两个函数切点处导数相同吗?
两个函数切点处导数相同吗?如题,两个连续可导函数若相切于一点,在这一点处的导数相同吗?或者这一点处两个函数切线为同一直线?如何证明?突然想到的问题,要是命题不成立烦请告知理由,
一样的,相切有两个必要条件：过同一点,在该点的斜率（导数）相同.并且满足这两个条件,一定相切.两曲线相切满足第一点和第二点.
与《两个函数切点处导数相同吗?》相关的作业问题
1、你可以简单想一想,从B到A的过程需要进行一次加速（因为要使火箭远离地球,必须要克服地球引力做攻）,加速的结果自然是化学能转化为机械能（此时的机械能是引力势能和动能之和）.所以机械能增大,而两轨道的切点处“嫦娥—号”的引力势能（引力势能和重力势能同样是只与位置有关的能）是一样的,所以椭圆A的速度大于圆形B的速度.2、
函数极值处导数为0,拐点处是二阶导数为零……拜托弄明白了再问.至于证明,任何一本微积分书上都有吧?大致方法是,极值处,一边导数是正的,一边是负的,做两个序列用极限夹一下就出来了.
函数积的导数等于函数倒数的积?－－－－－－－－－－－不正确.两个函数积的导数等于前导乘后函加上前函乘后导.(uv)'=u'v+uv'
你说的第二种是对的函数连续一定不可导,如f(x)=|x|函数在x.处可导一定连续.函数在某点处可导就是其左导数等于右导数,用定义求.分段函数的分段点一定是要用定义求的,不管它连不连续,若左导等于右导,则存在.其余可用导数性质直接求.像X>0与X
这个问题的隐含的前提是:1 f(x)与g(x)都是连续的.2：f(x)与g(x)在x=0点处的函数值等于0 所以按照求导的定义做 lim f(x)-f(0)/x-0 就等于 X趋向于0时 f(x)/x 等于同理下的g(x)/x 因为f(x)是当x趋向于0是对g(x)的等价无穷小,根据等价无穷下的代换.证毕
f′（x）=x′[（x-1）（x-2）…（x-50）]+x[（x-1）（x-2）…（x-50）]′=[（x-1）（x-2）…（x-50）]+x[（x-1）（x-2）…（x-50）]′∴f′（0）=（-1）（-2）…（-50）=50!故选D
这怎么理解?看解什么题了.一般可理解成两个函数在该点的导数相同. 再问： 设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x^3+ax与g(x)=bx^2+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线。（1）用t表示a,b,c 再答： 将P(t,0)代入，得 t³+at=0，bt²+c=0 又f'
判断函数在一点处是否可导,不能用两边的导数取极限来判断,只能用定义.lim(x→0) [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0) sin(1/x) ,极限不存在,因此 f(x) 在 x=0 处不可导；lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x→0) x*sin(1/x)=0 ,所以 g(
这么讲有点抽象 你拿具体题目过来
根据导数的求法：分别求导再求和 发现,当含有 X-1 这项时 导数值是为零的 所以只用考虑不含X-1 的项即 把X-1 求导 所以f(x) 在1处的导数即为 -1 * -2 * ...* -49 = - 49的阶乘
分段函数连续是,f（x）和g（x）在分段点的函数值相等,和导数相等没关系.依你举得例子,g（x）可以取到0,所以g（0）=A.f（x）不能取x=0,但是它当x从小于零方向趋向0的时候极限必须等于g（0）.只要满足lim（x→0-）f（x）=g（0）,就说明在0点是连续的.
中间可能断开比如x大于等于0时y=x*2-1x小于0时,y=x*2在0点,有导数,但不可到
img class="ikqb_img" src="http://h./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=95db45d249fbfbeddc0c3ee/32fa828ba61ea8d0a304e241f5896.jpg"
f(x)=x³+axf'(x)=3x²+ag(x)=2x²+bg'(x)=4xf'(1)=3+a g'(1)=4所以 3+a=4 a=1f(1)=1+a=2g(1)=2+b所以 2+b=2得 b=0所以f(x)=x³+xg(x)=2x²
y=f(x)x=g(y)则任何一点xf'(x)=1/(g'(y))此时y=f(x)或者写成df/dx=1/（dg/dy|y=f(x) )
相同点弹性E=(△Q/Q)/(△P/P)=(△Q/△P)*(P/Q)当△Q趋于0时的极限可以得到E=k*（p/Q),K为需求价格曲线的点斜率那么 如题中支线曲线相切地点,k显然相同,p/相同答案是A
f(0)=0 则f'(0)=a 若不等于0 则导数不存在 再问： OK。根我想的一样。这是我们的期中考试。就是不知道对错。话说那个连续的条件没什么用么。 再答： 不连续 怎么可能求导呢 前提条件啊...再问： OK。那连续了也不一定存在导数的吧。 再答： 恩恩...不然还讨论什么再问： 好吧。明白了。希望是队的。 再答
1.两个函数的代数和的导数不等于它们的导数的代数和A.错误2.二阶和二阶以上的导数称为高阶导数B.正确3.函数在一点连续是函数在该点可导的充要条件B.正确4.常数的导数仍为该常数A.错误5.余弦函数是周期函数B.正确6.自变量的增量不等于自变量的微分B.正确7.在区间上连续的函数,其图形是一条连续而不间断的曲线B.正确
f(x)=2sin(2x-π/3),f(2x)=2sin(4x-π/3),y=f(2x)-a,x1,x2是y=0的根,由图象可见想,x1,x2关于5π/24对称,x1+x2=5π/12,tan(x1+x2)=tan(5π/12)=2+ r(3). 解答中y=a直线与曲线在（0,π/4）有二交点,关键是对称轴.文科导数及其应用教案,导数的应用复习教案,高中导数的应用教案,高考文科数学导数大题_教师联盟网
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第一篇:文科导数及其应用教案导数的概念及其应用
一、知识点回顾 1、平均变化率 2、导数的定义 lim
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f = x2 ? x1 ?x
f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y / = f ( x 0 ) = lim 表示瞬时变化率。?x →0 ?x ?x
3、基本初等函数的导数公式：
(1) 若 f ( x ) = c ，则 f ′ ( x ) = 0 ； ( 2 ) 若 f ( x ) = x n ( x ∈ Q* ) ，则 f ′ ( x ) = nx n ?1 ； ( 3) 若 f ( x ) = sin x ，则 f ′ ( x ) = cos x ； ( 4 ) 若 f ( x ) = cos x ，则 f ′ ( x ) = ? sin x ； ( 5) 若 f ( x ) = a x ，则 f ′ ( x ) = a x ln a ； ( 6 ) 若 f ( x ) = e x ，则 f ′ ( x ) = e x ； ( 7 ) 若 f ( x ) = log a x ，则 f ′ ( x ) =
4、导数运算法则：
1 1 ； ( 8 ) 若 f ( x ) = ln x ，则 f ′ ( x ) = ． x ln a x
? f ( x ) ± g ( x ) ?′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) ； ? ? ? f ( x ) ? g ( x ) ?′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) ； ? ?
? f ( x ) ?′ f ′ ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ′ ( x ) ( 3) ? ( g ( x ) ≠ 0) ? = 2 ? g ( x )? ? g ( x) ? ? ?
5、导数的几何意义 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y = f ( x ) 在点 Ρ x0 , f ( x0 ) 处的切线 的斜率．切线的方程为 y ? f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x ? x0 ) ． 6、导数与函数单调性：在某个区间 ( a, b ) 内，若 f ′ ( x ) & 0 ，则函数 y = f ( x ) 在这个区间 内单调递增；若 f ′ ( x ) & 0 ，则函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递减． 7、极值： a 称为函数 y = f ( x ) 的极小值点， f ( a ) 称为函数 y = f ( x ) 的极小值；点 b 称 点 为函数 y = f ( x ) 的极大值点， f ( b ) 称为函数 y = f ( x ) 的极大值．极小值点、极大值点统 称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 求函数 y = f ( x ) 的极值的方法是：解方程 f ′ ( x ) = 0 ．当 f ′ ( x0 ) = 0 时：
(1) 如果在 x0 附近的左侧 f ′ ( x ) & 0 ，右侧 f ′ ( x ) & 0 ，那么 f ( x0 ) 是极大值； ( 2 ) 如果在 x0 附近的左侧 f ′ ( x ) & 0 ，右侧 f ′ ( x ) & 0 ，那么 f ( x0 ) 是极小值．
8、求函数 y = f ( x ) 在 [ a, b ] 上的最大值与最小值的步骤是：
(1) 求函数 y = f ( x ) 在 ( a, b ) 内的极值； ( 2 ) 将函数 y = f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最
大值，最小的一个是最小值． 二、例题解析： 1．求下列函数的导数： (1)y=(2x -1)(3x+1)
(2) y = x sin x
ex +1 ex ?1
x + cos x x + sin x
cos 2 x sin x ? cos x
2. f ′( x ) 是 f ( x ) =
1 3 x + 2 x + 1 的导函数，则 f ′(?1) 的值是 3
3．已知 f ( x) =
1 3 x + 3 xf '(0) ，则 f '(1) 等于______________． 3
4．已知 f(x)＝x ＋2x?f′(1)，则 f′(0)＝________. 5． 设f ( x ) = x( x ? 1)( x ? 2 )? ( x ? 1000 ), 则f ′(0 ) = ____________ . sin θ 3 3cos θ 2 ? 5π? 6．设函数 f(x)＝ x＋ x ＋tan θ，其中 θ∈?0， ?，则导数 f′(1)的取 12 ? 3 2 ? 值范围是 7.曲线 y = x 3 ? 2 x 2 ? 4 x + 2 在点 (1 ? 3) 处的切线方程是 ，
8．一个物体的运动方程为 s = 1 ? t + t 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒， 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ ） A． 7 米/秒 B． 6 米/秒 C． 5 米/秒 D． 8 米/秒 9．曲线 y = x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________；
3 2 10.曲线 y = x + 3 x + 6 x ? 10 的切线中，斜率最小的切线方程是
11. 已 知 函 数 y = f ( x) 的 图 象 在 点 M (1，f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y =
1 x+2 ，则 2
f (1) + f ′(1) =
12．已知两直线 y=x －1 与 y=1－x 在点 x=x0 处的切线相互平行，则 x0 的值为（ A.0
13．若曲线 y＝x 的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则 l 的方程为( ) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 2 14．抛物线 y=x 上点 P 处的切线和直线 3x－y+1=0 的夹角成 45°，则 P 点的坐标是 2 15．若点 P 是曲线 y＝x －ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为 ( ) 2 A．1 B. 2 C. D. 3 2 16 ． 已 知 曲线 C ： y = x 3 ? 3 x 2 + 2 x ， 直线 l : y = kx ， 且 直 线 l 与 曲线 C 相切 于 点
(x0 , y 0 ) x0 ≠ 0 ，求直线 l 的方程及切点坐标。
17．求曲线 f(x)＝x －3x ＋2x 过原点的切线方程．
18. 曲 线 y = x 3 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 、 直 线 x = 2 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 __________。x 2 19．曲线 y＝e 在点(2，e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 2 9 2 e 2 2 A. e B．2e C．e D. 4 2 )
20．若在区间 (a, b) 内有 f ′( x) & 0 ，且 f (a) ≥ 0 ，则在 (a, b ) 内有-----------------（ A． f ( x) & 0 B． f ( x) & 0 C． f ( x) = 0 D． f ( x) ≥ 0 .
21.函数 f ( x ) = x + 2 cos x 在 ? 0,
? π? ? 上取得最大值时的 x = ? 2?
22． 已知函数 f ( x) = ? x + 3 x + 9 x + a.
（1）求 f (x ) 的单调减区间； （2）若 f (x ) 在区间[－2，2].上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.
23.已知 f ( x ) = ax 3 + 3 x 2 ? x + 1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。
24．设 t ≠ 0 ，点 P（ t ，0）是函数 f ( x ) = x 3 + ax与g ( x ) = bx 2 + c 的图象的一个公共点， 两函数的图象在点 P 处有相同的切线。（1）用 t 表示 a, b, c ； （2）若函数 y = f ( x ) ? g ( x) 在（－1，3）上单调递减，求 t 的取 值范围。
y 25．设函数 f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是（ ） y o A x o B y x o C y x o D y x
26．如果函数 y=f(x)的图象如图所示，那么导函数 y=f′(x)的图象可能是(
27．设 f ′(x ) 是函数 f (x ) 的导函数， y = f ′(x ) 的图象如右图所示，则 y = f (x ) 的图象最 有可能是( )
A B C D 28．设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，将 y = f ( x) 和 y = f ′( x ) 的图象画在同一个直角坐标 系中，不可能正确的是（ y ） y y y
29.f （x）是 f（x）的导函数，f （x）的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（
30．函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + ( a + 6) x + 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A． ? 1 & a & 2 B． ? 3 & a & 6 C． a & ?3 或 a & 6 D． a & ?1 或 a & 2
31． 已知 a 为实数， f ( x ) = x ? 4 ( x ? a ) 。求导数 f ' ( x ) ； 若 f ' (? 1) = 0 ， f ( x ) （1） （2） 求
在区间 [? 2,2]上的最大值和最小值。
32．已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ，当 x = ?1 时，取得极大值 7；当 x = 3 时，取得极 小值．求这个极小值及 a, b, c 的值．
33．设函数 f ( x ) = x + bx + cx( x ∈ R ) ，已知 g ( x ) = f ( x ) ? f ′( x ) 是奇函数。
（1）求 b 、 c 的值。（2）求 g ( x ) 的单调区间与极值。
34．设 a ∈ R ，函数 f ( x ) = ax 3 ? 3 x 2 ． （Ⅰ）若 x = 2 是函数 y = f (x ) 的极值点，求 a 的值； （Ⅱ）若函数 g ( x ) = f ( x ) + f ′( x)，x ∈ [0， ，在 x = 0 处取得最大值，求 a 的取值范围． 2]
35．用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
36．做一个圆柱形容器，容积为 72π ，两个底面的材料每单位面积的价格为 20 元，侧面的 材料每单位面积价格为 15 元，问该容器的底面半径为多少时，造价最低？
4 2 37． 已知 f ( x) = ax + bx + c 的图象经过点 (0,1) ，且在 x = 1 处的切线方程是 y = x ? 2
（1）求 y = f (x ) 的解析式； （2）求 y = f (x ) 的单调递增区间。
38．设函数 f ( x ) = ax 3 + bx + c ( a ≠ 0) 为奇函数，其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
x ? 6 y ? 7 = 0 垂直，导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。（1）求 a ， b ， c 的值；
（2）求函数 f ( x ) 的单调递增区间，并求函数 f ( x ) 在 [ ?1,3] 上的最大值和最小值。
39．已知函数 f(x)＝x ＋2bx ＋cx－2 的图象在与 x 轴交点处的切线 方程是 y＝5x－10. (1)求函数 f(x)的解析式； 1 (2)设函数 g(x)＝f(x)＋ mx，若 g(x)的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 g(x)取 3 得极值时对应的自变量 x 的值．
40．设函数 f ( x) = 2 x3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值。（1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的 x ∈ [0， ，都有 f ( x ) & c 2 成立，求 c 的取值范围。3]第一篇:文科导数及其应用教案高三文科数学导学案
编写：乔秉正 张晓
审核：张淑艳
审批：张养祥
第 10 课时 变化率与导数、导数运算 的计算
学习目标 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力. 学习过程
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4. (ln x)' ?
1 1 ； (log a x)' ? log a e ； x x
5. (sin x)' ? cos x ； (cos x)' ? ? sin x
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8 和差的导数： [u ( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) ． 9 积的导数： [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
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? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) 10 商的导数： ? ? ? v2 ?v?
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一、课前准备 1.导数的几何意义：___________________________________________________ 2 导数的定义：设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处附近有定义，如果 ?x ? 0 时， ?y 与 ?x 的
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1.若 f ?( x0 ) ? 2 ,求 lim
f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 2k
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?y ?y （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极 ?x ?x
2.下列函数的导数 ① y ? ( x ? 1)(2 x 2 ? 3x ? 1) ② y ? x ln x
限值叫做函数 y ? f (x) 在 x ? x 0 处的导数， 记作 y '
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，即 f ' ( x0 ) ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
※ 典型例题 1.求函数导数：见优化方案 P33 考点一 导数的运算 2.求曲线的切线及其意义 例 1：求曲线 y ? 例 2 P34
2x 在点（1，1）处的切线方程. x ?1
3 切线： f ?( x0 ) 是曲线 y ? f (x) 上点 x0 , f ( x0 ) ） （ 处的切线的斜率 因此， 如果 y ? f (x)
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在 点 x 0 可 导 ， 则 曲 线 y ? f (x) 在 点 （ x0 , f ( x0 ) ） 处 的 切 线 方 程 为
y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )
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3 导函数(导数):如果函数 y ? f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
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一个 x ? (a, b) ，都对应着一个确定的导数 f ' ( x) ，从而构成了一个新的函数 f ' ( x) , 称 这个函数 f ' ( x) 为函数 y ? f (x) 在开区间内的导函数，简称导数， 4 常见函数的导数公式：
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〖跟踪练习〗 1、已知直线 y ? kx 是 y ? x3 ? 2 的切线，则切点坐标为________
3 2 、 函 数 f ( x)? x ? 4 x? 5 图 像 在 x ? 1 处 的 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 的
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1. C ' ? 0 ； 2. ( x n )' ? nx n ?1 ； 3. (e x )' ? e x
_____________ 二 作业
(a x )' ? a x ln a ；
达标检测 A 本
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导数基础训练题 1
1、下列运算正确的是（ ） A． (ax 2 ? bx ? c)' ? a( x 2 )' ? b(? x)' B． (sin x ? 2 x 2 )' ? (sin x)' ? (2)' ( x 2 )' C． (cos x sin x)' ? (sin x)' cos x ? (cos x)' cos x D． [(3 ? x 2 )(2 ? x3 )]' ? 2 x(2 ? x3 ) ? 3x 2 (3 ? x 2 ) 2、函数 y ? x ? A． 1 ?
导数的计算
8、函数 y ? sin 4 x 在点 M (? , 0) 处的切线方程为（ A． y ? x ? ? B． y ? 0
） D． y ? 4 x ? 4?
C． y ? 4 x ? ? 。
9、函数 y ? 2 x 2 ? 1 的导数为 10、设 y ? (2 x ? a)2 ，且 y '
? 20 ，则 a ?
11、函数 y ? x 2 e x 的导数为
1 的导数是（ x
3 12、已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? （ t 的单位是秒， s 的单位是米） ，则物体在时 t
） C． 1 ? ） C． ?
x sin x ? cos x x cos x ? cos x D． ? 2 x x2 1 x2
刻 t ? 4 的速度 v ? D． 1 ?
，加速度 a ?
13、求下列函数的导数： （1） y ? x12 ； （2） y ?
3、函数 y ? A． ?
cos x 的导数是（ x
（3） y ? 5 x 3
B． ? sin x
4、函数 y ? sin x(cos x ? 1) 的导数是（ A． cos 2 x ? cos x B． cos 2x ? sin x
） C． cos 2 x ? cos x D． cos x2 ? cos x ） D．
5、已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ，若 f ' (?1) ? 4 ，则 a 的值是（ A．
15、已知函数 y ? x ln x 。（1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程。
6、设函数 f ( x) ? (1 ? 2 x ) ，则 f (1) ? （ A．0 B．-1 ）
1 7、函数 y ? ( x ? )5 的导数为（ x 1 A． 5( x ? ) 4 x 1 C． 5( x ? ) 4 (1 ? x ?2 ) x
1 1 B． 5( x ? )4 (1 ? ) x x 1 D． 5( x ? )4 (1 ? x ?2 ) x
16、曲线 y ? x(1 ? ax) (a ? 0) ，且 y
? 5 ，求实数 a 的值。
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第 11 课时.导数与函数的单调性、极值
学习目标 1.进一步掌握函数单调性的判定与极值的求法； 2.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.
〖跟踪练习〗 1、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 ， a ? R ． ①讨论函数 f ( x) 的单调区间；
? 2 1? ②设函数 f ( x) 在区间 ? ? ， ? 内是减函数，求 a 的取值范围． ? ? 3 3?
一.利用导数研究函数的单调性 1．利用导数求函数的单调区间 （1）求 f ?( x) ； （2）确定 f ?( x) 在 (a, b) 内符号； （3）若 f ?( x) ? 0 在 (a, b) 上恒成立，
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则 f ( x) 在 (a, b) 上是增函数；若 f ?( x) ? 0 在 (a, b) 上恒成立，则 f ( x) 在 (a, b) 上是减函 数
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2 2、已知函数 f ( x) ? x ? ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ，讨论 f ( x) 的单调性. x
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1 例 1 设函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ，其中常数 a ? 1 3
(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;
2．已知函数的单调性，利用导数求参量
1 例 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数，则 b 的取值范围是 C 2
例 2 优化方案 36 页 例 1 例 2
A. [?1, ??) 〖跟踪练习〗
B. (?1, ??)
C. (??, ?1]
D. (??, ?1)
1 、 已 知 a ? 0 , 函 数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??) 上 时 单 调 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ____________+ 2、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) ． （1）若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调，求 a 的取值范围． ．．．
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(1)确定函数的定义区间，求导数 f ?( x) (2)求方程 f ?( x) ? 0 的根
(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格
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检查 f ?( x) 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负， 那么 f ( x) 在这个根处取得极大 二.利用导数研究函数的极值 1 极大值： 一般地，设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都
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值；如果左负右正，那么 f ( x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为 正或都为负，则 f ( x) 在这个根处无极值
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有 f ( x) ? f ( x0 ) ， 就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值， 记作 f极大值 ( x) ? f ( x0 ) ， x0 是 极大值点
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6 函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b? 上必有最大值与
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2 极小值：一般地，设函数 f ( x) 在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有
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⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的； 函数的极值是比较极值点附近 函数值得出的． ⑶函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续，是 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充
f ( x) ? f ( x0 ) ，就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值，记作 f极小值 ( x) ? f ( x0 ) ， x0 是极
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3 极大值与极小值统称为极值
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（）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值
分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一
比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可
个，也可能没有一个
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以不止一个
7 利用导数求函数的最值步骤:
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（）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值
⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值；
（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
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⑵将 f (x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b? 上的最值 3： 函数的极值与最值
4 判别 f ( x0 ) 是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ，且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数
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例 6：设函数 f ( x) ? x 2e x ?1 ? ax3 ? bx 2 ，已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点． （Ⅰ）求 a 和 b 的值； （Ⅱ）讨论 f ( x) 的单调性； （Ⅲ）设 g ( x) ?
2 3 x ? x 2 ，试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小． 3
异号，则 x 0 是 f (x) 的极值点， f ( x0 ) 是极值，并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正 右负” ，则 x 0 是 f (x) 的极大值点， f ( x0 ) 是极大值；如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左负 右正” ，则 x 0 是 f (x) 的极小值点， f ( x0 ) 是极小值 5 求函数 f ( x) 的极值的步骤:
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4:求参变量的范围 例 7.设函数 f ( x) ?
1 ( x ? 0 且 x ? 1) x ln x
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）已知 2 x ? x a 对任意 x ? (0,1) 成立，求实数 a 的取值范围。
5:图象的交点 形如函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 图像与 x 轴交点个数问题，应先求出 h ' ( x) ，再求出 极值并画出函 数的图像，从而根据极值的符号判断交点的个数 例 9.已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x 2 ? 10 x 的一个极值点. ①求 a ； ②求函数 f ? x ? 的单调区间；
③若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围。
例 8 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?
1? x , x ? 0 ，其中 a ? 0 1? x
（Ⅰ）若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值，求 a 的值； （Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间； .（Ⅲ）若 f ( x) 的最小值为 1，求 a 的取值范围. 三 作业 达标检测 B 本 257 页
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导数基础训练题 2
函数的单调性及其极值
1 C． (? , ??) 5 1 D． (?8, ? ) 5
调递增区间为
。，最小值是 。
1、函数 f ( x) ? 5 x ? 2 x 的单调增区间为（
1 A． ( , ??) 5 1 B． (??, ) 5
10、函数 y ? 2 x3 ? 3x 2 ? 12 x ? 5 在 [0,3] 上的最大值是
11 、 函 数 y ? x3 ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有 极 大 值 和 极 小 值 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 。
a b ? ' ? f (a) f (b)
2、函数 f ( x) ? ax3 ? x 在 R 上是减函数，则（ A． a ? 0 B． a ? 1
） D． a ?
12、 设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ， a, b, c 是两两不等的常数） 则 （ ，
c = f (c )
C． a ? 2 ） B．增函数
3、函数 f ( x) ? 1 ? x ? sin x 在 (0, 2? ) 上是（ A．减函数 C．在 (0, ? ) 上增，在 (? , 2? ) 上减
13、若函数 f ( x) ? ax3 ? x ， （1）求实数 a 的取值范围，使 f ( x) 在 R 上是增函数。（2）求实数 a 的取值范围，使 f ( x) 恰好有三个单调区间。
D．在 (0, ? ) 上减，在 (? , 2? ) 上增 ）
4、若函数 y ? f ( x) 可导，则“ f ' ( x) ? 0 有实根”是“ f ( x) 有极值”的（ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ） C． y ? 2 D． y ? x3 ） C．充要条件
D．必要条件
5、下列函数存在极值的是（ A． y ?
B． y ? x ? e x
6、若在区间 (a, b) 内有 f ' ( x) ? 0 ，且 f (a) ? 0 ，则在 (a, b) 内有（ A． f ( x) ? 0 B． f ( x) ? 0 ） C． f ( x) ? 0
D．不能确定
14、设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax ? 8 ，其中 a ? R 。（1）若 f ( x) 在 x ? 3 处取得极值，求常数 a 的值； （2）若 f ( x) 在 (??,0) 上为增函数，求 a 的取值范围。
7、下列结论正确的是（
A．在区间 [a, b] 上，函数的极大值就是最大值； B．在区间 [a, b] 上，函数的极小值就是最小值； C．在区间 [a, b] 上，函数的最大值、最小值在 x ? a 和 x ? b 时达到； D．一般地，在区间 [a, b] 上连续的函数 f ( x) ，在区间 [a, b] 必有最大值和最小值 8、函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1在 [1,5] 上的最大值和最小值是（ A． f (1) 、 f (3) B． f (3) 、 f (5) C． f (1) 、 f (5) ） D． f (5) 、 f (2) ，单
15、 x ? ?2 与 x ? 4 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点。（1）求常数 a 、 b 的值； （2）判断函数 x ? ?2 ， x ? 4 处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
9、已知函数 f ( x) ? x2 ( x ? 3) ，则 f ( x) 在 R 上的单调递减区间是
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第 12 课时.导数在函数中的应用
【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式 函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最 值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式 等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。一 【合作学习】 1． 函数的单调性 ⑴ 函数 y＝ f (x) 在某个区间内可导，若 则 f (x ) 为 .（逆命题不成立） .
f ?(x) ＞0，则 f (x ) 为
小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数 （或
在 点 x0 附 近 有 定 义 ， 且 对 x0 附 近 的 所 有 点 都 有
） ，则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大（小）值．称 x0 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数 ② 求方程 ③ 检验
f ?(x) ＝0
； 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 ；如果在根的左侧附近为负，右侧 .
f ?(x) 在方程 f ?(x) ＝0
为负，那么函数 y＝ f (x) 在这个根处取得 为正，那么函数 y＝ f (x) 在这个根处取得 3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设 y＝ f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ f (x) 在(a ,b )内有导数，则函数 y＝
f (x) 在[a
有最大值与最小值；但在开区间内
有最大值与最小
值． (2) 求最值可分两步进行： ；若 f ?(x ) ＜0， ① 求 y＝ f (x) 在(a ,b )内的 ② 将 y＝ f (x) 的各 一个为最小值. (3) 若函数 y＝ 的 为函数的 二 [典型例析] 例 1 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x=
2 时，y=f(x）有极值. 3
f (x) 在[a
值与 f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
(2) 如果在某个区间内恒有 f ?(x) ? 0 ，则 f (x)
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数 f (x) 的 ② 求
f ?(x) ，令
,b ]上单调递增，则
f (a) 为函数的
f (b) 为函数
；若函数 y＝ f (x ) 在[a ,b ]上单调递减，则 f (a ) 为函数的 .
； ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
f (x) 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到
③ 把函数 f (x) 的间断点（即
大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定
f ?(x) 在各小开区间内的
f ?(x) 的符号判定函数 f (x) 在各个相应
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（1）求 a,b,c 的值；? （2）求 y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
5. f(x)=ax -3x+1 对于 x∈［-1,1］总有 f(x)≥0 成立，则 a= 6.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数 g(x)= +∞）上一定是 函数.(用“增”“减”填空) 、
f ( x) 在区间（1， x
例 2 已知 f(x)=ex-ax-1. （1）求 f(x)的单调增区间； （2）若 f(x）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围； （3）是否存在 a,使 f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若 存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.
7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 8 已知函数 f(x)= 个.
1 4 x -2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立, 2
则实数 m 的取值范围是
9 已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)?(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值，则 a 的取值范围是 例 3 优化方案 例 1 .
四 作 业 达标检测 P199
三 [当堂检测] 1.函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 g= f ?(x) 的图象是如图所示的一条直线， 则 y=f(x)图象的顶点在第 象限.
2.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x＞0 时， f ?(x) ＞0, g?(x) ＞0， 则 x＜0 时, f ?(x) 0， g?(x) 0（用“＞”,“＝”或“＜”填空).
3.设 a ?R， 若函数 y=eax+3x，x ? R 有大于零的极值点， a 的取值范围为 则 4. 函数 y=3x2-2lnx 的单调增区间为 ，单调减区间为
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9. （1）求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。
导数基础训练题 3
1.已知曲线 y ?
导数在函数中的应用
（2）曲线 C ： y ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 在 (0,1) 点处的切线为 l1 : y ? x ? 1 ，在 (3, 4) 点 处的切线为 l2 : y ? ?2 x ? 10 ，求曲线 C 的方程；
1 3 x ? m 的一条切线方程是 y ? 4 x ? 4 ，则 m 的值为 3
4 28 或? 3 3
2 13 或? 3 3
2. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1,f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?
f ( 1 ) f ? ( 1 )__________________ ? ?
1 x?2 ，则 2
10. 设函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 9 x ? 1(a ? 0) 若曲线 y ? f (x) 的斜率最小的切线与直线
12 x ? y ? 6 平行，求：
3.过原点作曲线 y ? e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为____ 4.设直线 y ?
1 x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线，则实数 b 的值是_______ 2
（1） a 的值；w.w.w.k.s.5.u.c （2）函数 f (x) 的单调区间.
5. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f (x) 的减区间是 A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1）
b 1 11. 设函数 f ( x) ? 2ax ? ? 1nx ， （1）若 f ( x)在x ? 1, x ? 处取得极值 , w. x 2 1 ( i )求 a、b 的值； ii）在 [ ,2] 存在x0，使得不等式f ( x o) ?c ?0 成立，求c最小值 （ 4
6. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序 号是
（Ⅱ）当 b ? a时，若 f ( x)在(0, ??) 上是单调函数，求 a 的取值范围。
1 12. 已知函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? 1 ， g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? a 3
（1）讨论方程 f ( x) ? k （ k 为常数）的实根的个数； A．①、② B．①、③ C．③、④ D．①、④ （2）若对 x ? ? 0 , 2? ，恒有 f ( x) ? a 成立，求 a 的取值范围； （3）若对 x ? ? 0 , 2? ，恒有 f ( x) ? g ? x ? 成立，求 a 的取值范围； （4）若对 x1 ? ? 0 , 2? ， x2 ? ? 0 , 2? ，恒有 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立，求 a 的取值范围。
7. 在曲线上 y ? x 3 ? 3 x ?
2 ， 求斜率最小的切线所对应的方程和切点， P 点是该 设 3
曲线上的任意一点，在 P 点处切线倾斜角为 ? ，则角 ? 的取值范围是________. 8. 函数 y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12 x ? 5 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______. w.w.w 9
-9-第一篇:文科导数及其应用教案临江中学高二数学理科 2-2 教案
编写教师：
课题：变化率问题
教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的 研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的 快慢程度． 二、知识探究 探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3
⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0
⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1
r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?
探究二：高台跳水： 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s） 存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述
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临江中学高二数学理科 2-2 教案
编写教师：
其运动状态? 思考计算： 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v
h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s) ； 0.5 ? 0 h(2) ? h(1) 在 1 ? t ? 2 这段时间里， v ? ? ?8.2(m / s) 2 ?1 65 探究： 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度， 并思考以下问题： 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里， v ? ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， o
65 ) ? h(0) ，所以 v ? 49
65 ) ? h(0) 65 49 这段时间里的 ? 0( s / m) ，虽然运动员在 0 ? t ? 65 49 ?0 49
平均速度为 0( s / m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能 精确描述运动员的运动状态。探究（三） ：平均变化率 1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 表示, x 2 ? x1
称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 2．若设 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 则平均变化率为
?y f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? x 2 ? x1 ?x ?x ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示什么? ? x2 ? x1 ?x
y f(x2) △ y =f(x2)-f(x1)
思考：观察函数 f(x)的图象：平均变化率
直线 AB 的斜率 f(x1) O △ x= x2-x1 x1 x2 x
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临江中学高二数学理科 2-2 教案
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3、函数 f(x)从 x0 到 x0＋△x 的平均变化率怎么表示？ 三、典例分析
f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) Vx
例 1． 已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,
解： ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) ? (?1 ? ?x) ，
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x
例 2、求 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率。解： ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ，所以
?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ?x ?x
x ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? 0 ? 2 x0 ? ?x ?x
所以 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x
例 3、求函数 y＝5x2＋6 在区间[2，2＋△x]内的平均变化率 例 4、某盏路灯距离地面高 8m，一个身 高 1.7m 的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s 的速 度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率. 解：略 8 四．课堂练习 1．质点运动规律为 s ? t ? 3 ，则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 25 ? 3?t 3.过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δ x=0.1 时割 线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业 课后记:
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课题:导数的概念
教学目标： 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一、复习引入 1、函数平均变化率：
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x
2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率 3、 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高 台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究 1、引例：计算运动员在 0 ? t ?
65 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，
65 ) ? h(0) ，所以 v ? 49
65 ) ? h(0) 49 ? 0( s / m) ， 65 ?0 49
虽然运动员在 0 ? t ?
65 这段时间里的平均速度为 0( s / m) ，但实际情 49
况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 2、 ．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他 在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， t ? 2 时的瞬时速度是 多少？考察 t ? 2 附近的情况：
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①、思考：当 ?t 趋近于 0 时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？ ②、结论：当 ?t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时， 平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 ． ③、从物理的角度看，时间 ?t 间隔无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度， 因此，运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s ④、为了表述方便，我们用 lim
h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 表示“当 t ? 2 ， ?t 趋近于 0 时， ?t
平均速度 v 趋近于定值 ?13.1” ⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x
' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x ? x0 ，
即 f ?( x0 ) ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0
说明： （1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 （2） ?x ? x ? x0 ，当 ?x ? 0 时， x ? x0 ，所以 f ?( x0 ) ? lim 4、一般地，求函数 f(x)在 x＝x0 处的导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：
f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) Vy = Vx Vx
(x 0 ) = lim 第三步，取极限，求导数： f ?
5、常见结论： （1） lim
f (x 0 - Vx ) - f (x 0 ) Vx = - f? (x 0 ) m f? (x 0 ) n
f (x ) - f (x 0 ) x - x0
= f? (x 0 ) （2） lim
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) Vx
= 2f ? (x 0 ) （4）lim
f (x 0 + m Vx ) - f (x 0 ) n Vx
三、典例分析 2 例 1． （1）求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 分析：先求Δ y=f(１＋Δ x)-f(１)=6Δ x+(Δ x)
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?y ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ?x ?0 ?x ?x
3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim 3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
解：法一（略） 法二： y? |x ?1 ? lim
（2）求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 解： ? ? 3 ? ?x ?x ?x f ?(?1) ? lim ?y ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
例 2． （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热，如果第 xh 时，原油的温度（单位： C ）为 f (x) ? x ? 7x ?15(0 ? x ? 8) ，计算第
2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f (2) 和 f (6) 根据导数定义，
' '
f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x
(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
所以 f ?(2) ? lim
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?0 ?x ?x ?0
同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5，说明在 2h 附近，原油温度大 约以 3 C / h 的速率下降，在第 6h 附近，原油温度大约以 5 C / h 的速率上升． 注：一般地， f ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况． 四．课堂练习 1．质点运动规律为 s ? t ? 3 ，求质点在 t ? 3 的瞬时速度为．
2．求曲线 y=f(x)=x3 在 x ? 1 时的导数． 3．例 2 中，计算第 3h 时和第 5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结 1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业
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课题：导数的几何意义
教学目标： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念； 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．复习引入 1、函数 f(x)在 x＝x0 处的导数的含义是什么？
f? (x 0 ) = lim
f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) Vy = lim Vx ?0 Vx Vx 0 Vx
2、求函数 f(x)在 x＝x0 处的导数有哪几个基本步骤？ 3、导数 f′(x0)表示函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具 有某种几何意义，是一个需要探究的问题. 二．知识探究 探究一：导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当 Pn ( xn , f ( xn ))( n ?1,2,3,4) 沿着曲线 f ( x) 趋 近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时，割线 PPn 的变化趋势是什么？
图 3.1-2 我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置， 这个 确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题：⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？ ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少？
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容易知道，割线 PPn 的斜率是 kn ?
f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时， k n 无 xn ? x0
限趋近于切线 PT 的斜率 k ，即 k ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x
说明： ⑴、 设切线的倾斜角为 α,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质―函数在 x ? x0 处的导数. ⑵、曲线在某点处的切线： ①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线；③、曲线的切线,并不一定与曲线 只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义： 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率， 即： f ?( x0 ) ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①、求出 P 点的坐标; ②、求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ，得到曲线在点 ?x
( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；
③、利用点斜式求切线方程. 探究二；导函数概念： 1、导函数定义： 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当 x=x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定的数，那么, 当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： f ?( x) 或 y ? ， 即: f ?( x) ? y? ? lim
f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 2、函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x) 、导数之间的区别与联系。1） 函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ， 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 3）函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的函数值，这也是求函
数在点 x0 处的导数的方法之一。
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三．典例分析 2 例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x +1 在点 P(1,2)处的切线方程. 2 （2）求函数 y=3x 在点 (1,3) 处的导数. 解： （1） y? |x ?1 ? lim
[(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ? 2, ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
所以， 所求切线的斜率为 2， 因此， 所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 （2）因为 y? |x ?1 ? lim
3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim 3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
所以， 所求切线的斜率为 6， 因此， 所求的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ? 1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0 练习：求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ? x ?0 ?x ? x ?0 ?x
f ?(?1) ? lim
例 2． （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间 变化的函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 ，根据图像，请描述、
比较曲线 h (t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况． 解：我们用曲线 h (t ) 在 t 0 、t1 、t 2 处的切线，刻画曲线 h (t ) 在 上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当 t ? t0 时， 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l0 平行于 x 轴， 所 以，在 t ? t0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降． （2） 当 t ? t1 时，曲线 h (t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h?(t1 ) ? 0 ，所以，在 t ? t1 附近曲线下 降，即函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减．
（3） 当 t ? t2 时，曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h?(t2 ) ? 0 ，所以，在 t ? t2 附近曲线下 降，即函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减．
从图 3.1-3 可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明曲线在 t1 附近比
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在 t 2 附近下降的缓慢． 例 3． （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位： mg / mL )随时间
t （单位： min ）变化的图象．根据图像，估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时，血管中药物浓度
的瞬时变化率（精确到 0.1 ） ． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f (t ) 在此时刻的导数，从图 像上看，它表示曲线 f (t ) 在此点处的切线的斜率． 如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药 物浓度瞬时变化率的近似值． 作 t ? 0.8 处的切线，并在切线上去两点，如 (0.7,0.91) ， (1.0,0.48) ，则它的斜率为：
0.48 ? 0.91 ? ?1.4 1.0 ? 0.7
f ?(0.8) ? ?1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
药物浓度瞬时变化率 f (t ) 四．课堂练习 1．求曲线 y=f(x)=x3 在点 (1,1) 处的切线； 2．求曲线 y ?
x 在点 (4,2) 处的切线．
五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业 课后记
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课题：几个常用函数的导数
教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
1 的导数公式及应用 x 1 2 教学难点：四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? 的导数公式 x
教学重点：四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
教学过程： 一．复习引入
(x 0 ) 的几何意义是什么？ 1、导数 f ?
2、如何求函数 f(x)的导函数？ 3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度．那么，对于函数 y ? f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出 了求导数的最基本的方法， 但由于导数是用极限来定义的， 所以求导数总是归结到求极限这 在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将 研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．知识探究 1．函数 y ? f ( x) ? c 的导数 函数 导数
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ⑴根据导数定义，因为 ? ? ?0， ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0
⑵ y? ? 0 表示函数 y ? c 图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0．若 y ? c 表示路 程关于时间的函数， 则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度为 0， 即物体一直处于静止状态． 2．函数 y ? f ( x) ? x 的导数
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x ? ?x ? x ⑴ 因为 ? ? ? 1。?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 1 ? 1 ?x ?0 ?x ?x ?0
⑵ y? ? 1 表示函数 y ? x 图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为 1．若 y ? x 表示路 程关于时间的函数，则 y? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动． 3．函数 y ? f ( x) ? x 的导数
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?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ? 2x ? ?x ?x ?x ?x
?y 所以 y? ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
⑵ y? ? 2 x 表示函数 y ? x 图像（图 3.2-3）上点 ( x , y ) 处的
的斜率都为 2 x ，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在 一点的瞬时变化率来看，表明：当 x ? 0 时，随着 x 的增加，函数 y ? x 减少得越来越慢；
当 x ? 0 时，随着 x 的增加，函数 y ? x 增加得越来越快．若 y ? x 表示路程关于时间的函
数，则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x ． 4．函数 y ? f ( x) ?
1 的导数 x
1 1 ? x ? ( x ? ?x) 1 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ?? 2 ? ? x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x ?x ?x ?x
所以 y? ? lim
?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x
（2）推广：若 y ? f ( x) ? x (n ? Q ) ，则 f ?( x) ? nx 三．课堂练习
1．课本 P13 探究 1；2．课本 P13 探究 2；3．求函数 y ? 四．回顾总结 五．布置作业
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课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．复习引入 1、四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
1 的导数公式及应用 x
二．知识探究 探究一：基本初等函数的导数公式表 函数 导数
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )
y' ? 0 y ' ? nx n?1 y ' ? cos x y ' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0) y' ? ex
y ? f ( x) ? a x y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x
f ' ( x) ?
1 (a ? 0且a ? 1) x ln a
f ' ( x) ? 1 x
f ( x) ? ln x
探究二：导数的运算法则
导数运算法则 1． ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '
2． ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' ' ' ' 特别： ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '
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? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) 3． ? ? ( g ( x) ? 0) ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
三．典例分析 例 1．假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ，物价 p （单位：元）与时间 t （单 位：年）有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%) ，其中 p0 为 t ? 0 时的物价．假定某种商品的
p0 ? 1 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有 p (t ) ? 1.05 ln1.05
所以 p (10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 （元/年）
因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨． 例 2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） y ? x ? 2 x ? 3 （2）y ＝
1 1 ； （3）y ＝x ? sin x ? ln x； ? 1? x 1? x
x 1 ? ln x ； （5）y ＝ ． （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex x 4 1 ? ln x sin x ? x cos x （7） y ＝ cos x ? x sin x
（4）y ＝ 说明：①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例 3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增
5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1） 90% （2） 98%
加．已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用为： c( x) ? 解：略 四．课堂练习 1．课本 P92 练习 2．已知曲线 C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业 课后记
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课题：复合函数的求导法则
教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导 数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 教学过程： 一．复习引入 1、基本初等函数的导数公式表 函数 导数
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )
y' ? 0 y ' ? nx n?1 y ' ? cos x y ' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0) y' ? ex
y ? f ( x) ? a x y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x
f ( x) ? log a xf ' ( x) ?
1 (a ? 0且a ? 1) x ln a
f ( x) ? ln x
2、导数的运算法则 导数运算法则
f ' ( x) ?
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1． ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '
2． ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' ' ' ' 特别： ? cf (x ) ? ?cf (x ) '
? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) 3． ? ( g ( x) ? 0) ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
二、知识探究 1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ，如果通过变量 u ， y 可 以 表 示 成 x 的 函 数， 那么称 这 个 函数 为函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复 合 函 数， 记 作
y ? f ? g ( x) ? 。
2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？ 3 ⑴y＝ln(x2＋3) ⑵y＝(2x＋3) ⑶y＝sin(ax＋1) 3、复合函数的导数：复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间 的关系为 y x? ? yu? ? u x? ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
? 若 y ? f ? g ( x) ? ，则 y? ? ? ? f ? g ( x) ? ? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
三．典例分析 例 1 求下列函数的导数： （1）y＝(2x＋3)3； （3） y = sin( p x + j ) 例2求y ＝ （2） y = e
- 0.05x + 1
（4）y＝ln(3x＋2).
x?a x 2 ? 2ax
例 3 求 y ＝sin4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ ＝ 1－
1 2 sin 2 x 2
1 3 1 （1－cos 4 x）＝ ＋ cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 4 4 4
【解法二】 y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 例 4 曲线 y ＝x（x ＋1） （2－x）有两条平行于直线 y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 3 2 【解】y ＝－x ＋x ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令 y′＝1 即 3 x2－2 x －1＝0，解
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1 1 14 或 x ＝1．于是切点为 P（1，2） ，Q（－ ，－ ） ， 3 3 27
过点 P 的切线方程为，y －2＝x －1 即 x －y ＋1＝0．
1 14 |? ? ?1| 16 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为 3 27 ＝ 2． 27 2
四．课堂练习 1．求下列函数的导数 2.求 ln(2 x ? 3x ? 1) 的导数
(1) y =sinx3+sin33x； （2） y ?
sin 2 x 2 ;(3) log a ( x ? 2) 2x ? 1
五．回顾总结 六．布置作业
课题：函数的单调性与导数
教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2． 能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间， 对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．情景导入 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的． 通过研究函数的这些性质， 我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会 导数在研究函数中的作用． 二．知识探究 1 ． 问 题 ： 图 3.3-1 （ 1 ） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数
h( t )? ? 4 . 2 9 t ? 6. t5 ? 的图像，图 10 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化
的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现： ⑴、运动员从起点到最高点，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，
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即 h (t ) 是增函数．相应地， v(t ) ? h (t ) ? 0 ．
⑵、从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少， 即 h (t ) 是减函数．相应地， v(t ) ? h (t ) ? 0 ．
2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
y? x y? x x O x O
' 如图 3.3-3，导数 f ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率．
在 x ? x0 处， f ( x0 ) ? 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增；
在 x ? x1 处， f ( x0 ) ? 0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间 (a , b) 内，如果 f ( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增；如
果 f ( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减．
说明： （1）特别的，如果 f ( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数．
3．求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤： （1）确定函数 y ? f ( x) 的定义域； （2）求导数 y ? f ( x ) ；
' '
（3）解不等式 f ( x) ? 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式 f ( x) ? 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析 例 1．已知导函数 f ( x) 的下列信息：当 1 ? x ? 4 时， f ( x) ? 0 ；当 x ? 4 ，或 x ? 1 时，
' '
f ' ( x) ? 0 ；当 x ? 4 ，或 x ? 1 时， f ' ( x) ? 0 ，试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状．
解：当 1 ? x ? 4 时， f ( x) ? 0 ，可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增；
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当 x ? 4 ，或 x ? 1时， f ( x) ? 0 ；可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减；
当 x ? 4 ，或 x ? 1 时， f ( x) ? 0 ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” ．
综上，函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f ( x) ? x ? 3x ； （2） f ( x) ? x ? 2 x ? 3
（3） f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ； （4） f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1
解： （1）因为 f ( x) ? x ? 3x ，所以， f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0
3 ' 2 2
因此， f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．
2 （2）因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ，所以， f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 ? x ? 1?
当 f ( x) ? 0 ，即 x ? 1 时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增；
当 f ( x) ? 0 ，即 x ? 1时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递减；
函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像如图 3.3-5（2）所示．
（3）因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ，所以， f ( x) ? cos x ? 1 ? 0
因此，函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4）因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 ，所以
当 f ( x) ? 0 ，即
时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3
当 f ( x) ? 0 ，即
函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注： （3） 、 （4）生练
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如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像．
解： ?1? ? ? B ? , ? 2 ? ? ? A ? , ? 3? ? ? D ? , ? 4 ? ? ? C ? 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的 快，这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图 3.3-7 所示， 函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0 ? 内的图像 “陡峭” ， 在 ? b , ? ? ? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” ． 例4 求证：函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数．
证明：因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时， y ? 0 ，所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内
是减函数． 说明：证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤： （1）求导函数 f
' ' （2）判断 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的符号； ? x? ； '
（3）做出结论： f
? x ? ? 0 为增函数， f ' ? x ? ? 0 为减函数．
例 5、已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2 3 x 在区间 ? ?1,1? 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 3
' 2 ' 解 ： f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ， 因 为 f ? x ? 在 区 间 ? ?1,1? 上 是 增 函 数 ， 所 以 f ( x) ? 0 对
x ? ? ?1,1? 恒成立，即 x 2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立，解之得： ?1 ? a ? 1
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? ．
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说明： 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型， 常利用导数与函数单调性关 系：即“若函数单调递增，则 f ( x) ? 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ? 0 ”来求解，注意此
' '
时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 （1）.f(x)=2x3－6x2+7 2．课本练习 五．回顾总结 （1） 函数的单调性与导数的关系 （2） 求解函数 y ? f ( x) 单调区间 （3） 证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性 六．布置作业 课后记 2.f(x)=
3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]
课题：函数的极值（一）
教学目标： 1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义. 2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 教学重点：求函数的极值. 教学难点：严格套用求极值的步骤. 教学过程： 一、复习引入 1.函数 f(x)在区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？ 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？ 二、知识探究 探究一；函数的极值的概念 1、观察下图中的曲线 y
a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大．b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小． 2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 的图象， 思考：函数 y＝f(x)在点 x＝0，x＝2 处的函数值，与它们附近所有各点 处的函数值，比较有什么特点? （1）函数在 x＝0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说 f(0) 是函数的一个极大值； （2）函数在 x＝2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
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则 f(2)是函数的一个极小值． 函数 y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)． 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
函数 y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 3、极值的概念：
一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＜ f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作：y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点， 都有 f(x)＞f(x0)，我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作：y 极小值＝f(x0)． 极大值与极小值统称为极值． 探究二：函数极值的求解 1、观察下图中的曲线
f '(a)＝0 f '(x)＞0
f '(x)＜0 f '(b)＝0
f '(x)＜0
f '(x)＞0
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况． 上图中，曲线在极值点处切线的斜率为 0， 极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 2、 、利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的方法是： ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＞0，右侧 f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值； ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＜0，右侧 f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值； 思考：导数为 0 的点是否一定是极值点？（导数为 0 的点不一定是极值点． ） 如函数 f(x)＝x3，x＝0 点处的导数是 0，但它不是极值点． 说明：⑴、函数的极值点 xi 是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点． ⑵、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定 小于极大值． ⑶、函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极 小值点．
3、函数f ( x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ' ( x)在(a，b)内的函数图像如图，则函数 f ( x)在开区间(a，b)内存在极小值点几个.
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三、典例分析 例 1 求函数 y ?
1 3 x ? 4 x ? 4的极值 . 3
解：y?＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令 y?＝0，解得 x1＝－2，x2＝2． 当 x 变化时，y?，y 的变化情况如下表．
x (－∞, －2) + y? y
因此，当 x＝－2 时， y 极大值＝
28 4 ，当 x＝2 时，y 极小值＝－ ． 3 3
总结：求可导函数 f (x)的极值的步骤： ⑴ 求导函数 f ?(x)； ⑵ 求方程 f ?(x)＝0 的根； ⑶ 检查 f ?(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值． 例 2．求函数 y ? x e
例 3 求函数 y＝(x2－1)3＋1 的极值． 解：定义域为 R，y?＝6x(x2－1)2.由 y?＝0 可得 x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当 x 变化时，y?，y 的变化情况如下表：
0 x (－?，－1) －1 (－1，0) － 0 － 0 y? 无极值 极小值 0 y
当 x＝0 时，y 有极小值，并且 y 极小值＝0．
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例 4． y ?
x3 ? 2 的极值 2( x ? 1) 2
例 5． y ? ( x ? 1) x 的极值 练习：求函数 y ? x e 四、课堂小结 1．函数的极值的定义。2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数 f′(x)→解方程 f′(x)＝0→判断在根 附近左右两侧 f′(x)的符号→作出结论. 五、课后作业 课后记
课题：函数的极值(二)
教学目标： 1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义. 2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用. 教学重点：求函数的极值 教学难点：严格套用求极值的步骤. 教学过程： 一、复习引入 1．函数的极值的定义。略 （1）函数的极值点 xi 是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点． （2）函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一 定小于极大值． （3）函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极 小值点． 2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数 f′(x)→解方程 f′(x)＝0→判断在根 附近左右两侧 f′(x)的符号→作出结论. 二、讲授新课
例1.已知f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx(a ? 0)在x ? ?1时取得极值，且 f (1) ? ?1. （）求常数 1 a、b、c的值； （2）判断x ? ?1分别是极大值点还是极小值点？
练习： （1）已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当 x＝－1 时取得极大值 7，当 x＝3 时取
得极小值，试求函数 f (x)的极小值，并求 a、b、c 的值
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（2） 已知f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 2 x在x ? ?2，x ? 1处取得极值. 1 ）求f ( x)的解析式； 2）求f ( x)的单调区间.
例2.已知f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx在点x 处取得极大值10，其导函数f ' ( x)的图像经过点(1，，， 0) (2 0). 0 y 如图，求（） 1 x 的值；（2）a、b、c的值. 0
例3. 若f ( x) ? x3 ? 3ax 2 ? 3( a ? 2) x ? 1既有极大值， 又有极小值.求a的取值范围.
例4. 函数f ( x) ? x 2e x ? 1 ? ax3 ? bx 2已知x ? ?2和x ? 1为f ( x)的极值点. （）求 1 a和b的值； （2）讨论f ( x)的单调性.
例 5、设 a 为实数，函数 f (x) = x3 C x2 C x + a.， （1）求 f (x)的极值； （2）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y = f (x)与 x 轴仅有一个交点. 例 2．已知函数 f ( x) ? x ? x ．
（1）求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t，f (t )) 处的切线方程； （2）设 a ? 0 ，如果过点 (a，b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线，证明： ?a ? b ? f (a) ．
例 3． 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,
又 f ?( ) ?
3 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; 2
(Ⅱ)若在区间 [0, m] (m＞0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,
求 m 的取值范围.
例 4．设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ，其中 ab ? 0 ．
证明：当 ab ? 0 时，函数 f ( x) 没有极值点；当 ab ? 0 时，函数 f ( x) 有且只有一个极 值点，并求出极值．
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例 5．设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ，其中 b ? 0 ．
（Ⅰ）当 b ?
1 时，判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数 n ，不等式 ln ? 解：略 四、小结 五、作业：见资料
?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立． ?n ? n n
课题：函数的最大（小）值与导数
教学目标： 1、使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念，掌 握 可 导 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 所 有 点 （ 包 括 端 点 a,b ） 处 的 函 数 中 的 最 大 （ 或 最 小 ） 值 必有的充分条件； 2、使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景 我们知道， 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质， 而不是函数在整个定义域内的
性质．也就是说，如果 x0 是函数 y ? f ? x ? 的极大（小）值点，那么在点 x0 附近找不到比
f ? x0 ? 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在
某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果 x0 是函数的最大（小）值，那么 f ? x0 ? 不小 （大）于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值． 二．知识探究 吧 1 、观察图中一个定义在闭区间 ?a, b ? 上的函数
f ( x) 的图象．图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值， f ( x2 )
是极大值． 函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最大值是 f (b) ， 最
a x1 O x2 x3 b
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小值是 f ( x3 ) ． 2、结论：一般地，在闭区间 ?a, b ? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么函 数 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值． 说明： ⑴、如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 y ? f ( x) 在 这个区间上连续． （可以不给学生讲） ⑵、给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 (a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与 最小值．如函数 f ( x) ?
1 在 (0,??) 内连续，但没有最大值与最小值； x
⑶、在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断， ⑷、函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续，是 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件． （可以不给学生讲） 3、 “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴、最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是 个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶ 、 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个， 也可能没有一个 ⑷、极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地，求函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴、求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值； ⑵、将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) 、 f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最 小的一个是最小值，得出函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最值 三．典例分析 例 1． （课本例 5）求 f ? x ? ?
1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值 3
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解： 由例 4 可知，在 ? 0 , 3? 上，当 x ? 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为 f (2) ? ? 又由于 f ? 0 ? ? 4 ， f ? 3? ? 1 因此，函数 f ? x ? ?
1 3 4 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值是 4，最小值是 ? ． 3 3
例 2 求函数 y＝x4－2x2＋5 在区间 [0，2]上的最大值与最小值. 答案：f(x)max=f(2)＝13，f(x)min=f(1)＝4. 例 3 求函数 f(x)＝sin2x－x 在区间 [-
p p , ] 上的最大值与最小值. 2 2
答案： f (x )max = f (-
p p p p ) = , f (x )min = f ( ) = 2 2 2 2
例 4 求函数 f (x ) = (1 + x ) - ln(1 + x ) 在 [ - 1, e - 1] 上的最大值. 例 5 已知 m≤1 为常数，求证： x≥ln(x＋m). 例 6、若对任意 x∈[－1，2]，不等式 x 取值范围. 答案： a ? ( ? , 1) U (2, +
x2 - 2x + a & a 2 恒成立，求实数 a 的 2
4x 2 - 7 } ， B = {y | y = x 3 - 3a 2x - 2a } ，其中 a≥1 为 2- x
例 7、已知集合 A = {y | y =
常数，若当 x∈[0，1]时， A ? B ，求 a 的取值范围. 答案： a ? [1, ]
例 8、若存在正实数 x，使不等式 答案：a∈(0，2). 例 9 已知函数 f (x )
ln x ax ? ln 成立，求 a 的取值范围. 1+ x 1+ x
= x 2eax ，其中 a＜0 为常数，求函数 f(x)在区间[0，1]上的最大
值. 答案：略 四．课堂练习 1 ． 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) (
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A.等于 0 3．函数 y= A.0
D.以上都有可能 )
12 10 8 6 4 2 -4 -2
1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ，在［－1，1］上的最小值为( 4 3 2 13 B.－2 C.－1 D. 12
4 ． 求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值．
y=x4-2x2+5 O
五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点， 区间端点； 2．函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续，是 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件； 3．闭 区 间 ?a, b ? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ；开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六．布置作业
课题：生活中的优化问题举例（一）
教学目标： 1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程 一、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利 用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题， 主要有以下 几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问