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西安交通大学高数下大物上近现代史往年试题
编者的话：亲爱的大一童鞋们~大家好！临近期末，大家是不是都 在为即将到来的考试担心呢？复杂的高数，纠结的大物， 木有听过的近代史，都让人忧心忡忡。莫怕莫怕，让我们 《学习小帮手》为你开辟出一条光明大路~ 我们为大家认真挑选了高等数学，大学物理，近现代 史，ACCA 等科目的往年试题及答案，还有相关复习资料， 希望能满足广大童鞋们的需要，我们还搜罗了各种美文和 段子，在紧张的复习同时也要注意劳逸结合哦~ 仲英书院学生会在期末倾力奉献的《学习小帮手》 ，追 求试题完整、印刷清晰、答案权威，为交大莘莘学子的期 末复习助一臂之力！我们也会本着为同学服务的目标，在 今后的工作中继续完善《学习小帮手》的内容，争取为同 学们奉上更完美的期末复习资料。此外，试题及答案中如 有错误欢迎童鞋们指出，如有任何疑问，请发邮件至：
，或在人人主页仲英书院学生会留言吐 槽，我们共同进步，做得更好 ~最后，仲英书院学生会衷心 祝愿大家考试顺利，盼得愉快暑假啦！~仲英书院学生会学生服务部 二零一三年五月目高数部分2002 年高等数学（下）期末试题 2003 年高等数学（下）期末试题 2004 年高等数学（下）期末试题 2005 年高等数学（下）期末试题 2006 年高等数学（下）期末试题 2007 年高等数学（下）期末试题 2008 年高等数学（下）期末试题 2009 年高等数学（下）期末试题 2010 年高等数学（下）期末试题 2011 年高等数学（下）期末试题录2002 年高等数学（下）期末试题参考答案 2003 年高等数学（下）期末试题参考答案 2004 年高等数学（下）期末试题参考答案 2005 年高等数学（下）期末试题参考答案 2006 年高等数学（下）期末试题参考答案 2007 年高等数学（下）期末试题参考答案 2008 年高等数学（下）期末试题参考答案 2009 年高等数学（下）期末试题参考答案 高等数学（下）试题特别篇之重点总结大物部分2003 年大学物理（上）期末试题 2004 年大学物理（上）期末试题 2005 年大学物理（上）期末试题 2006 年大学物理（上）期末试题 2007 年大学物理（上）期末试题 2008 年大学物理（上）期末试题 2009 年大学物理（上）期末试题 2011 年大学物理（上）期末试题 2005 年大学物理（上）期末试题参考答案 2006 年大学物理（上）期末试题参考答案 2007 年大学物理（上）期末试题参考答案 2008 年大学物理（上）期末试题参考答案 2009 年大学物理（上）期末试题参考答案 2011 年大学物理（上）期末试题参考答案 大学物理(上）重点总结近代史部分2009 年近代史期末试题 2010 年近代史期末试题 2011 年近代史期末试题 2012 年近代史期末试题 近代史重点总结2002 年高等数学（下）期末试题一．解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分） 1. 设点 p（3，-6,2）为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程。 2. 求过点 M（1，-2,6）的平面，使它与平面π：x=y-z=3 垂直，且与直线 L：x=y=z 平行。 3. 设 Z=x y ,求 dz. 4. 在曲面 z=3x 2 + 2y 2 上求一切平面，使该切平面垂直于直线3=2=z-1x y25. 求曲线 x= ,y= ,z=ln(sint)上，对应点 t= 的切线方程。π π 2ttπ6. 改变二次积分∫0 dx ∫0 f(x, y)dy+∫2 dx ∫02x44?xf(x, y)dy的积分次序，其中 f(x,y)连续。17. 计算? zdV,其中积分域 是x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z. π8. 计算曲线积分∮ Lxdy?ydx x2 +y2,其中 L 是椭圆x 2 + 2y 2 =2x-2正向。1|y |dS , 其 中 Σ 为 锥 面 9. 计 算 曲 线 积 分 ? ∑ x 2 + y 2 = 2x 截下的部分曲面。1z= √x 2 + y 2 被 圆 柱 面10. 求微分方程 xy’+y=1+x2的通解。 二． （7 分）求函数 z=x 2 ? xy + y 2 + 9x ? 6y + 20 极值。 三． （7 分）函数 z=z(x,y)由方程 F（x-z,y-z）=0 所确定，其中 F（u,v）具有连续的一阶 偏导数，且Fu ’+Fv ’≠ 0,求?x+?y。?z ?z四． （7 分）设 为上半球面 z=√1 ? x 2 ? y 2 的外侧，计算曲面积分? y 3 dydz + x 3 dzdx + Σ (z 3 + 1)dxdy人生试题一共有四道题目：学业、事业、婚姻、家庭。平均分高才能及格，切莫花太 多的时间和精力在任一题目上。五． （7 分）计算曲面积分 ∫LABｅ sinydx+(ｅ cosy+4x)dy,其中LAB 为以ＡＢ为直径的从ｘｘA(0,0）到 B(2a,0)(a&0)上半圆周。 六． （7 分）求微分方程 y＇ ＇-y＇=x 2 的通解。 七． （5 分）已知连续可微函数 F（t）满足 F（t）={ 0 x [1 ? ? x2 +y2 ≤t2F .√x2 +y2 / x2 +y2]dxdy (x ≥ 0, y ≥ 0, t ≠ 0) 试求函数 F（t）(t ≠ 0)2003 高等数学（下）期末试题一、解答下列各题（每小题 5 分，共 25 分） 1.设 u ? e sin y cos z ，求全微分 du .x2.求曲线 x ? sin t , y ? sin t cos t , z ? cos t 在对应于 t ?2 2?4的点处的切线和法平面方程.x 3.计算曲线积分 (3 y ? e )dx ? 2 xdy ，式中 L 是曲线 y ? e 上从（0,1）到（1,e）的一?xl2段. 4.求函数 z ? x ? xy ? y ? 9 x ? 6 y ? 20 的极值2 25.求微分方程 y ? 3 y ? 3xe 的一个特解'' x二、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分） 1.在 x 轴上求一点，使它到点 M（0,1,-2）的距离等于他到平面 6 x ? 3 y ? 2 z ? 9 的距离.?z ?z , 2． 函数 z ? z ( x, y) 由方程 2 xz ? 2 xyz ? ln( xyz ) ? 0 所确定，求?x ?y3.改变二次积分? dx?0?1x0f ( x, y)dy ? ? dx ?122? x0f ( x, y)dy 的积分次序，其中 f ( x, y) 连续.4.计算曲面积分?? ( y ? z ? x)dydz ? ( x ? y ? z)dzdx ? ( x ? y ? z)dxdy ，其中 ? 是由|x|? 1，|y| ? 1，|z| ? 1 所确定的立体的表面外侧.我们一直寻找的，却是自己原本早已拥有的；我们总是东张西望，唯独漏了自己想要 的，这就是我们至今难以如愿以偿的原因。――柏拉图三、 （9 分）计算三重积分 I ???? z?2dV 其中 ? 由 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 z 所确定.四、 （9 分）求半径为 R 的质量分布均匀的半球面的重心坐标. 五、 （ 9 分）求微分方程 y '' ? 4 y ' ? 3 y ? 0 的积分曲线方程，使其在点（ 0,2 ）与直线2 x ? 2 y ? 9 ? 0 相切.六、 （9 分）设曲面方程为 F ( z ? ax, z ? by) ? 0 （a，b 为正常数） ， F (u, v) 具有一阶连续 的偏导数，且 Fu2 ? Fv2 ? 0 ，式证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.七、 （9 分）求微分方程 xy ? y (ln y ? 1 ? ln x) 满足 y(1) ? 2, y (1) ? e 的特解.'' ' ' '八、 （6 分）设 L 是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为 D， n 是 L 的单位外法线向量，?u ( x, y) 是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证:?u ? 2u ? 2u ds ? ( ? 2 )dxdy 2 ? ?? ? n ? x ?y L D32004 年高等数学（下）期末试题一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分） 1、设 z=ln(x+ 2+
2、设 u=f（ 3, 3）,其中 f 具有连续的一阶偏导数，求 du3、设0 (1,1,-1),1 (2,-1,0),求 u=2xy+3 2在点0 沿→0 1方向的方向导数。4、求微分方程 y&+2y'+y=x 的通解。1 2?x5、设 f（x，y）连续，交换积分∫0 dx ∫(x, y)dy 的次序。 2V 6、计算三重积分? ，其中为 z=1 和 z=√x 2 + y 2 所围成的区域。 Ω知之者不如好之者，好之者不如乐之者。――孔子7、计算曲线积分∫ （
sin -x-y）dx+(
cos -ax)dy,(a&0),其中 L 为 A（2a，0）沿曲 线 y=√2ax ?
2到点 O（0,0） 。 8、计算锥面 z=√x 2 + y 2 包含在 2 +
2=2x 内的部分的面积 ? zdS 9、计算曲面积分 ，其中∑是半球面 z=√1 ?
2。 ∑ 10、求函数 z=x 2 ? xy + y 2 ? 2x + y的极值。 二、 （9 分）设函数 u 的全微分 du=（
+ f'(x)）ydx+f'(x)dy,其中 f 在（（ ? ∞， + ∞）内具有二阶连续导数，且 f（0）=4，f'(0)=3,求 f（x）及 u。2 + 2
三、 （9 分）计算曲面积分?
dy?dz ,其中 S 是曲面 2 +
2 = 2 （a& 0）被平面 z=0 与 z=1 截下的部分，其法向量正向在 P（a，0,0）点与 x 轴同向。 3 1 1 dy 四、 （9 分）求方程组dx=Ax 的通解，其中 A=(1 3 1) 1 1 3x2 y2 z2
4五、 （9 分）在曲面 2+ 2+ 2=1 上做切平面使切平面与三个坐标面围成立体体积最小，求切点坐标。 六 （ 9 分 ） f （ x ， y ） 在
2 ≤ 1 上二次可微，且满足 ? （x2 2 ?f ?x
?(2 + 2 ),试求+y?f ?y）dxdy +
≤ 12005 高等数学（下）期末试题一．解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分） 1.设ｕ=ex+y cos （y ? x），求?u ?x和?u ?x.2.求曲线 x=et cos t，y=et sin t，z=et 在对应于 t= 处的切线和法平面方程.4π(1 ? x 2 )ydx + x(1 + y 2 )dy, L为圆周x 2 +y 2 =R2的方向. 3.计算∮ L调情可成恋爱，模仿引进创造，附庸风雅会养成内行的鉴赏，世上不少真货色都是从 冒牌货起家的。――钱钟书《写在人生边上》4.求函数 z=x 2 ? +y 2 在点（1，1）处的最大方向导数. 5.求微分方程y n ? y = ex的通解. 6.求曲面z = x 2 + y 2 ? 1在点（2，1，4）处的切平面方程. 7.设函数z = (x，y)有方程xy = exy ? z所确定，求?y。2+x 2?x?z8.交换二重积分的次序 ∫?2 dx ∫0 2 f(x，y)dy + ∫0 dx ∫0 2 f(x，y) dy 。 (2x + z)dydz + xdzdx + (x 2 + z)dxdy 其中 是曲面z = 2 ? √x 2 + y 2 9. 计算曲面积积分? Σ 在xoy面上方，放下取上侧。 10. 求 ∫L (ex sin y ? x ? y)dx + (ex cos y ? ax)dy ,(a&0), 其 中 √2ax ? x 2 到点O(0,0)。 二． （9 分）设曲面 是上半球面x 2 + y 2 + z 2 = 4,其面密度为μ(x, y, z) = z, 求曲面 的质 量。 为 A(2a, 0) 沿 曲 线 y =025三．(9 分) 计算三重积分? zdν, 其中 为z = √4 ? x 2 ? y 2 和z 2 = x 2 + y 2 所围成的区 Σ 域。 四． （9 分） （学工科数学分析的同学作第 1 题，其余同学作第 2 题） 1 ?3 3 ? dx （1） 求齐次线性微分方程组 dt = [3 ?5 3] x ?的通解。 6 ?6 4 （2）已知函数 y=e2x + (x + 1)ex 是二阶常系数非齐次微分方程，y ′′ + ay ′ + by = cex 的 一个特解，试确定常数 a，b，c 及该方程的通解。 五． （9 分）设半径为 r 的球面Σ1，其球心位于定球面 ：x 2 + y 2 + z 2 = a2 上，试求 r 的 定值，使该球面Σ1位于定球面 内部的那一部分面积取得最大值。六． （ 4 分 ） 设 u = u(x, y) 满 足?u?2 u ? x2+?2 y ? y2= (x + y)√x2 + y 2 , 计 算 ∮ L?u ?nds , 其 中为x 2 + y 2 = 2x,而?n为 沿 的外法线方向的方向导数。书富如入海，百货皆有。人之精力，不能兼收尽取，但得春所欲求者尔。故愿学者每 次作一意求之。 ――苏轼《东坡文集事略》2006 高等数学（下）期末试题一、解答下列各题（每小题六分，共六十分） 1.设 u=ln√x 2 + 3xy + z 2 ，求?y。?u2.求曲面x 2 +y 2 +z 2 =3 在P 0 （1,1,1）处的切平面方程。3.计算曲线积分∮ x 2 y dx ? xy 2 dy，其中 L 为x 2 +y 2 =2x 的逆时针方向。 4.求微分方程 y′ ′-3y′+2y=6 的通解。1 √2?y25.设 f（x，y）连续，交换积分∫0 dy ∫√yf(x, y)dx的次序。6.计算三重积? zdVzdV，其中Ω为 z=√4 ? x 2 ? y 2 和 z= (x 2 + y 2 )所围成的区域。 Ω317.计算第一型线积分∮ yds，其中 L 为圆周x 2 +y 2 =4 在第一象限部分的弧段。 L68，求曲面积分? dS，其中Σ是球面x 2 + y 2 + z 2 =a2 在 z=h（0&h&a）上方的球冠。 Σz19.求曲线r ?=r ?(t)=（t 3 ，t 2 ，t）在 t=1 对应的点处的法平面方程。 10.（学工科数学分析的同学作第(1)题，其余同学作第(2)题） （1）设 f（y）= ∫yx yy2 sin(xy) x ?zdx，求 F’(y)。?z（2）设ez +ez =2e2，求.x ?x + ?y/|x=2 。y=2二、 （七分）设 z=f（ex siny，x 2 +y 2 ） ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求?x ?y ? =（2xx 3 -y 2 cosx） +（1-2ysinx+3x 2 y 2 ）?的作用下，沿曲 三、 （七分）一质点在平面场力 ? 所作的功 W。 线 L：2x= π 2 从点 o（0,0）运动到点 A(2 ,1)，求场力?2 z四、 （七分）计算? 4xzdy^dz-2yzdz^dx+(1- 2)dx^dy 其中Σ是曲面 z=x 2 + 2在 0 QzQ2
的部分的外侧。我想所谓孤独，就是你面对的那个人，他的情绪和你自己的情绪，不在同一个频率。 ――理查德〃耶茨《十一种孤独》五、 （七分）设函数 u 的全微分 du=[
+f’(x)]ydx+f’(x)dy，其中 f 在内具有二阶连续 的导数，且 f（0）=4,，f’（0）=3，求 f’(x)及 u。 六、 （七分） （学工科数学分析的同学作第一题，其余同学作第二题） 0 1 1
i．求微分方程组 =(1 0 1)的通解。
1 1 0 ii．已知上半平面内的一条曲线 y=y（x） （yR0）通过原点，且曲线上任意一点 M（x，y） 处的切线斜率数值上等于该点横坐标减去此曲线与 ox 轴所围成的面积，求此曲线的方程。 七、 （五分）设在上半平面 D= {（x，y）Oy&0 }内函数 f（x，y）具有连续偏导数，且对 任意 t&0 都有 f(tx,ty)= ?2 f(x,y),证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L， 都有 xf(x,y)dy=02007 高等数学（下）期末试题一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分） 1.设 z ?? z ?u y cos（xy ） ,求 和 。 ? x ?y x72.求曲线 x ? t , y ? ?t , z ? 3t ? 1 在对应于 t=1 处的切线和法平面方程。23.求椭球面 x ? 2 y ? 3z ? 21 在点 处的切平面方程。 （ 1,2,2）2 2 24.求微分方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? e?x的通解。5.设 f ( x, y) 连续，交换积分次序? dy ?024? yyf ( x, y)dx 。6.计算三重积分 的区域。????x 2 ? y 2 ? z 2 dV ,其中Ω为 z ? x 2 ? y 2 与 z ? 2 ? x 2 ? y 2 所围成2 2 7.计算第一型曲线积分 ( x ? y )ds ，其中 L 为右半圆周： x ? y ? 2, x ? 0 。?L228.计算第一型曲面积分???4 z ? 1dS ,其中∑是曲面 z ? x 2 ? y 2 上 z ? 1 的部分。读书有三到，谓心到，眼到，口到――朱熹9.求由方程 F ( x ? az, y ? bz ) ? 0 确定的隐函数 z ? z ( x, y) 的全微分，其中 F 具有连续的 偏导数， a, b 为常数。10.设 F ( x, y ) ??x2 ? y20e ?t dt ，求2?F 。 ?x?2z ，其中 f 具有二阶连续偏导。 ?x?y二、（7 分）求 z ? f ( x ? y , xy ) 的二阶偏导2 2三、（7 分）设 f ? C（1）且 ??， ? ??，（? ? 0）f ?(t ) ? 22t ?1 2?? 2 ? x 2 ? y 2 ?t 2??f ( x2 ? y2 ) x2 ? y2dxdy ，求 f (t ) 。四、（7 分）计算第二型曲面积分，I ? ?? x cos 2 (1 ? z )dy ? dz ? y sin 2 (1 ? z )dz ? dx ? 4( x 2 ? y 2 ? z )dx ? dy ，其中∑是下半?8球面 z ? ? 1 ? x ? y 的上侧。2 2五、（ 7 分）计算 曲线 y ?? ?eLxsin y ? b( x ? y) dx ? (e x cos y ? ax)dy ，其中 a, b 为正常数， L 为?2ax ? x 2 上从 A(2a,0) 到点 O(0,0) 的弧段。六、（7 分）设 du( x, y) ? (2 ? f ( x)) ydx ? f ?( x)dy ,其中函数 f ( x) 具有二阶连续导数，f (0) ? 1, f ?(0) ? 0 ，求 f ( x) 及 u ( x, y) 。七． （5 分）设二元函数 f ( x, y) 在平面区域 D : 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 上具有二阶连续偏导，在 D 的边界上取零值，且在 D 上有?2 f M ? M ,试证： ?? f ( x, y )d? ? ?x?y 4 D流转的时光，照一脸沧桑。来不及遗忘，来不及细数。眉毛这样短，思念那么长。 ――明前雨后《忽而今夏》2008 年高等数学(下)期末试题一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分） 1.设 z ? e xy cos( xy) ，求?z ?z 。 , ?x ?y33 2.求曲线上 x ? t 2 ， y ? t ， z ? t 2 在 t ? 1 处的切线与法平面的方程。3.求曲面 z ? e ? 2 xy ? 3 在点 A A(1, 2, 0) 处的法线方程。z4.求微分方程 y?? ? y? ? 6 y ? ?3e?2 x的通解。5.设 f ( x, y) 连续，交换积分次序?10dx ?x20f ( x, y)dy ? ? dx ?122? x0f ( x, y )dy 。6.设有一物体，它是由曲面 z ?x 2 ? y 2 和 z ? 8 ? x 2 ? y 2 所围成，已知它在任意的点9? x, y, z ? 处的密度 ? ? z ，求此物体的质量。7.设 L 是从点 A(1, 0) 到 B(?1, 2) 的直线段，计算第一型线积分? ( x ? y)ds 。L8.计算第一型面积分?? (4 x ? 2 y ? 1)?dS2，其中 ? 是平面 8x ? 4 y ? z ? 16 在第一卦限的部分。9.求 u ? x ? y ? z 在椭球面2 2 2x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处沿外法线方向的方向导 a 2 b2 c 2数。 10． （工科分析做（1） ，其他做(2)） （1）设函数 F ( x) ??x2xe? xy dy ，求 F ?( x) 。 y2（2）函数由方程 x ? az ? ? ( y ? bz ) 所确定，其中 ? (u ) 有连续的导数， a, b 为不全为零的书犹药也，善读之可以医愚――刘向常数，计算 a?z ?z ?b 。 ?y ?y二、 （7 分）设函数 z ? x 2 f ( x, ) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数，求y x?z ? 2 z 。 , ?x ? 2 x2三、 （7 分）计算第二型曲面积分： I ??? (2 x ? z)dy ? dz ? xdz ? dx ? ( x?? z )dx ? dy ，其中 ? 是由 z ? 2 ? x 2 ? y 2 在 xoy 面上方部分，方向取上侧。四、 （ 7 分）若曲线积分 I ??ly 3dx ? (3x ? x3 )dy ，其中 L 为圆周 x2 ? y 2 ? R2 ( R ? 0) ，方向取正向，求 R 为何值时，I 有最大值。 五（7 分） （工科分析做（1） ，其他做(2)）? 2 2 ?2 ? dx ? ? 2 5 ?4 ? (1)求微分方程组 ? x 的通解。 dt ? ? ? ?2 ?4 5 ? ?(2) 已 知10，y1 ? xe x ? e2 x，y2 ? xe x ? e? xy3 ? xe x ? e2 x ? e? x是 方 程y?? ? a1 y? ? a2 y ? e x ? 2 xe x 的特解，求 a1 , a2 以及该方程的通解。六、 （ 7 分）试求 f ( x) ，使得曲线积分?( B)( A)[e kx ? (k ? 1) f ?( x) ? kf ( x)] ydx ? f ?( x)dy 与积分路径无关，其中 f ( x) 具有二阶连续的导数。七、 （5 分）设 D 为 y ? x, y ? 4 x, xy ? 1, xy ? 4 所围成的区域，F 是一元函数且F ?(u ) ? F ?(v) ?f (u )v ，其中 f ( x) 为正的连续函数，计算 f (u ) ? f (v)?y F ( xy ) ? xF ( )dx ? dy ，其中 ?D 为 D 的边界曲线，方向为正向。 ?D x y人心总有压抑的时候，爱情也是很沉重的一回事。但是，可以想想父母兄弟，夜里抬 头看看星月。上帝造这世界，并非叫每个人只为爱情活着。为太阳月亮又有何不可， 吸两口空气 ，低潮就 过去 了。三十年 后，想起 为爱 情 萌生死念 ，会觉得 可笑 。 ――亦舒2009 高等数学(下)期末试题一、填空（每小题 4 分，共１6 分） 1.设 z ? arctan?z x ? ( x ? 0, y ? 0) ，则 ?y y；2．微分方程 4 y?? ? 8 y?52 y ? 0 的通解为；3．曲面 2e ? z ? xy ? 4 在点 A (2,1,0) 处的法线方程为z；4．设积分区域 D 为 x ? y ? a ，则二重积分2 2 2?? ( xD3? sin y ? 1)dxdy =;二、单选题(每小题 4 分，共１6 分)2 2 2 1．函数 u ? x ? y ? z ? 3xz 在点 M (1,1,1) 处沿 l ? {1,2,2} 的方向导数 ???u ?l为（ ）MA.1 2 2 { , , }; 3 3 32B. {?1,4,2} ;C.1 ; 3D.3 ; 5112．设 u ? ln(1 ? x ? y ? z ) ，则 div u (1,1,1) ? （ ）2 2A.1 ; 4B.3 ; 4C. ?1 ; 4D. ?3 ; 4*3．微分方程 y?? ? y? ? y ? cos 2 x 的特解 y 的一般形式为（ ）; A. e (a cos 2 x ? b sin 2 x) ;xB. a cos 2 x ? b sin 2 D. x(a cos 2 x ? b sin 2 x) ;C. ae cos 24 ． 设 L 是 从 点 (0,0) 沿 折 线 y ? 1 ? 1 ? x 到 点 A(2,0) 的 折 线 段 ， 则 曲 线 积 分? ? ydx ? xdy =（L） C. 2; D. -2;A. 0;B. -1;三、计算题(每小题 7 分，共 63 分)美好的人，并不是那么难遇到。难遇到的，是美好而且深爱我们的人。因为深爱，我 们才得以享有体会进而理解他们的美好，他们的不为外人所知的美好。――蔡康永2 1. 求曲线 x ? sin t , y ? t , z ? 2t 在 t ? 0 处的切线的方程；2. 求曲面 z ?2x2 y2 在点 (6,12,5) 处的切平面的方程； ? 4 93. 设立体 ? 是上半球面 x ? y ? z ? 4 与抛物面 x ? y ? 3z 所围成，设立体的体密度为2 2 2 2 2? ( x, y, z ) ? z ，求立体 ? 的质量。4. 计算积分： I ?? dy ?1 2 1 4y1 2e dx ? ?1 dy ?2y x1yye dx.y x5. （工科分析做（1） ，其他做(2)）? ?1 ? 3 3? ? dx 3 ? 5 3? ? A x 的通解,其中 A ? ? （1）求微分方程组 ? ?。 dt ?6 ? 6 4 ? ? ?(2) 求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? xe 的通解;x12?z ? 2 z , 6.设 z ? f (e cos y, , x ? y ) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 ; ?x ?x?yx 2 27. 在 变 力 F ? e x sin y ? x ? y, e x cos y ? ax (a ? 0) 的 作 用 下 ， 质 点 由 A(2a,0) 沿 曲 线???? ? y ? 2ax ? x 2 运动到点 O(0,0) ，求变力 F 所作的功，并问参数 a 为何值时， F 所做的功最大？8.计 算 第 一 型 曲 面 积 分 ： I??? (2 x ? 3 y ? z)dS?4， 其 中 ? 为 平 面x y z ? ? ? 1( x ? 0, y ? 0, z ? 0) . 2 3 49．设 f (u ) 在 (??,??) 内有连续导数，试证曲线积分永远不要对少部分有头脑、有责任心的人可以改变世界表示怀疑。 ――人类学家玛格利.米德I ??L1 x [1 ? y 2 f ( xy )]dx ? 2 [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy 与积分路径无关，其中 L 为上半平面内的分 y y2 3段光滑曲线，并计算此积分当 L 是从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的线段时的值。四 、 (5 分 ) 计 算 曲 面 积 分 I ????xdy ? dz ? ydz ? dx ? zdx ? dy (x ? y ? z )2 2 2 3 2，其中 ? 为曲面x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 1 的外侧。2010 年高等数学(下)期末试题一、填空 1.若函数 f ( x, y) ? 2 x ? ax ? xy ? 2 y 在 (1,?1) 处取得极值，则常数 a ?2 2；2．曲线 x ? t 2 , y ? t 3 , z ? t 向夹角的余弦 cos ? ?23在 (1,1,1) 点处的一个切向量与 oz 轴正向成钝角，则它 ox 与轴正；133．交换二次积分的积分次序，其中 f ( x, y) 连续：?10dx ? f ( x, y)dy ? ? dx ?0 12 2x222? x0f ( x, y)dy =；4．设 L 为圆周 x ? y ? 4 ，则2? 2yL22ds =;5. 若 y ? 3, y ? 3 ? x , y ? 3 ? x ? e 都是微分方程 y ?? ? p( x) y ? ? q( x) y ? f ( x) 的解，其中xp( x), q( x), f ( x) 都是已知的连续函数，则此方程的通解为二、单选题；1．二阶常系数线性非齐次微分方程 y ?? ? 2 y ? ? 5 y ? e cos 2 x 的特解的形式为;xx A. ae cos 2 x x B. ae sin 2 xC. xe (a cos 2 x ? b sin 2 x)xx D. ae cos 22．设曲面 ? : x ? y ? z ? R 的外法线的方向余弦为 cos ? , cos ? , cos ? ，则2 2 2 2做一个好人，其所为不外乎是降低别人的人生成本。――鲍尔吉.原野?? ( x cos ? ? y cos ? ? z cos ? )dS ??A. ?R 3 ;B. 2?R 3 ;C. 3?R 3 ;D. 4?R 3 ;3．设 f (u ) 是连续函数，平面区域 D ? {( x, y) 0 ? y ? 1 ? x } ，则21 1? x 2 1 1? y 2?? f ( xD2? y 2 )d? ?A. C.?0dx ?01f ( x 2 ? y 2 )B. D.??0dy ?01f ( x 2 ? y 2 )??0d? ? f ( ? 2 ) ?d? ;0?0d? ? f ( ? 2 )d? ;04．过曲面 x ?y ? z ? 5 上点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 的切平面在各坐标轴上的截距之和为;B.5; C.A. x0 ? y0 ? z0 ;5;D.1 1 1 1 ( ? ? ); 2 x0 y0 z05．若二元函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处下列结论不一定成立的 是; A.连续；B.偏导数存在；C.偏导数连续；D.曲面 z ? f ( x, y) 的切平面存在;三、计算题14?z ? 2 z x 2 , 1.设 z ? f ( , x ? y ) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 ; ?x ?x?y yh x 2 ? y 2 与平面 z ? h( R ? 0，h ? 0) 所围成的锥体内作一个底面平行 xoy R2. 在圆锥面 z ?平面的长方体，求此长方体体积的最大值。 3. 设 力 场 F ? ? ? ( y) cos x ? ?y, ? ?( y) sin x ? ? ? ， 其 中 ? ( y) 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 ，?? A(? ,2), B(3? ,4) 为力场中的两点， AmB(? ? x ? 3? ) 是力场中位于直线段 AB 下的一条光滑曲线段， AmB 且与 AB 所围成的平面区域 D 的面积为 2，质点 M 在场力 F 的作用下由点 A 沿??? ? AmB 移动到点 B，求场力 F 所作的功。4.计算曲面积分 I ??? ( x ? y)dy ? dz ? ( y ? z)dz ? dx ? ( z ? x)dx ? dy ，其中 ? 为曲面?做五官端正的干部。百姓对干部的期望：手不伸、腿不懒、耳不偏、嘴不馋z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1) 的下侧。5. 设函数 f ( x) 具有二阶连续的导数，并满足 [e ? f ?( x)] ydx ? f ?( x)dy ? 0 ，其中 L 为x L?xoy 平面上任意一条分段光滑的封闭曲线，求 f ( x) 。6. （工科分析做（1） ，其他做(2)）? ?1 1 1? ? dx ? ? A x 的通解,其中 A ? ? （1）求微分方程组 ?1 3 1? 。 dt ? ?1 1 1? ?(2) 求微分方程 y ?? ? y ? ? 2 y ? e 的通解.x四、就以下四个积分，讨论第一型线积分和第二型线积分在使用对称性时的区别和理由，其中 L 是圆 x ? y ? 1 的一周，方向为逆时针。 (1)2 2? xdsL(2)L? xdy?(3)?xL2ds (4)L?x?2dy2011 年高等数学(下)期末试题一、填空（每小题３分，共１５分） 1. 曲线 x ? t , y ? 2t , z ? t 在相应于 y ? 2 的点处的切线方程是315；2． u ? z arctany 在点 A(1,0,1) 处沿点 A 指向点 B(3,?2,2) 方向的方向导数为 x；3．第一型线积分?x 2 ? y 2 ?1x 2 ds =;4．微分方程 y( 3)? y ? 0 的通解为xy；5. 设函数 u ? exyz? ? t sin tdt ，则 rot( gradu) ?0；二、单选题（每小题３分，共１５分） 1．已知 (axy ? y cos x)dx ? (1 ? by sin x ? 3x y )dy 为某个二元函数 f ( x, y) 的全微分，则常3 2 2 2数 a,b 分别是（ ）上至总统，下至平民百姓，看起来需要面对很多人，但其实不然。每个人真正需要应 付的不过也就是七八个人。把身边这些人应付好了，曰子就太平了。这七八个人摆不 平，曰子就不好过。这就需要拿出你的全部人生智慧来应付。 ――刘震云A. -2 和 2;B. 2 和-2;cos?C. -3 和 3;D. 3 和-3;2．二次积分 A. C.??2 0d? ?00f ( ? cos ? , ? sin ? ) ?d? 可以写成（ ）B. D.?10dy ?y? y2f ( x, y)?10dy ?1 01? y 20f ( x, y)?10dx ? f ( x, y)0x1?dx ?x? x20f ( x, y)3．微分方程 y?? ? y ? e ? 1 的一个特解应有的形式（a,b 为常数） （ ） A. ae x ? B. axe x ? C. ae x ? D. axe x ?4．设 I ?dxdy ，则满足（ ） 1 ? cos 2 x ? sin 2 y x ? y ?1??A.2 ? I ?2; 32 2 2B. 2 ? I ? 3 ;C. 0 ? I ?1 ; 22D. ? 1 ? I ? 0 ;5．设 L : x ? y ? R ，其方向为正，则 A. ?? ? yx dx ? xy dy ? （2 L）16?2R 4 ； B.０； C.?2R 4 ； D.2? 3 R ; 3三、计算题（１－７每小题７分，８－９每小题８分，共 6５分） 1.设 z ? f (e sin y, y) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求x?z ? 2 z , ; ?y ?x?y2. 计算二次积分? dy ? e0 3y13x2dx ；3. 设球体 x ? y ? z ? 2 z 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求该球体的质量。2 2 24.求曲面 xy ? z ? 1 ? 0 上距离原点最近的点。22 2 5.设 ? 为平面 y ? z ? 5 被柱面 x ? y ? 25 所截的部分，计算曲面积分： I ??? ( x ? y ? z)dS ；?科学家失败 99 次，一次成功，可能获得诺贝尔奖；政治家成功 99 次，一次失败，也 许就身败名裂。６．已知 ? ( x) ?B y 1 1 ( x ? ) ，试证曲线积分 I ? ? [ x ? ? ( x)] dx ? ? ( x)dy 在右半平面内与积 A x 2 x分路径无关，并求当 A, B 两点分别为 (1,0) 和 (? , ? ) 时该积分的值 f ( x) 。 ７．函数 f ( x, y) ? 3 x 2 y 在点 (0,0) 处①是否连续？②偏导数是否存在？③是否可微？均说明 理由；８．设曲面 ? 是锥面 z ?x 2 ? y 2 与两球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ， x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 所围立体表面的外侧，计算曲面积分 I ??? ( x?3? f ( xy ))dy ? dz ? ( y 3 ? f ( xy ))dz ? dx ? z 3dx ? dy ，其中为 f (u ) 是连续可微的奇函数。９. （工科分析做（1） ，其他做(2)）? ?1 2 3? ? dx 2 1 3? ? A x 的通解,其中 A ? ? （1）求微分方程组 ? ?。 dt ? 3 3 6? ? ?(2) 求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 3e 的通解.2x17四、 （５分）设 a&0,b&0 为常数， f (t ) 是连续函数,且 f (t ) ? 0 ，证明：x y (b ? 1)f( ) ? (a - 1)f( ) a b dxdy ? ? ab(a ? b) ?? x y 2 x2 y2 f( ) ? f( ) ? ? 1 2 2 a b a b2002 高等数学（下）期末试题参考答案一． 1. 3(x-3)-6(y+6)+(z-3)=0 2. →=(1,1,-1)x(1,1,1)=(2,-2,0),平面方程为(x-1)-(x+2)=0n3. dz=y 2 x y2 ?1dx + 2x y ylnxdy1 1 524. 向量为 n=(6x,4y,-1),平面方向数为nl =(3,2,1),两者平行得 P(-2 , ? 2 , 4),所以的法平面方程明日复明日，明日何其多，我生待明日，万事成蹉跎。世人若被明日累，春去秋来老 将至。朝看水东流，暮看日西坠。百年明日能几何，请君听我明日歌。 （文嘉《明日歌》 ）为：3(x+2)+2(y+2)+(z-4)=0 5. 切向量为→=(1,1,0),P( , , 0),切线方程为τ 2 2 1 1 x? 11 2115=y? 11 2=z 06. ∫1 dy ∫y24?yfdx2 2 4π 37. 用先二后一法得 I=∫0 zdz ? dxdy = ∫0 πz(2z ? z 2 ) dz = Dz8.验证Px = Q y =y2 ?x2 x2 +y2,L 不包含原点，故∮ =0. Lπ|y |√2dxdy=2√2 ? 9.第一型面积分? ydxdy=2√2 ∫02 dφ ∫0 D D 10. 齐次方程的通解为 y = ?dy dx x c2cosφ 2ρ sinφdρ = .3 c′ (x) x2=&
= x , 用常数变易法求非齐方程的特解arctan x x= x(x2 +1) =&1(x) = arctan x + c ,非齐方程的通解为 y=+x .czx = 2x ? y + 9 zx = 0 2 0 二．{z = ?x + 2y ? 6 ,令{z = 0 , 得 P(?4,1)，H = 0 1 ，正定，Zmin (?4,1). 0 2 y y 三．设 z=z(x,y),方程两边对 x 求导得 F1（1-zx ）-zx F2=0=& zx=F1+F2,方程两边对 y 求导得 -zx F1+F2(1-zy )=0=& zy = F1+F2,所以zx+ zy=1 四 ? =? +? +? = 3? z 2 dv + ? dxdy = 3 ∫0 z 2 dz ? dxdy + Σ Σ π π v D D1 u zF1F1181 2 3π = 3π ∫0 z 2 (1 ?1z)dz+3 π = 4π+3 五．∫LAB232= ∫LAB+ ∫AO + ∫OA = ? ? 4d? + 0 = ?2a2 π D六．齐次方程的特征方程为 λ2 ? λ = 0 =& λ = 0，λ = 1，非齐方程的特解形式为y ? = x(ax 2 + bx + c), b = a, c = 2, 非 齐 方 程的通解为 y=c1+c2*ex +x(3 x 2 + x + 2) x(ax 2 + bx + c), b = a, c = 2,非齐方程的通解为 y=c1+c2*ex +x(3 x 2 + x + 2)1 12003 高等数学（下）期末试题参考答案一、1. du ? e sin y cos zdx ? e cos y cos zdy ? e sin y sin zdzx x x2．点（1 1 1 ? ? ，当时 t ? ， ? ? ( x, y, z ) ? (1,0,?1) 切线 , , ） 4 2 2 2x?1 1 1 y? z? 2 ? 2 ? 2 ，法平面， 1 0 ?1德国人和中国人都爱好哲学。德国人在没有问题的地方凿出问题，中国人在有问题的 地方擦掉问题。凿出问题是为了分别事物，擦掉问题是为了进入无差别境界。x?z ?03.原式=? 2e dx ? 2 xex 01xdx ? 2 xe x | ? 2e014 ． 由?z x ? 2x ? y ? 9 ? 0 得 驻 点 （ -4,1 ） ， 在 （ -4,1 ） 处 ， ? ?z y ? 2 y ? x ? 6 ? 0AC ? B 2 ? 3 ? 0, A ? 2 ? 0, z m (i?4 n,1) ? ?15. p 2 ? 3 ? 0, p ? ? 3i , y * ? ( Ax ? B) ? e x , A ?3 3 3 , B ? ? , y * ? (2 x ? 1)e x 4 8 8二、1.设所求点为（X,0,0） ，则X 2 ?1? 4 ?6X ? 9 49，解得 x=-2 或 x ? ?82 132.?z z ?z z (2 xyz ? 1) ?? , ? ?x x ?y y (2 xz ? 2 xyz ? 1)3.原式=? dy ?012? yyf ( x, y)dx4.由高斯公式得，原式= 三、 I ???? dv ? 8v?208 z 2? (2 z ? z 2 )dz ? ? 5192 2 2四、设半球面方程为?: z ?R ? x ? y ,z ??? zdS?2?R2?R ?? dxdyD2?R2?R R ，重心为 (0,0, )。 2 2五、r 2 ? 4r ? 3 ? 0, r1 ? 3, r2 ? 1, y ? C1e3x ? C2ex且1 5 1 y(0) ? 2, y ' (0) ? 1, C1 ? ? , C 2 ? , y ? (5e x ? e 3 x ) 2 2 2 ? 六、令 z ? ax ? u, z ? by ? v ，则曲面法向量 n ? ?? aFu ,?bFv , Fu ? Fv?取 A ? ?b, a, ab??则? ? ? ? n ? A ? 0 ，从而 n ? A七、令 y ? p ，则 y ? p 带入原方程， xp ? p(ln p ? 1 ? ln x) 即 p ' ?' '' ' 'p p (ln ? 1) x x令p du ? u ，得 ? ? ln C1' x ，由 y ' (1) ? e ，得 C1 ? 1 x u ln u八、? ?u ?u ? ? du ? ?u ?u ? ? ?u ?u ?u ?? , dy ? ? n, ds ? ? , ? ? ?dy ? dx? ? ? dx ? dn ? ?x ?y ? ?n ?y ?x ? ?x ?y ? ?在中国做事，最好只走半步：早半步或迟半步。早半步可得风气之先，晚半步不冒无 谓的风险。但不能早一步或晚一步。早一步成为被枪打的出头鸟，晚一步就会别人牵 牛你拔桩；早一步花还未开，晚一步瓜已落去。?u ?u ?u ? 2u ? 2u ds ? ? dx ? dy ? ( ? 2 )dxdy 2 ? ? ?? ?n ?y ?x ?y L L D ?x2004 年高等数学（下）期末试题答案一、1.Zx=1 ? ye xy x ? y 2 ? e xy3y 1 3z 1 f dx ? ( 3 f1 - 4 f 2 )dy ? 3 f 2 dz 4 1 x x y y2.dz=-3.gradu={2y,2x,6z},gradu(p0)={2,2,-6};? 1 -2 1 , P0 P ={1,-2,1},e={ ， } 6 6 6?u 2 - 4 - 6 -8 ? ? ? ? ?l 6 6 6 64、? 2 ? 2? ? 1 ? 0，?1 ? ?2 ? 1，y* ? x - 2; y ? (c1 ? c2 x)e* ? x - 20 ? x ? 1, x ? y ? 2 - x, D ? D1 ? D2 ; D1 : 0 ? y ? 1,0 ? x ? D2 : 1 ? y ? 2,0 ? x ? 2 - y原式=205、??D? ? dy ?012- y0fdx16、 原式=?10z 2 dz ?? dxdy ? ? z 2 (?z)2 dz ?Dz 0?4 a 2? (a - 1) ? 2a 2 27、?L? ? L ? ? OA ? ? OA ? ? ?? (a - 1)d? - ? OA ? ?D8、 S= S ? dS ??2?x ? y ?2 x??22dxdy ? 2?9、?? zdS ? ?? dxdy ? ?? x 2 ? y 2 ?110、? z x ? 2x - y - 2 ?zx ? 0 ? 2 - 1? , 令? , ? P0 ? (1,0); H ( P0 ) ? ? ? ? -1 2 ? ?, Z min (1,0) ? -1 ? ? ?z y ? - x ? 2 y ? 1 ? z y ? 0现实中缺少英雄的时候，媒体上的英雄就会增加；媒体上的阴暗面缩小的时候，现实 中的阴暗面便已扩大。媒体是扫帚，它干净了，房子就脏了。 ――吴稼祥u x ? y[e x ? f '' ( x)], u y ? f ( x), u xy ? u yx ,? e x ? f '' ( x) ? f ' ( x), y '' - y ? -e x ,二、特征方程为?2 - ? ? 0 ? ?1 ? 0，?, 2 ? 1， y ? axe x , 代入解得a ? -1, 通解为 f ( x) ? c1 ? c2e x - xe x , f (0) ? 4, f ' (0) ? 3, c1 ? 0, c2 ? 4, 特解为f ( x) ? 4e x - xe x三、? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????h1? 2 ? - ?? - ?? ; ?? ? ?? ? ?? dxdy ? ?a ? ? ? h ?1 ? h ?1 D? ? 1 ? ? ? ? 3 ( x ? y ? z ) dv ? 3 zdv ? 3 dxdy ? ? ?? ?? ?? ?? ??? ??? ?0 zdz ?? ? ? ? h ?1 ? S V V D ? ? ? 3? ? za 2 dz ? ?a 2 ; ?? ? 00 ? 1四、 z (u, v) ? z (u( x, y), v( x, y)), z x ? zu ? zv , z xx ? zuu ? 2 zuv ? zvv ,z xy ? -2 zuu ? zuv ? 3zvv , z y ? -2 zu ? 3zv , z yy ? 4 zuu - 12 zuv ? 9 zvv , 6 z xx ? 2 z xy - z yy ? 19 zuv , zuv ? 0五、设切点为0 P（x0 , y0 , z0 ), 切线方程为 x0 x y0 y z0 z a2 b2 ? ? ? 1 , 截距为 x ? , y ? , a2 b2 c2 x0 y0221c2 a 2b 2 c 2 x2 y2 z x2 y2 z ? , 体积V ? , 要使V最小，必须V ? 2 2 2 最大，X ? 2 , Y ? 2 , z0 x0 y0 z0 abc a b Z? c2 , X ? Y ? Z ? 1, 令L ? XYZ ? ? ( X ? Y ? Z - 1），Lx ? 0, Ly ? 0, Lz ? 0, L? ? 0 z2 1 3 3 3 3 3 3 X ?Y ? Z ? ,x ? a, y ? b, z ? c, 即在P （ a, b, c)点V最小 0 3 3 3 3 3 3 3六、 令?? x ? r cos ? ?f ?f ?f ?f ?f ?f , 则 ? cos ? ? sin ? , r ?x ?y , ?r ?x ?y ?r ?x ?y ? y ? r sin ?x 2 ? y 2 ?1??(x1 2? ?f ?f ?f ?f ? y )dxdy ? ?? (r )rdrd? ? ? dr ? (r )rd? 0 0 ?x ?y ?r ?r r ?12 2 ? ? e -( x ? y ) dxdy ?dxdy ? 2 ?? ? x ? y 2 ?r 2?2?0(r2?? ?2 f ?2 f ?f ?f )rd? ? ? ds ? ?? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ?r ?n x2 ? y 2 ?r 2 x2 ? y 2 ?r 2 ?r2 2? ? d? ? re-r dr ? ? (1 - e -r ); 原式 ? ? ? r (1 - e -r )dr ?21?2e000当男人陪女人购物时， 100 ％的女人专注于商品， 20 ％的男人专注于价格，剩下的 80％专注于其他女人。2005 高等数学（下）期末试题参考答案一.1. ux = ex+y (cos(y ? x) + sin(y ? x));uy = ex+y (cos(y ? x) ? sin(y ? x)) 2. τ ? = *et (cos t ? sin t), et (cos t + sin t)+t=π = 20, √2e 4 , e 4 3 ; P0 . 2 e 4 ,4 π π√2 π √2 π π e4 , e4 / 2,切线x?π √2 e4 20=y?π √2 e4 2√2=z? 1π 4；法平面√2 .y ?√2 π e4 / + 2.z ? 4 / = 02π R ππ,(1 + y 2 ) ? (1 ? x 2 )- dxdy = ∫0 dφ ∫0 ρ3 dρ = R4 3. 原式= ? x2 +y2 ≤R2 2 4. gradz = *2x ? y, ?x + 2y+， gradz|(1,1) = *1,1+,n = 21 √2 √2,13,max ?t = √2?z5. 特征方程为 λ2 ? 1 = 0 ，特解形式为 y = Axex ? A = , 原方程通解为 y = c1 ex +21c2 e?x + 2 xex 6. n ? = *2x, y ? 1+(2,1,4) = *4,2, ?1+ , 切平面方程为 4(x ? 2) + (y ? 1) ? (z ? 4) = 0原式= ∫ dy ∫2y?2 f(x, y)dx 0 9. ?Σu 1 2?2y122=?Σu+ ?z=Ou+?Σu 2π 2= 3 ? dv +Ω?x2 +y2 ≤4x2 dxdy= 8π + ∫ dφ ∫ ρ3 cos2 φdρ = 12π0 02a10. ∫L= ?∫L?∫L+∫L= ?(?a ? 1)dxdy + ∫ xdx =D 0(1 ? a)πa2 + 2a2 2二．? zdS = ? 2dxdy = 8π Ω x2 +y2 ≤4 三2zdv = ? zdv ? zdv = ∫0 dz ? zd? + ∫√2 dz ? zd? = ∫0 πz 3 dz + ? Ω Ω Ω D′ D′′1 2 z z√22√2∫√2 πz(4 ? z 2 )dz = 2π四 ． λ?1 3 ?3 （ 1 ） |λI ? A| = | ?3 λ + 5 ?3 | = (λ + 2)2 (λ ? 4), λ = ?2, λ = 4, 当 λ = ?2 ?6 6 λ?4时,x1 ? x2 + x3 = 0,得p1 = (1,1,0)T ,p2 = (1,0, ?1)T,p3 = (1,0, ?1)T,当λ = 4时，得知道?爱情?的人越来越多，知道?艾青?的人越来越少； 知道?周迅?的人越来越多，知道?鲁迅?的人越来越少： 知道?马克?的人越来越多，知道?马克.吐温?的人越来越少。p3 = (1,1,2)T ,通解为x(t) = c1 p1 e?2t + c2 p2 e?2t + c3 p3 e4t (2) 将y = e2x + (x + 1)ex代入方程比较系数得a = ?3, b = 2, c = ?1,原方程为y ′′ ? 3y ′ + 2y = ?ex，通解为 y = c1 ex + c2 e2x xex 五．定球为Σ：x2 + y 2 + z 2 = a2 ,设动球Σ1 ：x 2 + y 2 + (z + a)2 = r2 ，两球交线在xoy平面的投2 r2 ?2a2 影为 L: x 2 + y 2 = a2 ? . / , 显然在 r = √2a 时动球在定球内的球面最大。最大值为 2aS=? dS = ? S D 六?2 u√2adxdy z+a+? D√2adxdy √r2 ?x2 ?y2= ∫0 dθ ∫02π√2a √2aρdρ √2a2 ?ρ2= 8πa?u ?2 u∮ L?uds = ∮L ?x?ucos(x, n)ds + ?y sin(x, n)ds = ∮ L ?xπ?u?udy ? ?x dx = ? . + D ?x2 ?x φ + sin φ)dρ = 1564(x + y)√x 2 + y 2 dxdy = ∫ 2π dφ ∫0 / dxdy = ? D ?y2?22 cos φ 3 (cosρ2006 高等数学（下）期末试题参考答案一、1.?y = 2. 2 ?3+ 2 ; 2.F=x 2 +y 2 +
2 ? 3, ?? = (2,2,2), 切平面方程：x + y + z ? 3 = 0. ( 2 +
2 + 2 ≤2 ?2 ?u1?323
= ? (6 分)。23234.特解 ? = 3. (3 分)，通解为：y = 1
2 + 3. (6 分) 5.∫0 dy ∫
√1 √2? 2(, ) = ∫0
∫0 (, ) + ∫1
∫01 2√2√2? 2(, ).(6 分)6. ?
1 1 2= ∫ 0 2? 2 + 2 ≤31 2
. 4 0 1+ ∫ 1? 2 + 2 ≤4? 27.∫
= ∫02 2. 2 = 4.(6 分) 8.1 1 x2 y2 dS ? ? 1? 2 ? d? ?? ?? z a ? x2 ? y2 a2 ? x2 ? y 2 a2 ? x2 ? y2 ? x 2 ? y 2 ?a 2 ?h2? a ? d? ?02?a 2 ?h2 21 a ??20?d? ? 2?aIn （6 分）a h9. ?t ?1? (3,2,1) 法平面方程为： 3( x ? 1) ? 2( y ? 1) ? ( z ?1) ? 0 （6 分）聪慧的头脑让拮据的生活泛现浪漫， 优雅的双手为无邪的童年描绘异彩。10.（1） F ?( y ) ?x y?y2ycos( xy )dx ?sin y 3 sin y 2 3 sin y 3 ? 2 sin y 2 （6 分） ? 2 y ? ? y2 y yz z z （2） F ? e ? e ? 2e x ? 2, y ? 2 时， z ? 1 （2 分）?z ?x二、( 2, 2 ,1)??z ?y( 2, 2 ,1)?1 ?z ?z （4 分） ( x ? ) ( 2, 2,1) ? 1 （6 分） 4 ?x ?y?z ? f1e x sin y ? 2 xf 2 (3?) ?x?2 z 1 ? e x cos yf1 ? e 2 x sin 2 yf11 ? 2e x ( y sin y ? x cos y) f12 ? 4 xyf 22 (7?) ?x?y 2 ?2 z ? e x cos f1 ? e x sin y ( f11e x cos y ? f 22 ? 2 y ) ?x?y三、 W ? (2 xy ? y cos x)dx ? (1 ? 2 y sin x ? 3x y )dy (2?)3 2 2 2 L?? 1 3 2 2 ?2 ?P ?Q 2 2 ? W ? 0 dx ? ( 1 ? 2 y ? ? y ) dy ( 6 ) ? (7?) ? ? 6 xy ? 2 y cos x(4?) ?0 ?0 4 4 ?y ?x24四、 en ? (2x 4( x ? y ) ? 12 2,2y 4( x ? y ) ? 12 2,?1 4( x ? y 2 ) ? 12)???(4 xy ,?2 yz ,1 ? z 2 )en ds ? ???28x 2 z ? 4 y 2 z ? 1 ? z 2 4( x ? y ) ? 12 21 ? z x ? z y dxdy2? 222??0?2?0(8? 2 cos 2 ?? 2 ? 4? 2 sin 2 ?? 2 ? 1 ? ? 4 ) ?d?d? ? ? (6 cos 2? ? 3)d? ? ? 5 d? ? 6?0 0五、由?P ?Q x 得： e ? f ?( x) ? f ??( x)(2?) ? ?y ?x* xy?? ? y? ? e xx设特解 y ? Axe 带入得： A ? 1(4?) 通解为： y ? C1 ? C2 ? xe (5?) 由条件 f (0) ? 4, f ?(0) ? 3 得： C1 ? C2 ? 2(6?) f ( x) ? 2(1 ? e ) ? xex xf ( x) 求对数可以不求 u ( x)?1 ?1 六、i.解： ?I ? A ? ? 1 ? ? 1 ? (? ? 2)(? ? 1) 2 (3?) ?1 ?1??心中没有阳光的人，看不到阳光的明媚； 脸上没有微笑的人，也发现不了微笑的魅力。?1? ? ? ?1 ? 2 时 ? 1 ? ? ?1? (4 ) ? ?1? ??1? ?1? ? ? ? ? ?2 ? ?3 ? ?1 时， ? 2 ? ?? 1?? 3 ? ? ? 0 ? (6 ) ? ? ?0? ? ?? 1? ??1? ?1? ?1? ?? ? ? ? ? 通解为： x(t ) ?C 1 e 2t ? C2 ? 1 e ?t ? C3 0 e ?t (7?) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ? ? ?? 1? ? 1? ?ii．据题设： y? ? x ??x0ydx (3?) 求导得： y?? ? 1 ? y(4?), y(0) ? 0, y?(0) ? 0(5?) 通解为：y ? C1 cos x ? C2 sin x ? 1(6?) 所求曲线方程为： y ? 1 ? cos x(7?)七、证：欲证?P ?Q ?P ?Q ? f ? yf 2 ? ? f ? xf1 ? ?y ?x ?y ?x2即 2 f ? xf1 ? yf 2 ? 0(2?) 又 f (tx, ty ) ? t f ( x, y) 两边求导得：xf1 ? yf 2 ??2 f 令 t ? 1 得： xf1 ? yf 2 ? ?2 f (4?) 据 Green 公式得证 (5?) t3252007 年高等数学（下）期末试题参考答案一、?z y y2 ?z 1 ? ? 2 cos( xy ) ? sin( xy )(3?), ? cos( xy ) ? y sin( xy )(6?) x x ?y x 1、 ?x? ? (1,?2,3)(2?),2、 、x ?1 y ? 1 z ? 2 ? ? (4?), ( x ? 1) ? 2( y ? 1) ? 3( z ? 2) ? 0(6?) 1 ?2 3?3. n ? (1,4,6)(3' ), ( x ? 1) ? 4( y ? 2) ? 6( z ? 2) ? 0(6 )4．?1 ? ?1, ?2 ? 3(2?), y ? Axe ? x (4?), A ? ? (5?), y ? c1e ? x ? c2e3 x ? xe ? x (6?)1 41 45.原式=? dx?02x0f ( x, y)dy ? ? dx ?244? x0f ( x, y)dy(6?)6.原式=?2?0d? ? 4 d? ? r 2 sin ?dr (4?) ? 2? (1 ?0 0?22 )(6?) 27 原式= 2 ds ? 2 2? (6?)L?不描写内心，专描写内分泌。DD作家余华评价现在某些作家的作品8 原式=x 2 ? y 2 ?1??x 2 ? y 2 ? 1 1 ? 4 x 2 ? 4 y 2 dxdy ?x 2 ? y 2 ?1?? (1 ? 4 x2? 4 y 2 )d? (3?) ? ? d? ? (1 ? 4 ? 2 ) ?d? (5?) ? 3? (6?)0 02?1?( x, y, z ) ? F ( x ? az, y ? bz )(1?), ? x ? F1 , ? y ? F2 , ? Z ? ?aF1 ? bF2 (4?)dz ?9.2 2 2 ?z ? 2 xe ?( x ? y ) (6?) 10. ?xF1dx ? F2 dy (6?) aF1 ? bF2?z ?2 z ? ? 2 xf1 ? yf 2 (3 ), ? ?4 xyf 11 ? 2( x 2 ? y 2 ) f12 ? xyf 22 ? f 2 (7?) ?x?y 二． ?xf ?(t ) ? 2t ?三．1 2??2?0d? ? f ( ? )d? (3?)?tf ??(t ) ? 2 ? f (t ), f ??(t ) ? f (t ) ? 2(5?), f (t ) ? c1et ? c2et ? 2(7?)I ? ? ??? (1 ? 4)dv ?四． 五．原式=?x 2 ? y 2 ?1?? ? 4( x2? y 2 )dxdy (5?) ? 2? ? 4? d? ? ? 2 ?d? ? 0(7?)0 02?1?L?OA??OA?(3?) ? ?? (?a ? b)d? ? ? (?bx)dx(6?) ? (b ? a)D 02a?2a 2 ? 2a 2b(7?)26? ?? ? 六．? du ? ?2 ? f ( x)?ydx ? f ( x)dy,? 2 ? f ( x) ? f ( x)(3 ) f ( x) ? c1 cos x ? c2 sin x ? 2(5?) f (0) ? 1, f ?(0) ? 0,?c1 ? 1, c2 ? 0f ( x) ? 2 ? cos x(6?), du ? y cos xdx ? sin xdy ? d ( y sin x), u ? y sin x ? c(7?)七、 D?? f ( x, y)dxdy ? ? dx?01101? 1 ?f ? f ( x, y)dy ? ? ? yf ( x, y) 1 dy ?dx(1?) 0 ?? y 0 0 ?y ? ?? ? ydy ?011 ? 1 ? ?f ?2 f ?2 f d (1 ? x) ? ? y ?(1 ? x) 1 ? ( 1 ? x ) dx dy ? ? y ( 1 ? x ) dydx (3?) 0 ? ?0 ?? 0 ?y 0 ?x?y ? ?x?y ? D 1??Df ( x, y)dxdy ?1 1?? y(1 ? x)D?2 f ?2 f dxdy ? ?? y(1 ? x) dxdy ? M ?? y(1 ? x)dxdy ?x?y ?x?y D D? M ? (1 ? x)dx ? ydy ?0 0M 4你泡了吗？你漂了吗？你干了吗DD一则洗衣粉广告 。2008 年高等数学（下）期末试题参考答案一 1、zx? y e cos( x ? y) ? e sin( x ? y)xyxyzy? x e cos( x ? y) ? e sin( x ? y)xyxy2、切线3 x -1 y ? 1 z ? 1 法平面 （ ? ? 2 x -1 ） ? 3( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 0 2 3 32 2x ?1 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 4 0 3 ?2 x 3x ?2 x 4、 y ? x e ? c1 e ? c2 e 53、 5、? dy ? dx0 y12? y6、16 ? 7、2 29 ln 3 - 1 8、 42729、 10、1x0 ? y 0 ? z 0 a b c2 4 4224二、zxy y ? 2 xf ( x, ) ? x2 ( f 1 ? 2 ) f 2 x xzxxy 2y y y ? 2 f ( x, ) ? 4 x f 1 ? f 2 ? x2 ( f 11 ? 2 f 12) ? y( f 21 ? 2 f 22) x x x x704 ? 3 四、 R ? 1三、 ? 五、a ? ?1 a12? ?2 y ? x e ? c1 e ? c2 e七、45x2x?x六、 f ( x) ?1 kx kx ?x ? c1 e ? c2 e e k ?1美女就象胡椒面，哪里人气不旺就撒一点DD一名中国城市居民评价美女商业促销 。2009 高等数学（下）期末试题参考答案一、填空题： １.?ｚ １ １ ?? ? ?ｙ ２ x ? yx y2.A2.y= ? 1e 2 ? ? 2e 2 3.B 4.D1x5x3.x ? 2 y ?1 z ? ? 1 2 14. ?a 2二、单选：1.C 三、1.? ? {1,0,2}（4分）切线方程为： ?8 3?x 1y z （7 分） ? 0 22. n ? {3, ,-10} //{9,8,-30} （4分） 切线方程： 9（x-6)+8(y-12)-30(z-5)=0 (7 分） 3.m=???? zdv ? ? d? ? ?d? ?? 2? 0 0 32?34- ? 2zdz ?13 ? 44. I ??11 2x y 1 3 1 1 dx ? 2 exdy ? ?1 ?xe - x ex ?dx ? e - e 2 x 8 2 2? ?1 ?I ? A ? ? 35.①3 ? ?5 6?3 ? 3 ? (? ? 2) 2 (? ? 4) ? 0?6? ?4?1 ? ?2 ? ?2, ?3 ? 4(3 分）28?1 ? ?- 1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?2 ? ?2 时 r1 ? ?1? r2 ? ? 0 ? （5 分） ?3 ? 4 r3 ? ?1 ? （6 分） ? ? ? ?0 ? ? ?1? ? ?2? ??1? ?? 1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4t （7 分） ? 2t ? 2t 通解 x (t ) ? ? 1 e ? ? 2 0 e ? ? 3 1 e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ? ? ? ? 2? ?，?2 ? 2 （2 分）设特解为： y* ? x(ax ? b)e x （3 分）带入得： ② ? - 3? ? 2 ? 0，?1 ? 12x2 1 x 2x y ? ? 1e ? ? 2e ? ( ? x)e x a?? b ? ? 1 (5 分）通解为： (7 分） 2 26.?z ? f1 ? e x cos y ? 2 xf 2 ?x?2 z ? ?e x (sin y) f1 ? e 2 x (sin y cos y) f11 ? (e x 2 y cos y ? 2 xe x sin y) f12 ? 4 xyf 22 ?x?yW (a) ? ??2a 2 ? 2a(1 ? a)?2? 4a ? 0a?2 ? ?4 ? 3 ?相互吹捧的是做官的人；互相看不起的是搞艺术的人；见面不说实话的是做生意的 人。 ――――对话里泄露的职业身份 。7.?? (2 x ? 3 y ? z)dS ? 4?? dS ? 4? ?461(7 分）9、设 F（u）是 f（u）的一个原函数，则? y ?1 ? y1L2f ( xy ) dx ??? ydx ? xdy ? ?x ? x 2 ? f ( xy )( ydx ? xdy )? ? ? d ? ? F ( xy )? y f ( xy ) - 1 dy ? ? ? 2 2 y y ? ? L ?y L???2 ?? 被积表达式是全微分，故此积分与路径无关。 （3， ） 3?（1, 2）?x ? 1 9 ? F ( xy )?（1, 22） ? - ? -4 ） 2 2 ?y ?（3， 3四、解：2 2 2 2 2 2 ?p ? 2 x2 ? y 2 ? z 2 ?Q ?P ?Q ?R x ? 2 y ? z ?R x ? y ?2z ? ? ? ? ? ? ? ?0 5h 5h 5h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?x ?y ?z ?x ?y ?z x ?y ?z x ?y ?z x ?y ?z??????取 ? 充分小使球 x2 ? y 2 ? z 2 ? ? 2 含于椭球面 x2 ? 2 y ? 3 z 2 ? 1 的内部，由高斯公式知（记2?1 是 x2 ? y 2 ? z 2 ? ? 2 的内侧）:?? ? ?? ? ?? ? ??? 0dv ? ? ?? xdy ? dz ? ydz ? dx ? zdx ? dy ? ?? ?- ?1 ?1 ? 3 ?11132 x 2 ? y ? z 2?? 2??? 3dv ? 4?29女人没本事却会要求男人有本事；男人自己没本事却会埋怨女人防碍了运气 ――――总之，男人就是不能没有本事 。西安交通大学考试题特别篇----重点总结课 程系 别高等数学 2 考试日期 年 月 日专业班号 姓 名 学 号 期中 期末1．交换积分次序： ? dx ?-20x +2 2 0f (x,y)dy + ? dx ?02- x +2 2 0f (x,y)dy 。[计算困难的累次积分时，往往需交换积分次序；而换序的核心 是作出积分区域的草图，再考虑“常数加穿线”] 2．计算： ?? (x 2 +cosx sin y)d? ，其中 D 为单位圆内部闭区域。(D )30[被积函数的奇偶性，轮换性，积分区域的对称性的应用] 3. 计算： ??? x 2 +y 2 +z 2 dV ，其中Ω为 z = x 2 +y 2 ， z = 2-x 2 -y 2 围成(? )的空间闭区域。 [旋转面内的三重积分一般采用先二后一的方法（ “切土豆片” ） ， 注意时常需要分段积分] 4. 计算：xOy 坐标平面内，质量面密度为定值?的圆盘 x 2 +y 2 ? R 2 绕 直线 Ax+By+C=0 的转动惯量，其中 A、B、C、R＞0 为常数。 [考虑点到直线的距离公式，高中数学的重点] 5. 质量密度均匀的半球壳 x 2 +y 2 +z2 =R 2 , z ? 0 的质心在何处？[计算形 心、质心坐标时，首先确定使用何种积分，如本题应使用第一型请哪个帅哥美女给大爷让个座位。――――四川一位售票员号召车上的人给一位老人 让座，没有人理她，于是她说出了上边的话，立即有人响应面积分；再考虑积分区域的对称性] 6. 计算： ? xyds ，其中 L 为平面上单位圆位于第一象限的部分。(L )[化复杂的多元函数积分为定积分、二重积分，是计算的基本思 路之一。注意积分上下限、被积函数、积分变量各自的变化方法] 7. 计算：(L )?exsin ydx+(e x cos y +4 x)dy ，其中 L 为以 A（0,0 ）与 B（2a，0）的连线段为一条直径的圆的上半圆周，且由 A 至 B。 （a&0） [ 本题意在使用 Green 公式，使用时要注意：积分路径闭合吗 （是否要补线）？积分路径是正向（逆时针）的吗？偏导数在 积 分路径所围的区域内，处处存在吗（有无奇点）？]2 2 8. 一质点在平面力场 F =(2xy3 -y2 cos x )i +(1-2ysinx+3x y ) j的作用下，31沿曲线 L： 2 x=? y 2 由（ 0,0）点运动至 ( ,1) 点。在此过程中， 2 力场做了多少功？ [力场做功问题，大家都偏爱保守力场，往往能够验证线积分与 路径无关；此时，采用特殊路径法与原函数法都很好]?x2 y 2 xdy -ydx 9. 计算： ? 2 2 ，其中 L 为椭圆周 + =1 。 4 9 x +y (L )[这就是多连域内的 Green 公式应用，可先将积分路径“闭路变 形” ，再将被积函数化简至处处连续，使用 Green 公式] 10. 计算： ??dS ，其中Σ为球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a&0) 在 z=h(0&h&a)以 z (? )上的球冠部分。流言蜚语是一只只纠缠不休的黄蜂，我们对它绝不能轻举妄动，除非我们确信能够打 死它，否则它反击我们时会比先前更凶猛。经验口袋布袋先生――――尚福尔[第一型面积分的计算虽然方法单调，却往往考查计算功底] 11. 计算： ?? zdS ，其中Σ为单位球的上半球面。(? )12. 计算： ?? x 2 dS ，其中Σ为 z = x 2 +y 2 被 z≤1 截得的部分。(? )[以上两题，积分变量的变化形式十分“优美” ，几乎每年必考] 13. 计算柱面 x 2 +y 2 =ax 被包在球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a&0) 内的面积。 [由于柱面与 xOy 坐标面正交，可考虑在投影曲线上作第一型线 积分，大大化简计算过程] 14. 计 算 ：?? x dy ^dz +y dz ^dx+z dx^dy2 2 2 (S )，其中 S 为圆柱面x 2 +y 2 ? a 2 (a &0) 被平面 z=0 与 z=1 截得的部分，且其法向量在32（a,0,0）点与 x 轴正向同向。 [ 第二型面积分最常用的计算方法显然是 Gauss 公式，它是 Green 公式在三维空间中的推广。使用时同样注意：积分曲面 闭合吗（是否要补面）？积分曲面是正向（朝外）的吗？偏导 数在曲面所围的空间闭区域内，处处存在吗（有无奇点）？] 15. 设曲面Σ： x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a&0)外法线的方向余弦分别为 cos α， cosβ，cosγ，计算 ?? (x cos? +y cos ? +z cos ? )dS 。(? )[注意第一型、第二型面积分的互化关系，再使用 Gauss 公式] 16. 计算场 A ? ( x2 , y 2 , z 2 ) 的散度与旋度。 [切记散度是数量，旋度是向量]今日复今日，今日何其少！今日又不为，此事何时了！人生百年几今日，今日不为真 可惜！若言姑待明朝至，明朝又有明朝事。为君聊赋今日诗，努力请从今日始。 （文嘉《今日诗》 ）17．求场 A ? ( x2 ? yz, y 2 ? zx ? 2 yz 3 , z 2 ? xy ? 3 y 2 z 2 ) 的势函数 u。 [求势函数一般需要作两次“偏积分” ，但“凑微分”的方法是最 快的，核心是观察各分量中的“独立项”与“齐次项”] 18. Σ为 R?中的二维单连域（G）内的一个闭曲面。已知空间场 A 在 （G）内有连续的二阶偏导数，求证： ?? rot A ? d S =0 。(+? )[本题首先需要明确概念：二维单连域是为 Gauss 公式服务的， 而为 Stokes 公式服务的是一维单连域。若对“旋度无源”的结论 很熟悉，即 div(rot A)=0 ，则可迅速完成本题] 19. 已知 y1 =x, y2 =x+e x , y3 =1+x+e x 是微分方程 y?? ? a1 ( x) y '? a2 ( x) y ? Q(x) 的三 个解，求方程的通解。 [ 对线性微分方程（组）的结构定理，应该熟练掌握。它与线性 代数知识是一样的。二阶非齐次微分方程两特解之差，正是对应 的二阶齐次微分方程的特解；而二阶齐次微分方程，只能有两个 线性无关解，构成基础解系]? 1-33 ? dx ? 20. 求齐次线性微分方程组 ? Ax 的通解，其中 A： ? 3-53 ? 。 ? dt ? 6-64 ? ? ?33[ 考试时难免遇到一些“个性”的系数矩阵，对于时间尚充裕的 同学，对行列式做初等变换，尚不如直接展开，因式分解] 21. 求二阶线性微分方程的通解： y?? ? 2y '? y ? 2xe- x 。 [ 解二阶线性微分方程，难点在于求得非齐次特解，特别是当非 齐次项的指数为特征方程的重根时]在今天和明天之间，有一段很长的时间；趁你还有精神的时候，学习迅速办事. －－歌德22. 求二阶线性微分方程的通解： y?? ? 2y '? 2y ? cos x+sin 2x 。 [ 虽然这样的题目考得少，但特征方程有共轭复根的情形，是本 章的难点] 八爷曰：以上问题以钱学森 11、12 班 2012 年 7 月的复习测验题为蓝本整理。整理这些题目的 意图，在于每一道问题代表一类题。考试实践证明，80%的考点被包含在了以上题目中， 说明以上题目的代表性是较强的，对提高班级优秀率、通过率都有正面作用。 上述题目没有包括课本第五章（多元函数微分学）的内容，原因是考试中涉及这部分 的题型，总体而言是十分单调的（虽然内容很多~） 。掌握求偏导数的方法，是这一章所有 后继内容的基础，而进一步的题型，大体包括： ① 向导数的求法（其实仅仅是求出梯度，再向指定方向投影） ； ② 全微分的表示（将各偏导数线性组合即可） ； ③ 运用“驻点”与 Hessian 矩阵的正定性，求函数的（无条件）极值； ④ 切平面/法线，切线/法平面的方程（只要将一般式的曲线/曲面方程，当做“隐函数” 求偏导数，则“万变不离其宗” ） ； ⑤ 也就是每年必考的，二元函数极限存在（连续） 、偏导数存在与可微的关系。 事实上，弧微分一节也是这一章的精华，但考试很少涉及，至多可能在后继题目“计 算第一型线积分”中用到；曲率一节由于命题老师控制难度，就更不可能出现了。 “胜利在向你招手，曙光在前头！ ”祝广大学弟学妹学习好、复习好高等数学，只要 “精讲多练” ，70 分轻松随意，90 分难度也不大。如有任何疑问请联系钱学森 11 班学习 委员王炳宇。34生命的本质超越时空之外， ‘死’只不过是此世他生形式的改变，但生命却不因此而 消失。2003 大学物理（上）期末试题一．选择题（共 30 分） 3 1.质量为 0.01kg 的质点，由静止开始沿直线=（5/3）t +2（SI）运动，则在 t=0 到 t=2s 时间内，作用在该质点上的合外力所做的功为（ ） A .J B.20J C.J D.40J 2.下列说法中正确的是（ ） A. 作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大 B. 作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大 C. 作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大 D. 作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零 3．一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 A/2，且向 y 轴的正方向运 动，代表此简谐振动的旋转矢量图为（ ）35A. B C. D. 4.轻弹簧上端固定，下系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1 下边又系一质量为 m2 的物体，于 是弹簧又伸长了△x，若将 m2 移去，并令其振动，则振动周期为（ ） A.2π√ m1gm2?xB2π√ m2gm1?xC.1 2π√ m2gm1?xD. 2π√(m1+m2)gm2?x5.半径为 R 的金属球与地连接，在与球心 O 相距 d=2R 处有一电荷为 q 的点电荷。如图所示， 设地的电势为零，则球上的感生电荷 q’为（ ） A.q B.q/2 C.-q/2 D.-q6.已知一高斯面所包围的体积内，电量代数和∑q=0，则可肯定（ ） A.高斯面上各点场强为零 B.穿过高斯面上每一面元的电通量均为零 C.穿过整个高斯面的电通量为零 D.以上说法都不对 7.如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕 10 匝。当导 线中的电流 I 为 2.0A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小 B 为 1.0T， -7 -1 则可求得铁环的相对磁导率μ为(真空磁导率 μ0=4π x 10 T x m x A ) （ ） 2 2 2 A.7．96x10 B.3.98x10 C.1.99x10 D.63.3三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 ――颜真卿8.均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为 R 的圆面，今以该圆周为边线，作一半球面 S， 通过面 S 的磁通量的大小为（ ） 2 2 A.2πR B B. πR B C.0 D.无法确定 9.将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等， 则不计自感时（） A.铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势 B.铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 C.铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 D.两环中感应电动势相等 10.如图所示，导体棒 AB 在均匀磁场 B 中绕过 C 点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴 OO’转 动（转速度 ? 与 B 同方向） ，BC 的长度为棒长的 1/3，则（ ） A．A 点比 B 点电势低 B. A 点与 B 点电势相等 C．A 点比 B 点电势低 D.有稳恒电流从 A 点流向 B 点 二．填空题 1.(本题 5 分) 一个以恒定角速度转动的圆盘，如果在某一时刻角速度为 ?1=20rad/s,再转 60°后角加速度为 ?2=30rad/s,则角加速度为，转过上述 60°所需要的时间?t 为_____。 2. (本题 3 分)质量为 m 长度为 l 的棒。可绕通过棒中心且与棒垂直的光滑固定轴 O 在水平 2 面内自由转动（转动惯量 J=ml /12） 。开始时棒静止，现在又一颗子弹，质量也是 m，在水 平面内以速度 v0 垂直射入棒端并镶在其中，则子弹嵌入后棒的角速度为______。 3. (本题 3 分)一质量为 m 的质点，在 Oxy 平面内运动时，其位置矢量随时间的变化可表示 为 r=acosωti+bsinωtj 式中 a,b,ω 均为大于 0 的常量质点在该过程中所受合外力为 ______。 4．(本题 3 分)已知某区域电势表达式为 U=Aln(x +y )，式中 A 为常量。该区域的电场强度 沿 x,y,z 轴的分量分别为：EX=EY=EZ=。 5．(本题 5 分)一空气平行板电容器，两极板间的距离为 d，极板上的电荷分别是+q 和-q， 极板间的电压为 U。在忽略边缘效应的情况下，极板间的场强大小为，若在两极板件平行 的插入为 l(l&d)的金属板，则板间电势差为，此时电容值等于______。 6. (本题 5 分)电容为 C0 的平行板电容器，接在电路中，如图所示， 若将相对介电常数为的各向同性均匀介质插入点容器中（填满空间） ， 则此时的电容器的电容为原来的______倍，电场能量是原来的______ 倍。 7. (本题 3 分)桌之上水平放置一个半径 r=10cm 的金属圆环，其电阻 R=1。若地球磁场磁 -5 感应强度的竖直分量为 5x10 T, 那么将环面翻转一次，沿环流过任一横截面的电荷为 ______。要使生命开花结果，必定要经过患难的洗涤灌溉，经常在安逸的空气中，反会使生命 花朵的枝条，柔弱无力，一遇意外摧折，便会凋落。2 2368. (本题 3 分)载有恒定电流的长直导线旁有一半圆环导线 cd，半 圆环半径为 b，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长线 与直线相交，如图，当半圆环以速度 v 沿平行于直线导线的方向平 移时，半圆环上的感应电动势大小为______。 三．计算题(共 40 分) 1. (本题 10 分)如图所示,均匀直杆的质量为 m，长为 l,初始时水面静止，已知 AO=1/4,轴 光滑，杆绕 O 点的转动惯量 J0=ml ,党杆下摆到 时，试求： （1）杆 转动的角速度（2）质心的切向加速度和法向加速度（ 3）轴对杆的 作用力大小。22、 （本题 10 分）电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，设无穷远处为电势零点（1）试求 间电场强度分布（2）试证明离球心 r（r&R）处的电势为 U=。3、 （本题 10 分）真空中有一边长为 L，电阻均匀的正三角形导体框架， 另有相互平行并与三角形的 bc 边平行的长直导线 1 和 2 分别在 a 点和 b 点与三角形导体框相连，如图所示，O 为三角形的中心，已知直导线 中电流为 I,试求： （1）长直导线 1 和 2 分别在 O 点磁感应强度（2）O 点处总的磁感应强度。37第 4 题图4、 （本题 10 分）如图所示，矩形框与无限长载流直导线共面，若无限长载流直导线中的电 流按 I=I0，试求： （1）矩形线框中的感应电动势（2）互感系数。2004 大学物理（上）期末试题一、选择题 1.一质点做匀速圆周运动时（ ） A．它的动量不变，对圆心的角动量也不变 B．它的动量不变，对圆心的角动量不断改变 C．它的动量不断改变，对圆心的角动量不变 D．它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变无论命运之手对我们是否残酷，我们都可以把人生的每一刻过得最好――这就是生活 的艺术。对具有理性的人而言，这是真正的财宝。2.一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴 O 转动，射来两个质量相同，速度大小相同， 方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘 的角速度 （ ） D.不能确定A．增大 B．不变 C．减小3.一金属细杆的上端被固定，下端连接在一水平圆盘的中心组成一个扭摆，将圆盘扭转一 小角，金属杆将以一恢复力矩 M=-D 作用于圆盘（式中 D 为扭转系数， 为扭转角） ，使 其作往复扭转动，已知圆盘对它中心轴的转动惯量为 J0，则扭摆的转动周期为（ ） A．2 4. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐 振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为（ ） A．π B．π C．π D．0 二、填空题 1.一质点从 O 点出发以匀速率 1cm/s 顺时针作圆周运动，圆的半径为 1m，如图所示，当它 走过 2/3 圆周时，走过的路程为 ，平均速度大小为，方向为________。382.质点在几个力的作用下，沿曲线 =3x+y 运动，若其中一力为 F=2x，则该力在质点由 P1 （0，1）到 P2（1,0）运动过程中所做的功为________。 3.为测定某音叉 C 的频率，选取频率已知且与 C 接近的另外两个音叉 A 和 B，已知 A 的频 率为 800Hz，B 的频率为 797Hz，进行下面的试验：第一步，使音叉 A 和 C 同时振动测得拍 频为每秒 2 次；第二步，使音叉 B 和 C 同时振动，测得拍频为每秒 5 次，则音叉 C 的频率 为________。 。 4. 一物块悬挂在弹簧下方做简谐振动，当这物块偏离平衡位置的距离为振幅的一半时，其 动能是总能量的（设平衡位置处势能为零） ，当物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长△ L，这一振动系统的周期为________。 5. 一通有电流 I 的导体，厚度为 D，放置在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直 于导体的侧表面，则导体上下两面的电势差为 V=AJB/D（其中 A 为常数） 。上式中 A 定义为 系数，且 A 与导体中的载流子数密度 n 及电荷 q 的关系为______。2人间之大智，在乎洞悉本身之缺点。6.如图所示，一半径为 R，通有电流 I 的圆形回路，位于 Oxy 平面内，圆心为 O。一带正电荷 q 的粒子，以速度 v 沿 z 轴向 上运动，当带电粒子恰好通过 O 点时，作用于圆心回路上的 力为________，作用于带电粒子上的力为________。 7.面积为 S 的平面线圈置于磁感应强度为 B 的匀强磁场中， 若线圈以匀角速度 w 绕位于线圈平面内且垂直于 B 方向的固 定轴旋转，在时刻 t=0，B 与线圈平面垂直，则任意时刻 t 时 通过线圈的磁通量为，线圈中感应电动势为。若均匀磁场 B 是由通有电流 I 的线圈产生，且 B=kI（k 为常量） ，则旋转线 圈相对于产生磁场的线圈最大互感系数为________。 8. 反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组 为 第 6 题图 =① 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式。将你确定的方程式用代号填在 相应结论的空白处（1）变化的磁场一定伴随有电场 （2）磁感线是无头无尾的 （3）电荷总伴随有电场 。 三、计算题 二. 如图所示，一均匀木棒，长为 L,质量为 m 可绕棒端 且垂直于棒的光滑水平转动轴 O 在竖直平面内转动。棒被拉 到水平位置上从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放 置在地面上的质量为 m 的小滑块碰撞，碰撞时间极短。小滑 块与地面间的摩擦系数为μ，碰撞后滑块移动距离 S 后停止， 而棒继续沿着原转动方向转动，直至达到最大拐角。 求： （1）碰撞后瞬间小滑块的速度大小。 （2）碰撞后棒的中 心 C 离地面可达到的最大高度 h.392.图中所示为一沿着 x 轴放置的长度为 l 的不均匀细棒，其电荷线密度为 一常量，取无穷远处为电势零点，求坐标原点 O 处的电势。=0(x-a)0 为3.一平行版电容，极板面积为 S，两极间间距为 d，期间有一半充以相对介电常数为r的各极性相同的的均匀介电质，其余部分为空气。如图所示，给该电容器充电，当两极板间 的电势差为 U 时（真空介电常数为0）求（1）空气和介质中的电位矢量和电场强度矢量的大小。 （2）断开电源，将整块介质抽出，外力需要作多少功？‘心地安祥’的快乐，比世间一切财物的价值都高。4.如图所示，在半径为 R 的长直圆柱导体中，通过的电流 为 I，电流沿着轴向方向，且在截面上的分布是均匀的。 求： （1）磁场的分布， （2）通过 oabcd 面的磁通量。 5.在通有电流为 I 的长直导线旁放置一矩形线圈，线圈与 导线共面，其中 AB 可作无摩擦运动，图中 a,b,I 为已知。 2 设 AB 边以速度 v=（t +1)m/s 向右运动， 求在 t=1s 时，线 圈中感应电动势的大小。2005 年大学物理(上)期末试卷一 选择题 1. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速率为 V，瞬时速率是 v，在某一段时间内的 平均速度为 a，平均速率为 b，他们之间的关系必定有 A.Ｖ＝ｖ，a= b B. V≠ v, a=b C.V≠ v, a=b D. V=v, a=b 2. 质量为 m 的质点,在外力作用下,其运动方程为人 r=Acoswti+Bsinwtj, 式中 A,B,ω 都是正的常量,由此可知外力在 t=0 到 t=π/(2w)这段时间内所做的功为403.一质量为 m 的质点,在半径为 R 的半球形容器中,由静止开始自边缘上的 A 点滑下, 到达最低点 B 时,它对容器的正压力为 N,则质点自 A 到 B 的过程中,摩擦力对其做功 为4.如图,A,B 为两个相同的绕着轻绳 的定滑轮,A 滑轮挂着一质量为 M 的物体,B 滑轮受拉力 F,而且 F=Mg,设 A,B 两滑轮的角加速度分别为 a,b.,不计滑轮轴的摩擦,则有 A a=b B a＞b C a＜b D 开始时 a=b,以后 a＜b 5.花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动,开始是两臂伸开,转动惯量为 J 0 ,角速度为 w,然后她将两臂收回,使转动惯量减少为 J 0 /3,这时她的角速度为6.弹簧振子在光滑水平面作简谐振动时,弹性力在半个周期内所做的功为青年时种下什么，老年时就收获什么。――易卜生7.如图为一单摆装置,把小球从水平位置 b 点拉开一角度θ至 a 点,在 t=0 时,放手让其摆动,搬动规律用余弦函数表示,以下说法正确 得是 A a 处动能最小,相位为θ B b 处动能最大,相位为θ/2 C c 处动能为零,相位为 -θ D 三位置能量相同,初相不同 8. 如图曲线表示某种球对称静电场的场强大小 E 随径向距离 r 变 化的关系,请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的 A B C D 半径为 R 的均匀带点球面 半径为 R 的均匀带点球体 点电荷 外半径为 R,内半径为 R/2 的均匀带电球壳9.无限长的直圆柱,半径为 R,沿轴向均匀流有电流,设圆柱体内的磁感应强度为 B,圆柱体 外的磁感应强度为 B’,则有 A． B,B’均与 r 成反比 B． B,B’均与 r 成正比 C． B 与 r 成反比, B’与 r 成正比 D． B 与 r 成正比, B’与 r 成反比 10. 在感应电场中电磁感应定律可写成 , 式中 E 为感应电场的电场强度,此时 表明 A 闭合曲线 L 上 E 处处相等 B 感应电场是保守力场 C 感应电场的电场强度线不是闭合曲线 D 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势概念 二.填空题 1. 设作用在质量为 1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这一力的作用下,由静止开始沿 直线运动,在 0 到 2 秒的时间间隔内,这个力作用在物体上的冲量大小 I=______ 2.人造卫星沿椭圆轨道运动,地球中心 O 点为椭圆的一个焦点, 已知地球半径为 6378km,卫星与地面的最近距离为 439km,最远距离为 2384km, 若卫星在近地点速度为 8.1km/s,则在远地点速度为____ 3. 一根质量为 m 长为 L 的均匀细杆,可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定转轴转动, 已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为 ? ,则杆转动时收到的摩擦力矩的大小为____ 4. AC 为一根长为 2L 的带电细棒,左半部分均 匀带有负电荷,右半部分均匀带有正电荷,电荷线 密度分别为- λ 和+ λ ,如图,O 电在棒的延长 线上,距 A 端的距离为 L,P 点在棒的垂直平分 线上,到棒的垂直距离为 L,以无穷远为电势零点, 则 O 点电势为_____,P 点电势为_______人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ――托尔斯泰415.一平行板电容器,基板面积为S,相距为d,若B点接地,且保持A板 的电势为U 0 . 如图,把一块面积相同的带有电荷为Q的导电破版C 平行的插入两板中间,则导体薄板C的电势为_____6.如图,一段长为 L 的直导线 MN,水平放置在载电流为 I 的垂直长导线 旁与竖直导线共 面 ,并从静止由图 示位置自由下落 ,则 t 秒末导线两端的电势差 M- N=____;M,N 哪点电势高____7.一自感线圈,电流强度在 0.002s 内均匀的由 10A 增加到 12A,此过程中线圈内自感电动 势为400V,则线圈的自感系数 L=____8. 圆形平行板电容器,从 q=o 开始充电,试画出充电过程中,极板间某点 P 处的电场强度 方向和磁场强度的方向42三. 计算题 1． 某质点在力F=（4+5x）i 的作用下沿着Ｘ轴作直线运动，试求在从Ｘ＝０移到Ｘ ＝１０Ｍ的过程中，力Ｆ对其所做的功是多少?2．一定滑轮的质量为M 半径为r，一轻绳两边分别系 m1 和 m2 ， m2 ＞ m1 ，两物体挂 与滑轮上，如图，绳不伸长，绳与滑轮无相对滑动，不计轴的摩擦，试求滑轮转动的角加 速度和绳中张力。3．一带电量为q，半径为R的均匀带电球面，试求 ⑴其电场强度分布 ⑵如图，沿其某一半径方向上有一均匀带电细绳，电荷线密度为 λ ，长度为ｌ，细绳左 端离球心距离为 r0 ，设球和线上的电荷分布不受影响，则细线所受电荷的电场力和细线 在该电场中的电势能分别为多少。设无穷远为零势能点人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。――达〃芬奇4.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内外筒半径分别 为 R1 ＝2cm， R2 ＝5cm， 其间充满相对介电常数常量为 ε r 的各向同性均匀的电介 质。电容器接在电压Ｕ为３２的电源上，如图，试求距离轴 线R=3.5cm 的 A 点的电场强度和 A 点与外筒间的电势差。5.均匀带电刚性细杆 AB，线电荷密度为λ ，绕垂直与直线的轴 O 以 w 角速度匀速运 动,O点在细杆 AB 的延长线上， 求 (1)点的磁感应强度 ⑵系统的磁矩 p m2006 大学物理（上）期末试题一、选择题（共30分） 1. 一质点沿 x 轴运动，其速度与时间的关系为： v = 4 +t^2m / s ，当 t = 3 s,时， 质点位于 x = 9 m 处，则质点的运动方程为：432.如图所示，一光滑细杆上端由光滑的铰链固定，杆可绕其上端在任意角度的锥面上绕竖 直轴OO' ，作匀角速度转动。有一小环套在杆的上端处。开始使杆在一个锥面上运动起来， 而后小环有静止开始沿杆下滑。在小环下滑的过程中，小环、 杆和地球系统的机械能以及小环与杆对轴 OO' 的角动量这两 个量中（） （A） 机械能、角动量都守恒； （B） 机械能守恒、角动量不守恒； （C） 机械能不守恒、角动量守恒； （D） 机械能、角动量都不守恒。 3.一匀质细杆可绕垂直它且离其一端 l/4(l 为杆长）的水平固定轴 O 在竖 直平面内转动。杆的质量为 m，当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度ωo 如杆恰能持续转动而不作往复摆动，则需满足（已知细杆绕轴 O 的转动惯 量为 J=(7/48)ml^2，一切摩擦不计）人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的 为人民服务之中去。 ――雷锋4.一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 R。在空腔内离球心的距离为 d 处（d&R） ，固定 一点电荷+q，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点， 则球心 O 处的电势为5.一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大，则 两极板间的电势差、电场强度的大小 E、电场能量 W 将发生如下那种变化 （A） U 12 减小、 E 减小、W 减小 ；（B） U 12 增大、 E 增大、W 增大； （C） U 12 增大、 E 不变、W 增大 ；（D） U 12 减小、 E 不变、W 不变。6.一原长为 L 的火箭，以速度 v1 相对地面作匀速直线运动，火箭上有一个人从火箭的后端 向火箭的前端的一个靶子发射一颗子弹，子弹相对火箭的速度为 v2，在火箭上测得从射出 到击中靶子的时间间隔是： （c 表示真空中的光速447.如图，在一圆形电流 I 所在的平面内，选一个同心圆形闭合回路 L，则8.一通有电流 I 的导体，厚度为 D，横截面积为 S，放置在磁感应强度为 B 的匀强磁场中， 磁场方向垂直与导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面的电势差为 V，则导体的 霍尔系数为人的天职在勇于探索真理。――哥白尼9.如图所示，直角三角形金属框架 abc 放在匀强磁场中，磁场 B 平行于边 ab，bc 的长度为 l。当金属框架绕边 ab 以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和两点之间的电 势差 Ua-Uc 为10.对位移电流，有下述四种说法，其中那一种是正确的 （A）位移电流是由变化的电场产生； （B）位移电流是由线性变化的磁场产生的； （C）位移电流的热效应服从焦耳－楞次定律； （D）位移电流的磁效应不服从安培环路定理。二、填空题（共30分） 1.（本题3分）质量 m 为的物体，初速极小，在外力的作用下从原点起沿 x 轴正向运动， 所受外力的方向沿 x 轴，大小为 F = kx 。物体从原点运动到坐标为 x 0 点的过程中所 受外力的冲量大小为_________ 2.（本题5分）一维保守力的势能曲线如图所 示，则总能量 E 为12Ｊ的粒子的运动范围为 ________； x＝在_______时，粒子的动能 E k 最大； x ＝_______时，粒子的动能 E k 最小。453.（本题3分）长为 l ，质量 M 为的匀质杆可绕通过杆一端 O 的水平 光滑固定轴转动，转动惯量为 Ml 2 / 3 ，开始时杆竖直下垂， 如图所示。 现 有 一 质 量 m 为 的 子 弹 以 水 平 速 度 v0 射 入 A 点 ， 并 嵌 在 杆 中 。OA = 2l / 3 ，则子弹射入后瞬间杆的角速 度 ω =________ 4.（本题3分） （1）在速度 v ＝________情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍； （2）在速度 v ＝________情况下粒子的动量等于它的静止能量。 5.（本题5分）若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为____________ 。 若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度的分布为______________人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。 ――高尔基6．（本题5分）一个绕有500匝导线的平均周长50CM的细螺绕环，铁芯的相对磁导率为 600， 载有0.3A电流时，铁芯的磁感应强度 B 的大小为__________；铁芯中的磁场强度H 的大小 为_________（ ? 0 = 4π ? 10 ?7 T ?m ?A ?1 ）. 7.（本题3分）一个半径为R、面密度为?的均匀带电圆盘,以角速度ω绕过圆心且垂直盘面 的轴线 AA'旋转；现将其放入磁感应强度为 B 的均匀外磁场中，B的方向垂直于轴线 AA' 。 在距盘心为 r 处取一宽度为 dr 的圆环，则该带电圆环相当的电流为______________，该 电流所受磁力距的大小为______________，圆盘所受合力距的大小为__________。 8.（本题3分）一长直导线旁有一长为 a ，宽为 b 的矩形 线圈，线圈与导线共面，如图所示。长直导线通有稳恒电 流 I ， 则距长直导线为 r 处的 P 点的磁感应强度 B 为 __________；线圈与导线的互感系数为____________。三、计算题（共40分，每题10分） 1.如图所示，已知滑轮的半径为 r ，转动惯量为 J ，弹簧的劲度系数为 k ，物体的质量 为 m ，设开始时物体静止且弹簧无伸长，在物体下落的过程中绳与滑轮无相对滑动，轴间 不计摩擦。试求： （1）物体下落的距离为 l 时，物体的速率。 （2）物体能够下落的最大距离。462.一半径为 R 、带电荷量为 Q 的均匀带电体，设无穷远处为电势零点。试求： （1）球体内外电场强度的分布； （2）球体内外电势的分布。 3.如图所示，一平行板电容器两极板相距为 d ，面积为 S ，在极板间平行地放一面积与 极板相等、厚度为 t 的均匀电介质板，它的相对介电常数为 ± Q 的电荷，不计边缘效应。试求： （1）电介质中电场强度和电位移的大小； （2）两极板间的电势差； （3）电容器的电容。εr ，设两极板分别带有4.如图所示，在半径R＝0.10m的区域内有匀强磁场B，方向 垂直纸面向外，设磁场以＝１００T/s的匀速率增加。已知 θ=π/3，oa=ob=r=0.04m，试求： （1）半径为r的导体圆环 中的感应电动势及点P处有旋电场强度的大小； （2）等腰梯 形导线框abcd中的感应电动势，并指出感应电流的方向。人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思 想、幻想就在其中。 ――雨果2007 大学物理（上）期末试题一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. 物体沿 x 轴作直线运动，加速度 a 与时间 t 以及速度 v 的关系式为 a=-kv^2 t ,式中 k 为大于零的常量。已知物体的初速度为 v 0 ，则速度与时间 t 的函数关系为： （ ） (A) v= -1/2kt^2 (B) v= (-1/2kt^2)^(-1) (C) v = (1/2kt^2+1/Vo)^(-1) (D) v =1/2kt^2+1/Vo 2.有两个半径相同，质量相等的圆环 A 和 B，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。他们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分 别为 J A 和 J B ,则（ ） (A) J A &J B (B) J A &J B (C) J A &J B (D)不能确定 J A 、J B 哪个大。 3．一火箭的固有长度为 L，相对于地面做匀速直线运动的速度为 v 1 ，火箭上有一个人从 火箭的后端向火箭的前端发射一颗相对于火箭的速度为 v 2 的子弹，在火箭上册的子弹从 射出到击中靶的时间间隔是（C 表示真空中光速） （ ） (A) (C)L v1+v2 L v1?v2(B)v2 (D)L v1√1?(v1/C)2L47（ ）4.狭义相对论力学的动力学方程为 ? = md v ? =v (A) F ? /dt(B) F ? dm/dt (C) ? F=mo √1?v2 /c^2dv ? /dt (D) ? F = md v ? /dt+v ? dm/dt5.有两个点量都是+q 的点电荷，相距为 2a。今以左边的点电荷所在处为球心, 以 a 为半 径作一球形高斯面。在球上取两块相等的小面积 S 1 和 S 2 （法向正方向指向凸面） ，其 位置如图所示。设通过 S 1 和 S 2 的电场强度分别为υ 1 和υ 2 ，通过整个球面的电场 强度通量为υs，则 （ ） (A) (B) (C) (D) υ υ υ υ 1 1 1 1 &υ &υ =υ &υ 2 2 2 2 υs=q/ε0 υs=2q/ε0 υs=3q/ε0 υs=q/ε0 （ ）6.下面几种说法中正确的是: (A) 电势均匀的空间,电场强度一定为零. (B)电势强度不变的空间,电势一定为零. (C)电势较高处，电场强度一定较大； (D)带正电的金属导体的电势一定为正。人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的 时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ――罗曼.罗兰7.两块面积均为 S 的薄板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d(d 远小于板的线度)，设 A 板 带有电荷 q 1 ，B 板带有电荷 q 2 ，电荷在 板上均匀分布，则 AB 两板间的电势差 U AB 为 （ ）8.一个大平行板电容器水平放置，两极板间 的一半空间有各向同性均匀的介质，另一半 为空气。如图，当两极板带上恒定的等量异 号电荷时，有一个质量为 m ，带电荷为 +q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。 此后，若把介质抽出去，则该质点 （ ） (A) 保持不动 (B) 向上运动 (C) 向下运动 (D) 是否运动不能确定 9.边长为 l，电阻均匀的导线构成的正三角形导线 abc，通过彼此平行的长直导线 1 和 2 与电源相连，导线 1 和 2 分别与导线框在 a 和 b 点相连，导线 1 和线框的 ac 边的延 长线重合。导线 1 和 2 上的电流为 I。如图所示，令长直导线 1、2 和导线框中电流在 边框中心 O 点产生的磁感应强度分别为 B1 、B2 和 B3 ，则 O 点的磁感应强（ ） (A) B=0,因为 B 1 =B 2 =B 3 =0 (B) B=0,因为 B 1 +B 2 =0,B 3 =0 (C) B≠0,因为虽然 B 1 +B 2 =0,但 B 3 ≠0 (D) B≠0,因为虽然 B 3 =0,但 B 1 +B 2 ≠04810.有两个线圈，线圈 1 对线圈 2 的互感系数为 M21,而线圈 2 对线圈 1 的互感系数为M12，若它们分别流过 I1 和 I2 的变化电流，且并设由 I2 变化在线圈 1 中产生的互感电动势为ε 12 ，由 I1 变化在线圈 2 中产生的互感电动势为ε 21 ，判断下 述哪个论断正确（ ） (A) M 12 =M 21 , ε 21=ε 12 ; (B) M 12 =M 21 , ε 21 &ε 12 ; (C) M 12 ≠M 21 , ε 21 ≠ε 12 ; (D) M 12 =M 21 , ε 21 &ε 12 ;人生不是一种享乐，而是一桩十分沉重的工作。――列夫〃托尔斯泰二、填空题（共 30 分） 1. （ 3 分）质点在几个力的作用下沿曲线 x=t （ SI ） ， y=t^2 （ SI ）运动，其中一力为 （SI） ，则该力在 t=1s 到 t=2s 时间内作功为_________ 2.（5 分） 一个力 F 作用在质量为 1.0kg 的质点上，使之沿 x 轴运动。已知在此力作用下 质点的运动学方程为 x=3t-4t^2+t^3（SI）在 0 到 4s 的时间间隔内，力 F 的冲量大小 I=_________力 F 对质点所作的功 W=____________ 3.（5 分）一轻绳绕在半径为 r 的飞轮边缘，在绳端施以大小为 F 的拉力，飞轮的转动 惯量为 J，飞轮与转轴间的摩擦力不计，如图所示，则飞轮的角加速度为_________；如以 质量为 m 的物体挂在绳端，飞轮的角加速度为__________ 4.（3 分）已知一静止质量为 m0 的粒子，如其固有寿命为实验室测量到的寿命的 1/n。 则此粒子在实验室参照系中的动能___________ 5. 3 分） （一均匀带电的导线弯成半圆弧，如图所示，已知电荷线密度为 -λ（λ&0）,圆 弧半径为 R 。则圆心 O 处场强大小为__________，方向为____________496.(5 分)如图，一段长度为 l 的直导线 ab，在磁感应强 度为 B 的均匀磁场（方向垂直纸面向里）中，若通 过 a 点并与纸面垂直的固定轴以角速度ω作匀速转 动。则在导线 a b 上产生的感应电动势大小 度为 B 的均匀磁场（方向垂直纸面向里）中，若通 为_________,方向为___________7.（3 分）如图所示，在宽度为 d 的导体薄片上有 电流 I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度上均 匀分布。处于导体外且在导体中线附近的 P 点的磁 感应强度 B 的大小为___________8.(3 分)半径为 r 的两块圆板组成的平行板电容器充了电，在放电时两极板间的电场强度 的大小为 E=E o * e^(-t/RC)，式中 E0、R、C 均为常量，则两极板间的位移电流的大小为 ______________，其方向与场强方向______________.人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。――萧楚女三、计算题（每题 10 分，共 40 分） 1.如图所示，一长为 L，质量为 M 的均匀细棒悬挂于通过其上端 O 点的光滑水平固定轴上（棒绕此轴的转动惯量为 1/3Ml^2）现。有 一质量为 m 的子弹以水平速度 v0 射向棒的中心，并以 v 0 /2 的 速度穿出棒。试求 （1） 子弹穿出棒时，棒的角速度是多少？ （2）如果此后棒的最大偏转角恰为 90?，则 v 0 的大小是多少