老师，她一开始就把概率的独有的概念告诉了我们。她在概率论期中出了一道来关于渗流模型需要单调耦合的思想才能解决的附加题。还讲了用概率母函数的不动点解决分支过程的灭绝概率。这些技巧我现在还不时会用到。倒是两年之后她讲基于测度论的高等概率论时，那些fancy的大数定律证明，学过一遍之后基本都忘记了……
没有测度论和有测度论的概率论，大概可以类比微积分和（以定义了实数完备性为主要区别）的数学分析吧。测度论是现代概率论的地基，是严格定义很多事情的前提。地基深可以把房子盖高，但建出多漂亮的房子是概率论自己的事情。 ---- 好吧还是展开说一说。按照…
对了，补个说明。这张图把PDE和SDE联系起来的东西叫&b&Feynman-Kac&/b&&br&&br&&br&我可耻的默认题主是金数方向&br&&br&如其他答主所说，完整学习几乎难入登天，鄙人过去两年里可耻的采取了&b&“面向目标”的学习路径，中间拉下太多相关知识计算基础。请数学专业童鞋随意鄙视，也请学习者在目标完成后切勿忘记回头补充&/b&&br&&br&正确天赋树：&br&&img data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&2448& src=&/1c92a4bbc44_b.jpeg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/1c92a4bbc44_r.jpeg&&&br&&b&如果是面向目标（第一个阶段目标可以定为BSM）的学习方法，则每一层不用完全吃透，只需学到可以点出下一层的程度就可以。&/b&（比如我这个low人）&br&&b&&br&这个树里我没加整个计算机天赋和数学里的线性代数，但这两个是至关重要的。&br&&br&&/b&天赋树最奇葩的就是风险中性那个天赋，好多东西连在一起的。对，这个东西面试时被问到都要准备两套回答：more financial和more math的。&b&深究more math的答案需要死磕下面的鞅论 &/b&(涉及内容：Radon-Nikodym 导数，girsanov测度变换）&br&&br&这个天赋数只是一部分，后面博大精深我正在迷路。虽然怎么走因人而异，但是所有人都得乖乖点出BSM&br&补充一：我粗略的以为MC是利用了随机过程变量的统计特征，故没有专们加入&br&补充二：我把格林函数拉在复变下是因为PDE的解析解是在分离变量法解出三角级数之后再经过傅里叶变换猜得到传导方程格林函数的&br&不要问我是怎么知道的…全是泪&br&补充三：在开始接触随机过程之后，伊藤框架便附骨办伴随整个随机过程的学习
对了，补个说明。这张图把PDE和SDE联系起来的东西叫Feynman-Kac 我可耻的默认题主是金数方向 如其他答主所说，完整学习几乎难入登天，鄙人过去两年里可耻的采取了“面向目标”的学习路径，中间拉下太多相关知识计算基础。请数学专业童鞋随意鄙视，也请学习…
测度测什么？ 我认为是测以下的面积。&br&&br&在&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_486e105c.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&教你炒股票15：没有趋势，没有背驰。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&中，缠师提到过以下的面积定义。&br&&br&首先定义一个概念，称为缠中说禅趋势力度：前一“吻”的结束与后一“吻”开始由短线均线与长期均线相交所形成的面积。&br&&br&这个定义的实例就是下图的两均线相交后所形成的，并以各种颜色标记的区域。&br&&br&&img src=&/bb1dfe18ffd52b99b55752_b.png& data-rawwidth=&1299& data-rawheight=&829& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1299& data-original=&/bb1dfe18ffd52b99b55752_r.png&&&b&把上图的矩形处取出，请诸位用微积分的知识算一下，以下紫色的面积&/b&&b&。这个由黎曼积分就能解决&/b&&b&( 请与下面的&/b&&b&黎曼积分的图进行对比&/b&&b&)&/b&&b&。至于MACD的面积之类的东西，也是一个道理。&/b&&img src=&/b3a3d5a2af2ff_b.png& data-rawwidth=&198& data-rawheight=&152& class=&content_image& width=&198&&&br&&br&黎曼积分的概念&br&&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25BB%258E%25E6%259B%25BC%25E7%25A7%25AF%25E5%& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%A7%AF%E5%88%86&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/c48adca416ddb0dbad0ed19e03f02849_b.png& data-rawwidth=&817& data-rawheight=&164& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&817& data-original=&/c48adca416ddb0dbad0ed19e03f02849_r.png&&&img src=&/cfb2fd0f06a834d6e640_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&193& class=&content_image& width=&220&&&br&缠师经常说，他的理论是欧几里得几何，其实我觉得他的理论更像，&b&分形几何&/b&。&b&分形几何中重要的方法就是测度论。为什么这么说？ 诸位都知道缠论的后半部分有分形，笔，线段与级别之类的东西，这些是与分形几何不谋而合的。或许正因此，缠师才提到用测度论来测试背驰。但缠论又不完全是分形几何。这些只是我个人的观点。&/b&&br&&br&&br&&br&&br&&b&----------更新---------------------&br&&/b&&br&&br&&ul&&li&&u&&a href=&/people/hong-guan-jing-ji-suan-ming-shi& class=&internal&&宏观经济算命椰&/a&在评论中问到，何为力度？ 在这一节准备回答这个问题。&/u&&br&&/li&&/ul&&br&
缠师在缠论中，只谈到力度的定义（也即本文开头处所引的定义），很少谈到为什么力度如此定义之类的话。记得在某处，缠师说过，&b&价格是资本累积出来的&/b&。其实我赞成他的观点。&b&以下结合最基本的经济学（供需理论）与最简单的走势（三段式走势）说说，何为力度？&/b&&br&&br&&br&&b&下图第一张图&/b&，想必大家都知道，就是三段式走势（三浪），这是一个上涨的三浪。交易从原点开始，起初上涨至&img src=&///equation?tex=p_%7B1%7D+& alt=&p_{1} & eeimg=&1&&,然后下跌至&img src=&///equation?tex=p_%7B2%7D+& alt=&p_{2} & eeimg=&1&&, 最后再上涨至&img src=&///equation?tex=p_%7B3%7D+& alt=&p_{3} & eeimg=&1&&,完成整个走势。在整个讨论过程中，我假设这三段式走势，都是因需求的原因，使价格发生变动。&br&&br&&b&第二张图，&/b&是基础的供需曲线图。向下倾斜的是需求曲线，向上倾斜的是供给曲线，它们的交点为供需均衡点&img src=&///equation?tex=%28p_%7B1%7D+%2Cq_%7B1%7D+%29& alt=&(p_{1} ,q_{1} )& eeimg=&1&&。其后的三，四两张图也是供需曲线图，只是需求曲线（因为我上面假设价格的上涨与下跌都是需求引起的）发生了移动，与保留了第二张图中的供需曲线，供比较用。图中的几个字母标记的意思是，T为时间，P为资产价格，Q为数量（或交易量）。&br&&br&&b&第三张图&/b&，因外部需求性的减弱，使需求曲线向左移动，并使均衡点从&img src=&///equation?tex=%28p_%7B1%7D+%2Cq_%7B1%7D+%29& alt=&(p_{1} ,q_{1} )& eeimg=&1&&变化到&img src=&///equation?tex=%28p_%7B2%7D+%2Cq_%7B2%7D+%29& alt=&(p_{2} ,q_{2} )& eeimg=&1&&。&br&&br&&b&第四张图&/b&，因外部需求性的增强，使需求曲线向右移动，并使均衡点从&img src=&///equation?tex=%28p_%7B2%7D+%2Cq_%7B2%7D+%29& alt=&(p_{2} ,q_{2} )& eeimg=&1&&变化到&img src=&///equation?tex=%28p_%7B3%7D+%2Cq_%7B3%7D+%29& alt=&(p_{3} ,q_{3} )& eeimg=&1&&。&br&&br&&img src=&/f2f2cd60a30cf1cb2f5f2e8d5bc372f6_b.png& data-rawwidth=&1672& data-rawheight=&527& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1672& data-original=&/f2f2cd60a30cf1cb2f5f2e8d5bc372f6_r.png&&&br&从上面的分析可见，在图表上显示的价格图（也即第一张图），都与二，三，四中的均衡点一 一对应。它们的对应关系可以表示为：&img src=&///equation?tex=%28t_%7B1%7D%2Cp_%7B1%7D+%2Cq_%7B1%7D%29& alt=&(t_{1},p_{1} ,q_{1})& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=%28t_%7B2%7D%2Cp_%7B2%7D+%2Cq_%7B2%7D%29& alt=&(t_{2},p_{2} ,q_{2})& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=%28t_%7B3%7D%2Cp_%7B3%7D+%2Cq_%7B3%7D%29& alt=&(t_{3},p_{3} ,q_{3})& eeimg=&1&&。可见价格图显示的是供需均衡点的运动轨迹，其本质就是供需理论。&br&&br&&b&最后回到本节的问题，何为力度？
&/b&&br&&br&在缠论中，一般是这么比较力度的，也就是对上图的第一张图中的上涨第一段与上涨第二段进行比较，看有没有盘整背驰。把第一张对应到第四张图，其实也就是比较下图的(这个图是上面的第四张图加了红色向量)使两次需求增加的外部因素，即对图中的两个红色向量进行比较。这就是缠师说的&b&价格是资本累积出来。(个人观点) &/b&&br&&br&&br&&img src=&/5ae7f7a96ab9fe46b49a85f_b.png& data-rawwidth=&519& data-rawheight=&506& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&519& data-original=&/5ae7f7a96ab9fe46b49a85f_r.png&&&ul&&li&&b& 再答&/b&&a href=&/people/hong-guan-jing-ji-suan-ming-shi& class=&internal&&宏观经济算命椰&/a&的评论中问题。&ul&&li&1.测度论，可以说是微积分的进一步深化，只是如果仅仅用到了微积分，那么一般就会说用到了微积分，而不是测度论。所以禅师说用到了测度论，可能用到测度论的一些性质。&/li&&/ul&&/li&&/ul&&br&我曾在本文开头说过用黎曼积分，进行求两均线相交的面积，从数学家的角度看，是不严格的。只是为了传递思想，就说用黎曼积分。其原因是一般价格图上的均线并非是连续函数。数学家都爱谈积分可积性这样的问题。黎曼积分是含有Lebesgue测度为零的Lebesgue积分的特例。具体请看积分的发展史。&a href=&///?target=http%3A///gdsx/station/pages/KCZY/GSGG_05_2.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&北京航空航天大学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&其实我更关心的是，是否有这样的一个几何理论，能用一个方程表达缠论的中枢，级别，走势等。&br&&br&&br&&ul&&li&&b&再再答&a href=&/people/hong-guan-jing-ji-suan-ming-shi& class=&internal&&宏观经济算命椰&/a&&/b&&b&的评论中问题。
2.近似是禅师自己说的，章节我忘了。大概是和MACD放到一起，说都不是精确的定义，只是近似的。&br&&/li&&/ul&&br&我的观点是，走势是重点。也就是没有趋势，没有背驰。问题的重点在走势上，也就是走势的几何分析上。如果能用几何理论，确定各种走势。力度用什么来判断就是很容易的事。因为它们都可以从几何理论中，推出。&br&&br&&br&&b&----------更新---------------------&/b&&br&&ul&&li&&b&回答评论中，&a href=&/people/hong-guan-jing-ji-suan-ming-shi& class=&internal&&宏观经济算命椰&/a&&/b&&b&的问题&/b&，问题大至为，(1)供给曲线和需求曲线都不是线性的和供给和需求曲线都路径依赖的，并且有随机项的因素在里面，均衡点之间的跨度越长，那么路径依赖就越严重
(2)“其实也就是比较下图的(这个图是上面的第四张图加了红色向量)使两次需求增加的外部因素，即对图中的两个红色向量进行比较。”
你文中提到了向量比较，可是怎么比木有说啊？&/li&&/ul&
(1) 供给曲线和需求曲线是都不是线性的。而且还很难确定。其原因是影响供需的外部因数太多（有政治制度，货币政策，社会文化，科技............等）。我们很难直接观察大部分引起供需变化的外部原因（当然一部分的外部原因，可以通过分析经济数据，财务数据等来加深理解），所以就只好在价格上间接的通过力度之类的，来寻找一些市场的信息。我在上面画了三段式的走势图与供需曲线图，只是为了理解力度。并非就真要用它来，构建理论。&br&&br&我觉得如果接受缠师的几何分析理论，应该最好不要有路径依赖这样的观点。为什么？ 缠师的理论不是建立在概率论这样&b&先验性的&/b&理论基础之上的。而是只见当下，不预测走势未来 。这是有别于学术界的现代金融理论。&br&&br& (2) 两个红色向量只是为了说明力度， 我随手画的，也没什么特别的意思。如果你就觉得有意思，就是上面说的引起供需变化的外部因素。&br&&br&&ul&&li&&b&回答评论中&a href=&/people/he-zi-yin-57& class=&internal&&何子垠&/a& 的问题，问题为--&/b&(1)另外，我看了下算命师答案下的评论，有朋友提到量能，可不可以去算个体积。比如用某段双均线包围起来的面积M乘以该时间段内的平均单位成交量V；或者单位时间内的双均线价差P乘以单位时间的成交量v，再求某一时间段T内的Pv之和。(2)可不可以把长期均线当作临界线，线上面积为正数，线下为负数进行求和。比如一段上升波
段双均线围成的面积计为M1，之后进入盘整，短期均线上下穿越长期均线，围起来的面积按正
负求和，得一个值M2。盘整结束后再次上攻，围成的面积计为M3。&/li&&/ul&&br&(1)我自己没算过，不过根据数学分析理论，应该能通过二重积分来计算。首先你先确定三维空间&img src=&///equation?tex=%28T%2C+Q%2CP%29& alt=&(T, Q,P)& eeimg=&1&&,然后把数据映射到三维空间里与在（T，Q）平面坐标中确定两均线的面积为定义域，最后根据二重积分的定义，近似看看。&br&&br&此处是我的胡言乱语：
这么算什么意思？
PQ= 交易金额？
&img src=&///equation?tex=%28p_%7B1%7D+-p_%7B2%7D%29+%5Ctimes+q+& alt=&(p_{1} -p_{2}) \times q & eeimg=&1&&=交易金额的差额？？这个是经济学中的价格指数？？
&img src=&///equation?tex=%28q_%7B1%7D-+q_%7B2%7D%29%5Ctimes++p& alt=&(q_{1}- q_{2})\times
p& eeimg=&1&& =交易金额的差额？？这个是经济学中的物量指数？？ 上面是按照最后这个公式的思路计算的。这几个公式只是简略表达。&br&&br&(2)这个应该与本文开头所算积分的思维差不多，只是被积函数不同，而且你要首先给出这些函数的定义。直观上是不是有点像&img src=&///equation?tex=sin%28x%29& alt=&sin(x)& eeimg=&1&&,当然不是这个函数。下面的图随便找来的！对不起。&img src=&/9bb50bbffb54_b.png& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&200& class=&content_image& width=&300&&&br&&br&----------&b&更新-----------&/b&&br&&b&本次更新，想介绍一些分形几何的重要文献供大家研究。&/b&&br&&br&&br&&b&重点说在前头，缠论是有别于分形几何的。最根本的区别是对外部世界认知的区别。也即缠师解论语时所言的-----&不患，无位；患，所以立。不患，莫己知求，为可知也。& ，还有就是当缠师谈到现代金融理论时，缠师的评价是现代金融理论是先验性的理论。先验性是德国哲学家&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25BC%258A%25E6%259B%25BC%25E7%25BA%25BD%25E5%25B0%%25B7%25E5%25BA%25B7%25E5%25BE%25B7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&伊曼纽尔·康德&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的术语，在此缠师借康德的语言做出了评价。这个评价，我也认为是比较到位的。&/b&&br&&br&&br&缠论中有个术语叫自同构性，分形几何中也有个自相似的概念。想必大家对前者在股市中，有一定的认识。前者就是大级别走势，与放大后的小级别走势有极其相似的结构。后者是在自然界中存在的现象。下面四图中的前两张是最接近生活的。每张图整体的几何形态与把每张图细小部分放大后的形态进行对比，它们都是一样的几何形态。是不是有点像股市？ 如果直观上看不出。请看视频&a href=&///?target=http%3A///programs/view/i6XAm3lpQgk& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&几何分形学（上）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/39e5901021cad0283bcb6fb2369485ca_b.png& data-rawwidth=&275& data-rawheight=&183& class=&content_image& width=&275&&&br&&br&&img src=&/dd7ad5ffd37500d5ceeaed_b.png& data-rawwidth=&275& data-rawheight=&183& class=&content_image& width=&275&&&img src=&/119c3e4bb8fdddd44cf7_b.png& data-rawwidth=&2560& data-rawheight=&1600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2560& data-original=&/119c3e4bb8fdddd44cf7_r.png&&&img src=&/ac0d7c52b916_b.png& data-rawwidth=&284& data-rawheight=&177& class=&content_image& width=&284&&&br&&br&分形几何的创始人为&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%259C%25AC%25E8%258F%25AF%25C2%25B7%25E6%259B%25BC%25E5%25BE%25B7%25E5%258D%259A& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&本华·曼德博&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，数学家，经济学家（有人不认同他做为经济学家，难道只能当个&民间经济学家&？，学术界也是经常内斗的。汉！），其本人曾做为研究员就职于IBM公司。他在现代金融理论中的贡献，应该有这么几点，&br&（1）在金融理论中，时常会用到布朗运动来建立模型，来定价期权。曼德博给出了另一种有力的工具：分形布朗运动。&br& ( 2 ) 资本市场的尾部风险，也即市场不像传统金融理论所假定的那样是正态分布（或随机游走)&br& (3)
时间序列的自相关性。&br&&br&最容易看懂的应该是以下第一本的书，此书是专批建立在概率论基础上的现代金融理论的。如果你对现代金融理论不了解请看第二书或第三的讲义中的参考书。以下都是有点难度的内容。最好你要懂点测度论。测度论（即实变函数论）看下面的视频课程，我是很喜欢吳培元老师的课。&br&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/3898010/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&市场的(错误)行为:风险、破产与收益的分形观点 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
，在这本书的第十一章(？不确定是不是这一章）提到了用三段式走势结构生成，股市价格图的模型。&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/1431584/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&金融经济学十讲 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//scholar.princeton.edu/markus/classes/fin501& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&FIN501: Asset Pricing I&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
Kerry Back (2010), “Asset Pricing and Portfolio Choice Theory”, Oxford University Press &br&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/2778885/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fractals and Scaling In Finance (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&A Multifractal Model of Asset Returns&br&&a href=&///?target=http%3A///Research_II/Mandelbrot/Mandelbrot%2520%28MMAR%2C%2520Multifractal%2520Model%2520of%2520Asset%2520Returns%29.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/Resea&/span&&span class=&invisible&&rch_II/Mandelbrot/Mandelbrot%20(MMAR,%20Multifractal%20Model%20of%20Asset%20Returns).pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//archive.nyu.edu/bitstream//2/wpa99072.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&archive.nyu.edu/bitstre&/span&&span class=&invisible&&am//2/wpa99072.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php%3Fbgid%3D1%26gid%3D1%26nid%3D188%23.Vhm7hfmqpBc& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&國立交通大學開放式課程(OpenCourseWare, OCW)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&實變函數論(一)&br&&a href=&///?target=http%3A//ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php%3Fbgid%3D1%26gid%3D1%26nid%3D233%23.Vhm7iPmqpBc& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&國立交通大學開放式課程(OpenCourseWare, OCW)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&實變函數論(二)
----------（注这部分是泛函分析的内容，如没时间，就不用学。）&br&&br&如果听不懂實變函數論(一)，可能你需要，数学分析的知识，&br&&br&&a href=&///?target=http%3A//ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php%3Fbgid%3D1%26gid%3D1%26nid%3D45%23.VqL_Rfl96Uk& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&國立交通大學開放式課程(OpenCourseWare, OCW)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php%3Fbgid%3D1%26gid%3D1%26nid%3D46%23.VqL_RPl96Uk& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&國立交通大學開放式課程(OpenCourseWare, OCW)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
----这两门讲数学分析（ 教材是Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed）&br&&br&&u&分形几何的专业书&/u&&br&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/1067279/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&大自然的分形几何学 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A///subject/2261630/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&分形几何 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
此书第18.5　金融中的分形--中，提到的一些分形在金融学中的应用。
测度测什么？ 我认为是测以下的面积。 在中，缠师提到过以下的面积定义。 首先定义一个概念，称为缠中说禅趋势力度：前一“吻”的结束与后一“吻”开始由短线均线与长期均线相交所形成的面积。 这个定义的实例就是下图的…
&p&本科初涉泛函分析，硕士搞的运筹与控制，博士宏观经济学，跟泛函分析打了10年交道，嗯。&/p&&p&本科的线性泛函分析，最重要的应用是给线性积分方程和线性偏微分方程打下理论基础的。&/p&&p&非线性泛函分析，最重要的应用，就是非线性动力系统、非线性偏微分方程（PDE）、变分法（工科或者经济学里叫：最优控制）。事实上，&u&&b&PDE和变分法两者之间有着十分深刻的关系&/b&&/u&。（后文细表）&/p&&p&在工程技术或者经济学领域，与泛函分析最密切的应用课题就是&b&最优控制理论（在无限维赋范线性空间中选择最优点，即&极值函数&）&/b&了。一般的最优化理论、运筹学或称数学规划理论，其求解特征以及最优解都具有静态特征（在有限维赋范线性空间中选择最优点）。而最优控制求解的问题本质上都是动态的，直观上看，最优控制问题是在系统的动力学方程约束（微分/差分方程约束、随机微分/差分方程约束）条件下去最优化一个泛函（而非函数）,众所周知，&b&泛函的取值是与系统状态变量的整个路径直接相关的。&/b&&/p&&p&在最优控制理论的研究中，线性泛函分析中闻名遐迩的&b&Riesz-Frechet表示定理、Banach fixed point Theorem、Hahn-Banach定理及等价的所谓分离超平面定理、共轭算子理论；&/b&非线性泛函分析中的&b&Banach空间的微分理论、拓扑度理论&/b&都发挥了重要作用（比如现代变分学中著名的&山路引理&）。其他的泛函分析课题，如谱理论等与最优控制关系不太大，我也了解不深，不加介绍。下面列举几个最优化理论和最优控制理论的经典例子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【1】&/b&.对偶空间、共轭算子理论在Hilbert空间最优化理论中是十分重要的。Linear Manifold（线性流形）下的&b&投影定理&/b&个人认为是最优化理论中最为精巧的定理之一。它特别适合求解如下最优化问题：（绝对值符号代表范数）&/p&&p&&img src=&///equation?tex=min%5Cleft%7C+u+%5Cright%7C+& alt=&min\left| u \right| & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=s.t.%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+y_%7B1%7D+%28t%29u%28t%29dt%3Dc_%7B1%7D+& alt=&s.t.\int_{a}^{b} y_{1} (t)u(t)dt=c_{1} & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+y_%7B2%7D+%28t%29u%28t%29dt%3Dc_%7B2%7D+& alt=&\int_{a}^{b} y_{2} (t)u(t)dt=c_{2} & eeimg=&1&&&/p&&p&细心的同学已经发现了&b&，&/b&约束条件就是两个内积！是一个线性算子的等值面，故而是一个线性流形。线性泛函课程中的投影定理&u&直接&/u&告诉我们，上述最优化问题的解为：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=u%28t%29%3D%5Calpha+y_%7B1%7D+%28t%29%2B%5Cbeta+y_%7B2%7D+%28t%29& alt=&u(t)=\alpha y_{1} (t)+\beta y_{2} (t)& eeimg=&1&&&/p&&p&厉害吧？&/p&&p&线性流形，就是仿射集:affine set。我喜欢叫它线性流形，是因为它听起来更有腔调。嗯。&/p&&p&事实上呢，从初等的&b&微分流形&/b&理论就可以知道，光滑映射的等值面是一个流形（这就是&b&隐函数定理&/b&的&b&拓扑学&/b&意义！）。线性流形就是线性映射的等值面&/p&&p&&b&【2】&/b&.不动点定理，如&b&压缩映射原理&/b&在讨论&b&最优控制&/b&的Bellman方程中具有重要作用。当然还有其他许多不动点定理，有关这一方面的应用很多很多很多。&/p&&p&例：约束条件（s.t.）为随机动力学系统（一般为一个伊藤过程），最大化系统的性能泛函（用初等微积分语言说，就是约束极值问题，只不过这里的约束为微分方程或随机微分方程，目标函数升格为泛函）&/p&&p&&img src=&///equation?tex=maxE%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+e%5E%7B-%5Crho+t%7D+c%28t%29%5E%7B%5Calpha+%7D+dt+& alt=&maxE\int_{0}^{\infty } e^{-\rho t} c(t)^{\alpha } dt & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=s.t.dX%28t%29%3D%5BrX%28t%29-c%28t%29%5Ddt%2B%5Cmu+X%28t%29dW%28t%29& alt=&s.t.dX(t)=[rX(t)-c(t)]dt+\mu X(t)dW(t)& eeimg=&1&&&/p&&p&注意：E为期望算子，W(t)为标准布朗运动。&br&对于这个问题，写出它的HJB方程，然后尝试压缩映射迭代！当然不一定总成功！&/p&&p&压缩映射原理，就是所谓的Banach不动点定理。&b&在最优控制问题的研究中，我们经常要运用此定理，还有Brouwer不动点定理、Lery-Schaulder不动点定理论证方程的可解性。&/b&当这些定理都失效时，作为终极手段，我们还有最后的大招：&b&拓扑度理论&/b&（拓扑学里喜欢叫映射度理论）比如，在最优控制的研究中，我们经常碰到一些复杂的算子方程。&b&如何确定最优控制问题有解，往往化归为不动点问题。&/b&如果情况复杂，拓扑度一般作为解决此类问题的终极手段，其朴素思想来自于&b&复分析&/b&中的环绕数。&b&所谓拓扑方法，即证明deg(f,Ω,p)不为0来说明算子方程解的存在性。&/b&核心方法就是构造同伦，与恒等映射联系起来（这样拓扑度就是1，算子方程有解），或者与某个已知的简单映射联系起来，然后根据简单映射的Jacobi行列式计算拓扑度。对于无穷维空间，基本思路就是先证明算子是紧的，再想办法将拓扑度与恒等映射紧同伦起来。&/p&&p&再比如，在&b&非线性动力学&/b&问题中，研究周期轨道的存在性与稳定性，学过常微分方程的话，首先想到的是&b&Poincare映射&/b&，即首次返回映射。研究Poincare映射的不动点，证明不动点存在等等（Brouwer不动点定理笑了）。&/p&&p&当然，这里既然提到了随机微分方程，那我顺便说下，有的时候我们求解随机微分方程的过程中，会遇到偏微分方程的问题。在物理学、经济学中，偏微分方程也很常见。微分方程的求解也可以通过其等价的算子形式，运用&b&无限维空间的Newton迭代法求解。&/b&这也是建立在泛函分析的赋范线性空间的微分理论基础之上的。&br&&b&【3】&/b&.Banach空间微分学（变分法的理论基石）对于可微泛函的&b&严格&/b&讨论，需要Lebesgue控制收敛定理等实变函数的内容。&br&PS：不过可以认为，&b&不严格&/b&的讨论（只是应用的话），实分析倒不必要。这也是为什么实分析是判断一个人数学素养的关键课程&b&之一&/b&。&br&&b&【4】&/b&.将最优化理论中最重要（没有之一）的&b&Kuhn-Tucker定理&/b&推广到无穷维空间，需要有对偶空间和&b&Hahn-Banach定理&/b&的深刻认识，比如&b&拉格朗日乘子就是属于共轭空间的一个元素&/b&等等。&b&为什么要把Kuhn-Tucker定理推广到无穷维空间？拜托，最优控制问题就是无穷维空间的非线性规划！&/b& &/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-853aeb950afd694e4dafa_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&787& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&787& data-original=&/v2-853aeb950afd694e4dafa_r.png&&&p&对于拉格朗日乘子与共轭空间的关系，并不是那么显然的。这个问题在普通的非线性规划问题中体现不出来，原因是古典的非线性规划问题局限于R^n空间，而R^n空间的共轭空间是他自身(等距同构)&b&.但是在泛函优化问题中，拉格朗日乘子在哪个空间是非常重要的，这直接影响Lagrange泛函的构造！&/b&&br&测度论，在&b&高等概率论、高等随机过程（随机微分方程）&/b&里有大量应用。（同样的，想要&b&不严格&/b&地掌握诸如&b&Ito&/b&公式这样的随机分析内容，其实也不用测度论或者实变函数）&br&&b&【5】Hilbert空间的最优化问题&br&&/b&许多统计学中的优化问题可以使用共轭空间理论简洁地解决。&/p&&p&说到统计学，我的一个数理统计学博士朋友在做&b&机器学习&/b&做&b&变分贝叶斯推断，&/b&我虽然不懂机器学习，但我看过他的文章，用的也是最基础的泛函优化问题。&/p&&p&泛函分析的应用太多了，以上只是最优化理论部分，还有讨论某些&b&复杂数值算法&/b&的发散性问题、&b&积分方程、偏微分方程、随机微分方程&/b&、&b&非线性控制论&/b&部分（这部分对&b&拓扑学&/b&的要求非常高），以后有空再补充吧，希望能激发一下后生们学习泛函分析的兴趣。&/p&&p&最后我再对上文划线的那句话做出一个简短解释。&/p&&p&我们想要求&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dlnx-x& alt=&f(x)=lnx-x& eeimg=&1&&的极值，一阶条件是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+-1%3D0& alt=&\frac{1}{x} -1=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&在初涉微分学的时候，我们几乎没有人会意识到这个操作具有什么深刻含义。&b&事实上，这个步骤反映了方程和优化之间的某种对应关系&/b&。我们想要求一个&b&函数&/b&的极值，一阶条件就&b&等价于&/b&求解一个&b&代数方程&/b&。推广到无穷维空间，就是说，我们想要求一个&b&泛函&/b&的极值，一阶条件就等价于求解一个&b&微分方程（ODE或者PDE）&/b&。&/p&&p&&b&一个非线性微分方程是非常难解的&/b&，甚至是&b&无解析解&/b&的，但我们依然需要知道解的某些性质。怎么办？我们可以绕过这道坎，转而去求解一个泛函极值（或者更一般的临界点）问题，让泛函取到极值（或者临界点，有些泛函无上下界，却有临界点，可以用所谓的Nehari流形来寻找泛函的临界点）的那个函数，就是对应非线性微分方程的解。&/p&&p&有关&b&非线性泛函分析&/b&与拓扑学在高维流形上的非线性动力学中的应用，请参考我的另一篇文章&a href=&/p/& class=&internal&&非线性科学中现代数学的力量——一个综述&/a&。&/p&
本科初涉泛函分析，硕士搞的运筹与控制，博士宏观经济学，跟泛函分析打了10年交道，嗯。本科的线性泛函分析，最重要的应用是给线性积分方程和线性偏微分方程打下理论基础的。非线性泛函分析，最重要的应用，就是非线性动力系统、非线性偏微分方程（PDE）、…
数学分析（一元和多元微积分的严格理论）是基础。&br&勒贝格积分是黎曼积分（出现在数学分析里）的推广。&br&实分析一般指的是R上的Lebesgue测度和Lebesgue积分，以及相关的性质。所以勒贝格积分是实分析的一部分。如果硬要把两者分开，那么先有勒贝格积分，后有实分析。（在北大的语境里，这部分叫做实变函数论，而实分析指的是调和分析）&br&测度论基本是把实分析的内容抽象到一般空间上，所以是实分析的后置。（不过我是反过来学的，先学测度论，后学实变函数，所以实变理解起来没什么难度，虽然分析技巧练得不好）&br&传统意义上的测度论主要用在概率的严格理论上，所以纯数的学生一般不学。&br&泛函分析主要是数学分析和高等代数的后续，也牵扯一些点集拓扑。实分析提供了一些例子，比如Lp空间。所以一般都是先学实分析，后学泛函分析。&br&&br&总体顺序是&br&数学分析-&（勒贝格积分）-&实分析，后面分别指向测度论和泛函分析。&br&北大的开课顺序是：大一上、大一下、大二上：数学分析；大三上：实变函数（包括勒贝格积分）；大三下：泛函分析、测度论。
数学分析（一元和多元微积分的严格理论）是基础。 勒贝格积分是黎曼积分（出现在数学分析里）的推广。 实分析一般指的是R上的Lebesgue测度和Lebesgue积分，以及相关的性质。所以勒贝格积分是实分析的一部分。如果硬要把两者分开，那么先有勒贝格积分，后有…
&img src=&/66eb0d1b1a7d_b.jpg& data-rawheight=&686& data-rawwidth=&495& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&495& data-original=&/66eb0d1b1a7d_r.jpg&&
其实没什么关系, 只是名字比较像.&br&&br&粗略地说, &b&度量空间&/b&是能在上面定义收敛, 连续概念的空间, 比度量空间更一般的空间是&b&拓扑空间&/b&, 在拓扑空间上也能定义收敛和连续概念. 而&b&测度空间&/b&是能在上面定义(Lebsegue)积分的空间.&br&&br&&b&定义. &/b&(度量空间) &img src=&///equation?tex=%28X%2Cd%29& alt=&(X,d)& eeimg=&1&&是一个集合, 其中的元素叫作&b&点&/b&, 连同一个&b&距离函数&/b&或&b&度量&/b&&img src=&///equation?tex=d%3AX%5Ctimes+X%5Cto+%5B0%2B%5Cinfty%29& alt=&d:X\times X\to [0+\infty)& eeimg=&1&&, 它把&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&中的每一对点&img src=&///equation?tex=x%2Cy& alt=&x,y& eeimg=&1&&指派到一个非负的实数&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cy%29& alt=&d(x,y)& eeimg=&1&&, 而且度量必须满足下述四条公理:&br&&ol&&li&对于任意的&img src=&///equation?tex=x%5Cin+X& alt=&x\in X& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cx%29%3D0& alt=&d(x,x)=0& eeimg=&1&&.&/li&&li&(正性) 对于不同的&img src=&///equation?tex=x%2Cy%5Cin+X& alt=&x,y\in X& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cy%29%3E0& alt=&d(x,y)&0& eeimg=&1&&.&/li&&li&(对称性) 对于&img src=&///equation?tex=x%2Cy%5Cin+X& alt=&x,y\in X& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cy%29%3Dd%28y%2Cx%29& alt=&d(x,y)=d(y,x)& eeimg=&1&&.&/li&&li&(三角不等式) 对于&img src=&///equation?tex=x%2Cy%2Cz%5Cin+X& alt=&x,y,z\in X& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cz%29%5Cleq+d%28x%2Cy%29%2Bd%28y%2Cz%29& alt=&d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)& eeimg=&1&&.&/li&&/ol&在很多情况下, 度量&img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&是明确的, 从而我们把&img src=&///equation?tex=%28X%2Cd%29& alt=&(X,d)& eeimg=&1&&简写为&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&&br&&br&&b&例. &/b&(实直线) 设&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathbf{R}& eeimg=&1&&是实数集, 并设&img src=&///equation?tex=d%3A%5Cmathbf%7BR%7D%5Ctimes+%5Cmathbf%7BR%7D%5Cto%5B0%2C%2B%5Cinfty%29& alt=&d:\mathbf{R}\times \mathbf{R}\to[0,+\infty)& eeimg=&1&&是度量&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cy%29%3A%3D%7Cx-y%7C& alt=&d(x,y):=|x-y|& eeimg=&1&&, 那么&img src=&///equation?tex=%28%5Cmathbf%7BR%7D%2Cd%29& alt=&(\mathbf{R},d)& eeimg=&1&&是度量空间, 我们把&img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&叫做&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathbf{R}& eeimg=&1&&上的&b&标准度量&/b&.&br&&br&&b&例. &/b&(Euclidean 空间) 设&img src=&///equation?tex=n%5Cgeq+1& alt=&n\geq 1& eeimg=&1&&是正数, 并设&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D%5En& alt=&\mathbf{R}^n& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&元有序实数组的空间:&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D%5En%3A%3D%5C%7B%28x_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%3Ax_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D%5C%7D.& alt=&\mathbf{R}^n:=\{(x_1,\cdots,x_n):x_1,\cdots,x_n\in\mathbf{R}\}.& eeimg=&1&&&br&定义&b&Euclidean度量&/b&(也叫作&img src=&///equation?tex=d_%7Bl%5E2%7D& alt=&d_{l^2}& eeimg=&1&&度量) &img src=&///equation?tex=d_%7Bl%5E2%7D%3A%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5Ctimes+%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5Cto%5B0%2C%2B%5Cinfty%29& alt=&d_{l^2}:\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n\to[0,+\infty)& eeimg=&1&&为&br&&img src=&///equation?tex=d_%7Bl%5E2%7D%28%28x_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%2C%28y_1%2C%5Ccdots%2Cy_n%29%29%3A%3D%5Csqrt%7B%28x_1-y_1%29%5E2%2B%5Ccdots%2B%28x_n-y_n%29%5E2%7D%3D%5Cbigg%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i-y_i%29%5E2%5Cbigg%29%5E%7B1%2F2%7D& alt=&d_{l^2}((x_1,\cdots,x_n),(y_1,\cdots,y_n)):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}=\bigg(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\bigg)^{1/2}& eeimg=&1&&&br&&br&&b&定义. &/b&(&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-代数) 设&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是集合,
一个在&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上的&b&&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-代数&/b&是&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的子集族&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&满足下述性质:&br&&ol&&li&(空集) &img src=&///equation?tex=%5Cemptyset%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\emptyset\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&&/li&&li&(补集) 如果&img src=&///equation?tex=E%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&E\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&, 那么它的补集&img src=&///equation?tex=E%5Ec%3A%3DX%5Csetminus+E& alt=&E^c:=X\setminus E& eeimg=&1&&也在&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&中.&/li&&li&(可数并) 如果可数个集合&img src=&///equation?tex=E_1%2CE_2%2C%5Ccdots%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&E_1,E_2,\cdots\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&, 那么它们的并集&img src=&///equation?tex=%5Ccup_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+E_n%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\cup_{n=1}^\infty E_n\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&.&/li&&/ol&我们把集合&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&和在其上的&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-代数&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&组成的序偶&img src=&///equation?tex=%28X%2C%5Cmathcal%7BB%7D%29& alt=&(X,\mathcal{B})& eeimg=&1&&叫做&b&可测空间&/b&(measureable space).&br&&br&&b&例.&/b& 给定任意集合&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&, &b&平凡代数&/b&&img src=&///equation?tex=%5C%7B%5Cemptyset%2CX%5C%7D& alt=&\{\emptyset,X\}& eeimg=&1&&和&b&离散代数&/b&&img src=&///equation?tex=2%5EX%3A%3D%5C%7BE%3AE%5Csubset+X%5C%7D& alt=&2^X:=\{E:E\subset X\}& eeimg=&1&&都是&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上的&b&&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-&/b&代数.&br&&br&&b&例. &/b&(Lebesgue 代数) 设&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%5B%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed%5D& alt=&\mathcal{L}[\mathbf{R}^d]& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed& alt=&\mathbf{R}^d& eeimg=&1&&的所有Lebesgue可测子集构成的集合,
那么&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%5B%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed%5D& alt=&\mathcal{L}[\mathbf{R}^d]& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed& alt=&\mathbf{R}^d& eeimg=&1&&上的&b&&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-&/b&代数.&br&&br&&b&定义. &/b&(可数可加的测度) 设&img src=&///equation?tex=%28X%2C%5Cmathcal%7BB%7D%29& alt=&(X,\mathcal{B})& eeimg=&1&&是可测空间, 在&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&上的可数可加的测度&img src=&///equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&&,或简称为测度, 是一个映射&img src=&///equation?tex=%5Cmu%3A%5Cmathcal%7BB%7D%5Cto%5B0%2C%2B%5Cinfty%29& alt=&\mu:\mathcal{B}\to[0,+\infty)& eeimg=&1&&满足下面公理：&br&&ol&&li&(空集) &img src=&///equation?tex=%5Cmu%28%5Cemptyset%29%3D0& alt=&\mu(\emptyset)=0& eeimg=&1&&.&/li&&li&(可数可加性) &img src=&///equation?tex=E_1%2CE_2%2C%5Ccdots%2C%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&E_1,E_2,\cdots,\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&是可数个互不相交的可测集序列, 那么&img src=&///equation?tex=%5C%28%5Cmu%28%5Ccup_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+E_n%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cmu%28E_n%29%5C%29& alt=&\(\mu(\cup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\)& eeimg=&1&&.&/li&&/ol&三元组&img src=&///equation?tex=%28X%2C%5Cmathcal%7BB%7D%2C%5Cmu%29& alt=&(X,\mathcal{B},\mu)& eeimg=&1&&, 这里&img src=&///equation?tex=%28X%2C%5Cmathcal%7BB%7D%29& alt=&(X,\mathcal{B})& eeimg=&1&&是可测空间以及&img src=&///equation?tex=%5Cmu%3A%5Cmathcal%7BB%7D%5Cto%5B0%2C%2B%5Cinfty%29& alt=&\mu:\mathcal{B}\to[0,+\infty)& eeimg=&1&&是可数可加的测度, 叫做&b&测度空间&/b&.(measure space).&br&&br&注意测度空间与可测空间的区别, 可测空间是能在上面定义测度, 测度空间是已经在上面定义了测度.
其实没什么关系, 只是名字比较像. 粗略地说, 度量空间是能在上面定义收敛, 连续概念的空间, 比度量空间更一般的空间是拓扑空间, 在拓扑空间上也能定义收敛和连续概念. 而测度空间是能在上面定义(Lebsegue)积分的空间. 定义. (度量空间) (X,d)是一个集合, 其…
&p&作为一个学物理的谈谈自己的感受，因为只看过教科书，没有看过论文，所以都是些很老的东西，离数学大佬的前沿很远，所以比较trival，有不对的地方欢迎指正。&/p&&p&在复变函数论中我们算出了菲涅耳积分：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csin+x%5E2dx%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Ccos+x%5E2dx%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D& alt=&\int_{-\infty}^{+\infty}\sin x^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}& eeimg=&1&&&p&由这个东西可以给出物理书上所谓的wick转动：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7De%5E%7B-x%5E2%7Ddx%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%3D%3E%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7De%5E%7Bix%5E2%7Ddx%3D%5Csqrt%7B%5Cpi+i%7D& alt=&\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}=&\int^{+\infty}_{-\infty}e^{ix^2}dx=\sqrt{\pi i}& eeimg=&1&&&p&但是事情不是这么简单的，因为从勒贝格积分的角度来说，菲涅耳积分其实应该是发散的。&/p&&p&大家都知道黎曼积分里面可积不一定绝对可积，而勒贝格积分里面二者却是等价的，因为勒贝格积分把正负两部分分开算然后相减。&/p&&p&于是&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cmax%28%5Csin+x%5E2%2C0%29dx& alt=&\int_{-\infty}^{+\infty}\max(\sin x^2,0)dx& eeimg=&1&&
和&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D-%5Cmin%28%5Csin+x%5E2%2C0%29dx& alt=&\int_{-\infty}^{+\infty}-\min(\sin x^2,0)dx& eeimg=&1&&
都是发散的。&/p&&p&这就尴尬了，不是标榜勒贝格积分比黎曼积分更高明吗？怎么一个黎曼可积的东西却勒贝格不可积了？&/p&&p&如果只是发生在欧氏空间里，那么问题好解决，既然黎曼积分还能用，我们就暂时不去理勒贝格积分嘛。&/p&&p&可惜的是在巴拿赫空间中，我们不吃你这一套，你没有坐标系，定义不了长方体区域，那么用什么做划分，没有划分谈什么黎曼积分。&/p&&p&于是我们尴尬地发现我们只有勒贝格积分可以用了，唯一的出路就是寻找一个巴拿赫空间中的测度，而且由于无限维空间的特点，我们还不能定义齐次平移不变的勒贝格测度，只能定义有限测度，当然有限测度基本上就等价于概率测度，无非就是一个归一化常数的问题。&/p&&p&所以形如&img src=&///equation?tex=%5Cint_Ve%5E%7B-S%7DDx& alt=&\int_Ve^{-S}Dx& eeimg=&1&& 的路径积分是好解决的，因为高斯积分本来就长得像一个概率测度：&/p&&img src=&///equation?tex=dP%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7De%5E%7B-x%5E2%7Ddx& alt=&dP=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}dx& eeimg=&1&&&p&于是这种情况下我们依照定义柱集，定义限制在柱集中的测度，定义外测度，证明外测度是测度的程序就可以构造一个巴拿赫空间中的测度了。&/p&&p&但对于形如&img src=&///equation?tex=%5Cint_Ve%5E%7BiS%7DDx& alt=&\int_Ve^{iS}Dx& eeimg=&1&& 的路径积分就比较尴尬了，因为在柱集中的积分，从勒贝格的角度看都是发散的，这套程序就完蛋了。于是物理学家的wick转动就成了一句空话。&/p&&p&那么问题就是是否能够扩大测度的定义使得：&/p&&img src=&///equation?tex=dP%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+i%7D%7De%5E%7Bix%5E2%7Ddx& alt=&dP=\frac{1}{\sqrt{\pi i}}e^{ix^2}dx& eeimg=&1&&&p&也能被看作一个测度，如果是，这个测度上的积分怎么定义（依照勒贝格积分广义测度都是要化成正负部的积分最后相减的，于是此测度的实部与虚部对实数集的测值既不是正无穷也不是负无穷，在实变函数论中，直接否决这种测度存在），扩展积分定义以后你能不能保证定义的外测度就是测度？&/p&&p&我认为现有测度论，对正测度是基本完美的，但对于广义测度，复值测度，以及谱族（投影算子值测度）都还有点乏力。因为它们无法自己定义积分都必须回到正测度上，而且在处理无限上都有缺陷。&/p&&p&最后菲涅耳积分其实是站在发散与收敛的边界线上：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-ax%5E2%7Ddx& alt=&\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}dx& eeimg=&1&&&p&我们可以看出a的取值在虚轴那里有一条分界线，左边肯定发散（而且发散得很快），右边肯定收敛（而且收敛得很快），但自己却非常临界，黎曼收敛勒贝格发散。&/p&
作为一个学物理的谈谈自己的感受，因为只看过教科书，没有看过论文，所以都是些很老的东西，离数学大佬的前沿很远，所以比较trival，有不对的地方欢迎指正。在复变函数论中我们算出了菲涅耳积分：\int_{-\infty}^{+\infty}\sin x^2dx=\int_{-\infty}^{+\inf…
&p&谢邀：简单的回答：不是。 根据（Rudin的书）定义， 一个Borel测度&img src=&///equation?tex=%28%5Cmu%2CB%29& alt=&(\mu,B)& eeimg=&1&& 中的 &img src=&///equation?tex=%5Csigma-& alt=&\sigma-& eeimg=&1&& 代数 &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 是包含全部开集的最小的 &img src=&///equation?tex=%5Csigma-& alt=&\sigma-& eeimg=&1&& 代数：也就是Borel集。这里 &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 必须是刚刚好的Borel集。 而Lebesgue测度则是一个&b&包含了borel集合的“完备”测度&/b&。本质上，任何一个Lebesgue可测集合 &img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&& 都可以表示成一个Borel集合和一个0测度集合（两者不相交）的并集，或者一个Borel集合减去一个0测度集合。这就是测度的正则性。也就是说，它是一个Borel测度的“完备化”，由于 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%5En%7D& alt=&\mathbb{R^n}& eeimg=&1&& 上的Borel测度不是完备的，自然包含了一些非Borel集。我们可以写成 &img src=&///equation?tex=%5Coverline%7B%5Cmu%7D%3Dm& alt=&\overline{\mu}=m& eeimg=&1&& 。值得一提的是， &img src=&///equation?tex=m_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7D%5Cneq+m_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5Ctimes+m_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D& alt=&m_{\mathbb{R}^2}\neq m_{\mathbb{R}}\times m_{\mathbb{R}}& eeimg=&1&& 而是它们的完备化。这个错误也是初学者容易搞糊涂的，也就是高维的Lebesgue测度不是低维度的Lebesgue测度的积。 &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&下面是复杂的回答了：&/b&&/p&&p&回到周民强的书，他的确说了这样一句话：&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-48e8e84f36eed07c072972_b.png& data-rawwidth=&2454& data-rawheight=&258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2454& data-original=&/v2-48e8e84f36eed07c072972_r.png&&&p&这句话就很有意思了，我们必须回到一个很傻逼的问题上：&b&什么是测度？不同的书的逻辑不一样的，我们来看看：&/b&&/p&&p&rudin的书上测度的定义是这样的：&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-2ba8e5a3f0b8658eff6b0c_b.png& data-rawwidth=&1522& data-rawheight=&744& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1522& data-original=&/v2-2ba8e5a3f0b8658eff6b0c_r.png&&&p&记住一个简单的事情：&b&函数是必须先有定义域，定义域不同，那么函数就是不同的&/b&。所以，必须现有 &img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&& -代数才能定义测度（在rudin的逻辑下，这个定义和逻辑也是国际通用的）。然后rudin的书上Lebesgue measure一开始就不是定义在borel上的。&/p&&p&&br&&/p&&p&让我们看看Evans： 它的测度其实就是周的外测度，简单粗暴。&/p&&img src=&/v2-de438a275e23b34c7cdee_b.png& data-rawwidth=&1422& data-rawheight=&466& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1422& data-original=&/v2-de438a275e23b34c7cdee_r.png&&&p&周的定义呢？最模糊的就是他了&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-dad5f236ad90d03fbfef1b51aec6099b_b.png& data-rawwidth=&2030& data-rawheight=&356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2030& data-original=&/v2-dad5f236ad90d03fbfef1b51aec6099b_r.png&&&p&&b&他的lebesgue测度定义是依赖于外测度的。对&/b&于一般的测度看起来也没问题：&/p&&img src=&/v2-dc28bfe00cc6e3df101bb1a746a23295_b.png& data-rawwidth=&2074& data-rawheight=&754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2074& data-original=&/v2-dc28bfe00cc6e3df101bb1a746a23295_r.png&&&p&但是，这个定义给人一种测度是独立于“定义域”的感觉。不过按照这个定义，lebesgue测度也不该是borel测度，因为前者的定义域比后者大。当然了，作者也可能是这个意思：&b&我们把勒贝格测度限制到borel集合上，它是一个borel测度。&/b&这个回答是最精确的。 &/p&
谢邀：简单的回答：不是。 根据（Rudin的书）定义， 一个Borel测度(\mu,B) 中的 \sigma- 代数 B 是包含全部开集的最小的 \sigma- 代数：也就是Borel集。这里 B 必须是刚刚好的Borel集。 而Lebesgue测度则是一个包含了borel集合的“完备”测度。本质上，任何…
【更新注目：1) 修正了「可列样本空间不存在概率」这个重大错误；2) 补充了关于概率极限行为的研究】&br&&br&这个问题缺少定义，因为在可列集中没有「这种概率」。&br&&br&概率是一种测度。如 @甘辛 @吴昊 所答，&b&概率测度&/b& ( &a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25A6%%258E%2587& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E6%A6%82%E7%8E%87&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ) 必须满足&b&非负性&/b&、&b&规范性&/b&和&b&可列可加性 / 完全可加性&/b& ( &a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%258F%25AF%25E5%258A%25A0%25E6%& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E5%8F%AF%E5%8A%A0%E6%80%A7&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& )，但是对于有理数集这种可列样本空间，好像不存在&u&既满足这三个性质，又使得每个样本点的概率相等&/u&的「均匀」测度 (这种每个样本点被赋予相等概率的情况，称为「&b&随机样本&/b&」)，所以在有理数集中没有这样的概率问题。要想定义概率，就只能让每个有理数被抽中的概率不尽相等，这样就违悖了问题「随机抽样」的本意。&br&&br&以上三种性质为什么必须满足？简单解释一下三种性质的含义你就知道了：&br&1. &b&非负性&/b&：任何一个事件的概率，不管是多少，总不能是负数吧？&br&2. &b&规范性&/b&：样本点的总体，也就是样本空间，作为必然事件，其概率为 1，这很合理吧？&br&3. &b&可列可加性 / 完全可加性&/b&：把一列互不相交的事件的概率加起来，应该等于这列事件合起来的大事件的概率吧？&br&&br&据我所知，目前只有建立在&b&非标准分析&/b&之基础上的非标准概率论能够直接讨论这种特殊的概率问题。非标准分析引入了一个&b&超实数&/b&——无穷大 Ω (这在标准的数学分析里并&u&不是一个实数&/u&)，以及另一个超实数 1/Ω，称为无穷小 (同样原本不是一个实数，&a href=&/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/2045&/span&&span class=&invisible&&4375/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&)。无穷大和无穷小都不止一个。在这个体系中，本问题的答案是一个无穷小 (≥ 1/Ω)。&br&&br&-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&这个问题的样本空间不是有限集合，所以&u&不是古典概型&/u&问题，不能用整数和有理数的数量来作比较。&br&这个问题的样本空间不包含开子集，所以&u&不是几何概型&/u&问题，不能用整数集和有理数集在实数集上的长度测度 (都是 0) 来作比较。&br&&br&&i&怎么办？就此罢休？你肯定不甘心&/i&。为了理解这种问题中的「概率」，可以转而研究概率的&b&极限行为&/b&。比如本问题可以这样研究：考虑有理数集的子集列 Q_n := {分子和分母都不大于 n 的分数}，n∈N，即&br&&img src=&/d4dd30d7ec89_b.jpg& data-rawwidth=&322& data-rawheight=&47& class=&content_image& width=&322&&这个集列是&u&上升的&/u& (即后面的包含前面的)，并且&u&收敛到有理数集 Q&/u&。&br&虽然在 Q 上不存在「均匀」的概率测度，但是在每一个 Q_n 上都存在，而且是古典概型，所以可以定义「在样本空间 Q_n 中抽到整数」的概率。&u&记这个概率为 &b&p(n)&/b&&/u&，然后研究，随着选取范围的扩大，即当 n 越来越大，p(n) 有怎样的极限行为。&br&实际上，在 Q_n 中恰有 2n+1 个整数，而 Q_n 的样本点总数 |Q_n| 不少于 (4n+1) + 4n×1/2 + 4n×2/3 + 4n×4/5 + ··· + 4n×(s-1)/s 。其中 n ≥ s，s 为素数，以 1 为分子或分母的数为 4n+1 个，以 s 为分子或分母的既约分数不少于 4n×(s-1)/s 个。将上式缩小，即&br&|Q_n|&br&＞ 4n + 4n×1/2 + 4n×2/3 + 4n×4/5 + ··· + 4n×(s-1)/s &br&＞ 4n + 4n×1/2 + 4n×1/2 + 4n×1/2 + ··· + 4n×1/2&br&＝ 4n + 2nπ(n)&br&＞ 4π(n) + 2nπ(n)&br&＝ (2n+4) · π(n)，&br&对任意 n ≥ s ≥ 2。其中 &b&π(n)&/b& 为&b&数论函数&/b&，表示不大于 n 的素数个数。所以&br&&img src=&/caf244cae2459857_b.jpg& data-rawwidth=&379& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&379&&由于素数是无穷多的，所以对上式两端取极限就得到&img src=&/91ff8cbc9f4bfd04cf70a7d9e881ac2f_b.jpg& data-rawwidth=&141& data-rawheight=&38& class=&content_image& width=&141&&也就是说，随着选取范围的扩大，抽中整数的概率趋近于 0 ——但是这句话仅对集列 {Q_n} 有效，因为从不同的方向扩大选取范围时，得到的概率极限行为是不同的。由于整数与有理数皆可列，所以对于任意不大于 1 的正有理数 a，都可构造出一个&u&收敛到 Q 的上升集列&/u&，使得相应的选中整数的概率 p(n) → a，当 n→∞。甚至不排除这种可能：存在收敛到 Q 的上升集列 {A_n}，相应的 {p(n)} 是发散数列。
【更新注目：1) 修正了「可列样本空间不存在概率」这个重大错误；2) 补充了关于概率极限行为的研究】 这个问题缺少定义，因为在可列集中没有「这种概率」。 概率是一种测度。如 @甘辛 @吴昊 所答，概率测度 (
) 必须满足非负性、规范性…
一个研二的渣渣随便说说，我虽然比较渣，导师还是蛮牛的，研究方向就是Stochastic Analysis、SDEs、SPDEs等等，目前发表了30多篇SCI。所以说一下导师的建议，请相信我的导师。&br&首先，我们选的专业课有：&u&测度论、随机过程&/u&、泛函分析、&u&布朗运动、随机分析&/u&、连续时间马氏链、点过程与更新理论、&u&随机微分方程&/u&。（下划线是个人认为很重要的科目）。&br&&br&老师挂在嘴边的几句话：看不懂就多看几遍，哪怕一学期完全只看懂一本书；书要换着看，这本书看不懂就换一本书（后果是答主隔一段时间就得去打印书籍，哭~）；这个方向基础得打好，不要急着看论文（ps：搞方程的同学论文已经投稿了，我还在看书，哭~~~）&br&有哪些书籍呢？&br&&img data-rawheight=&2448& data-rawwidth=&3264& src=&/a49d43bc5d2f2c4dba1d2d6f60c9bbc3_b.jpeg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/a49d43bc5d2f2c4dba1d2d6f60c9bbc3_r.jpeg&&&img data-rawheight=&2448& data-rawwidth=&3264& src=&/4d33d626a6e64de1ce27b_b.jpeg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/4d33d626a6e64de1ce27b_r.jpeg&&&img data-rawheight=&2448& data-rawwidth=&3264& src=&/3f04ffe21d9ea620f06f08_b.jpeg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/3f04ffe21d9ea620f06f08_r.jpeg&&&br&这是我手边的书籍，还有一部分在宿舍，还有一部分是电子版，只因为老师说：书得换着看，呜呜....&br&程士宏的测度论是本科教材比较简单，打基础（推荐）、毛老师的SDE看的最多，里面的证明很详细（推荐）、还有Fima C Klebaner的看得也挺多的，有的书籍只是看了某一章。一般都是导师指明某本书的某一章，然后我再去啃，偶尔看几篇相关论文（也是老师给的）。&br&&br&楼主如果是完全自学的话。我建议看毛老师的书，看完后找毛老师的相关论文看。我觉得这个方向挺难得，挺佩服楼主的。&br&希望可以帮到楼主。&br&======================================================&br&后来我发现，隐藏了一堆各个高校的大学霸，他们秉承数学系一贯风格：惜字如金，足够低调。所以我不敢再卖弄了。&br&&br&&br&&br&有熟人，匿了
一个研二的渣渣随便说说，我虽然比较渣，导师还是蛮牛的，研究方向就是Stochastic Analysis、SDEs、SPDEs等等，目前发表了30多篇SCI。所以说一下导师的建议，请相信我的导师。 首先，我们选的专业课有：测度论、随机过程、泛函分析、布朗运动、随机分析、连…
&p&我们其实无法回答这个疑问本身。&/p&&p&我们只能是发展出一套理论，在这套理论之下，规避掉这个问题。&/p&&p&这个理论的核心就是，测度只能在可列个不交的可测集上相加。&/p&&p&为什么要有这个理论？其实就是因为你的提问。&/p&&br&&p&因为直线的面积是零，而由无数条线组成的平面图形面积不是0.&/p&&p&所以，如果你要建立一套好的测度的理论，那么测度不能随便加。&/p&
我们其实无法回答这个疑问本身。我们只能是发展出一套理论，在这套理论之下，规避掉这个问题。这个理论的核心就是，测度只能在可列个不交的可测集上相加。为什么要有这个理论？其实就是因为你的提问。 因为直线的面积是零，而由无数条线组成的平面图形面积…
题主说的第一个问题是关于集合列吧？这个问题最近刚开始学习，和题主简单分享一下：（欢迎高手进行修正~）&br&1. 集合的极限，首先，应当还是一个集合，就像数列的极限是数（如果存在的话，当然有些地方无穷大也写成是数列的极限），函数的极限是函数一样。那么我们应当试图构建一个集合，使得其定义看起来和数列极限或者函数极限有那么一点相似之处。&br&2. 以下以数列极限为例来做一个类比从而给出集合极限的定义：&br&数列极限的定义是：&img src=&/895bab0f91ab934b81ad574_b.png& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&148& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&/895bab0f91ab934b81ad574_r.png&&但是数列极限还可以通过其子列的收敛情况来定义，而这正是集合列的极限所采用的方法：&br&我们都知道，在数列趋向极限的过程当中，其不同子列可能呈现出趋近于不同极限的情况，而这之中的最小的那一个极限，我们称之为数列的下极限，记作liminf x_n 同样的，数列的上极限可以定义成这些不同极限当中的最大的那一个，记作limsup x_n， 而这两个极限的邻域（想像这两个值是实轴上的两个点）内都聚集了无限多个数列中的项。正因为如此，我们也称这样的点为聚点。而数列极限存在的时候，他的上下极限相等且等于他的极限：&br&&img src=&/b35f1a4a8b8_b.png& data-rawwidth=&342& data-rawheight=&59& class=&content_image& width=&342&&这时所有的子列都趋向于同一个值。&br&3. 对于一个集合列：&img src=&/66cd6abb20057_b.png& data-rawwidth=&315& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&315&&&br&我们也类似的定义这个集合列的上下极限：&br&&img src=&/49c21cdfd59e6b67cf57124_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&74& class=&content_image& width=&241&&&img src=&/6bdaccadd4adbdd_b.png& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&75& class=&content_image& width=&240&&下极限可以理解成找到这样的元素x，构建一个”最保守的“集合，其实他的定义就是一个不减的单调集合列的极限，要求这个集合中的每一个元素不仅属于无穷多个An，而且只能不属于其中的有限个An，这些元素算是这个集合列所包含的元素中的”核心成员“。&br&上极限就是尽可能的包括多一些的元素的一个集合，其实它的定义就是一个不增的集合列的极限，那么根据极限的思想，这个上极限集合应当包括的元素至少应该属于无穷多个集合An吧？要是只属于有限个An的那随着n的增大这样的元素不就被淘汰了？所以这样选出来的元素可以看成集合列极限的“备选成员”。&br&那一个可列集的例子来形象的说明一下：把集合列比喻成一群人在开会，每开一次会更新一次角标，集合An包含了第n次会议出席的人，最终要看开了无穷多次会议之后，有没有这样一张人员名单，拿这张名单去对照后来每次的出席情况，发现没有偏差，这张人员名单不需要再删去谁，也不需要再添加谁。那么会议的核心成员，也就是几乎只缺席了几次的当然应当入选其中，而在经常出席得人也很有可能（注意只是可能）跻身其中。显而易见的是，后者的人数显然不少于前者，写成数学语言就是：&br&&img src=&/d546dba79eb_b.png& data-rawwidth=&265& data-rawheight=&55& class=&content_image& width=&265&&但是，如果后者的人数真的多于前者，那么就有一些人虽然是活跃分子，但是我们没办法把他放在名单里面，因为他完全可以很长很长时间不出席。但是我们也无法把他遗漏，因为他完全可以连续出席超级多次。所以我们得不到这样的名单！也就是说集合列的极限在这种情况下不存在：&br&&img src=&/bcf47f803d76ca7e13d50b66fa32925f_b.png& data-rawwidth=&278& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&278&&但是要是这样的话：&br&&img src=&/cec99cc0759_b.png& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&53& class=&content_image& width=&240&&集合列的极限就存在！因为那些核心成员就是活跃分子，除此之外核心层没有其他人~我们定义这个人员名单为这一连串会议之下得到的核心委员会，就是这个集合列的极限：&br&&img src=&/a08de80a033af1214c12ab_b.png& data-rawwidth=&347& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&347&&好吧，我啰嗦的比较多了，其实前面的数列极限就是帮助后面的这种定义方法的理解的，我还没有细究过这两个概念内部的一致性，只能写到这个程度，如果有新的感悟会再更新的。&br&&br&第二个问题是关于集合的度量的，其实就是测度论的知识吧？测度论的知识在这篇文章里面有一个基本的说明，推荐题主去看一下：&a href=&///?target=http%3A//blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/5835625& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&测度论--长度是怎样炼成的[zz]&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&我这里只想说测度论的知识继续深挖下去是非常抽象的，因为数学家们竭尽全力用最严谨的定义去尝试划分那些可以被度量的集合和一些奇奇怪怪的集合（事实上不好构造但是存在）的边界，然后给出那些可以被度量的集合的计算方法，进而推进到可以被度量的函数上去研究他们的性质（可测函数）。实变函数的很多内容跟这些理论基础是密不可分的，不过我接触的不多，不做详细回答了。另外一个小的建议是：题主可以先看看概率论方面的和测度相关的内容，相对有一些直观的内容，算是先建立一个概念吧。
题主说的第一个问题是关于集合列吧？这个问题最近刚开始学习，和题主简单分享一下：（欢迎高手进行修正~） 1. 集合的极限，首先，应当还是一个集合，就像数列的极限是数（如果存在的话，当然有些地方无穷大也写成是数列的极限），函数的极限是函数一样。那…
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...At a purely formal level, one could call probability theory the study of &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Measure_space& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&measure spaces&i class=&icon-external&&&/i&&/a& with total measure one, but that would be like calling number theory the study of strings of digits which terminate... &/blockquote&&p&From Tao's blog: &a href=&///?target=https%3A////254a-notes-0-a-review-of-probability-theory/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&254A, Notes 0: A review of probability theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a href=&///?target=https%3A////254a-notes-0-a-review-of-probability-theory/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&254A, Notes 0: A review of probability theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
...At a purely formal level, one could call probability theory the study of
with total measure one, but that would be like calling number theory the study of strings of digits which terminate... From Tao's blog:
&p&谢邀：我一个做分析怎么就来回答代数了呢？于是我念了一首诗。&/p&&p&因为它是一个特殊的boolean algebra， 这是一类只能取0或者1的代数，这类代数的运算一般不是加法和乘法，而是取交，并以及取补&/p&&blockquote&&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Boolean algebra - Wikipedia&i class=&icon