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将含有n项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n值为（　　）A. 22B. 20C. 23D. 21
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由题意知这些数构成n+2项的等差数列，且首末项分别为4和67由等差数列的求和公式可得S==781，解得n=20．故选：B．
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由等差数列的求和公式可得n的方程，解方程可得．
本题考点：
等差数列的前n项和．
考点点评：
本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题．
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高考数学（理科）一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高考数学（理科）一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案
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文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
学案29　等差数列及其前n项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．&&自主梳理 1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.3．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________.4．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d&0，则数列为____________；若d&0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．&自我检测 1．(;北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．130&&&&&&&&B．260C．156&&&&&&&&D．1682．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．1&&&&B.53&&&&C．2&&&&D．33．(;泰安一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于&&&&&&&&&& (　　)A．1&&&&&&&&B．－1C．2&&&&&&&&D.124．(;湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于& (　　)A．12&&&&B．13&&&C．14&&&&D．155．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.&探究点一　等差数列的基本量运算&例1 　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n.
变式迁移1　设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.
探究点二　等差数列的判定&例2 　已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1 (n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
变式迁移2　已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
探究点三　等差数列性质的应用&例3 　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
变式迁移3　已知数列{an}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
探究点四　等差数列的综合应用&例4 　(;厦门月考)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
变式迁移4　在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
&1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d (d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q (p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定． &(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(;重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．5&&&B．6&&&C．8&&&D．102．(;全国Ⅱ)如果等差数列an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝&&& (　　)A．14&&&B．21&&&C．28&&&D．353．(;山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．4&&&B．5&&&C．6&&&D．74．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为&&&&&&&&& (　　)A．14&&&B．15&&&C．16&&&D．175．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．S30是Sn中的最大值&&&B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0&&&&&&D．S60＝0题号&1&2&3&4&5答案&&&&&二、填空题(每小题4分，共12分)6．(;辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.7．(;海南，宁夏)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)(;莆田模拟)设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.(1)证明：a1＝d；(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．
10．(12分)(;山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
11．(14分)(;广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项；(3)若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
答案& 自主梳理1．(1)2　差　an＋1－an＝d　(2)A＝a＋b2　等差中项2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋n(n－1)2d　(a1＋an)n2　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　(3)递增数列　递减数列　常数列自我检测1．A　2.C　3.A　4.B　5.24课堂活动区例1　解题导引　(1)等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，　解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋n(n－1)2d，Sn＝242.&得12n＋n(n－1)2×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)．变式迁移1　解　由题意，知S10＝10a1＋10×92d＝110，(a1＋d)2＝a1•(a1＋3d)，即2a1＋9d＝22，a1d＝d2.∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.例2　解题导引　1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1 (n≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．(1)证明　∵an＝2－1an－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1，∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)解　由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7，设函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.变式迁移2　解　(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列．设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n＝12n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{an＋λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列．例3　解题导引　本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a1＋n－12d看作整体)．解　方法一　设此等差数列为{an}共n项，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.& ②根据等差数列性质，得a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝36.由Sn＝n(a1＋an)2＝36n2＝360，得n＝20.所以该等差数列有20项．方法二　设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×42d＝34，①Sn－Sn－5＝[n(n－1)d2＋na1]－[(n－5)a1＋(n－5)(n－6)2d]＝5a1＋(5n－15)d＝146.②①②两式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，∴a1＋n－12d＝18，代入Sn＝na1＋n(n－1)2d＝na1＋n－12d＝360，得18n＝360，∴n＝20.所以该数列的项数为20项．变式迁移3　解　(1)依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.∴a1＋an＝884＝22.∵Sn＝n(a1＋an)2＝286，∴n＝26.(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(3)设项数为2n－1 (n∈N*)，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则S奇＝(a1＋a2n－1)•n2＝n•an＝44，S偶＝(a2＋a2n－2)•(n－1)2＝(n－1)•an＝33，∴nn－1＝43.∴n＝4，an＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4　解题导引　若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a1&0，d&0，且满足an≥0an＋1≤0，前n项和Sn最大；(2)若a1&0，d&0，且满足an≤0an＋1≥0，前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，得a1＋2d＝106a1＋15d＝72，∴a1＝2d＝4.∴an＝4n－2.则bn＝12an－30＝2n－31.解2n－31≤0，2(n＋1)－31≥0，得292≤n≤312.∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值. ∴S15最小．可知b1＝－29，d＝2，∴S15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二　同方法一求出bn＝2n－31.∵Sn＝n(－29＋2n－31)2＝n2－30n＝(n－15)2－225，∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.变式迁移4　解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，∴a17＝－12，∴d＝a17－a917－9＝3，∴an＝a9＋(n－9)•d＝3n－63，an＋1＝3n－60，令an＝3n－63≤0an＋1＝3n－60≥0，得20≤n≤21，∴S20＝S21＝－630，∴n＝20或21时，Sn最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n≤21时，Tn＝－Sn＝－32n2＋1232n.当n&21时，Tn＝Sn－2S21＝32n2－1232n＋1 260.综上，Tn＝－32n2＋1232n　　　(n≤21，n∈N*)32n2－1232n＋1 260& (n&21，n∈N*).课后练习区1．A　2.C　3.B　4.C　5.D6．15　7.10　8.279．(1)证明　∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a22＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d (d≠0)．化简得a1＝d.…………………………(6分)(2)解　由条件S10＝110和S10＝10a1＋10×92d，得到10a1＋45d＝110.由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.…………………………………………(12分)10．解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分)由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an)2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6分)(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14n(n＋1)＝141n－1n＋1.………………………………………………………(8分)故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4(n＋1).所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4(n＋1).…………………………………………………(12分)11．(1)证明　将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得1an－1an－1＝3(n≥2)．所以数列{1an}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………(4分)(2)解　由(1)可得1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2.……………………………………………………………………………(7分)(3)解　若λan＋1an＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，即λ3n－2＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．整理得λ≤(3n＋1)(3n－2)3(n－1)………………………………………………………………(9分)令cn＝(3n＋1)(3n－2)3(n－1)cn＋1－cn＝(3n＋4)(3n＋1)3n－(3n＋1)(3n－2)3(n－1)＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1).………………………(11分)因为n≥2，所以cn＋1－cn&0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]．……………………………………………………(14分)文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
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高一数列求解啊已知数列an为等差数列,前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n
笑看浮华y侬
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（21+67）÷4=22286÷22=1313×2=26
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，对吧所以前四后四的和就是（a1+an）的4倍即a1+an=（21+67）÷4=22那么286里面有几个22呢286÷22=13也就是有13个a1+an因此n=2×13=26
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一个等差数列的前四项和为21 ，最后四项和为67所有项的和为286，则该数列通项公式是？
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a1+a2+a3+a4=21an-3+an-2+an-1+an=67a1+ an =a2+ an-1=a3+ an-2=a4+ an-3=(21+67)/4=22n(a1+ an)/2=11n=286得到n=26
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＞＞＞已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为2..
已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为&（　　）A．24B．26C．27D．28
题型：单选题难度：偏易来源：不详
B利用等差数列的性质进行求解.∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，∴a1+an==22.∴Sn==11n=286.∴n=26.
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据魔方格专家权威分析，试题“已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为2..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
发现相似题
与“已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为2..”考查相似的试题有：
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