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已知函数y等于fx不恒为零而且对于任意xy属于r都有fxy等于fx加fy求证y=fx是奇函数
biaqhom024
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f(x+y)=f(x)+f(y)令x=0,y=0f(0)=0令x+y=0,y=-xf(x)+f(y)=f(0)=0f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(x)
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f(x,y)=8xy,求边缘分布fx(X)和fy(Y)
如图,D1区域由过原点和(1,-1)的直线和X=1即X轴围成
提问时间： 15:24:00提问者：
同学你好，请问这是哪里的问题？区域有问题，直线应该是过原点和（1,1）点的直线吧？ 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 18:33:51
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设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（-1）的值为______．
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∵f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；再令y=-x代入得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=4，∴f（1）=2，又f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）=-2．故答案为：-2．
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通过赋值法求得f（0）=0，f（-x）=-f（x），说明f（x）为奇函数，通过f（1+1）=f（1）+f（1）=4，即可求得f（1），从而可求得f（-1）．
本题考点：
抽象函数及其应用；函数的值．
考点点评：
本题考查抽象函数及其应用，奇函数的性质，赋值法的应用，属于中档题．
扫描下载二维码光滑平面上一质点以速度v通过原点O(如图所示坐标建立在该平面内).与此同时对质点加上沿x轴正方向的水平恒力Fx和沿y轴正方向的水平恒力Fy.则( )A．因为有Fx.质点一定做曲线运动B．如果Fy＞Fx.质点向y轴一侧做曲线运动C．如果Fy=Fxtanα.质点做直线运动D．如果Fx＞Fycosα.质点向x轴一侧做曲线运动 题目和参考答案——精英家教网——
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光滑平面上一质点以速度v通过原点O（如图所示坐标建立在该平面内），与此同时对质点加上沿x轴正方向的水平恒力Fx和沿y轴正方向的水平恒力Fy，则（　　）A．因为有Fx，质点一定做曲线运动B．如果Fy＞Fx，质点向y轴一侧做曲线运动C．如果Fy=Fxtanα，质点做直线运动D．如果Fx＞Fycosα，质点向x轴一侧做曲线运动
分析：根据合力的方向与速度的方向是否在同一条直线上，判断物体做直线运动，还是曲线运动．解答：解：若Fx=Fycotα，则合力方向与速度方向在同一条直线上，物体做直线运动；若Fx＞Fycotα，则合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力偏向于速度方向下侧，则质点向x轴一侧做曲线运动；若Fx＜Fycotα，则合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力偏向于速度方向上侧，质点向y轴一侧做曲线运动．故C、D正确，A、B错误．故选CD．点评：解决本题的关键掌握物体做直线运动还是曲线运动的条件，若合力的方向与速度方向在同一条直线上，物体做直线运动，若合力的方向与速度的方向不在同一条直线上，物体做曲线运动．
科目：高中物理
题型：阅读理解
选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，如都作答，则按A、B两小题评分．) A．(选修模块3-3) （1）下列说法正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&&&&& ） A．熵是物体内分子运动无序程度的量度 B．由氢气的摩尔体积和每个氢分子的体积可估算出阿伏加德罗常数 C．满足能量守恒定律的客观过程都不是可以自发进行的 D．液体表面层的分子比液体内部的分子有更大的分子势能 （2） 一定质量的理想气体由状态A经状态B变化到状态C的p-V图象如图所示．在由状态A变化到状态B的过程中，理想气体的温度&&&&&&&&& （填“升高”、“降低”或“不变”）．在由状态A变化到状态C的过程中，理想气体吸收的热量&&&&&& 它对外界做的功（填“大于”、“小于”或“等于”）．
（3）已知阿伏加德罗常数为6.0×1023mol-1，在标准状态（压强p0=1atm、温度t0=0℃）下任何气体的摩尔体积都为22.4l，设第（2）问中理想气体在状态A下的温度为0℃，求该气体的分子数．（计算结果取两位有效数字）
B．(选修模块3-4) （1）以下说法中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&&&& ) A．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加一个偏振片以增加透射光的强度 B．全息照片往往用激光来拍摄，主要是利用了激光的相干性 C．根据宇宙大爆炸学说，遥远星球发出的红光被地球接收到时可能是红外线 D．超声波可以在真空中传播 （2）平行光a垂直射向一半径为R的玻璃半球的平面，其截面如图所示，发现只有P、Q之间所对圆心角为60°的球面上有光射出，则玻璃球对a光的折射率为&&&&&&&& ，若仅将a平行光换成b平行光，测得有光射出的范围增大，设a、b两种色光在玻璃球中的速度分别为va和vb，则va &&&&&&&vb（选填“&”、“&”或“=”）．
（3）在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点间的距离均为0.1m，如图(a)所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，振幅为0.2m，经过时间0.3s第一次出现如图（b）所示的波形．试写出质点1的振动方程．
C．(选修模块3-5) （1）下列说法正确的有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&& ） A．卢瑟福的α粒子散射实验可以估测原子核的大小 B．氢原子辐射出一个光子后，氢原子的电势能增大，核外电子的运动加速度增大 C．物质波是一种概率波，在微观物理学中不可以用“轨迹”来描述粒子的运动 D．若氢原子从 n = 6 能级向 n = 1 能级跃迁时辐射出的光不能使某金属发生光电效应，则氢原子从 n = 6 能级向 n = 2 能级跃迁时辐射出的光能使该金属发生光电效应 （2）正电子发射计算机断层显象(PET)的基本原理是：将放射性同位素注入人体，在人体内衰变放出的正电子与人体内的负电子相遇而湮灭，转化为一对γ光子，被探测器探测到，并经计算机处理后产生清晰的图象．根据PET的原理，在人体内衰变的方程式是&&&&&&&&&&&&&& &；在PET中，的主要用途是作为&&&&&&&&&&&&&& ． （3）如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球在光滑水平面上分别以速度v1、v2同向运动，并发生对心碰撞，碰后m2被右侧墙壁原速弹回，又与m1碰撞，再一次碰撞后两球都静止．求第一次碰后m1球速度的大小.
科目：高中物理
来源：2010年江苏省扬州市高三第四次模拟考试物理试题
题型：计算题
选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，如都作答，则按A、B两小题评分．)A．(选修模块3-3)（1）下列说法正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&&&&&）A．熵是物体内分子运动无序程度的量度B．由氢气的摩尔体积和每个氢分子的体积可估算出阿伏加德罗常数C．满足能量守恒定律的客观过程都不是可以自发进行的D．液体表面层的分子比液体内部的分子有更大的分子势能（2）一定质量的理想气体由状态A经状态B变化到状态C的p-V图象如图所示．在由状态A变化到状态B的过程中，理想气体的温度&&&&&&&&&（填“升高”、“降低”或“不变”）．在由状态A变化到状态C的过程中，理想气体吸收的热量&&&&&&它对外界做的功（填“大于”、“小于”或“等于”）．（3）已知阿伏加德罗常数为6.0×1023mol-1，在标准状态（压强p0=1atm、温度t0=0℃）下任何气体的摩尔体积都为22.4l，设第（2）问中理想气体在状态A下的温度为0℃，求该气体的分子数．（计算结果取两位有效数字）B．(选修模块3-4)（1）以下说法中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&&&& )A．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加一个偏振片以增加透射光的强度B．全息照片往往用激光来拍摄，主要是利用了激光的相干性C．根据宇宙大爆炸学说，遥远星球发出的红光被地球接收到时可能是红外线D．超声波可以在真空中传播（2）平行光a垂直射向一半径为R的玻璃半球的平面，其截面如图所示，发现只有P、Q之间所对圆心角为60°的球面上有光射出，则玻璃球对a光的折射率为&&&&&&&&，若仅将a平行光换成b平行光，测得有光射出的范围增大，设a、b两种色光在玻璃球中的速度分别为va和vb，则va&&&&&&&vb（选填“&”、“&”或“=”）．（3）在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点间的距离均为0.1m，如图(a)所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，振幅为0.2m，经过时间0.3s第一次出现如图（b）所示的波形．试写出质点1的振动方程．C．(选修模块3-5)（1）下列说法正确的有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&&）A．卢瑟福的α粒子散射实验可以估测原子核的大小B．氢原子辐射出一个光子后，氢原子的电势能增大，核外电子的运动加速度增大C．物质波是一种概率波，在微观物理学中不可以用“轨迹”来描述粒子的运动D．若氢原子从 n =" 6" 能级向 n =" 1" 能级跃迁时辐射出的光不能使某金属发生光电效应，则氢原子从 n =" 6" 能级向 n =" 2" 能级跃迁时辐射出的光能使该金属发生光电效应（2）正电子发射计算机断层显象(PET)的基本原理是：将放射性同位素注入人体，在人体内衰变放出的正电子与人体内的负电子相遇而湮灭，转化为一对γ光子，被探测器探测到，并经计算机处理后产生清晰的图象．根据PET的原理，在人体内衰变的方程式是&&&&&&&&&&&&&&&；在PET中，的主要用途是作为&&&&&&&&&&&&&&．（3）如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球在光滑水平面上分别以速度v1、v2同向运动，并发生对心碰撞，碰后m2被右侧墙壁原速弹回，又与m1碰撞，再一次碰撞后两球都静止．求第一次碰后m1球速度的大小.
科目：高中物理
来源：江苏省扬州市2010届高三第四次模拟考试
题型：实验题
&选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，如都作答，则按A、B两小题评分．)A．(选修模块3-3)(12分)⑴下列说法正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&&&&& ）A．熵是物体内分子运动无序程度的量度B．由氢气的摩尔体积和每个氢分子的体积可估算出阿伏加德罗常数C．满足能量守恒定律的客观过程都不是可以自发进行的D．液体表面层的分子比液体内部的分子有更大的分子势能(2) 一定质量的理想气体由状态A经状态B变化到状态C的p-V图象如图所示．在由状态A变化到状态B的过程中，理想气体的温度&&&&&&&&&（填“升高”、“降低”或“不变”）．在由状态A变化到状态C的过程中，理想气体吸收的热量&&&&&&它对外界做的功（填“大于”、“小于”或“等于”）．&(3) 已知阿伏加德罗常数为6.0×1023mol-1，在标准状态（压强p0=1atm、温度t0=0℃）下任何气体的摩尔体积都为22.4l，设第（2）问中理想气体在状态A下的温度为0℃，求该气体的分子数．（计算结果取两位有效数字） B．(选修模块3-4)(12分)⑴以下说法中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(& &&&&)A．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加一个偏振片以增加透射光的强度B．全息照片往往用激光来拍摄，主要是利用了激光的相干性C．根据宇宙大爆炸学说，遥远星球发出的红光被地球接收到时可能是红外线D．超声波可以在真空中传播⑵平行光a垂直射向一半径为R的玻璃半球的平面，其截面如图所示，发现只有P、Q之间所对圆心角为60°的球面上有光射出，则玻璃球对a光的折射率为&&&&&&&&，若仅将a平行光换成b平行光，测得有光射出的范围增大，设a、b两种色光在玻璃球中的速度分别为va和vb，则va &&&&&&&vb（选填“&”、“&”或“=”）．⑶在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点间的距离均为0.1m，如图(a)所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，振幅为0.2m，经过时间0.3s第一次出现如图（b）所示的波形．试写出质点1的振动方程．C．(选修模块3-5)(12分)⑴下列说法正确的有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&& ）A．卢瑟福的α粒子散射实验可以估测原子核的大小B．氢原子辐射出一个光子后，氢原子的电势能增大，核外电子的运动加速度增大C．物质波是一种概率波，在微观物理学中不可以用“轨迹”来描述粒子的运动D．若氢原子从 n = 6 能级向 n = 1 能级跃迁时辐射出的光不能使某金属发生光电效应，则氢原子从 n = 6 能级向 n = 2 能级跃迁时辐射出的光能使该金属发生光电效应⑵正电子发射计算机断层显象(PET)的基本原理是：将放射性同位素注入人体，在人体内衰变放出的正电子与人体内的负电子相遇而湮灭，转化为一对γ光子，被探测器探测到，并经计算机处理后产生清晰的图象．根据PET的原理，在人体内衰变的方程式是&&&&&&&&&&&&&&&；在PET中，的主要用途是作为&&&&&&&&&&&&&&．⑶如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球在光滑水平面上分别以速度v1、v2同向运动，并发生对心碰撞，碰后m2被右侧墙壁原速弹回，又与m1碰撞，再一次碰撞后两球都静止．求第一次碰后m1球速度的大小.&
科目：高中物理
如图20所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连，物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长， E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均，重力加速度取g。（1）求物块滑到B点的速度大小；（2）若板右端到C的距离L足够大，求当两物体共速时板滑行的距离；（3）若板右端到C的距离L在R&L&5R范围内取值，试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功与L的关系。
科目：高中物理
题型：阅读理解
&选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，如都作答，则按A、B两小题评分．)A．(选修模块3-3)(12分)⑴下列说法正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&&&&& ）A．熵是物体内分子运动无序程度的量度B．由氢气的摩尔体积和每个氢分子的体积可估算出阿伏加德罗常数C．满足能量守恒定律的客观过程都不是可以自发进行的D．液体表面层的分子比液体内部的分子有更大的分子势能(2) 一定质量的理想气体由状态A经状态B变化到状态C的p-V图象如图所示．在由状态A变化到状态B的过程中，理想气体的温度&&&&&&&&&（填“升高”、“降低”或“不变”）．在由状态A变化到状态C的过程中，理想气体吸收的热量&&&&&&它对外界做的功（填“大于”、“小于”或“等于”）．&(3) 已知阿伏加德罗常数为6.0×1023mol-1，在标准状态（压强p0=1atm、温度t0=0℃）下任何气体的摩尔体积都为22.4l，设第（2）问中理想气体在状态A下的温度为0℃，求该气体的分子数．（计算结果取两位有效数字） B．(选修模块3-4)(12分)⑴以下说法中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(& &&&&)A．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加一个偏振片以增加透射光的强度B．全息照片往往用激光来拍摄，主要是利用了激光的相干性C．根据宇宙大爆炸学说，遥远星球发出的红光被地球接收到时可能是红外线D．超声波可以在真空中传播⑵平行光a垂直射向一半径为R的玻璃半球的平面，其截面如图所示，发现只有P、Q之间所对圆心角为60°的球面上有光射出，则玻璃球对a光的折射率为&&&&&&&&，若仅将a平行光换成b平行光，测得有光射出的范围增大，设a、b两种色光在玻璃球中的速度分别为va和vb，则va &&&&&&&vb（选填“&”、“&”或“=”）．⑶在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点间的距离均为0.1m，如图(a)所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，振幅为0.2m，经过时间0.3s第一次出现如图（b）所示的波形．试写出质点1的振动方程．C．(选修模块3-5)(12分)⑴下列说法正确的有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&& ）A．卢瑟福的α粒子散射实验可以估测原子核的大小B．氢原子辐射出一个光子后，氢原子的电势能增大，核外电子的运动加速度增大C．物质波是一种概率波，在微观物理学中不可以用“轨迹”来描述粒子的运动D．若氢原子从 n = 6 能级向 n = 1 能级跃迁时辐射出的光不能使某金属发生光电效应，则氢原子从 n = 6 能级向 n = 2 能级跃迁时辐射出的光能使该金属发生光电效应⑵正电子发射计算机断层显象(PET)的基本原理是：将放射性同位素注入人体，在人体内衰变放出的正电子与人体内的负电子相遇而湮灭，转化为一对γ光子，被探测器探测到，并经计算机处理后产生清晰的图象．根据PET的原理，在人体内衰变的方程式是&&&&&&&&&&&&&&&；在PET中，的主要用途是作为&&&&&&&&&&&&&&．⑶如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球在光滑水平面上分别以速度v1、v2同向运动，并发生对心碰撞，碰后m2被右侧墙壁原速弹回，又与m1碰撞，再一次碰撞后两球都静止．求第一次碰后m1球速度的大小.&
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高等数学 人大 吴 第四版 第八章 多元函数微分学习题解
习题 8-1★1.设f ( x, y ) =2 xy x + y22，求y f (1, ) 。 x解：y y x = 2 xy f (1, ) = x 12 + ( y )2 x 2 + y 2 x 2 f (u , v, w) = u w + wu + v ，试求 f ( x + y, x ? y, xy ) 。★2. 已知函数xy 2x 解： f ( x + y , x ? y , xy ) = ( x + y ) + ( xy )★★3.设z = x + y + f ( x ? y ) ，且当 y = 0 时， z = x 2 ，求 f ( x) 。 x 2 = x + 0 + f ( x ? 0)，故解：将 y = 0 代入原式得：4.求下列函数的定义域：★（1）f ( x) = x 2 ? xz = ln( y 2 ? 2 x + 1)2 解：要使表达式有意义，必须 y ? 2 x + 1 & 0∴所求定义域为D = {( x, y ) | y 2 ? 2 x + 1 & 0}★（2）z = x? y解：要使表达式有意义，必须 x ?★★（3） uy ≥ 0 ， ∴ D = {( x, y ) | x ≥ y }= arccosz x + y22解：要使表达式有意义，必须?1 ≤z x2 + y 2≤1∴ D = {( x, y, z ) | ? x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 }★★★（4）z=4x ? y2 ln(1 ? x 2 ? y 2 )?4 x ? y 2 ≥ 0 ? 2 2 ?1 ? x ? y & 0 ?ln(1 ? x 2 ? y 2 ) ≠ 0 = ln1 ?解：要使表达式有意义，必须∴ D = {( x, y ) | 0 & x 2 + y 2 ≤ 1, y 2 ≤ 4 x}★★（5）z = ln( y ? x) +x 1? x ? y22?y ? x & 0 ? ∴ D = {( x, y ) | x 2 + y 2 & 1, 0 ≤ x & y} 解：要使表达式有意义，必须 ? x ≥ 0 ? 2 2 ?1 ? x ? y & 05.求下列极限：★（1） limx →1 y →0ln( x + e y ) x2 + y 2知识点：二重极限。 思路： (1, 0) 为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。解： limx →1 y →0ln( x + e y )x2 + y 2=ln 2 = ln 2 1★★（2） lim2 ? xy + 4 x →0 xy y →0知识点：二重极限。 思路： 应用有理化方法去根号。 解： = limx →0 y →0? xy ?1 1 = lim =? 4 xy (2 + xy + 4) x →0 2 + xy + 4 y →0★★★（3）x →+∞ y →+∞lim ( x 2 + y 2 )e ? ( x + y ) ( x + y )2 ? 2 xy ( x + y)2 2 x y = lim ( x + y ? x ? y ) ， x →+∞ x →+∞ e x+ y e e e y →+∞ y →+∞解： 原式 = limQ limx →+∞ y →+∞2x y = 0, lim y = 0 x x →+∞ e e y →+∞( x + y )2 u = x + y u2 2u 2 = lim u = lim u = lim u = 0 ， x+ y x →+∞ u →+∞ e u →+∞ e u →+∞ e e y →+∞ lim ∴ lim( x 2 + y 2 )e ? ( x + y ) = 0x →∞ y →∞★★（4） limx →0 y →0xy x + y22解：方法一： （应用二重极限定义， ε ? δ 语言）Qxy x2 + y2≤x2 + y2 2 x2 + y 2=1 2 x + y2 2 xy恒有∴ ?ε & 0 取δ =2ε， 0 & x 2 + y 2 & δ 时 当x + y22?0 &ε∴ limx →0 y →0xy x + y22=0方法二： （夹逼定理）0≤xy x2 + y2xyx →0 y →0=x x2 + y 2=0? | y |≤| y |，又lim | y |= 0x →0 y →0∴ limx2 + y 2方法三 方法三： （极坐标代换）令x = r cos θ , y = r sin θ xy x +y2 2，则当( x, y ) → (0, 0) 时， r → 0 (0 ≤ θ ≤ 2π )∴ limx →0 y →0= limr →0r cos θ r sin θ = lim r cos θ sin θ = 0 r →0 r★★（5） limx →0 y →0x 2 + y 2 ? sin x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )3知识点：二重极限。 思路：先作变量替换，然后对未定型2 20 应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 0+解： 令 x + y = u ，则 ( x, y ) → (0, 0) 时， u → 0 ，∴1 2 u u ? sin u 洛必达 1 ? cos u 1 原式 = lim = lim = lim 2 2 = 。 3 2 + + + u →0 u →0 u → 0 3u u 3u 6 1 ? cos( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 )e x2 2★★★（6） limx →0 y →0y解： limx →0 y →01 ? cos( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 )e x2 2y= lim2 2 1 ? cos( x 2 + y 2 ) 1 ? cos( x 2 + y 2 ) lim e x y = lim x →0 x →0 x →0 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y 2 ) y →0 y →0 y →0x 2 + y 2 =u1 2 u 1 ? cos u = lim = lim+ 2 = 0 u →0+ u →0 u u6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若 ( x, y ) 沿不同曲线趋于 ( x0 , y0 ) 时，极限值不同，则二重极限不存在。★★（1）( x , y ) → (0,0)limx+ y x? y证：取 y = kx ，则x+ y (1 + k ) x 1 + k = lim = ( x , y ) → (0,0) x ? y x → 0 (1 ? k ) x 1? k y = kx lim★★★★（2） lim(1 +x →0 y →0，易见极限会随 k 值的变化而变化，故原式极限不存在。xy )1 x+ y方法一 证：方法一：lim(1 + xy )x →0 y →01 x+ y= lim(1 + xy )x →0 y →01 xy ? xy x + y= lim[(1 + xy ) ]x →0 y →01 xy xy x + y现考虑limxy ， x →0 ( x + y ) y →0若 ( x, y ) 沿 x 轴趋于 (0, 0) ，则0 上式 = lim = 0 ，从而 lim(1 + xy ) x + y = e0 = 1 x →0 2 x x →0 y =0 y →0x1x x xy x ?1 = 1 ， 若 ( x, y ) 沿曲线 y = 趋于 (0, 0) ，则 lim = lim x →0 ( x + y ) x →0 x x ?1 y →0 x x+ y= x ?1 x ?11从而lim(1 + xy ) x + y = ex →0 y →0故原式极限不存在。方法二：若取 xn=1 1 , yn = ，则 n n1 x+ ylim(1 + xy )x →0 y →01 n 1 2 ? 2n ? = lim(1 + 2 ) 2 = lim ?(1 + 2 ) n ? = e0 = 1 n →∞ n →∞ n n ? ?1若取 xn1 1 = ? , yn = ，则 n n +11 x+ yx →0 y →0lim(1 + xy )? 1 ? = lim ?1 ? ? n →∞ ? n(n + 1) ?? n ( n +1)=e故原式极限不存在。★★★（3） limx →0 y →0xy + 1 ? 1 x+ y解： limx →0 y →0xy + 1 ? 1 xy = lim x → 0 ( x + y )( xy + 1 + 1) x+ y y →00 =0 x →0 2 x y =0若 ( x, y ) 沿 x 轴趋于 (0, 0) ，则 上式 = limx x x x ?1 = 1 若 ( x, y ) 沿曲线 y = 趋于 (0, 0) ，则上式 = lim x →0 x x ?1 x 2( x + ) 2 y= x ?1 x ?1故原式极限不存在。注：若 ( x, y ) 沿曲线 y = ? x 趋于 (0, 0) ，则 lim( x + y )( xy + 1 + 1) 0 = lim 2 = 0 x →0 x →0 ? x xy y →0 y =? x从而limx →0 y →0xy + 1 ? 1 xy = lim = ∞。 x → 0 ( x + y )( xy + 1 + 1) x+ y y →07.研究下列函数的连续性★（1）f ( x, y ) =y2 + 2x y2 ? 2x2 2 解：当 y ? 2 x = 0 时函数无定义，故函数的间断点集为 {( x, y ) | y = 2 x}★★★（2）f ( x, y ) = xy ln( x 2 + y 2 )由 0 ≤|解： 函数间断点为 (0, 0) ，1 xy ln( x 2 + y 2 ) |≤| ( x 2 + y 2 ) ln( x 2 + y 2 ) | 2 1 u = x2 + y 2 ln u 洛必达 又 lim( x 2 + y 2 ) ln( x 2 + y 2 ) = lim u ln u = lim = lim u = 0 x →0 u →0 u →0 1 u →0 1 y →0 ? 2 u u 2 2 故由夹逼定理 lim xy ln( x + y ) = 0 ，故 (0, 0) 为可去间断点。x →0 y →0★★★8.设1 ? 2 ye x ? , x ≠ 0, y任意 ? f ( x, y ) = ? 2 x22 ，讨论 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处是否连续？ y e +1 ? ? 0 , x = 0, y任意 ?知识点：二元函数连续 思路：若 lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) ，则函数 z = f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续。讨论 ( x0 , y0 ) 处二重极限x → x0 y → y0的存在性，若 ( x, y ) 沿不同曲线趋于 ( x0 , y0 ) 时，极限值不同，则二重极限不存在。1解：若 ( x, y ) 沿 x 轴趋于 (0, 0) ，则 limx →0 y →0ye x222= limy 2e x + 110 =0 x →0 1 y =01 1 = 1+1 2若 ( x, y ) 沿y=e?1x2轴趋于 (0, 0) ，则limx →0 y →0ye x222= limx →0 y =e? 1 x2y 2e x + 1故 limx →0 y →0f ( x, y ) 不存在，从而函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处是不连续。§8.2 偏导数 内容概要定义 性质 几何意义：?z ?xx = x0 y = y0= lim?x → 0f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ?x?f ( x0 , y0 ) ′ , f x ( x0 , y0 ) ?xz = f ( x, y )的偏导数f x ( x0 , y0 ) 表示空间曲线也记为z x ( x0 , y0 ), f x ( x0 , y0 ),偏 导 偏 导 数 数 同理可定义? z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) ? ? y = y0处的切线 Tx 关于 x 轴的斜率 偏导函数的求法： （1）多元函数对某自 变量求偏导时， 只需将其余自变量看为 常数，按一元函数求导法则计算导数。 （2）多元分段函数在分段点处偏导数 要用偏导数定义来求。?z ?yx = x0 y = y0= lim?y → 0f ( x0 , y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) ?y?f ( x0 , y0 ) ′ z y ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), , f y ( x0 , y0 ) ?y高 阶 偏 导 数若函数 z= f ( x, y ) 的偏导数 f x ( x, y ), f y ( x, y )如果 z= f ( x, y ) 的二阶混合偏导数在区域 D 内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二 阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。?2 z ?2 z , 在区域 D 内连续，则在 ?x?y ?y?xD 内这两个偏导数相等。课后习题全解习题 8-21. 求下列函数的偏导数：★（1）z = x 3 y + 3 x 2 y 2 ? xy 3 ；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量 x（y）求导时将另一自变量 y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。 解：?z = 3 x 2 y + 6 xy 2 ? y 3 ?x；?z = x3 + 6 x 2 y ? 3 xy 2 ?y★★（2）z=x2 + y 2 xy；解：x2 + y 2 x y z= = + ， xy y xz= x x + y22故?z 1 y = ? ; ?x y x 2?z 1 x = ? ?x x y 2★★（3）；解：?z = ?xx2 + y 2 ? x2x y2 ( x2 + y )3 2 22 x2 + y2 = x2 + y2；?z = ?y?x2y 2 x2 + y 2 = x2 + y2 ? xy (x2 + y2 ) 23注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。★★（4）z = ln( xy )；1 ? ?z 1 1 1 = (ln( xy )) 2 x= ?y 2 xy 2 y ln( xy )解：1 ? ?z 1 1 1 = (ln( xy )) 2 y= ?x 2 xy 2 x ln( xy )；★（5）z = sin( xy ) + cos 2 ( xy ) ；?z = cos( xy ) x + 2 cos( xy )(? sin( xy )) x ?y = x[cos( xy ) ? sin(2 xy )]?z = cos( xy ) y + 2 cos( xy )(? sin( xy )) y 解： ?x = y[cos( xy ) ? sin(2 xy )]★★★（6）z = (1 + xy ) y ；知识点：二元函数偏导数 思路：函数对自变量 x（y）求导时将另一自变量 y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量 x 求偏导时，函数为 x 的幂函数；对自变量 y 求偏导时，函数为 y 的幂指函数。解： 方法一?z = y (1 + xy ) y ?1 (1 + xy )′x = y (1 + xy ) y ?1 y = y 2 (1 + xy ) y ?1 ?xy ?z x = (eln(1+ xy ) )′y = (e y ln(1+ xy ) )′y = e y ln(1+ xy ) (ln(1 + xy ) + y ) ?y 1 + xy? xy ? = (1 + xy ) y ?ln(1 + xy ) + 1 + xy ? ? ?方法二： （ 方法二： 求?z 时也可利用下边第 5 节的隐函数求导法则） ?yln z = y ln(1 + xy )在方程两边同时取自然对数得 方程两边同时对自变量y 求偏导数，注意 z 为 x, y 的函数1 ?z x = ln(1 + xy ) + y z ?y 1 + xy ? ?z xy ? = (1 + xy ) y ?ln(1 + xy ) + 1 + xy ? ?y ? ?★★（7）z = ln tanx ； y解：?z 1 x 1 1 x x 2 2x = ? sec 2 ? = csc sec = csc ； x ?x tan y y y y y y y y ?z 1 x x x x x x 2x = ? sec2 ? (? 2 ) = ? 2 csc sec = ? 2 csc ?y tan x y y y y y y y y★★（8）x u = ( )z ； y知识点：多元函数偏导数 思路：函数对自变量 x（y 或 z）求导时将另两自变量 y，z（x，z 或 x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。解：?u x x x 1 z x = z ( ) z ?1 ? ( )′x = z ( ) z ?1 ? = ( ) z ?1 ； ?x y y y y y y ?u x x = ( ) z ? ln ?x y y?u x x x x z x = z ( ) z ?1 ? ( )′y = z ( ) z ?1 ? (? 2 ) = ? ( ) z ； ?y y y y y y y★★ 2. 设f ( x, y ) = x + ( y ? 1) arcsinx y，求f x ( x,1) 。f x ( x,1) = 1 ；解： 法一： f ( x,1) = x + (1 ? 1) arcsin 法二： f x ( x, y ) = 1 + ( y ? 1)x = x ，∴1 x 2 1? ( ) y?1 ， x y 2 y ?1∴ f x ( x,1) = 1★★★3.设1 ? 2 , x2 + y2 ≠ 0 ?( x + y ) sin 2 2 x +y ，求 f x′( x, y ), f y′( x, y ). f ( x, y ) = ? ? , x2 + y 2 = 0 ?0,知识点：多元分段函数偏导数。 思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。 解：当 ( x, y ) = (0, 0) 时，f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) f x′(0, 0) = lim = lim ?x → 0 ?x → 0 ?xf (0, 0 + ?y ) ? f (0, 0) = lim ?y → 0 ?y(?x) 2 sin ?x?y sin1 | ?x |=0f y′(0, 0) = lim?y → 01 1 | ?y | = lim sin ?y → 0 ?y | ?y |不存在。当( x, y ) ≠ (0, 0) 时，? f x′( x, y ) = 2 x sin = 2 x sin 1 x2 + y2 1 x +y2 2x x2 + y 2 x2 + y2+ ( x 2 + y ) cos x( x 2 + y ) (x + y )2 2 31 x2 + y2 1??cosx + y22? f y′( x, y ) = sin = sin 1 x2 + y2 1 x +y2 2y x + y2 x2 + y22+ ( x 2 + y ) cos ? y( x2 + y) (x + y )2 2 31 x2 + y2 cos 1?x + y22? x2 + y2 ?z = ★★4.曲线 ? 4 ?y = 4 ?在点 (2, 4,5) 处的切线与 x 轴正向所成的倾角是多少？知识点：多元函数偏导数的几何意义。 思路： z = f ( x, y ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) 表示空间曲线 ?于 x 轴的斜率， k? z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线 Tx 关 ? y = y0解：= tan α 。 ?z 2 x x ?z 2 = = ， = 1 = tan α (2,4,5) = ?x 4 2 ?x 2，∴ α=π45. 求下列函数的?2 z ?2 z ?2 z , 2和 ： ?x 2 ?y ?x?y★（1）z = x 2 ye y ； ?z = 2 ?x ?z = x 2 e y + x 2 ye y ?y解：∴?2 z ?2 z = (2 xye y )′x = 2 ye y ； = (2 xye y )′y = 2 xe y + 2 xye y = 2 x(1 + y )e y 2 ?x ?xy∴?2 z = ( x 2 e y + x 2 ye y )′y = x 2 e y + x 2 e y + x 2 ye y = x 2 (2 + y )e y ?y 2z = arctan y ； x★★（2）解：?z 1 y ?y = ? (? 2 ) = 2 ; y 2 ?x 1 + ( ) x x + y2 x?z 1 1 x = ? = y 2 x x2 + y 2 ?y 1 + ( ) x；∴?2 z ? ?y 2 xy = ( 2 )= 2 2 2 ( x + y 2 )2 ?x ?x x + y∴?2 z ? ?y ?( x 2 + y 2 ) + y ? 2 y y 2 ? x2 = ( 2 )= = 2 ( x 2 + y 2 )2 ( x + y 2 )2 ?x?y ?y x + y 2；?2 z ? x ?2 xy ∴ 2 = ( 2 )= 2 2 ( x + y 2 )2 ?y ?y x + y★★★（3）z = yx 。 ?z = xy x ?1 ?y解：?z = ?x?2 z ? x ?2 z ? x 2 ∴ 2 = ( y ln y ) = y (ln y ) ； = ( xy x ?1 ) = x( x ? 1) y x ? 2 2 ?x ?x ?y ?y?2 z ? 1 = ( y x ln y ) = xy x ?1 ln y + y x = y x ?1 ( x ln y + 1) ?x?y ?y y★★6. 设f ( x, y, z ) = xy 2 + yz 2 + zx 2 ，求 f xx (0, 0,1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, ?1, 0) 及 f zzx (2, 0,1) 。2解： f x = y + 2 zx, ∴ f xx = 2 f xz = 2 x ，又f y = 2 xy + z 2 , ∴ f yz = 2 z ，f z = 2 yz + x 2 , ∴ f zx = 2所以f zxx = 2f xx (0, 0,1) = 2, f xz (1, 0, 2) = 2, f yz (0, ?1, 0) = 0 ， f zzx (2, 0,1) = 0★★★7. 设z=y2 ?z ?z + ? ( xy ) ，其中 ? (u ) 可导，证明 x 2 + y 2 = xy 。 3x ?x ?y?z ?z 2 y y2 = ? 2 + ? ′( xy ) y, = + ? ′( xy ) x ， 证： ?x ?y 3 x 3x左边 = 右边 =x 2 (?y2 2 + ? ′( xy ) y ) + y 2 = y 2 + x 2 y? ′( xy ) ； 2 3x 3所以 左边=右边，题目得证。xy (2y 2 + ? ′( xy ) x) = y 2 + x 2 y? ′( xy ) ， 3x 3注： 本题中对抽象函数 ? ( xy ) 应用了一元复合函数求导法则。★★8.?3 z 设 z = x ln( xy ) ，求 ?x 2 ?y?3 z 及 ?x?y 2。解：?z 1 = ln( xy ) + x ? ? y = ln( xy ) + 1, ?x xy?2 z 1 1 ?3 z = ? y = ，∴ 2 = 0 ； ?x 2 xy x ?x ?y ?2 z 1 1 ?3 z 1 = ?x = , ∴ =? 2 2 y y ?x?y xy ?x?y§8.3 全微分及其应用 内容概要如果函数 z 为 ?z 定 义 数在点 ( x, y ) 可微，全微分 dz （1）若函数 z= f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全增量 ?z = f ( x + ?x, y + ?y ) ? f ( x, y ) 可表示，则称函= A?x + B?y + o( ρ ) ，其中 A, B 与 ?x, ?y 无关， ρ = (?x) 2 + (?y ) 2= A?x + B?y 。= f ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微，则 z = f ( x, y ) 在 ( x, y ) 连续 = f ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微，则 limρ →0（2）若函数 z 全?z ? dzρ= 0 ；从而若 limρ →0?z ? dzρ≠ 0 ，则微 分 及 其 应 用性 质函数 z= f ( x, y ) 在 ( x, y ) 不可微。 = f ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微，则 z = f ( x, y ) 在 ( x, y ) 偏导数存在，且（3）若函数 zdz =?z ?z dx + dy ?x ?y = f ( x, y ) 在 ( x, y ) 的某邻域存在偏导数且?z ?z dx + dy ?x ?y ?z ?z ， 在 ( x, y ) 连续，则函数在 ?x ?y（4）若函数 z( x, y ) 可微，且 dz =全 微 分 若函数 z= f ( x, y ) 在 ( x, y ) 的某邻域内偏导数 f x ， f y 在 ( x, y ) 连续，且 | ?x |,| ?y | 都比?z ≈ dz = f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y较小时，有全增量近似公式 应 用 函数值近似公式f ( x + ?x, y + ?y ) ≈ f ( x, y ) + f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y课后习题全解习题 8-31.求下列函数的全微分：★（1）z = 3x 2 y +x ； y知识点：全微分。 思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式 dz =?z ?z dx + dy 。 ?x ?y解：?z 1 = 6 xy + , ?x y?z x = 3x 2 ? 2 ?y y所以1 x dz = (6 xy + )dx + (3 x 2 ? 2 )dy y yz = sin( x cos y ) ； ?z = cos( x cos y )(? x sin y ) ?y★★（2）解：?z = cos( x cos y ) cos y, ?x所以dz = cos( x cos y ) cos ydx ? x sin y cos( x cos y )dy = x yz ；★★★（3） u解：?u = yzx yz ?1 , ?x?u = x yz ln x ? z = zx yz ln x, ?y?u = x yz ln x ? y = yx yz ln x ?z所以du = yzx yz ?1dx + zx yz ln xdy + yx yz ln xdz z = ln(2 + x 2 + y 2 ) 在 x = 2, y = 1 时的全微分。2x 2 + x2 + y 2 4 = , 7 ?z ?y = 2y 2 + x2 + y 2 = 2 7★★2. 求函数解：?z ?xx =2 y =1=x=2 y =1x =2 y =1x=2 y =1所以dz =4 2 dx + dy 7 7★★★3. 设f ( x, y , z ) =zx y，求 df(1,1,1)解：1 x 1 ?1 1 1 x 1 ?1 1 x 1 ?1 x 1 x 1 z z z f x = ( ) ? = ( ) , f y = ( ) ? (? 2 ) = ? ( ) z z y y yz y z y y yz y x 1 x 1 1 x 1 x f z = ( ) z ln( ) ? (? 2 ) = ? 2 ( ) z ln( ) y y z z y y故f x (1,1,1) = 1, f y (1,1,1) = 1, z=f z (1,1,1) = 0从而dz = dx ? dy★★4. 求函数解：y 在 x = 2, y = 1, ?x = 0.1, ?y = ?0.2 时的全增量 ?z 和全微分 dz 。 x y + ?y y y 1 ?z = ? , dz = ? 2 ?x + ?y x + ?x x x x 1 + (?0.2) 1 ? = ?0.119, 2 + 0.1 2的近似值将x = 2, y = 1, ?x = 0.1, ?y = ?0.2 代入得：全增量?z =全微分 dz=?1 1 ? 0.1 + ? (?0.2) = ?0.125 2 2 2★★5. 计算(1.02)3 + (1.97)3知识点：全微分 思路：应用全微分近似计算公式 f ( x + ?x, y + ?y ) ≈ f ( x, y ) + f x ( x, y ) ?x + f y ( x, y ) ?y 解 ： 设 f ( x, y ) =似值。 取x3 + y 3，则要计算的近似值就是该函数在 x= 1.02, y = 1.97 时的函数值的近x = 1, y = 2, ?x = 0.02, ?y = ?0.03 3x 2 2 x3 + y 3 , f y ( x, y ) = 3 y2 2 x3 + y 3又f x ( x, y ) =应用公式( x + ?x) + ( y + ?y ) ≈ x + y +3 3 3 33x 2 2 x3 + y 3 0.02 +?x +3 y2 2 x3 + y 3 (?0.03)?y所以(1.02)3 + (1.97)3 ≈ 13 + 23 += 2.953 ?12 2 13 + 233 ? 22 2 13 + 23★★ 6. 计算 (1.007)2.98的近似值知识点：全微分 思路：应用全微分近似计算公式 f ( x + ?x, y + ?y ) ≈ f ( x, y ) + f x ( x, y ) ?x + f y ( x, y ) ?yy 解： 设 f ( x, y ) = x ，则要计算的近似值就是该函数在 x = 1.007, y = 2.98 时的函数值的近似值。取x = 1, y = 3, ?x = 0.007, ?y = ?0.02又f x ( x, y ) = yx y ?1 , f y ( x, y ) = x y ln x所以f (1,3) = 1, f x (1, 3) = 3, f y (1, 3) = 0,所以(1.007) 2.98 = (1 + 0.007)3? 0.02 ≈ 1 + 3 ? (0.007) + 0 ? (?0.02) = 1.021x = 6m 与 y = 8m 的矩形，如果边 x 增加 2cm ，而边 y 减少 5cm ，问这个矩形的★★7. 已知边长为对角线的近似变化怎样？知识点：全微分 思路：应用全微分近似计算公式 ?z ≈ dz = 解：由题意知矩形的对角线为 z =?z ?z ?x + ?y ?x ?yx2 + y 2则有?z ≈ dz =?z ?z ?x + ?y ， ?x ?y其中?z = ?xx x2 + y 2,?z = ?yy x2 + y2，x= 6, y = 8, ?x = 0.02, ?y = ?0.05所以?z ≈ dz =6 8 ? (0.02) + ? (?0.05) = ?0.028 10 10即矩形的对角线近似减少 2.8cm。★★8. 用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长 5m ，宽 4m ，高 3m ，厚 20cm ，求所需材料的近似值与精确值。解：设容器的长宽高分别为 x, y , z ，则长方体体积为 V = xyz ，从而所需材料的精确值为 ?V由题意可知， x= 5, y = 4, z = 3, ?x = ?0.4, ?y = ?0.4, ?z = ?0.2故 精确值 ?V 近似值 ?V= 5 × 4 × 3 ? 4.6 × 3.6 × 2.8 = 13.632 (m2 )≈ ?dV = ?( yz ?x + xz ?y + xy?z ) = 14.8(m 2 )= V I。若测得 V=110V，测量的最大绝对误差为 2V，★★9. 有欧姆定律，电流 I，电压 V 及电阻 R 有关系 R测得 I=20A，测量的最大绝对误差为 0.5A。问由此计算所得到的 R 的最大误差和最大相对误差是多少？解：其中 VdR =?R ?R 1 V dV + dI = dV ? 2 dI ?V ?I I I= 110, I = 20, δ1 = 2, δ 2 = 0.5 ， δ1 , δ 2 分别为测量电压和电流的绝对误差；故1 V 1 |V | | ?R |≈| dR |≤| dV | + | ? 2 dI |≤ δ1 + 2 δ 2 I I |I| I = R= 1 110 × 2 + 2 × 0.5 = 0.2375 ≈ 0.24 20 20故又V 110 = = 5.5 ， I 20dR 0.24 ≤ = 0.044 = 4.4% R 5.5从而 R 的最大误差为 0.24? ，最大相对误差是 4.4% 。§8.4 复合函数微分法 内容概要类型 复合函数的 中间变量均 为一元函数 有连续偏导数，则复合函数 的情形 如果函数 u 求导法则= u (t ) 及 v = v(t ) 在点 t 处可导，函数 z = f (u , v) 在对应点 (u , v) 出具 z = f (u (t ), v(t ))在对应点t处可导，且dz ?z du ?z dv = + dt ?u dt ?v dt复合函数中 间变量为多 元函数情形 复 合 函 导，且 数 微 复合函数中 分 间变量既有 法 一元函数又 有多元函数 的情形 函数 z 如果函数 u 如果函数 u= u ( x, y ) 及 v = v( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可导，函数 z = f (u , v) 在对应点(u , v) 出具有连续偏导数，则复合函数 z = f [u ( x, y ), v( x, y )] 在对应点 ( x, y ) 处可 ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v = + ， = + ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y = u ( x, y ) 及在点 ( x, y ) 处可导函数 v = v( y ) 在 y 点可导，= f (u , v) 在对应点 (u , v) 出具有连续偏导数，则复合函数z = f [u ( x, y ), v( y )] 在对应点 ( x, y ) 处可导，且?z ?z ?u ?z ?z ?u ?z dv = ， = + ?x ?u ?x ?y ?u ?y ?v dy= f ( x, y, u ) ， u = u ( x, y ) ，则 z = f ( x, y, u ( x, y )) ?z ?f ?f ?u = + ?y ?y ?u ?y注：若 z?z ?f ?f ?u = + ?x ?x ?u ?x其中；?f 为 f 对中间变量 x 的偏导数，此时应将 z = f ( x, y , u ) 中变量 y, u 看做常 ?x ?z 数；而 为 z = f ( x, y , u ( x, y )) 对自变量 x 的偏导数，此时将自变量 y 看为常数。 ?x ?f ?z 与 区别同上。 ?y ?y课后习题全解习题 8-4★★1. 设z=y dz t 2t ，而 x = e , y = 1 ? e ，求 x dt解：dz ?z dx ?z dy = ? + ? dt ?x dt ?y dty t 1 1 ? e 2t 1 ? e + ? ( ? 2e 2 t ) = ? 2 t ? e t + t ? ( ? 2e 2 t ) 2 x x e e ?t t = ? (e + e ) =?★★2. 设z = e x ? 2 y ，而 x = sin t , y = t 3 ，求dz dt解：dz ?z dx ?z dy = ? + ? dt ?x dt ?y dt= e x ? 2 y ? cos t + e x ? 2 y (?2) ? 3t 2 = esin t ? 2 t (cos t ? 6t 2 )3★★3. 设z = u 2 + v 2 ，而 u = x + y, v = x ? y ，求?z ?z , ?x ?y ?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?y ?u ?y ?v ?y解：?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x= 2u ?1 + 2v ?1 = 2( x + y ) + 2( x ? y ) = 4 x= 2u ?1 + 2v ? (?1) = 2( x + y ) ? 2( x ? y ) = 4 y★★4.设z = ( x 2 + y 2 ) xy ，求?z ?z , ?x ?y2 2 v 2 2 解： 令 u = x + y , v = xy, 则函数可看为 z = u , u = x + y , v = xy 复合而成的函数，从而?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x = vu v ?1 ? 2 x + u v ln u ? y?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?y ?u ?y ?v ?y = vu v ?1 ? 2 y + u v ln u ? x2 x2 y = (x + y ) ( 2 + y ln( x 2 + y 2 )) 2 x +y2 2 xy2 xy 2 = (x + y ) ( 2 + x ln( x 2 + y 2 )) 2 x +y2 2 xy注：本题也可根据幂指函数求导法则 u ( x )导法。★★5.设(v( x)) ′ = (exln u ( x )v ( x )) ′ = (exv ( x )ln u ( x )) ′ 计算或用对数求xz = arctan( xy ), y = e x ，求dz dx解：dz ?z ?z dy = + ? dx ?x ?y dx（?z 指 z 对中间变量 x 的偏导数， 此时将 z = arctan( xy ) 中 y 看为常量） ?x=y x e x (1 + x) + ? ex = 1 + ( xy ) 2 1 + ( xy ) 2 1 + x 2 e2 xf具有一阶连续偏导数） ：6. 求下列函数的一阶偏导数（其中★★（1）u = f ( x 2 ? y 2 , xy )2 2 2 2 解：令 s = x ? y , t = xy ，则原函数为 u = f ( s, t ), s = x ? y , t = xy 复合而成的函数，按多元复合函数求道法则有：?u ?f ?s ?f ?t = ? + ? = 2 xf s′ + yf t′ ?x ?s ?x ?t ?x ?u ?f ?s ?f ?t = ? + ? = ?2 yf s′ + xf t′ ?y ?s ?y ?t ?y★★★（2）x y u = f ( , ); y z x y x y x y , t = ，则原函数为 u = f ( , ), s = , t = y z y z y z解： 令 s =复合而成的函数，按多元复合函数求导法则有：?u ?f ?s ?f ?t 1 1 = ? + ? = f s′ + 0 = f s′ ?x ?s ?x ?t ?x y y?u ?f ?s ?f ?t x2 1 = ? + ? =? f s′ + f t′ ?y ?s ?y ?t ?y y z?u ?f ?s ?f ?t y y = ? + ? = 0 ? 2 ft ′ = ? 2 f t ′ ?z ?s ?z ?t ?z z z★★（3）u = f ( x, xy, xyz )知识点：多元复合函数求导法则。 思路：函数有三个中间变量，其中变量 x 既是中间变量又是自变量。 解： 令 s = xy , t = xyz ，则函数为 u = f ( x, s, t ), s = xy , t = xyz 复合而成，按复合函数求导法则有：?u ?f ?f ?s ?f ?t = + ? + ? ?x ?x ?s ?x ?t ?x（其中?f 为函数 f ?x对中间变量 x 的导数）= f x′ + yf s′ + yzf t′?u ?f ?f ?s ?f ?t = ? 0 + ? + ? = xf s′ + xzf t′ ?y ?x ?s ?y ?t ?y ?u ?f ?f ?f ?t = ? 0 + ? 0 + ? = xyft′ ?y ?x ?s ?t ?z★★★7.设z=y ，其中 f f (x ? y2 )2为可导函数，验证：1 ?z 1 ?z z + = 2 x ?x y ?y y u v。知识点：多元复合函数微分法。2 2 思路：本题为抽象函数 f ( x + y ) 的复合函数，故要用商式求导法则 ( )′ =u ′v ? uv′ ，再按复合函 v2数求导法则求导。2 2 证：令 u = x ? y ，则?z ? yf ′(u ) ? 2 x 2 xyf ′(u ) = =? 2 ， 2 ?x f (u ) f (u )?z f (u ) ? yf ′(u ) ? (?2 y ) f (u ) + 2 y 2 f ′(u ) = = ， ?y f 2 (u ) f 2 (u )所以有：1 ?z 1 ?z 1 ?2 xyf ′(u ) 1 f (u ) + 2 y 2 f ′(u ) ?2 xy 2 f ′(u ) + xf (u ) + 2 xy 2 f ′(u ) + = ? + = x ?x y ?y x f 2 (u ) y f 2 (u ) xyf 2 (u )= 1 1 y z = = 2 = 2 2 2 2 2 yf (u ) yf ( x ? y ) y f ( x ? y ) y。★★★8.设 u= f ( x + y + z , x 2 + y 2 + z 2 ) ，其中 f有二阶连续偏导数，求 ?u=? 2u ? 2u ? 2 u + + ?x 2 ?y 2 ?z 22 2 2 解： 令 s = x + y + z , t = x + y + z ，则函数可看为u = f ( s, t ), s = x + y + z , t = x 2 + y 2 + z 2 复合而成的函数，由求导法则有：?u ?f ?s ?f ?t = ? + ? = f s′ + 2 xf t′ ?x ?s ?x ?t ?x，?u ?f ?s ?f ?t = ? + ? = f s′ + 2 yf t′ ?y ?s ?y ?t ?y，?u ?f ?s ?f ?t = ? + ? = f s′ + 2 zf t′ ?z ?s ?z ?t ?z函数f s′ 仍为 f s′ ( s, t ), s = x + y + z , t = x 2 + y 2 + z 2 复合而成的复合函数， 依然以 s, t 为中间变f有二阶连续偏导数，得量以 x, y , z 为自变量，且由?f ′ ?s ?f ′ ?t ? 2u ? ( f s′ + 2 xft′ ) ?f s′ ?s ?f s′ ?t = =( ? + ? ) + 2 f t′ + 2 x ? ( t ? + t ? ) ?x 2 ?x ?s ?x ?t ?x ?s ?x ?t ?x= f ss′′ + 2 xf st′′ + 2 f t′ + 2 x( f ts′′ + 2 xftt′′ ) = f ss′′ + 4 xf st′′ + 4 x 2 f tt′′ + 2 f t′又由函数对自变量的对称性可得：? 2u = f ss′′ + 4 yf st′′ + 4 y 2 f tt′′ + 2 f t′ 2 ?y∴ ?u =? 2u ， = f ss′′ + 4 zf st′′ + 4 z 2 f tt′′ + 2 f t′ 2 ?z? 2u ? 2u ? 2u + 2 + 2 = 3 f ss′′ + 4( x + y + z ) f st′′ + 4( x 2 + y 2 + z 2 ) f tt′′ + 6 ft′ 2 ?x ?y ?z ?2 z ?x?y★★9.设z = f (2 x ? y, y sin x) ，其中 f具有连续二阶偏导数，求解： 令 u = 2 x ? y , v = y sin x ， 则函数为 u = f (u , v ), u = 2 x ? y , v = y sin x 复合而成，按复合函数求导法有：?z ?f ?u ?f ?v = ? + ? = 2 fu′ + y cos xf v′ ?x ?u ?x ?v ?x由，f (u , v) 为 u , v 的函数，所以 f u′, f v′ 仍为以 u , v 为中间变量，以 x, y 为自变量的函数，故?f ′ ?u ?f ′ ?v ?f ′ ?u ?f ′ ?v ? 2 z ? (2 f u′ + y cos xf v′ ) = = 2( u ? + u ? ) + f v′ cos x + y cos x( v ? + v ? ) ?x?y ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?y ?v ?y′′ ′′ ′′ ′′ = 2(? fuu + f uv sin x) + f v′ cos x + y cos x(? f vu + f vv sin x) ′′ ′′ ′′ = ?2 f uu + (2 sin x ? y cos x) f uv + y cos x sin xf vv + f v′ cos x（与课后答案不同。 ） （f具连续二阶偏导数′′ ′′ f uv = f vu ）10.求下列函数的?2 z ?2 z ?2 z , , （其中 f ?x 2 ?x?y ?y 2具有二阶连续偏导数）★★★（1）z = f ( xy, y )解：令 u = xy ，则函数为 u = f (u , y ), u = xy 复合而成的函数，其中变量 y 既是中间变量又是自变量，按复合函数求导法有：?z ?f ?u ?f = ? + ? 0 = yf u′ ?x ?u ?x ?y，?z ?f ?u ?f = ? + = xf u′ + f y′ ?y ?u ?y ?y（其中?f 是函数对中间变量 ?yy 的偏导数，求解时将中间变量 u 看作常量）又由f (u , y ) 为 u , y 的函数，所以 f u′, f y′ 仍为以 u , y 为中间变量，以 x, y 为自变量的函数，故?f ′ ?u ?f ′ ? 2 z ? ( yf u′) ′′ = = y ( u ? + u ? 0) = y 2 fuu 2 ?x ?x ?u ?x ?y ?f ′ ?u ?f ′ ? 2 z ? ( yf u′) ′′ ′′ = = y ( u ? + u ) + f u′ = xyf uu + yf uy + fu′ ?x?y ?y ?u ?y ?y ?f ′ ?u ?f ′ ?f y′ ?u ?f y′ ? 2 z ? ( xf u′ + f y′) = = x( u ? + u ) + ? + ?y 2 ?y ?u ?y ?y ?u ?y ?y′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = x 2 fuu + xf uy + xf yu + f yy = x 2 f uu + 2 xf uy + f yy★★（2）解：令y z = f ( , x2 y) x y y u = , v = x 2 y ， 则函数为 u = f (u , v), u = , v = x 2 y 复合而成，按多元复合函数求导法： x x，?z ?f ?u ?f ?v ? y f u′ + 2 xyf v′ = ? + ? = ?x ?u ?x ?v ?x x 2由?z ?f ?u ?f ?v 1 = ? + ? = f u′ + x 2 f v′ ?y ?u ?y ?v ?y xf (u , v) 为 u , v 的函数，所以 f u′, f v′ 仍为以 u , v 为中间变量，以 x, y 为自变量的函数，故?( ?y f u′ + 2 xyf v′ ) ?f ′ ?u ?f ′ ?v ? y ?f ′ ?u ?f ′ ?v 2 y x2 = 2 ( u ? + u ? ) + 3 f u′ + 2 xy ( v ? + v ? ) + 2 yf v′ ?x x ?u ?x ?v ?x x ?u ?x ?v ?x ?y ?y 2y ?y ′′ ′′ ′′ ′′ = 2 ( f uu ? 2 + f uv ? 2 xy ) + 3 f u′ + 2 xy ( f vu ? 2 + f vv ? 2 xy ) + 2 yf v′ x x x x y2 4 xy 2 2y ′′ ′′ ′′ f uu ? 2 f uv + 3 f u′ + 4 x 2 y 2 f vv + 2 yf v′ （ f 4 x x x具连续二阶偏导数?2 z = ?x 2=′′ ′′ f uv = f vu ）?y ? ( 2 f u′ + 2 xyf v′ ) ?f ′ ?u ?f ′ ?v ?2 z ? y ?f ′ ?u ?f ′ ?v 1 = x = 2 ( u ? + u ? ) ? 2 fu′ + 2 xy ( v ? + v ? ) + 2 xf v′ ?x?y ?y x ?u ?y ?v ?y x ?u ?y ?v ?y ?y 1 1 1 ′′ ′′ ′′ ′′ = 2 ( f uu ? + f uv ? x 2 ) ? 2 f u′ + 2 xy ( f vu ? + f vv ? x 2 ) + 2 xf v′ x x x x ?y 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = 3 fuu + yf uv ? 2 fu′ + 2 x3 yf vv + 2 xf v′ （ f 具连续二阶偏导数 f uv = f vu ） x x与书后答案不同1 f u′ + x 2 f v′ ) ?f ′ ?u ?f ′ ?v ? z 1 ?f ′ ?u ?f ′ ?v x = = ( u ? + u ? ) + x2 ( v ? + v ? ) 2 ?y ?y x ?u ?y ?v ?y ?u ?y ?v ?y 1 1 1 ′′ ′′ ′′ ′′ = ( f uu ? + f uv ? x 2 ) + x 2 ( f vu ? + f vv ? x 2 ) x x x 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = 2 f uu + 2 xf uv + x 4 f vv （ f 具连续二阶偏导数 f uv = f vu ） x2?(★★★11.设z = f ( x, y ) 二次可微，且 x = eu cos v, y = eu sin v ，试证：?2 z ?2 z ?2 z ?2 z + 2 = e ?2u ( 2 + 2 ) ?x 2 ?y ?u ?v知识点：多元复合函数的求导法则 思路：在本题中将函数看为 u , v 的函数时， x, y 是中间变量的角色。按链式法则对自变量 u , v 求导即得右边；将函数看为 x, y 的函数时按求导法则即得左边。证：?z ?z = f x′eu cos v + f y′ = ? f x′eu sin v + f y′eu cos v ； ?u ?v?2 z = ( f x′eu cos v)′ + ( f y′eu sin v)′ u u 2 ?u ′′ ′′ ′′ ′′ = eu cos v( f xx eu cos v + f xy eu sin v) + f x′eu cos v + eu sin v( f yx eu cos v + f yy eu sin v) + f y′eu sin v′′ ′′ ′′ = e2 u cos 2 vf xx + 2eu sin v cos vf xy + e2u sin 2 vf yy + f x′eu cos v + f x′eu sin v（f二次可微，故′′ ′′ f xy = f yx ）?2 z = (? f x′eu sin v)′ + ( f y′eu cos v)′ v v ?v 2 ′′ ′′ ′′ ′′ = ?eu sin v( f xx (?eu sin v) + f xy eu cos v) ? f x′eu cos v + eu cos v( f yx (?eu sin v) + f yy eu cos v) ? f y′eu sin v′′ ′′ ′′ = e2 u sin 2 vf xx ? 2eu sin v cos vf xy + e 2u cos 2 vf yy ? f x′eu cos v ? f y′eu sin vf ′′ ′′ ；又 f xy = f yx ） ?2 z ?2 z ′′ ′′ + 2 = e 2u f xx + e 2u f yy 2 ?u ?v（二次可微，故故左边 = e?2 u?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 u 2u ′′ + e 2u f yy ) = 2 + 2 = 右边，得证。 ′′ ( 2 + 2 ) = e (e f xx ?u ?v ?x ?y★★★12.设 u= x? ( x + y ) + yφ ( x + y ) ，其中函数 ? , φ 具有二阶连续偏导数，验证：? 2u ? 2 u ? 2u ?2 + =0。 ?x 2 ?x?y ?y 2证： 令 v = x + y ，则?u ?u = ? (v) + x? ′(v) + yφ ′(v) ； = x? ′(v) + φ (v) + yφ ′(v) ； ?x ?y? 2u = ? ′(v) + ? ′(v) + x? ′′(v) + yφ ′′(v) = 2? ′(v) + x? ′′(v) + yφ ′′(v) ?x 2? 2u = ? ′(v) + x? ′′(v) + φ ′(v) + yφ ′′(v) ?x?y ? 2u = x? ′′(v) + φ ′(v) + φ ′(v) + yφ ′′(v) = x? ′′(v) + 2φ ′(v) + yφ ′′(v) ?y 2 ? 2u ? 2 u ? 2u ?2 + = 0 ，得证。 ?x 2 ?x?y ?y 2故§8.5 隐函数微分法 内容概要隐 函 一个方程 数 情形 微 分 若三元方程 F ( x, y , z ) 若二元方程 F ( x, y ) 分类 法则= 0 确定一元隐函数 y = f ( x) ，则F dy =? x dx Fy= 0 确定二元隐函数 z = f ( x, y ) ，则F ?z =? x, ?x Fz方程组情 形 若方程组 ?Fy ?z =? ?y Fz? F ( x, y , u , v ) = 0 确定二元函数 u = u ( x, y ), v = v ( x, y ) ?G ( x, y, u , v) = 0Fx Fv则Fu Fx，Fy FvFu FyG G ?v G G ?u =? x v , =? u x Fu Fv ?x Fu Fv ?x Gu Gv Gu GvG y Gv ?v Gu G y ?u =? , =? Fu Fv ?y Fu Fv ?y Gu Gv Gu Gv课后习题全解习题 8-5★★ 1.已知 lnx 2 + y 2 = arctany x，求dy 。 dx知识点：隐函数求导。思路：设左端函数为 F ( x, y ) ，先求出 Fx , Fy ，代入 解 ：设 F ( x, y ) = lnF dy =? x dx Fy。y ， x 1 2x 1 y x+ y Fx ( x, y ) = ? ? (? 2 ) = 2 2 2 2 x + y 1 + ( y )2 x x + y2 x 1 2y 1 1 y?x Fy ( x, y ) = ? ? = 2 2 y 2 x x2 + y2 2 x + y 1+ ( ) x x 2 + y 2 ? arctan，所以F dy y+x =? x = dx Fy y ? x?z ?z , ?x ?y F ?z =? x, ?x Fz Fy ?z =? ?y Fz注： 本题也可通过一元函数隐函数求导法则求解。★★ 2.设x + 2 y + z ? 2 xyz = 0 ，求解： 方法一; （应用隐函数存在定理公式）设F ( x, y, z ) = x + 2 y + z ? 2 xyz ， Fx = 1 ? yz xz xy , Fy = 1 ? , Fz = 1 ? xyz xyz xyz1?，故yz xyz yz ? xyz F ?z =? x =? = xy ?x Fz xyz ? xy 1? xyz方程两边同时对自变量 x 求偏导，得：xz Fy xyz xz ? xyz ?z ； =? =? = 。 xy ?y Fz xyz ? xy 1? xyz 1?（在方程两边对自变量求偏导，注意变量 z 为 x, y 的函数） 方法二：?z yz 1+ ? ( + ?x xyz 1?xy?z ?x ) = 0 ，整理可得： xyz(1 ?xy ?z yz ) = ?1 xyz ?x xyz故?z = ?xyz xyzxy ?1 xyz=yz ? xyz xyz ? xy方程两边同时对自变量y 求偏导，得：2+?z xz ?( + ?y xyz1? xz xyzxy?z xy ?z xz ?y ) = 0 ，整理可得 (1 ? ) = ?1 xyz xyz ?y xyz故?z = ?yxy ?1 xyz=xz ? xyz xyz ? xyz z ?z ?z , y + ) = 0 所确定，证明 x + y = z ? xy 。 y x ?x ?y★★★3.设函数z = f ( x, y ) 由方程 F ( x +（应用隐函数存在定理公式） 证：方法一：设G ( x, y , z ) = F ( x +z z z z , y + ) ，令 u = x + , v = y + y x y x则Gx = Fu′ ?1 + Fv′ ? (? Gz = Fu′ ?z z z z ) = Fu′ ? 2 Fv′ ； G y = Fu′ ? (? 2 ) + Fv′ ?1 = ? 2 Fu′ + Fv′ ； 2 x x y y1 1 1 1 + Fv′ ? = Fu′ + Fv′ y x y x ′ y 2G y ? xzFu′ + xy 2 Fv′ ?z ；y =? =? ?y yGz′ xFu′ + yFv′故′ x 2Gx x 2 yFu′ ? zyFv′ ?z =? x =? ′ ?x xGz xFu′ + yFv′ x?z ?z ? x 2 yFu′ + zyFv′ + xzFu′ ? xy 2 Fv′ +y = ?x ?y xFu′ + yFv′ = z ( xFu′ + yFv′ ) ? xy ( xFu′ + yFv′ ) = z ? xy xFu′ + yFv′方法二： 方程两边同时关于 x, y 求偏导，注意 z 是 x, y 的函数。令u = x+z z , v = y + ，方程两边同时关于 x 求偏导，得： y xFu′(1 +1 ?z z 1 ?z ) + Fv′(? 2 + )=0 y ?x x x ?xy，故?z ? x 2 yFu′ + zyFv′ x = ?x xFu′ + yFv′，又由 变量 x, y 的对称性同样可得：?z xzFu′ ? xy 2 Fv′ = ?y xFu′ + yFv′?z ?z ? x 2 yFu′ + zyFv′ + xzFu′ ? xy 2 Fv′ x +y = ?x ?y xFu′ + yFv′故=z ( xFu′ + yFv′ ) ? xy ( xFu′ + yFv′ ) = z ? xy xFu′ + yFv′ ?z ?z dx + dy 及全微分形式的不变性） ?x ?y z z , y + ) = d (0) y x（利用全微分公式 dz = 方法三：方程两边同时取微分得dF ( x +故z z Fu d ( x + ) + Fv d ( y + ) = 0 y x ydz ? zdy xdz ? zdx ) + Fv d ( y + )=0 2 y x2Fu (dx +整理得(Fu Fv zF zF + )dz = (? Fu + 2v )dx + (? Fv + 2u )dy y x x y ? x 2 yFu + yzFv ? xy 2 Fv + xzFu dx + dy x 2 Fu + xyFv xyFu + y 2 Fv ?z ? x 2 yFu + yzFv ?z ? xy 2 Fv + xzFu = 2 = ; dy ?x x Fu + xyFv ?y xyFu + y 2 Fvdz =由全微分公式可知x故?z ?z ? x 2 yFu′ + zyFv′ + xzFu′ ? xy 2 Fv′ +y = ?x ?y xFu′ + yFv′ = z ( xFu′ + yFv′ ) ? xy ( xFu′ + yFv′ ) = z ? xy xFu′ + yFv′ ?z ?z , ?x ?yu= z y★★★4. 设z x 2 + y 2 + z 2 = yf ( ) ，其中 f y可导，求2 2 2 解： 方法一： 设 F ( x, y , z ) = x + y + z ? yf (u ),其中则Fx′ = 2 x, Fy′ = 2 y ? ( f (u ) + yf ′(u ) ? (? Fz′ = 2 z ? yf ′(u ) ?z z )) = 2 y ? f (u ) + f ′(u ) 2 y y1 = 2 z ? f ′(u ) y故F ?z 2x =? x =? ； z Fz ?x 2 z ? f ′( ) yz z z z z 2 y ? f ( ) + f ′( ) 2 y 2 ? yf ( ) + zf ′( ) ?z y y y y y =? =? =? z z ?y Fz 2 z ? f ′( ) 2 yz ? yf ′( ) y y Fy方法二：方程两边同时关于 x, y 求偏导，注意 z 是 x, y 的函数。方程两边同时对自变量 x 求偏导 得：2x + 2z?z z 1 ?z = yf ′( ) ? ?x y y ?xy 求偏导整理得?z 2x = ?x f ′( z ) ? 2 z y方程两边同时对自变量得：2 y + 2z?z z z z 1 ?z ) = f ( ) + yf ′( ) ? ((? 2 ) + ?y y y y y ?yz ?z z z z (2 z ? f ′( )) = f ( ) ? f ′( ) ? 2 y y ?y y y y z z z z z f ( ) ? f ′( ) ? 2 y 2 y 2 ? yf ( ) + zf ′( ) ?z y y y y y 。 = =? z z ?y ′( ) ′( ) 2z ? f 2 yz ? yf y y故★★★5. 设 Φ (u , v ) 具连续偏导数，证明由方程 Φ (cx ? az , cy? bz ) = 0 所确定的隐函数 z = f ( x, y )满足a?z ?z +b = c。 ?x ?y证：在方程 Φ (cx ? az , cy ? bz ) = 0 两边关于 x 求偏导得：Φ u ′ (c ? a?z ?z ) + Φ v ′ ( ?b ) = 0 ?x ?x y 求偏导得：cΦ u′ ?z = ?x aΦ u′ + bΦ v′ cΦ v′ ?z = ?y aΦ u′ + bΦ v′同样地，方程两边关于Φ u′ ( ? a?z ?z ) + Φ v′ (c ? b ) = 0 ?y ?y∴ aacΦ u′ bcΦ v′ c(aΦ u′ + bΦ v′ ) ?z ?z +b = + = = c ，得证。 ?x ?y aΦ u′ + bΦ v′ aΦ u′ + bΦ v′ aΦ u′ + bΦ v′★★6. 设z 3 ? 2 xz + y = 0 ，求?2 z ?2 z , ?x 2 ?y 2解：方法一： （用隐函数求偏导公式）设F ( x, y, z ) = z 3 ? 2 xz + y ，则Fx′ = ?2 z ,Fy′ = 1,Fz′ = 3z 2 ? 2 x故Fy′ F′ ?z 2z ?z ?1 =? x = 2 ; =? = 2 ?x Fz′ 3 z ? 2 x ?y Fz′ 3 z ? 2 x ?2 z 2z =( 2 )′x 2 ?x 3z ? 2 x（求导时注意此式中 z 仍为 x, y 的函数）所以=2?z ?z ?z (3z 2 ? 2 x) ? 2 z (6 z ? 2) ?2(3z 2 + 2 x) + 4 z ?x ?x ?x = 2 2 2 (3z ? 2 x) (3z ? 2 x) 2 2z + 4z ?16 xz 3z ? 2 x = 2 2 (3z ? 2 x) (3z 2 ? 2 x)32=?2(3z 2 + 2 x)?2 z ?1 =( 2 )′y 2 ?y 3z ? 2 x1? 6 z（求导时注意此式中 z 仍为 x, y 的函数）?z ?6 z ?y = = 2 2 2 (3 z ? 2 x) (3 z ? 2 x)3（直接法） 方法二： 方程两边同时关于 x 求偏导得：?z ?z ? 2z ? 2x = 0 ?x ?x 方程（1）两边再关于 x 求偏导得： 3z 2 6z(（1）整理得?z 2z = 2 ?x 3 z ? 2 x?z 2 ?2 z ?z ?z ?2 z ) + 3z 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 x 2 = 0 ?x ?x ?x ?x ?x故?2 z = ?x 24?z ?z ? 6 z ( )2 ?x ?x = ?16 xz 2 3z ? 2 x (3z 2 ? 2 x)3y 求偏导得：（2） 整理得同样的 方程两边同时对3z 2?z ?z ? 2x +1 = 0 ?y ?y?z ?1 = 2 ?y 3 z ? 2 x方程（2）两边再关于 x 求偏导得：6z(?z 2 ?2 z ?2 z ) + 3z 2 2 ? 2 x 2 = 0 ?y ?y ?y?6 z (故?z 2 ) ? z ?6 z ?y = = 2 2 2 ?x 3 z ? 2 x (3 z ? 2 x)32★★7. 设z 5 ? xz 4 + yz 3 = 1 ，求5 4?2 z 。 ?x?y (0,0)3解： 设 F ( x, y , z ) = z ? xz + yz ? 1 ，则有：Fx′ = ? z 4 , Fy′ = z 3 , Fz′ = 5 z 4 ? 4 xz 3 + 3 yz 2Fy′ Fx′ ?z z4 ?z ? z3 =? = 4 ; =? = ?x ?y Fz′ 5 z ? 4 xz 3 + 3 yz 2 Fz′ 5 z 4 ? 4 xz 3 + 3 yz 2故?2 z z4 =( 4 )′y 5 z ? 4 xz 3 + 3 yz 2 ?x?y4z3= ?z ?z ?z ?z (5 z 4 ? 4 xz 3 + 3 yz 2 ) ? z 4 (20 z 3 ? 12 xz 2 + 3 z 2 + 6 yz ) ?y ?y ?y ?y 4 3 2 2 (5 z ? 4 xz + 3 yz )4 5?z ? z3 6 6 5 (?4 xz + 6 yz ) ? 3 z (?4 xz + 6 yz ) ? 4 ? 3z 6 3 2 ?y 5 z ? 4 xz + 3 yz = = 4 3 2 2 4 (5 z ? 4 xz + 3 yz ) (5 z ? 4 xz 3 + 3 yz 2 )2=?15 z10 + 12 xz 9 ? 9 yz 8 (5 z 4 ? 4 xz 3 + 3 yz 2 )3?2 z 3 z = 1 ，故 =? ?x?y (0,0) 25又x = 0, y = 0 时★★8. 设 ??x + y + z = 0 ?x + y + z = 12 2 2，求dx dy , dz dz解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组x = x( z ), y = y ( z ) ，在方程组两边同时对 z 求导得? dx dy ? dz + dz + 1 = 0 ? ? ?2 x dx + 2 y dy + 2 z = 0 ， ? dz dz ?整理得? dx dy ? dz + dz = ?1 ? ? ?2 x dx + 2 y dy = ?2 z ? dz dz ?当1 1 = 2( y ? x) ≠ 0 时 2x 2 y?1 1 1 ?1 dx ?2 z 2 y z ? y dy 2 x ? 2 z x ? z = = ， = = dz 2( y ? x) y ? x dz 2( y ? x) y ? xx = x( z ), y = y ( z ) ，在方程组两边同时求微分得（利用微分形式不变性） 方法二： 由题意知，方程组确定隐函数组(1) ?dx + dy + dz = 0 ? ?2 xdx + 2 ydy + 2 zdz = 0 (2)将方程组中 dx, dy 看为未知量， (1) ×y ? (2) 从中消去 dy 得，dx =z? y dz y?x即dx z ? y = dz y ? x同理可得dy x ? z = dz y ? x★★9.2 ? dz dy ?x + y + z + z = 0 设? ，求 , 2 3 dx dx ?x + y + z + z = 1 ?解：由题意知，方程组确定隐函数组z = z ( x), y = y ( x) ，在方程组两边同时对 x 求导得 dz ? dy ? dx + (1 + 2 z ) dx = ?1 ? ? ?2 y dy + (1 + 3 z 2 ) dz = ?1 ? dx dx ?dz ? dy dz ?1 + dx + dx + 2 z dx = 0 ? ? ?1 + 2 y dy + dz + 3 z 2 dz = 0 整理得 ? dx dx dx ??11 + 2z 2 z ? 3z 2 = 2 ； 3z ? 4 yz ? 2 y + 11当1+ 2z2 y 1 + 3z 2≠ 0时dy ?1 1 + 3 z 2 = dx 1 1 + 2 z 2 y 1 + 3z 2与课后答案不同。1?12 y ?1 dy 2 y ?1 = = 2 dx 1 1 + 2 z 3 z ? 4 yz ? 2 y + 1 2 y 1 + 3z 2注：本题也可采用 8 题方法二解决。★★10.? x = eu + u sin v ?u ?u ?v ?v ? ，求 , , , ? u ?x ?y ?x ?y ? y = e ? u cos v ?u = u ( x, y ), v = v( x, y ) ，在方程组两边同时对 x 求偏导得 ?u ?v ? u ?(e + sin v) ?x + u cos v ?x = 1 ? ? ?(eu ? cos v) ?u + u sin v ?v = 0 ? ?x ?x ?解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组?u ?v ? u ?u ?1 = e ?x + ?x sin v + u cos v ?x ? ，整理得 ? ?0 = eu ?u ? ?u cos v + u sin v ?v ? ?x ?x ?x ? 1 u cos v故0 u sin v ?u sin v = u = u ， ?x e + sin v u cos v e (sin v ? cos v) + 1 eu ? cos v u sin v eu + sin v 1eu ? cos v 0 ?v cos v ? eu = u = u ?x e + sin v u cos v ue (sin v ? cos v) + u eu ? cos v u sin v同理可得，?u ? cos v ?v sin v + eu = = u ?y e (sin v ? cos v) + 1 ?y ue (sin v ? cos v) + u。（利用全微分形式的不变性与全微分公式 du = 方法二：?u ?u dx + dy ，将 du , dv 用 dx, dy ?x ?y表示，则表示系数即为所求） 由题意知，方程组确定隐函数组u = u ( x, y ), v = v( x, y ) ，在方程组两边同时求微分得?dx = eu du + sin vdu + u cos vdv (1) ? ? u ?dy = e du ? cos vdu + u sin vdv (2) ?把du , dv 看成未知量， (1) × sin v ? (2) × cos vdu =消去方程组中 dv 得：sin vdx ? cos vdy ，由全微分公式可得： eu (sin v ? cos v) + 1?u sin v ?u ? cos v = u ； = u ?x e (sin v ? cos v) + 1 ?y e (sin v ? cos v) + 1同理可得 ：?v cos v ? eu ?v sin v + eu = u = u ； ?x ue (sin v ? cos v) + u ?y ue (sin v ? cos v) + ux+ y★★★11.设 e= xy ，证明：d2y y[( x ? 1)2 + ( y ? 1) 2 ] =? dx 2 x 2 ( y ? 1)3证：方程两边同时取对数x + y = ln x + ln y设1 1 F ( x, y ) = x + y ? ln x ? ln y ，得 Fx′ = 1 ? , Fy′ = 1 ? x y故F ′ y (1 ? x) dy =? x = dx Fy′ x( y ? 1)dy dy ( (1 ? x) ? y ) x( y ? 1) ? y (1 ? x)( y ? 1 + x ) d2y y (1 ? x) dx =( )′x = dx dx 2 x( y ? 1) x 2 ( y ? 1) 2x( x ? 1) y (1 ? x) dy ? y ( y ? 1) ? y ( y ? 1) x( x ? 1) x( y ? 1) dx = x 2 ( y ? 1) 2 x 2 ( y ? 1)2=y[( x ? 1)2 + ( y ? 1)2 ] =? 。得证。 x 2 ( y ? 1)3注：本题也可以按一元函数隐函数求导法则来求解。§8.6 微分法在几何上的应用 内容概要微 分 法 在 几 何 上 的 应 空间曲线 的切线与 法平面方程为 法平面 记 x (t0 ) （1）曲线的参数方程为 x= x(t ), y = y (t ), z = z (t ) ，三个函数均可导，导数不全为u r零。则曲线在某点 t0 处的切向量为 T= {x′(t0 ), y′(t0 ), z ′(t0 )}x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = x′(t0 ) y′(t0 ) z ′(t0 )= x0 , y (t0 ) = y0 , z (t0 ) = z0 ，则切线方程x′(t0 )( x ? x0 ) + y′(t0 )( y ? y0 ) + z ′(t0 )( z ? z0 ) = 0用 （2）曲线的方程为? y = y ( x) ， y = y ( x ), z = z ( x ) 在 x0 可 导 ， 则 曲 线 在 某 点 ? ? z = z ( x)u r ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为 T = {1, y′( x0 ), z ′( x0 )} ，则切线方程x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = 1 y′( x0 ) z ′( x0 ) x′(t0 )( x ? x0 ) + y′(t0 )( y ? y0 ) + z ′(t0 )( z ? z0 ) = 0法平面方程为（3） 曲线方程为 ?? F ( x, y , z ) = 0 ，F , G 具连续偏导数， 则曲线在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ?G ( x, y, z ) = 0Fy Gy Fz GzM0u r处切向量为 T={,Fz GzFx GxM0,Fx GxFy GyM0}，则切线方程为x ? x0 Fy Fz Gy Gz Fz GzM0=y ? y0 Fz Fx Gz GxM0=z ? z0 Fx Fy Gx Fx Gy Fy GyM0 M0法平面方程为Fy GyFz GzM0( x ? x0 ) +Fx GxM0( y ? y0 ) +Gx( z ? z0 ) = 0（1）曲面方程为 F ( x, y , z )= 0 ，则曲面在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处法向量为r n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} ，则切平面方程为Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) = 0法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )= f ( x, y ) 则曲面在点 P0 ( x0 , y0 ) 处的法向量为（2）曲面方程为 z 空间曲面 的切平面 与法线 切平面方程为r n = {? f x ( x0 , y0 ), ? f y ( x0 , y0 ),1}f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) ? ( z ? z0 ) = 0 或f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) = z ? z0（上式表明函数z = f ( x, y )在点( x0 , y0 )处的全微分，在几何上表示曲面z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切平面上点的竖坐标的增量。 ）法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ?1课后习题全解习题 8-6★1.求曲线x=t 1+ t ,y= , z = t 2 在 t = 2 处的切线方程与法平面方程。 1+ t t解：x′(t ) =1 1 , y′(t ) = ? 2 , z ′(t ) = 2t 2 (1 + t ) t2 3 1 1 t = 2 时 x = , y = , z = 4 ， x′(2) = , y′(2) = ? , z ′(t ) = 4 3 2 9 4 u r 1 3 故 曲线在 t = 2 处的切向量 T = {x′(2), y ′(2), z ′(t )} = { , , 4} 9 4 2 3 x? y? 3= 2 = z ?4 于是，所求切线方程为 1 1 4 ? 9 4 1 2 1 3 法平面方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) + 4( z ? 4) = 0 9 3 4 2又★★2.求曲线y 2 = 2mx, z 2 = m ? x 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程及法平面方程。2 yy′( x) = 2m, 2 zz ′( x) = ?1 ，故 y′( x0 ) =解： 由题设可知m 1 , z ′( x0 ) = ? y0 2 z0故曲线在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量u r m 1 T = {1, y′( x0 ), z ′( x0 )} = {1, , ? } y0 2 z0于是，所求切线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = m 1 1 ? y0 2 z0 m 1 ( y ? y0 ) ? ( z ? z0 ) = 0 y0 2 z0法平面方程为( x ? x0 ) +2 2 2 ? 2 ?x + y + z = a 在点 M 0 (0, 0, a ) 处的切线方程与法平面方程。 ★★★3.求曲线 ? 2 2 ? x + y = ax ? 2 2 2 2 2 2 解：设 F ( x, y , z ) = x + y + z ? a ， G ( x, y , z ) = x + y ? ax则Fx |M 0 = 2 x |M 0 = 0, Fy |M 0 = 2 y |M 0 = 0, Fz |M 0 = 2 z |M 0 = 2a,Gx |M 0 = (2 x ? a ) |M 0 = ? a, G y |M 0 = 2 y |M 0 = 0, Gz |M 0 = 0Fy GyFz GzM0=0 2a 0 0= 0,Fz GzFx GxM0=u r2a 0 0 ?a= ?2a 2 ,Fx GxFy GyM0=00?a 0=0故曲线在点 M 0 (0, 0, a ) 处的切向量为 T= {0, ?2a 2 , 0}故所求切线方程为 ??x = 0 2 ，法平面方程为 ?2a ( y ? 0) = 0 ，即 y = 0 。 ?z = a★★4．找出曲线x = t , y = t 2 , z = t 3 上的点，使在该点的切线平行于平面 x + 2 y + z = 4 。知识点：空间曲线的切线 T = {x′(t ), y′(t ), z ′(t )} 、数量积、平面法向量 思路：先求出曲线的切向量，再求出平面的法向量，已知切线平行于平面从而垂直于法向量，利用向量垂直的条件的出所求点对于的参数值，然后代入曲线方程即可。解：设该点为 M ( x0 , y0 , z0 ) ，其对应参数 t = t0又 x′(t )= 1, y′(t ) = 2t , z ′(t ) = 3t 2 ，故该点的切线向量为 T = {1, 2t0 , 3t0 2 }平面 x + 2 y +r r z = 4 的法向量为 n = {1, 2,1} ，由题意有 n ⊥ T即故r n? = 0, T1 + 4t0 + 3t0 2 = 0解得：t0 = ?1或t0 = ?1 3从而 所求点为1 1 1 M (?1,1, ?1) 或 M (? , , ? ) 3 9 27★★5．求曲面x 2 + y 2 + z 2 = 1 上平行于平面 x ? y + 2 z = 0 的切平面方程知识点：空间曲面的切平面方程、向量平行条件 思路：先求出空间曲面切平面的法向量表达式，2 2 2 解：设 F ( x, y , z ) = x + y + z ? 1 ，则 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = 2 zr设切点为 M ( x0 , y0 , z0 ) ，曲面在点 M 处的法向量为 n= {2 x0 , 2 y0 , 2 z0 } ur = {1, ?1, 2} 平行又切平面和已知平面平行，所以切平面的法向量和平面的法向量 n1故2 x0 2 y0 2 z0 = = 1 ?1 2 (±，又x0 2 + y0 2 + z0 2 = 1所以切点为1 1 2 ,m ,± ) 6 6 6故切平面方程为1? ( x m1 1 2 ) ? 1? ( y ± ) + 2 ? (z m )=0 6 6 6即x?y + 2z = ± 6 。★6.求曲面z = x 2 + y 2 在点 (1,1, 2) 处的切平面方程与法线方程。r2 2 解：这里 f ( x, y ) = x + y ，则切平面的法向量公式为 n = { f x , f y , ?1} = {2 x, 2 y, ?1}从而在点 (1,1, 2) 处的法向量为r n = {2, 2, ?1}即故切平面方程为2( x ? 1) + 2( y ? 1) ? 1( z ? 2) = 02x + 2 y ? z ? 4 = 0法线方程为x ?1 y ?1 z ? 2 = = 2 2 ?1 ? mz ) = 0 在任意一点出的切平面都平行于直线其中 F 具有连续的偏导数。★★★7.证明：曲面 F ( nx ? lz , nyx ?1 y ? 2 z ? 3 = = l m n知识点： 空间曲面的切平面、多元隐函数偏导r垂直。rr思路：先根据隐函数微分法求出曲面上点的法向量 n ，然后根据向量数量积验证 n 与直线方向向量 s 是否证：设 G ( x, y , z ) = F ( nx ? lz , ny ? mz ) ， u = nx ? lz , v = ny ? mz ，则 Gx= nFu , G y = nFv , Gz = ?lFu ? mFvr ∴ 曲面上任一点处的法向量为 n = {nFu , nFv , ? lFu ? mFv }r又已知直线的方向向量为 srr = {l , m, n} ，且 n? = nlFu + mnFv + n(?lFu ? mFv ) = 0 sr故nr ⊥ s ，从而曲面 F (nx ? lz , ny ? mz ) = 0 在任意一点出的切平面都平行于已知直线。xyz = a 3 （ a ≠ 0 ，常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体★★★8.证明曲面方程积为常数。知识点：空间曲面的切平面，四面体体积。 思路：先求出曲面在任一点处的切平面，然后求出切平面的截距式方程，求出截距，再求四面体体积。 证：设 F ( x, y , z ) = xyz ? a ，则 Fx = yz , Fy = xz , Fz = xy3曲面上任取一点 M ( x0 , y0 , z0 ) ，则曲面在该点的法向量为 n= { y0 z0 , x0 z0 , x0 y0 }切平面方程为y0 z0 ( x ? x0 ) + x0 z0 ( y ? y0 ) + x0 y0 ( z ? z0 ) = 0从而截距式方程为x y z + + =1， 3 x0 3 y0 3 z0 = 1 27 3 | 3 x0 ? 3 y0 ? 3 z0 |= a 6 6 (Q x0 y0 z0 = a 3 )得证。故四面体体积为 V§8.7 方向导数与梯度内容概要方 向 导 数 和 记 梯 度 域有定义， l 为自点 P 出发的射线， 方向 导数 函数 定义 性质z = f ( x, y ) 在 P ( x, y ) 某领1.函数 z= f ( x, y ) 在 P( x, y ) 处可微，则ρ = (?x) + (?y )22，函数?f ?f ?f = cos ? + sin ? ， ? 为 x 轴正向到方 ?l ?x ?y向 l 的转角。 2.函数 uf ( x, y ) 在点 P 处沿方向 l 的方向导数为= f ( x, y, z ) 在点 M ( x, y, z ) 可微，则?f f ( x + ?x, y + ?y ) ? f ( x?fy ) ?f , ?f ?f = lim = cos α + cos β + cos γ ρ ?l ρ →0 ?l ?x ?y ?z其中 cos α , cos β , cos γ 为方向 l 的方向余弦。梯度 函数函数 z= f ( x, y ) 在 ( x, y ) 处有一阶连续偏导数，梯度为 ?f r ?f r ?f ?f i+ j ={ , } ?x ?y ?x ?ygradf ( x, y ) =函数函数 u= f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处有一阶连续偏导数，梯度为 ?f r ?f r ?f r ?f ?f ?f i+ j + k ={ , , } ?x ?y ?z ?x ?y ?zgradf ( x, y, z ) =注：梯度为一向量：其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。课后习题全解习题 8-7★★1.求函数 u→= ln( x + y 2 + z 2 ) 在点 M 0 (0,1, 2) 处沿向量 l = {2, ?1, ?1} 的方向导数。 2 1 1 , cos β = ? , cos γ = ? 6 6 6解：向量 l 的方向余弦为 cos α =又?u 1 ?u 2y ?u 2z = , = , = 2 2 2 2 ?x x + y + z ?y x + y + z ?z x + y 2 + z 2∴?u 1 ?u 2 ?u 4 |M 0 = , |M 0 = , |M 0 = ?x 5 ?y 5 ?z 5 ?u 1 2 2 1 4 1 ?4 |M 0 = × + × (? ) + × (? )= ?l 5 6 5 6 5 6 5 6故（与答案不同）★★2.求函数z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点 (1, 2) 处，沿着此抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数。解：将 y = 4 x 两边同时对 x 求导得： 2 y2dy dy 2 = 4 ，则 = dx dx y→ dy π |(1,2) = 1 ，从而方向 l 的倾角为 θ = dx 4故点 (1, 2) 在抛物线y 2 = 4 x 上切线斜率为 k =。又?z 1 1 ?z 1 1 = = , = = ?x (1,2) x + y (1,2) 3 ?y (1,2 ) x + y (1,2) 3故?z ?z ?z 1 2 1 2 2 = [ cos θ + sin θ ] = × + × = 3 2 3 2 3 ?l ?x ?y (1,2)= xy + yz + xz 在点 P (1, 2, 3) 处沿 P 点的向径方向的方向导数。★★3.求函数 u→解：向径 OP = {1, 2, 3} ，其方向余弦为 cos α =1 2 3 , cos β = , cos γ = 14 14 14?u ?u ?u = y + z, = x + z, = y+x ?x ?y ?z∴?u ?x= 5,(1,2,3)?u ?u = 4, =3 ?y (1,2,3) ?x (1,2,3)?u 1 2 3 22 = 5× + 4× + 3× = ?l 14 14 14 14★★★4.求函数 u= x 2 + y 2 + z 2 在曲线 x = t , y = t 2 , z = t 3 上点 (1,1,1) 沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。解：当 t = 1 时，曲线上点为 (1,1,1)又 曲线 x= t , y = t 2 , z = t 3 的切向量为 T = {x′(t ), y′(t ), z ′(t )} = {1, 2t ,3t 2 }→→故 (1,1,1) 处切线的方向为l = {1, 2, 3} ，从而方向余弦为cos α =1 2 3 , cos β = , cos γ = 14 14 14?u ?u ?u |(1,1,1) = 2 x |(1,1,1) = 2, |(1,1,1) = 2 y |(1,1,1) = 2, |(1,1,1) = 2 z |(1,1,1) = 2 ?x ?y ?z ∴ ?u 1 2 3 12 6 = 2× + 2× + 2× = = 14 ?l 14 14 14 14 7★5.设f ( x, y, z ) = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 + 2 xy ? 4 y ? 8 z ，求 gradf (0, 0, 0), gradf (3, 2,1) 。解：f x′ = 2 x + 2 y, f y′ = 6 y + 2 x ? 4,f z′ = 10 z ? 8∴ f x′ (0, 0, 0) = 0, f y′(0,0, 0) = ?4, f x′ (3, 2,1) = 10, f y′(3, 2,1) = 14,故f z′ (0, 0, 0) = ?8 f z′ (3, 2,1) = 2→ → →gradf (0, 0, 0) = ?4 j ? 8 k ,→→gradf (3, 2,1) = 10 i + 14 j + 2 k★★★6.确定常数λ ，使在右半平面 x & 0 上的向量 A( x, y ) = {2 xy ( x 4 + y 2 )λ , ? x 2 ( x 4 + y 2 )λ }为某二元函数 u ( x, y ) 的梯度，其中 u ( x, y ) 具有连续的二阶偏导数。解： 由 gradu = {?u ?u , } = {2 xy ( x 4 + y 2 )λ , ? x 2 ( x 4 + y 2 )λ } ?x ?y ?u = ? x 2 ( x 4 + y 2 )λ ?y故?u = 2 xy ( x 4 + y 2 )λ , ?x又 u ( x, y ) 具有连续的二阶偏导数，故? 2u ? 2u = ?x?y ?y?x即2 x( x 4 + y 2 )λ + 4λ xy 2 ( x 4 + y 2 )λ ?1 = ?2 x( x 4 + y 2 )λ ? 4λ x5 ( x 4 + y 2 )λ ?1 4 x( x 4 + y 2 )λ (λ + 1) = 0 ，由 x & 0 ，得 λ = ?1 。 = x 2 + y 2 ? z 2 在点 M 1 (1, 0,1), M 2 (0,1, 0) 的梯度之间的夹角。 ?u = 2 y, ?y ?u = ?2 z ?z整理得★★7.求函数 u解：?u = 2 x, ?x故 gradu ( M 1 )= {2, 0, ?2} , gradu ( M 2 ) = {0, 2, 0}又gradu ( M 1 )?gradu ( M 2 ) = {2, 0, ?2}? 2, 0} = 0 {0,故 gradu ( M 1 )★★★ 8.设函数 u⊥ gradu ( M 2 ) ，从而两梯度的夹角为π。2，试讨论在空间哪些点处等式= ln1 2 2 2 ，其中 r = ( x ? a ) + ( y ? b) + ( z ? c ) r| gradu |= 1 成立。解： u = ? ln r , r =( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 + ( z ? c ) 2故?u 1 2( x ? a ) x?a =? ? =? 2 ， 2 2 2 ?x r 2 ( x ? a ) + ( y ? b) + ( z ? c ) r ?u y ? b ?u z?c =? 2 ， =? 2 ?y r ?z r ={ ?u ?u ?u x ? a y ?b z ?c , , } = {? 2 , ? 2 , ? 2 } ?x ?y ?z r r r同理可得所以 gradu| gradu |=( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 + ( z ? c) 2 1 = 2 r4 r= 1 ，即在空间球面 ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 + ( z ? c)2 = 1 上 | gradu |= 1 。若 | gradu |= 1 ，则 r§8.8 多元函数的极值 内容概要多 元 函 数 极 值 对 领 域 内 任 一 异 于 函 数 定义 性质z = f ( x, y )在 点1.（必要条件）函数 z= f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处具有连续偏导( x0 , y0 ) 某领域内有定义，数，且在点 ( x0 , y0 ) 有极值，则必有f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 。（可推广至多元函数）( x0 , y0 ) 的点 ( x, y ) ，如果 多 元 函 数 极 值 得极大（小）值， ( x0 , y0 ) 为极值点。 则称函数在点 ( x0 , y0 ) 取 令 2.（充分条件）函数 z ， 偏导数，且f ( x, y ) & f ( x0 , y0 )= f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处具有二阶连续( f ( x, y ) & f ( x0 , y0 ))f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ， f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C2，则（1） AC ? B & 0 时， 当 函数在 ( x0 , y0 ) 处有极值， A & 0 且时有极小值，A & 0 时有极大值。（2）当AC ? B 2 & 0 时，函数在 ( x0 , y0 ) 处没有极（3）当AC ? B 2 = 0 时，不确定。条 件 极 值求函数 u= f ( x, y, z ) 在条件 ? ( x, y, z ) = 0 下的极值的方法： = 0 下解出 z = z ( x, y ) ，代入目标函数，按方法一：化为无条件极值。即在方程 ? ( x, y , z ) 无条件极值计算。方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数 L ( x, y , z , λ )= f ( x, y, z ) + λ? ( x, y, z )? Lx = f x ( x, y, z ) + λ? x ( x, y, z ) = 0 ? L = f ( x, y, z ) + λ? ( x, y, z ) = 0 ? y y y 由? 解出可能极值点 ( x0 , y0 , z0 ) ，而后判断是否为所 Lz = f z ( x, y, z ) + λ? z ( x, y, z ) = 0 ? ?? ( x, y, z ) = 0 ?求。 注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。 如：函数 u= f ( x, y, z ) 在条件 ? ( x, y, z ) = 0 ， φ ( x, y, z ) = 0 下的极值， = f ( x, y, z ) + λ? ( x, y, z ) + ?φ ( x, y, z )则作辅助函数 L ( x, y , z , λ , ? )课后习题全解习题 8-8★★1.求函数f ( x, y ) = x3 ? y 3 ? 3 xy 的极值。知识点：多元函数极值 思路：解方程组 f x ( x, y ) = 0, f y ( x, y ) = 0 得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处A,B,C 的值，依据 AC ? B 符号判定是否为极值点。2解：解方程组? f x = 3 x 2 ? 3 y = 0 (1) ? ? 2 ? f y = ?3 y ? 3 x = 0 (2) ?由 (1) 得y = x 2 ，代入 (2) 得 x( x 3 + 1) = 0 ，故 x = 0, x = ?1 (0, 0), (?1,1)故有两驻点又f xx = 6 x, f xy = ?3, f yy = ?6 y ，(0, 0) ， A = 0, B = ?3, C = 0 ， AC ? B 2 = ?9 & 0 ，故 (0, 0) 不是极值点； A = ?6, B = ?3, C = ?6 ， AC ? B 2 = 27 & 0 ，又 A = ?6 & 0 ， 所以函数在点驻点驻点 (?1,1) ，(?1,1) 处取得极大值 1 。（与习题答案不同）★★2.求函数f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 )2 ? 2( x 2 ? y 2 ) 的极值。 ? f x = 2( x 2 + y 2 ) ? 2 x ? 4 x = 4 x( x 2 + y 2 ? 1) = 0 (1) ? ? 2 2 2 2 ? f y = 2( x + y ) ? 2 y + 4 y = 4 y ( x + y + 1) = 0 (2) ?解：解方程组由（2）得y = 0 ，代入（1）得 x = 0, 或x = ±1 ，故有驻点 (?1, 0), (0, 0), (1, 0)f xx = 4(3x 2 + y 2 ? 1), f xy = 8 xy, f yy = 4( x 2 + 3 y 2 + 1),对(?1, 0) ， A = 8, B = 0, C = 8 ， AC ? B 2 = 64 & 0 ，且 A = 8 & 0 ，所以函数在点 (?1, 0) 取得极小值 ?1 ， 同样可得函数在点 (1, 0) 也取得极小值 ?1 。 （函数及偏导数关于 x, y 均为偶函数） ， 对 (0, 0) ，A = ?4, B = 0, C = 4 ， AC ? B 2 = ?16 & 0 ，所以 (0, 0) 不是极值点。 y = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) 的极值。★★3.求函数解：解方程组? f x = 2e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) + e2 x = e 2 x (2 x + 2 y 2 + 4 y + 1) = 0 (1) ? ? 2x ? f y = e (2 y + 2) = 0 (2) ?1 1 ，故驻点为 ( , ?1) 2 2由（2）得y = ?1 ，代入（1）得 2 x + 2 ? 4 + 1 = 0 ， x =又f xx = 2e 2 x (2 x + 2 y 2 + 4 y + 3), f xy = e2 x (4 y + 4), f yy = 2e2 x ,1 A = 4e, B = 0, C = 2e ， AC ? B 2 = 8e 2 & 0 ，又 A = 4e & 0 ，所以函数在点 ( , ?1) 处取得 2 1 极小值 ? e 2故★★4.求函数f ( x, y ) = sin x + cos y + cos( x ? y ), 0 ≤ x, y ≤π的极值。2解：解方程组? f x = cos x ? sin( x ? y ) = 0 (1) ? ? ? f y = ? sin y + sin( x ? y ) = 0 (2) ?（1）+（2）并代入（1）得cos x = sin y = sin( x ? y ), 0 ≤ x, y ≤π得 驻点2( , ) 3 6π πf xx = ? sin x ? cos( x ? y ), f xy = sin( x ? y ), f yy = ? cos y ? cos( x ? y ),对π π 1 ( , ) ， A = ? 3, B = , C = ? 3 ， AC ? B 2 = 3 & 0 ，且 A = ? 3 & 0 ，所以函数在 3 6 2 π π 3 ( , ) 处取得极大值 3， 3 6 2★★★5．求由方程x 2 + y 2 + z 2 ? 2 x + 2 y ? 4 z ? 10 = 0 确定的函数 z = f ( x, y ) 的极值。知识点：多元函数极值、隐函数求导 思路：先按隐函数求导法则求出函数偏导数，然后解方程组 f x ( x, y ) = 0, f y ( x, y ) = 0 得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处 A,B,C 的值，依据AC ? B 2 符号判定是否为极值点。方法一： 解： 方法一：在方程两边同时对 x 求偏导得?z ?z ?z 1 ? x ?2?4 = 0 = ?x ?x ?x z ? 2 在方程两边同时对 y 求偏导得: 2x + 2z 2 y + 2z ?z ?z +2?4 = 0 ?y ?y ?z 1+ y =? ?y z?2? ?z 1 ? x ? ?x = z ? 2 = 0 ? 解方程