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线性代数(经管类)
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线性代数(经管类)串讲【PPT】
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原题在经济数学-线性代数50页问a为何值时.奇次线性方程组 （5-a）x+2y+2z=0,2x+(6-a)y=0,2x+(4-a)z=0.习题册给出了解答 不过红线部分看不懂怎么得出来的 我知道行列是为零&是问那个行列式是怎么化为红线部分的&就是问行列式计算
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5-λ 2 22 6-λ 02 0 4-λ= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-4(6-λ)-4(4-λ) --直接对角线法则得= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-4(10-2λ) --后两项合并得因子(5-λ)= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-8(5-λ)= (5-λ)[(4-λ)(6-λ)-8]= (5-λ)[λ^2-10λ+16] -- 十字相乘法分解= (5-λ)(2-λ)(8-λ)
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线性代数第一章行列式 第一节二阶与三阶行列式 一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2（１．１）使 用 加 减 消 元 法 ， 当a11a22 ? a12 a21 ≠ 0 时 ，
方 程 组 (1.1) 有 解 为 ，x1 =b1a22 ? b2 a12 b a ?ba , x2 = 2 11 1 21 a11a12 ? a12 a21 a11a22 ? a12 a21．（１．２）(1.2)式中的分子、分母都是 4 个数分两对相乘再相减而得．其中分母 a11a22 ? a12 a21 是由方程组(1.1)的 4 个系数确定的，把这 4 个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表a11 a21a12（１．３）a22表达式 a11a22 ? a12 a21 称为数表(1.3)所确定的行列式，记作a11 a21a12 ， a22（１．４）数 aij (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.4)的元素．元素 aij 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第 i 行， 第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列． 上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图 1-1 所示，即实线连接的两个元素(主对角线) 的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图 1-1 例13 ?2＝３×１－（－２）×２＝７.21二、 三阶行列式 三、 定义 1.1 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表a11 a21 a31a 12 a22 a32a13 a23 a33（１．5）a11用记号a 12 a22 a32a13 a23 a33a21 a31表示代数和a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ? a13 a22 a31 ? a12 a21a33 ? a11a23 a32上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即a11Ｄ＝ a21a 12 a22 a32a13 a23 a33a31= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ? a13 a22 a31 ? a12 a21a33 ? a11a23 a32 （１．６） 三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图 1-2 所示，其中各实线连接的 3 个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的 3 个元素的乘积是代数和中的负项．图 1-2 例2 计算三阶行列式1Ｄ＝ 223?2 ?1 ?3 4 ?5解 由对角线法则 Ｄ＝１×（－２）×（－５）＋２×（－１）×（－３）＋３×４×２－ ３×（－２）×（－３）－２×２×（－５）－１×４×（－１）＝４６．a 1 0例31 a 0 &0 的充分必要条件是什么? 4 1 1解由对角线法则a 1 0 1 a 0 = a2 ?1 4 1 1a 2 ? 1 ＞0 当且仅当｜a｜＞1，因此可得：a 1 0 1 a 0 ＞0 4 1 1的充分必要条件是｜a｜＞1． 第二节 n 阶行列式的定义一、 全排列及其逆序数 把 n 个不同元素按某种次序排成一列，称为 n 个元素的全排列．n 个元素的全排列的总个数， 一般用 Pn 表示，且 Ｐn＝n！ ． 对于 n 个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序(如 n 个不同的自然数，可规定由小到大 为标准次序)，于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就 说它们构成了一个逆序．一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数，排列 i1i2 L in 的逆 序数记作τ( i1i2 L in )． 例如，对排列 32514 而言，4 与 5 就构成了一个逆序，1 与 3，2，5 也分别构成一个逆序，3 与 2 也构成一个逆序，所以τ(32514)＝５． 逆序数的计算法：不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为 标准次序，设 i1i2 L in 为这 n 个自然数的一个排列，自右至左先计算排在最后一位数字 in 的逆序 数，等于排在 in 前面且比 in 大的数字的个数，再计算 in ?1 L i2 的逆序数，然后把所有数字的逆序 数加起来，就是该排列的逆序数． 例 1 计算τ［１ ３ ５…（２n－１）２ ４ ６…（２n）． ］ 解 从排列１ ３ ５…（２n－１）２ ４ ６…（２n）看，前 n 个数１ ３ ５…（２n －１）之间没有逆序，后 n 个数２ ４…（２n）之间也没有逆序，只有前后 n 个数之间才构成逆 序． 2n 最大且排在最后，逆序数为 0， 2n-2 的前面有 2n-1 比它大，故逆序数为 1， 2n-4 的前面有 2n-1、2n-3 比它大，故逆序数为 2， ……………… 2 前面有 n-1 个数比它大，故逆序数为 n-1，因此有 τ［１ ３ ５…（２n－１）２ ４ ６…（２n） ］＝０＋１＋…＋（n－１）＝n(n ? 1) ． 2逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列． 二、 对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素保持不动，这种作出新排列的方法叫做对换．将相邻 两个元素对换，叫做相邻对换． 定理 2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证先证相邻对换的情形． 设排列为a1a2 K am abb1b2 L bn , 对换 a 与 b，变为 a1a2 K am abb1b2 L bn , 显然这时排列中除 a,b 两数的顺序改变外，其他任意两数和任意一个数与 a 或 b 之间的顺序都没有变．当 a＞b 时，经对换 后，a 的逆序数不变，b 的逆序数减少 1；当 a＜b 时，对换后，a 的逆序数增加 1，b 的逆序数不 变，所以新排列与原排列奇偶性不同． 再证一般对换的情形． 设 排 列 为a1a2 K am abb1b2 L bn c1c2 L c p , ， 对 换a与b ， 变 为a1a2 K am abb1b2 L bn c1c2 L c p , ． 可 以 把 它 看 做 将 原 排 列 作 n 次 相 邻 对 换 变 成 a1a2 K am abb1b2 L bn c1c2 L c p , ，再作 n+1 次相邻对换变成 a1a2 K am abb1b2 L bn c1c2 L c p , ．因此经过 2n+1 次相邻对换， 排列变为 a1a2 K am abb1b2 L bn c1c2 L c p , ． 所以这两个排列的奇偶性不同． 三、 n 阶行列式的定义 为了给出 n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的定义，三阶行列式的定义为a11 a21 a31a 12 a22 a32a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ? a13 a22 a31 ? a12 a21a33 ? a11a23 a32 a33由定义可看出：(1) 上式右边的每一项都是 3 个元素的乘积，这 3 个元素位于不同的行、不 同的列；且每一项 3 个元素的第 1 个下标(行标)依次为 123，排成了标准次序，第 2 个下标(列标) 排成了 p1 p2 p3 ，它是 1，2，3 这 3 个数的某一个排列，对应上式右端的 6 项，恰好等于这 3 个数 排列的种数． 因此除了正负号外， 右端的每一项都可以写成下列形式：a1 p1a2 p 2 a3 p 3, ， 其中 p1 p2 p3 是 1，2，3 的某一个排列，其项数等于Ｐ３＝３！ ． (2) 项的正、负号与列标排列的逆序数有关．易验证上式右端带正号的项的列下标的排列 都是偶排列， 带负号的项的列下标的排列都是奇排列． 因此各项所带符号由该项列下标的排 列的奇偶性所决定，从而各项可表示为(?1)τ ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3 ,综合(1)、(2)得：三阶行列式可以写成a11 a21 a31其中a 12 a22 a32a23 = ∑ (?1) a33a13τ ( p1 p 2 p3 )a1 p1 a2 p2 a3 p3 ,τ ( p1 p2 p3 ) 为排列 p1 p2 p3 的逆序数．∑表示对 1，2，3 这 3 个数的所有全排列 p1 p2 p3 求和．由此，我们引入 n 阶行列式的定义． 定义 2 ? 1 设有 n 个数，排成 n 行 n 列的数表2a11 a21 M an1a12L a1na22 L a2 n M M M an 2 L ann作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积 a1 p1a2 p2 L anpn , 并冠以符号(-1)τ（ p1 , p2 ,L , pn , ） ， 即得(?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 a2 p2 L anpn (2 ? 1)的项，由于 p1 , p2 ,L , pn , 为自然数 1，2，…，n 的一个排列，这样的排列共有 n!个，因而形如(2 ? 1)式的项共有 n!项，所有这 n!项的代数和∑ (?1)τ( p1 p2 L pn )a1 p1 a2 p2 L an pn .称为 n 阶行列式，记为a11 a Ｄ＝ 21 M an1 a11 a21 M an1a12 L a1n a22 L a2 n M M M an 2 L ann简记为 det(aij)，其中数 aij 称为行列式 det(aij)的元素，即a12 L a1n a22 L a2 n τ ( p p Lp ) ＝ ∑ ( ?1) 1 2 n a1 p1 a2 p2 L an pn . (2.2) M M M an 2 L ann按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式是一致的．特别当 n=1 时，一阶行列式｜a｜=a，注意与绝对值记号的区别．a11例 2 按行列式的定义计算下三角形行列式：Ｄ＝a21 M an1a22 , M O an 2 L ann??? 其中未写出的元素全为零(以后均如此)． 解 由定义，n 阶行列式中共有 n!项，其一般项为(?1)τ a1 p1 a2 p2 L an pn ,其中τ＝τ( p1 , p2 ,L , pn ） ．现第 1 行除 a11 外其余元素全为零，故只有一个元素 a11 ，在第 2 行中除了 a21 , a22 外全是零，故应在 a21 , a22 中取一个，且只能取一个，因为 a22 是第 1 行第 1 列的元素， p1 = 1 ，故 p2 ,L , pn 不能再取 1，所以 p2 = 2 ，即第 2 行取 a22 ，依此类推，第 n 行只a11能取 pn = n ，即取元素 ann ，从而有Ｄ＝a21 M an1a22 ＝ a11a22 L ann , M O an 2 L ann即 D 等于主对角线上元素的乘积． 同理可得上三角行列式a11a12 L a1n a22 L a2 n = a11a22 L ann . O M ann作为三角形式特例的对角行列式(除对角线上的元素外，其他元素都为 0，在行列式中未写出 来)，a11 a22 O ann例 3 证明= a11a22 L ann .a1n a2, n ?1 N an1证由行列式的定义= (?1)n ( n ?1) 2a1n a2 , n ? 1L an1.a1n a2, n ?1 N an1其中τ＝τ （n-1） ［n …１］ 为排列 n n-1） （ …１的逆序数， ［n n-1） 又τ （ …１］ （n-1)+(n-2)+… ＝ ＋１＝= (?1)τ a1n a2 , n ? 1L an1.(n ? 1)n , ，所以结论得以证明． 2四、 n 阶行列式定义的其他形式 利用定理 2.1，我们来讨论行列式定义的其他表示法． 对于行列式的任一项(?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 a2 p2 L aipi L a jp j L anpn ,其中 1…i…j…n 为自然排列，对换 aipi 与 a jpj 成(?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 L aipi L a jp j L anpn ,这时， 这一项的值不变， 而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换． 设新的行标排列 1…j… i…n 的逆序数为τ１，则τ１为奇数；设新的列标排列 p1 , p2 ,L , pn , 的逆序数为τ2，则(?1)τ 2 = ?(?1)τ ( p1 p2 L pn ) , ，故 (?1)τ ( p1 p2 L pn ) = (?1)τ1 +τ 2 ,于是(?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 L aipi L a jp j L anpn = (?1)τ1 +τ 2 a1 p1 L aipi L a jp j L anpn这就说明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了一次对换，因此行标 排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性．经过一次对换如此，经过多次对换亦如此．于是 经过若干次对换，使列标排列［逆序数τ=τ（ p1 , p2 ,L , pn , ） ］变为自然排列(逆序数为 0)；行 标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为 q1 , q2 ,L , qn , 则有(?1)τ ( q1q2 Lqn ) a q11a q2 2 L aqn n ,又若 pi = j 则 q j = i (即 aipi = aij = aq j j )， 可见排列 q1 , q2 ,L , qn , 由排列 p1 , p2 ,L , pn , 所唯 一确定． 由此可得 n 阶行列式的定义如下： 定理 2 ? 2n 阶行列式也可定义为D = ∑ (?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 a2 p2 L an pn . （２．３）证 按行列式定义有D = ∑ (?1)τ ( p1 p2 L pn ) a1 p1 a2 p2 L an pn .记D1 = ∑ (?1)τ ( q1q2 Lqn ) a q11a q2 2 L aqn n ,按上面的讨论可知：对于 D 中任一项(?1)τ ( q1q2 Lqn ) a q11a q2 2 L aqn n , 总有 D１中唯一的一项 (?1)τ ( q1q2 Lqn ) a q11a q2 2 L aqn n , 与之对应并相等；反之 ， 对 于 D １ 中 的 任 一 项 ( ?1)τ ( q1q2 Lqn )a q11a q2 2 L aqn n , 同 理 总 有 D 中 唯 一 一 项(?1)τ ( q1q2 Lqn ) a q11a q2 2 L aqn n , 与之对应并相等，所以 D＝Ｄ１．更一般的有 n 阶行列式的定义如下： 定理 2 ? 3 n 阶行列式可定义为D = ∑ (?1)τ1 +τ 2 a p1q1 a p2 q2 L a pn qn , (2.4)其中 τ 1 = τ ( p1 p2 L pn ),τ 2 = τ ( q1q2 L qn ).第三节行列式的性质记a11 a Ｄ＝ 21 M an1 a11 a12 M a1na12 L a1n a22 L a2 n M M M an 2 L ann a21 L an1 a22 L an 2 M M M a21 L ann将其中的行与列互换，即把行列式中的各行换成相应的列，得到行列式上式称为行列式 D 的转置行列式，记作 DT (或记为 D′)． 性质 1 证 D＝ DT ．记 D＝det(aij)的转置行列式b11 b12 L b1n b b L b2 n DT = 21 22 M M M M bn bn 2 L bnn则 bij=aji(i,j=1,2,…,n),按行列式的定义DT = ∑ (?1)τ ( p1 p2 L pn )b1 p1 b2 p2 L bn pn = ∑ (?1)τ ( p1 p2 L pn ) a由定理 2.2 知 DT ＝Ｄ．p1 1ap2 2L a pn n .此性质表明，在行列式中行与列有相同的地位，凡是有关行的性质对列同样成立，反之亦然． 性质 2 交换行列式的两行(或两列)，行列式改变符号． 证 设行列式b11 b12 L b1n b b22 L b2 n Ｄ１＝ 21 M M M M bn bn 2 L bnn是由行列式Ｄ＝det(aij)交换第 i 和第 j 两行得到的， k≠i,j 时， 当 bkp=当 k=i 或 j 时， bip=ajp,bjp=aip. 于是D1 = ∑ (?1)τ ( p1L pi L p j L pn )b1 p1 L bi pi L b j p j L bn pn a1 p1 L ai pi L a j p j L an pn a1 p1 L ai p j L a j pi L an pn a1 p1 L ai p j L a j pi L an pn = ? D.= ∑ (?1) = ∑ (?1)τ ( p1L pi L p j L pn )τ ( p1L pi L p j L pn )= ∑ (?1)τ ( p1L p j L pi L pn )推论 1 如果行列式有两行(或两列)完全相同，则此行列式等于零． 证 把这两行互换，有 D＝－Ｄ，故Ｄ＝０． 性质 3 行列式中某一行(或列)的各元素有公因子，则可提到行列式符号的外面，即a11 M kai1 M an1a12 ML Ma1n Ma11 Ma12 ML a1n M Mkai 2 L kam = k ai1 M M M M an 2 L ann an1ai 2 L am M M M an 2 L ann推论 2 行列式的某一行(或列)所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式． 推论 3 行列式的某一行(或列)的元素全为零时，行列式的值等于零． 性质 4 若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式等于零． 性质 5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，如a11 D= a21 M an1 a11 D= a21 M an1′ a12 L (a1i + a1i ) L a1n ′ a22 L (a2 i + a2i ) L a2 n , M M L M ′ an 2 L (ani + ani ) L ann a12 L a1i L a1n a11 ′ a12 L a1i L a1n ′ a22 L a2i L a2 n . M M L M ′ an 2 L ani L ann则 D 等于下列两个行列式之和，即a22 L a2i L a2 n a21 + M M L M M an 2 L ani L ann an1′ 证 在行列式的定义中，各项都有第 i 列的一个元素 ( aki + aki ) ，从而每一项均可拆成两项之和． 性质 6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数 k 后加到另一行(列)对应的元素上去，行 列式的值不变． 例如把行列式的第 j 列乘以常数 k 后加到第 i 列的对应元素上，有a11 L a1i L a1i L a1i a11 L (a1i + ka1 j ) L a1i L a1i a21 L a2i L a2 j L a2 n a21 L (a1i + ka2 j ) L a2 j L a2 n = . M M M M M M M M an1 L an 2 L anj L ann an1 L (a1i + kanj ) L anj L ann以上没有给出证明的性质，读者可根据行列式的定义证明． 利用这些性质可简化行列式的计算，为了表达简便起见，以 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列， 交换 i，j 两行(列)记为 ri ? rj（ci ? cj） ，第 i 行(列)乘以数 k 记为 kri(kci） ，第 j 行(列)的元素乘以 k 加到第 i 行(列)上记为 ri+krj(ci+kcj） ，第 i 行(列)提取公因式记为 ri÷k（ci÷k） ．利用行列式的性 质将行列式化为上三角行列式，从而算出行列式的值． 例 1 计算行列式D=2 ?5 1 2 ?3 7 ?1 4 5 4 ?9 ?6 2 1 7 2.解1 D = ? ?1 2 1 1 = 0 0 0 1 0 0 0 ?5 2 1 ?1 ?5 1 0 0?5 7 ?9 ?6 2 1 ?1 2 2 1 ?3 3 2 6 3 0 2 3 0 32 ?3 5 421?5 2 1 ?12 ?1 1 22 6 3 04 0 = ? 7 0 2 0==1 0 0 0?5 1 0 02 1 ?3 02 3 0 3= 1 × 1 × (? 3) × 3 = ? 9例 2 计算 n 阶行列式a b b L b b a b L b D= b b a L b.M M M Mb b b L a解 注意到行列式的各行(列)对应元素相加之和相等这一特点，把第 2 列至第 n 列的元素加 到第 1 列对应元素上去，得??? D =a + (n ? 1)b b L b a + (n ? 1)b a L bM M Ma + (n ? 1)b b L a 1 b L b 1 a L b = [ a + (n ? 1)b ] . M M M 1 b L a= [ a + (n ? 1)b ] .1 b L 0 a ?b LM Mb 0M00L a ?b= [ a + (n ? 1)b] .(a ? b) n ?1例 3 计算行列式a b c d a a+b a+b+c a+b+c+d . D= a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d解从第 4 行开始，后行减前行，得a b D=cd0 a a+b a+b+c . 0 a 2a + b 3a + 2b + c 0 a 3a + b 6a + 3b + c c da b =0 a a+b a+b+c . 0 0 a 2a + b 0 0 a 6a + 3b + ca b c d 0 a a+b a+b+c = = a4 0 0 a 2a + b 0 0 0 a可见，计算高阶行列式时利用性质将其化为上三角行列式，既简便又程序化． 例4设a11 L a1k M M?D =ak 1 L akk c11 L c1k M M cn1 L cnkb11 L b1n M M bn1 L bnn,?a11 L a1k D1 = det(aij ) M M , ak1 L akk b11 L b1n D2 = det(bij ) M M , bn1 L bnn证明： D = D1 D2 . 证 对 D1 作运算 ri + krj ，把 D1 化为下三角行列式，设为P 11?? D1 = MPk 1O = p11 L L Pkk对 D2 作运算 ci + kc j ，把 D2 化为下三角行列式，设为q11 D2 = M O = q11q22 L qnn . qn1 L qnn于是，对 D 的前 k 行作运算 ri + krj ，再对后 n 列作运算 ci + kc j ，把 D 化为p11 M O D= pk1 L pkk c11 L c1k M M cn1 L cnk q11 M O qn1 L qnn = p11 L pkk q11 L qnn = D1 D2第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径， 为此先引进余子式和代数余子式的 概念． 在 n 阶行列式中，划去元素 aij 所在的行和列，余下的 n-1 阶行列式(依原来的排法)，称为元 素 aij 的余子式， 记为 Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j， 称为元素 aij 的代数余子式， 记为 Aij＝ （－ １）i+jＭij. 例如四阶行列式a11 a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24 a34 a44中元素 a23 的余子式和代数余子式分别为a11 M 23 = a31 a41a12 a32 a42a14 a34 ; a44A23 = (?1) 2 +3 M 23 = ? M 23引理一个 n 阶行列式 D，如果第 i 行所有元素除 aij 外全为零，则行列式D = aij Aij .证 先证 aij 位于第 1 行第 1 列的情形，此时a11 D= a21 M an10L0a22 L a2 n , M M an 2 L ann这时第三节例 4 中当 k=1 时的特殊情形，按第三节例 4 的结论有D = a11M 11 = a11 A11 .再证一般情形，此时a11 L a1 j L a1n M M M D = 0 L aij L 0 . M M M an1 L anj L ann我们将 D 作如下的调换：把 D 的第 i 行依次与第 i-1 行，第 i-2 行，…，第 1 行对调，这样 数 aij 就调到了第 1 行第 j 列的位置， 调换次数为 i-1 次； 再把第 j 列依次与第 j-1 列， j-2 列， 第 …， 第 1 列对调，数 aij 就调到了第 1 行第 1 列的位置，调换次数为 j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调， 将数 aij 调到第 1 行第 1 列的位置，第一行其他元素为零，所得的行列式记为 D１，则，而 aij 在 D １中的余子式仍然是 aij 在 D 中的余子式 Mij，利用前面的结果，有D1 = aij M ij于是D = (?1)i + j D1 = (?1)i + j aij M ij = aij Aij定理 4.1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 Ｄ＝ai１Ai１＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n), 或 Ｄ＝a１jA１j＋a2jA2j＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)． 证a11 Ma12 MLa1n MD = ai1 + 0 + L + 0 0 + ai 2 + 0 + L + 0 L 0 + L + 0 + ain M M M an1 an 2 L ann a11 M = ai1 M an1 a12 L a1n M M a11 M a12 M L a1n M a11 M a12 L a1n M M 0 L ain , M M an 2 L ann0 L 0 + 0 M M M an 2 L ann an1ai 2 L 0 + L + 0 M M M an 2 L ann an1根据引理有 Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)． 类似地，我们可得到列的结论，即 Ｄ＝a1jA1j＋a2jA2j＋…+anjAnj＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列) 展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的． 例 1 再解第三节中例 1．解2 ?5 1 2 0 ?3 7 ?1 4 ?1 D= = 5 ?9 2 7 1 4?10 2 1 ?10 31 0 ?1 6 2 3 1 0?62 1 1162?3 220 1= (?1)1+3 1 23= 1 3?1 0 ?1 0?1 0= (?1)1+1 × (?3)＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９． 例 2 计算行列式an 0 O a1 D2 n = 0 c1 N 0 cn按第 1 行展开有bn N b1 0 d1 O dn解an ?1 0 O a1 D2 n = an 0 c1 N cn ?1 0 0 an ?1 0 O a1 +bn × (?1)1+ 2 nbn ?1 N b1 0 d1 O 0 L d n ?1 00 M M M 0 dn bn ?1N b1 0 c1 d1 O 0 LM M M d n ?1 00 N 0 cn cn ?1 0= an d n D2( n ?1) ? bn cn D2( n ?1) = (an d n ? bn cn ) D2( n ?1) , ,以此作递推公式，得D2 n = (an d n ? bn cn ) D2( n ?1) = (an d n ? bn cn )(an ?1d n ?1 ? bn ?1cn ?1 ) D2( n ? 2) = LL = (an d n ? bn cn )(an ?1d n ?1 ? bn ?1cn ?1 )L (a2 d 2 ? b2 c2 ) = (an d n ? bn cn )(an ?1d n ?1 ? bn ?1cn ?1 )L (a1d1 ? b1c1 ) = C (ai d i ? bi ci ),i =1 na1 c1b1 d1其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积． 例3 证明范德蒙(Vandermonde)行列式1 x1 Dn = x 21 M n ?1 x 1证x 2 2 L x 2 n = ∏ ( xi ? x j ) （４．１） n ≥i f j ≥1 M M x n ?12 L x n ?1n1 x2L L1 xn用数学归纳法证明．当 n=2 时，D2 =1 x11 = ∏ (x ? x j ) x2 n≥i f j ≥1 i(4.1)式成立． 假设(4.1)式对 n-1 阶范德蒙行列式成立， 要证(4.1)式对 n 阶范德蒙行列式成立． 为 此，将 Dn 降阶，从第 n 行开始，后一行减前一行的 x1 倍得1 01 x2 ? x11 x3 ? x1L L1 xn ? x1Dn = 0 x2 ( x2 ? x1 ) x3 ( x3 ? x1 ) L xn ( xn ? x1 ) M M M M n?2 n?2 n?2 0 x 2 ( x2 ? x1 ) x 3 ( x3 ? x1 ) L x n ( xn ? x1 )按第 1 列展开，并提取每一列的公因子，有1 Dn = ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )L ( xn ? x1 ) x2 M x2 n ? 21 x3 M x3n ? 2L1 xn ML xn n ? 2上式右端行列式是 n-1 阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n≥i＞j≥2（xi－xj） ，故Dn = ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )L ( xn ? x1 ) =n ≥i f j ≥1n≥i f j ≥ 2∏( xi ? x j )∏( xi ? x j ).显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是 x１，x２，…，xn 互不相等． 由定理 4.1 还可以得到下述推论． 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ai１Aj１+ai２Aj２＋…＋ainAjn=0,i≠j， 或 a1iA1j+a2iA2j＋…＋aniAnj=0,i≠j． 证 作行列式(i≠j)a11 M ai1 M ai1 M an1a12 M ai 2L a1n M L ainM M ai 2 L ain M an 2 L ann则其第 j 行与行列式 D 的第 j 行不相同外，其余各行均与行列式 D 的对应行相同．但因该行 列式第 i 行与第 j 行相同，故行列式为零．将其按第 j 行展开，便得 ai１Aj１+ai２Aj２＋…＋ainAjn=0. 同理可证 a1iA1j+a2iA2j＋…＋aniAnj=0． 将定理 4.1 与推论综合起来得 ∑nk=1aikAjk＝Ｄ，i＝j, ０，i≠j, 或 ∑nk=1akiAkj＝Ｄ，i＝j, ０，i≠j. 下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理． 先推广余子式的概念． 定义 4.1 在一个 n 阶行列式 D 中， 任意取定 k 行 k 列(k≤n)， 位于这些行与列的交点处 的 k２个元素，按原来的顺序构成的 k 阶行列式 M，称为行列式 D 的一个 k 阶子式；而在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素， 按原来的顺序构成的 n-k 阶行列式 N， 称为 k 阶子式 M 的 余子式．若 k 阶子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别为 i１，i２，…，ik 及 j１，j２，…， jk，则 （－１）(i１＋i２＋…＋ik）＋（j１＋j２＋…＋jk）Ｎ 称为 k 阶子式 M 的代数余子式．如在五阶行列式a11 a21 M a51a12 a22 M a52a13 a23 M a53a14 a24 M a54a15 a25 M a55中选定第 2、第 5 行，第 1、第 4 列，则二阶子式M=a21 a24 a51 a54的余子式a12 N = a32 a42a13 a33 a43a15 a35 a45而代数余子式为 (?1) 2 +5+1+ 4 N = N . *定理 4.2(拉普拉斯定理)设在行列式 D 中任意选定 k(1≤k≤n-1)行(或列)，则行列式 D 等于 由这 k 行(列)元素组成的一切 k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证) 例 4 用拉普拉斯定理计算行列式1 2 0 ?1 D= 1 0 0 11 2 1 34 1 . 3 12解 若取第 1、第 2 行，则由这两行组成的一切二阶子式共有 C4 = 6 个M1 = M4 =1 2 1 1 1 4 , M2 = , M3 = , 0 ?1 0 2 0 1 2 1 2 4 1 4 , M5 = , M6 = . ?1 2 ?1 1 2 1其对应的代数余子式为A1 = A4 =1 3 0 3 0 1 , A2 = ? , A3 = , 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 0 , A5 = ? , A6 = . 0 1 0 3 0 1则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６ ＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１ ＝－７． 注 当取定一行(列)即 k=1 时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理 计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．第五节克莱姆法则 含有 n 个未知数 x１，x２，…，xn 的 n 个线性方程的方程组 a１１x１＋a１２x２＋…＋a１nxn=b１， a2１x１＋a2２x２＋…＋a2nxn=b2， …………………… an1x１＋an２x２＋…＋annxn=bn(5．１）有与二、三元线性方程组类似的结论，它的解可 以用 n 阶行列式表示，即为下述的克莱姆(Cramer)法则. 定理 5.1(克莱姆法则)若方程组(5.1)的系数行列式a11 a D = 21 M an1a21 L a1n a22 L a2 n ≠ 0, M M M an 2 L ann则方程组有唯一解，且可表示为x1 =D D1 D , x2 = 2 ,L , xn = n , D D D(5.2)其中Ｄj（j＝１，２，…，n）是将 D 中的第 j 列元素换成常数项所得的行列式，即a11 L a1, j ?1 b1 a21 L a2, j ?1 b2 Dj = M M M an1 L an , j ?1 bn a11 a21 Dx j = M an1 a12 L a22 L M an 2 La1, j +1 L a1n a2, j +1 L a2 n . M M an , j +1 L ann a1 j x j L a1n a2 j x j L a2 n . M M anj x j L ann证 设 x１，x２，…，xn 是方程组(5 ? 1)的解，按行列式的性质，有再把行列式的第 1 列， …， j-1 列， j+1 列， 第 第 …， n 列分别乘以 x１， 第 …， xj－１， xj＋１， …， xn 加到第 j 列上去，行列式的值不变，即a11 Dx j = a21 M an1 a11 a21 M an1因 D≠0，故 x j = 例1a12L∑j =1 nna1 j x jL a1na22 L M an 2 L a12 L a22 L M an 2 LDj∑j =1a2 j x j L a2 n M M L ann.∑j =1nanj x jb1 L a1n b2 L a2 n = Dj . M M bn L ann（j＝１，２，…，n）为方程组的唯一解．D求解线性方程组? x1 ? x2 + x3 + 2 x4 = 1, ? x + x ? 2 x + x = 1, 3 4 ? 1 2 ? x1 + x2 + x4 = 2, ? + x3 ? x4 = 1, ? x1 ?解1 ?1 1 2 1 ?1 1 2 1 1 ?2 1 0 2 ?3 ?1 D= = 1 1 0 1 0 2 ?1 ?1 1 0 1 ?1 0 1 0 ?3?3 5 = 2 ?1 ?1 = 2 ?1 5 = = ?10 ?1 5 1 0 ?3 1 0 01 ?1 D1 = 1 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 ?2 1 1 1 ?2 1 = ?8 , D2 = = ?9 , 0 1 1 2 0 1 1 ?1 1 1 1 ?1 2 1 1 ?1 1 1 1 1 ?2 1 1 1 1 0 0 1 2 12 ?3 ?12 ?3 5D3 =1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 02 1 1 ?1= ?5, D4 == ?3,故 x1 =?8 4 ?9 9 1 3 = , x2 = = , x3 = , x4 = . 2 10 ?10 5 ?10 10由此可见用克莱姆法则解方程组并不方便，因它需要计算很多行列式，故只适用于解未知量较少和 某些特殊的方程组，但把方程组的解用一般公式表示出来，这在理论上是重要的． 使用克莱姆法则必须注意：①未知量的个数与方程的个数要相等；②系数行列式不为零．对于不符 合这两个条件的方程组，将在以后的一般线性方程组中讨论． 常数项全为零的线性方程组? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ?a x + a x + L + a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n ? LLLLL ? ?an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0 ?(5．3）称为齐次线性方程组．而方程组(5.1)称为非齐次线性方程组． 显然 x１＝x２＝…＝xn＝０是方程组(5 ? 3)的解， 称为零解， 若方程组(5 ? 3)除了零解外， 还有 x１，x２，…，xn 不全为零的解，称为非零解．由克莱姆法则，有以下定理. 定理 5 ? 2 如果齐次线性方程组(5 ? 3)的系数行列式 D≠0，则齐次线性方程组(5 ? 3)只有 零解．定理 5 ? 2′如果齐次线性方程组(5 ? 3)有非零解， 则它的系数行列式必为零． 定理 5 ? 2′ 说明系数行列式 D＝０是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面还将证明这个条件也是充 分的． 例2 问λ取何值时，齐次线性方程组? ? (5 ? λ ) x + 2 y + 2 z = 0 ? ? =0 ?2 x + (6 ? λ ) y ? ?2x + (4 ? λ ) z = 0 ? ?有非零解? 解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 D＝０，5?λ D= 2 22 6?λ 02 0 4?λ＝（５－λ） （６－λ） （４－λ）-4(4-λ)-4(6-λ) ＝（5-λ)(2-λ)(8-λ),由Ｄ＝０得： λ＝２,λ＝５,λ＝８．第六节典型例题 例 1 证明：ax + by ay + bzaz + bxay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz x = (a + b ) y z3 3y z xz x. y3证明 利用性质 5，把行列式拆成 2 个行列式的和，除两个外，其余均因有两行成比例而等 于零，即ax ay az by bz bx ay az ax + bz bx by az ax ay bx by bz x 左边 = a y z3 3y z x3z y 3 x +b z y x y z x z x. yz x yx y zx = (a + b ) y z例 2 计算行列式Dn =α +β α 0 L β α +β α L β α +β L 0M M M00 0 0 M0 00 00 00 0 M L α +βLα α +β0 0 M L α +β L β 0 0 M解按第 1 列展开，可得 Dn 与其同类型的较低阶行列式的关系.α 0 L β α +β LDn = (α + β ) Dn ?1 + β (?1)1+ 2M 0 0M 0 0α α +β= (α + β ) Dn ?1 ? 2 β Dn ? 2 ,即 Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)， 或 Dn－βDn－1=α(Dn－1－βDn－2). 由此递推下去，得 Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β?β(Dn－2－αDn－3)=…=βn－2(D2－αD1). 而 D2 =α +β α (α + β )2 ? αβ = α 2 + β 2 + αβ , β α +βn?2代入上式，得 Dn ? α Dn ?1 = βnβ 2 = β n . （1）同理，可得 Dn ? β Dn ?1 = α . .（2） 当α≠β时，由（1）式、 （2）式解得Dn =α n ?1 ? β n+1 . α ?β当α=β时，由（1）式或（2）式递推下去，得Dn = (n + 1)α n .例 3 计算 n 阶行列式x1 a1 Dn = a1 M a1 a1a2 x2 a2 M a2 a2a3 L an ?1 a3 L an ?1 x3 L an ?1 M M a3 L xn ?1 a3 L an ?1an an an ( x ≠ ai , i = 1,L , n), M i an xn解x1 Dn = a1 ? x1 M a1 ? x1a2 x2 ? a2L Oan 0 xn ? an0x1 x1 ? a1 ?1 M ?1 1+ ∑n k =1= ∏ ( xi ? ai )i =1na2 x2 ? a2 1Lan xn ? an 0O 0 ak xk ? ak M a2 x2 ? a2 1 O 1 1 L an xn ? an 0= ∏ ( xi ? ai )i =1n= (1 + ∑k =1nn ak )∏ ( xi ? ai ) xk ? ak i =1例 4 计算行列式1 x1 1 x2 Dn = M M 1 xn ?1 1 xnx 21 x2 2 M 2 x n ?1 x2nL Lx1n ? 2 x2 n ? 2 M L xn ?1n ? 2 L xn n ? 2x1n x2 n M . xn ?1n xn n解 只需在 Dn 中加上最后一行和最后第二列，就变成 n+1 阶范德蒙行列式的转置行列式的转置行 列式1 x1 1 x2 Dn +1 = M M 1 xn 1 y于是有x 21 x2 2 M xn 2 y2nL x1n ? 2 L x2 n ? 2 M L xn ?1n L y n?2x1n ?1 x2 n ?1 M xn ?1n y n ?1( xi ? x j )x1n x2 n M xn ?1n ynDn +1 = DT n +1 = ∏ ( y ? xi )i =1n ≥i f j ≥1∏= ( y ? x1 )( y ? x2 )L ( y ? xn )n ≥i f j ≥1∏( xi ? x j )= ? y n ? ( x1 + x2 + L + xn ) y n ?1 + L + (?1)n x1 x2 L xn ? . ? ?n ≥i f j ≥1∏( xi ? x j )若把 Dn+1 按最后一行展开得Dn +1 = an y n + y n +1 (?1) n +1+ n Dn + L + a0 = an y n + (? Dn ) y n ?1 + L + a0 .而yn ?1的系数恰好是(－Dn).比较上式两边 ynn ?1的系数，便得Dn = (∑ xi )i =1n ≥i f j ≥1∏( xi ? x j ).例51 2 3 4 5 5 设 A = 3 2 4 5 2 2 6 5 5 2 5 3 4 1 2 3 2, 1 3求（1） A31 + A32 + A33 ; （2） A34 + A35 . 解将 A 中第三行的元素依次换成 5，5，5，3，3. 则 第 二 行 与 第 三 行 的 对 应 元 素 相 等 ， 于 是 行 列 式 的 值 等 于 0. 按 第 三 行 展 开 ， 则 有5( A31 + A32 + A33 ) + 3( A34 + A35 ) = 0 （1）同理，将 A 中第三行的元素换成第四行的对应元素，按第三行展开则有2( A31 + A32 + A33 ) + A34 + A35 = 0 （2）解（1）（2）联立方程组，得 ，A31 + A32 + A33 = 0, A34 + A35 = 0.第二章矩阵第一节矩阵的概念 引例 1 在平面解析几何中， 当坐标轴逆时针旋转θ角时， 新旧坐标之间存在如下的变换公式： x＝x′cosθ－y′sinθ， y=x′sinθ＋y′cosθ． 显然，这种新旧坐标之间的关系完全可以由公式中的系数所构成的数表? cos θ ? ? sin θ? sin θ ? ? cos θ ?确定． 引例 2 线性方程组? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , ? a x + a x +L + a x = b , 2n n 1 ? 21 1 22 2 ? ? ? LLLL ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm , ?（１．１）其中 xi （i＝１，２，…，n）代表 n 个未知量，m 是方程的个数， aij （i＝１，２，…，m;j ＝１，２，…，n）称为方程组的系数，bi（i＝１，２，…，m）称为常数项．为了便于研究和求 解线性方程组，我们把系数和常数项取出并按原来的位置排成下列数表:? a11 ? ? a21 ? M ? ? am1a12L a1na22 L a2 n M M am 2 L amnb1 ? ? b2 ? M ? ? bm ?（１．２）这样的数表称为矩阵 定义 1 ? 1 由 m×n 个数 aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)排成 m 行 n 列的a11 a21a12 a22L a1n L a2 n MMam1Mam 2 L amn称为 m 行 n 列的矩阵，简称 m×n 矩阵．为了表示它是一个整体，总是加一个括弧(中括弧 或小括弧)，并用大写黑体字母表示它，记作? a11 ? a A = ? 21 ? M ? ? am1a12 a22 M am 2L a1n ? ? L a2 n ? , M ? ? L amn ?（１．３）其中 aij 表示矩阵第 i 行第 j 列的元素．矩阵(1 ? 3)也可简记为 A＝( aij ）m×n 或 A＝( aij ） ，m×n 矩阵 A 也记为 Am×n． 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中除特别声明外，都是 指实矩阵 ．当 m=n 时，A 称为 n 阶方阵． 只有一行的矩阵 A=( a1a2 L an ） 称为行矩阵， 为了避免元素间的混淆， 行矩阵一般记作 A=( a1 , a2 ,L , an ） 只 ． 有一列的矩阵? a1 ? ? ? a A=? 2? ?M ? ? ? ? an ?称为列矩阵． 两个矩阵若行数相等且列数相等，则称它们是同型的．若 A＝( aij ）m×n 与 B＝( bij ）m×n 同型，且它们的对应元素相等，即aij = bij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n),则称矩阵 A 与 B 相等，记为 A=B． 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O．注意不同型的零矩阵是不相等的． 显然， 当未知量 x1 , x2 ,L , xn 的顺序排定后， 线性方程组(1 ? 1)与矩阵(1 ? 2)是一一对应的， 于是可以用矩阵来研究线性方程组． 例 1 设一组变量 x1 , x2 ,L , xn 到另一组变量 y1 , y2 ,L ym 的变换由 m 个线性表达式给出：? y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , ? y = a x + a x +L + a x , ? 2 21 1 22 2 2n n （１．４） ? LLLL ? ? ym = am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn , ?其中常数 aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)为变换(1 ? 4)的系数，这种从变量 x1 , x2 ,L , xn 到变 量 y1 , y2 ,L ym 的变换称为线性变换．线性变换的系数构成 m×n 矩阵(1 ? 3)，称为线性变换(1 ? 4)的系数矩阵． 例 2 将某种物资从 m 个产地 A1 , A2 ,L , Am 运往 n 个销地 B1 , B2 ,L , Bn . 用 aij 表示由产地 Ai（i=1,2,…， m)运往销地 B j （j=1,2,…， n)的物资数量， 则调运方案可用矩阵(1 ? 3)表示． 下 面介绍几个重要的 n 阶方阵． 例 3 由 n 个变量 x1 , x2 ,L , xn 到 n 个变量 y1 , y2 ,L yn 的线性变换? y1 = x1 , ?y = x , ? 2 2 ? ? LL ? yn = xn , ?称为恒等变换，它的系数矩阵?1 ? 0 E=? ?M ? ?00 L 0? ? 1 L 0? M M? ? 0 L 1?称为 n 阶单位矩阵，简称单位阵．n 阶单位矩阵的特点是：从左上角到右下角的直线(称为主 对角线)上的元素都是 1，其他元素都为零．也就是 ， Ｅ＝（δij） 其中 δij＝1，当 i=j 时， ０， 当 i≠j 时． 例 4 线性变换? y1 = λ1 x1 , ?y = λ x , ? 2 2 2 ? ? LL ? yn = λn xn , ?对应的系数矩阵? λ1 0 L 0 ? ? ? ? 0 λ2 L 0 ? A= ?M M M ? ? ? ? 0 0 L λn ?称为对角阵．对角阵的特点是：不在主对角线上的元素都为零．当λ１＝λ２＝…＝λn 时， 称此矩阵为数量矩阵．? a11 ? 0 A=? ? M ? ? 0a12 L a1n ? ? a22 L a2 n ? M M ? ? 0 L ann ?称为上三角阵．上三角阵的特点是：主对角线以下的元素全为零，即当 i＞j 时， aij ＝０．类 似地，方阵? a11 ? ? a21 ? M ? ? an1称为下三角阵．0 a22 M an 20 ? ? L 0 ? M ? ? L ann ? L第二节矩阵的运算一、 矩阵的加法 定义 2.1 设有两个 m×n 矩阵： A＝( aij ）m×n，B＝( bij ）m×n，那么矩阵C = (cij )m×n = (aij + bij ) m×n? a11 + b11 ? a +b = ? 21 21 ? M ? ? am1 + bm1a12 + b12 a22 + b22 M am 2 + bm 2a1n + b1n ? ? L a2 n + b2 n ? ? M ? L amn + bmn ? L称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C＝Ａ＋Ｂ． Ａ Ｂ 注意: 只有同型矩阵才能进行加法运算． 设 A，B，C，O 均为 m×n 矩阵，容易证明矩阵加法满足下列运算规律： ， ， ， (i) 交换律 A+B＝B+A； (ii) 结合律(A+B)+C=A+(B+C); (iii) A+O=A. 设矩阵 A＝( aij ）m×n，记-A＝(- aij ）m×n，称为 A 的负矩阵，显然有 A+(-A)=O, 由此定义矩阵的减法为 Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ） ． 二、 数与矩阵的乘法 定义 2 ? 2 设λ是常数，A＝( aij ）m×n，则矩阵λ A = Aλ = (λ aij ) m×n? λ a11 λ a12 L λ a1n ? ? ? ? λ a21 λ a22 L λ a2 n ? = ? M M M ? ? ? ? λ am1 λ am 2 L λ amn ?称为数λ与矩阵 A 的乘积． 设 A，B 为 m×n 矩阵，λ，μ为数，由定义可以证明数与矩阵的乘法满足下列运算规律： (i) (λμ)A=λ(μA)=μ(λA); (ii) (λ+μ)A=λA+μA; (iii) λ(A+B)=λA+λB;(iv) 1?A=A,(-1)A=-A. 三、 矩阵与矩阵相乘 定义 2.3 设矩阵 A = ( aij ) m×s , B = (bij ) s×n , 则 m×n 矩阵 C = (cij ) m×n , 其中cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj = ∑ aik bkjk =1s称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C=AB. 由定义可以看出：C=AB 中第 i 行第 j 列的元素 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的元素的乘积之和．必须注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时， 两个矩阵才能相乘．其行数与列数之间的关系可简记为 （m×s） （s×n）＝（m×n） 例 1 设矩阵? 4 1? ?1 0 3? ? ? A=? ? , B = ? ?1 1 ? , ? 2 1 0? ? 2 0? ? ?求乘积 AB． 解 因为 A 是 2×3 矩阵，B 是３×２矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与 B 可 以相乘，AB=C 是 2×2 矩阵．由定义 2.3 有? 4 1? ? 1 0 3?? ? AB = ? ? ? ?1 1 ? ? 2 1 0?? 2 0? ? ? ? 1× 4 + (?1) × 0 + 3 × 2 1× 1 + 0 × 1 + 3 × 0 ? =? ? ? 2 × 4 + 1× (?1) + 0 × 2 2 × 1 + 1×1 + 0 × 0 ? ?10 1 ? =? ?. ? 7 3?设A =?例3?1 1? ? 1 1? ?,B = ? ?, ? ?1 ?1? ? ?1 1 ?求 AB 与 BA． 解 AB = ?? 1 1 ?? 1 1? ? 0 0 ? ?? ?=? ?, ? ?1 ?1?? ?1 1? ? 0 0 ?? 1 ?1?? 1 1 ? ? 2 2 ? BA = ? ?? ?=? ?. ? ?1 1 ?? ?1 ?1? ? ?2 ?2 ?一般地 AB≠BA．乘积 AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使 BA 有意义，由例 2，AB≠ ≠ BA．由此可知，在矩阵乘法中必须注意矩阵相乘的顺序．AB 通常说成“A 左乘 B” ，BA 称“A 右乘 B” ．因此，矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA． 对于两个 n 阶方阵 A，B，若 AB＝BA，则称 A 与 B 是可交换的． 由例 2 还可看出：当 A，B 都不是零矩阵时，但 AB＝O，这是矩阵乘法与数的乘法又一不 同之处．特别注意：若 AB＝O，不能推出 A=O 或 B=O 的结论；若 AB=AC，A≠O 也不能推出 B=C 的结论． 可以证明，矩阵乘法满足以下运算规律，其中所涉及的运算均假定是可行的． (i) (AB)C=A(BC)(结合律)； (ii) A(B+C)=AB+AC(分配律)； (B+C)A=BA+CA; (ii) λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ为数)． 以上性质可以根据矩阵运算的定义得到证明． 用矩阵乘法的定义，线性变换(1.4)可表示为y=Ax, 其中 A 为矩阵(1.3)，? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? x2 ? , y = ? y2 ? . x= ?M ? ? M ? ? ? ? ? ? xn ? ? yn ?例 3 设有两个线性变换? y1 = a11 x1 + a12 x2 , ? ? y2 = a21 x1 + a22 x2 , ?y = a x +a x , 31 1 32 2 ? 3与（２．１）? x1 = b11t1 + b12t2 + b13t3 （２．２） ? ? x2 = b21t1 + b22t2 + b23t3试用矩阵表示从变量 t１，t２，t３到变量 y１，y２，y３的变换［这个变换称为线性变换(2 ? 1) 和(2 ? 2)的乘积］ ． 解 记? a11 ? A = ? a21 ?a ? 31a12 ? ?b b ? a22 ? , B = ? 11 12 ? b21 b22 ? a32 ?b13 ? ?, b23 ?? y1 ? ? t1 ? ? x1 ? ? ? ? ? x = ? ? , y = ? y2 ? , t = ? t 2 ? , ? x2 ? ?y ? ? ? ? 3? ? t3 ?则线性变换(2.1)和(2.2)可分别表示为： y＝Ａx， x＝Ｂt, 所以 y＝Ａx＝Ａ（Ｂt）＝（ＡＢ）t． 以上说明， 线性变换的乘积仍为线性变换， 它对应的矩阵为两线性变换对应的矩阵的乘积． 在 线性方程组(1 ? 1)中，记? a11 ? a A = ? 21 ? M ? ? am1a12 a22 M am 2L a1n ? ? L a2 n ? , M ? ? L amn ?? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? x b x = ? 2 ?,b = ? 2 ?, ?M ? ? M ? ? ? ? ? ? xn ? ? bm ?利用矩阵乘法的定义，则该线性方程组可记为 Ax=b,上式称为矩阵方程． 特别地，对于单位矩阵，容易验证 EmAm×n=Am×n, Am×nEn=Am×n, 简记为 EA=A, AE=A. 有了矩阵的乘法，就可定义 n 阶方阵的幂．设 A 是 n 阶方阵，定义 A = AA L A (k 为非 1 24 4 3k负整数)， k个 我们有A k A l = A k +l , ( A k )l = A kl . 其中 k,l 为非负整数，但一般地 ( AB)k ≠ A k B k .例 4 求证? cos θ ? ? sin θ ? cos θ ? ? sin θ? sin θ ? ? cos nθ ? =? cos θ ? ? sin nθn? sin nθ ? ?. cos nθ ? ? sin kθ ? ?. cos kθ ?证 用数学归纳法证明．当 n=1 时，等式显然成立．假设当 n=k 时等式成立，即? sin θ ? ? cos kθ ? =? cos θ ? ? sin kθkk +1要证当 n=k+1 时成立，此时? cos θ ? ? sin θ? sin θ ? ? cos θ ?? cos θ =? ? sin θ? sin θ ? ? cos θ ? ? cos θ ? ? sin θk? sin θ ? ? cos θ ?? cos kθ ? sin kθ ? ? cos θ ? sin θ ? =? ? ? ? ? sin kθ cos kθ ? ? sin θ cos θ ? ? cos kθ cos θ ? sin kθ sin θ ? cos kθ sin θ ? sin kθ cos θ ? =? ? ? sin kθ cos θ + cos kθ sin θ ? sin kθ sin θ + cos kθ cos θ ? ? cos(k + 1)θ =? ? sin(k + 1)θ ? sin(k + 1)θ ? ? . cos(k + 1)θ ?所以当 n=k+1 时结论成立．因此对一切自然数 n 都有? cos θ ? ? sin θ四、 矩阵的转置? sin θ ? ? cos nθ ? =? cos θ ? ? sin nθn? sin nθ ? ?. cos nθ ?定义 2.4 将 m×n 矩阵 A＝( aij ）m×n 的行和列依次互换位置，得到一个 n×m 矩阵称为 A 的转置，记为 AＴ（或 A′)． 例如矩阵?1 2 0 ? A=? ? ? 3 1 ?1?的转置矩阵为?1 3 ? ? ? A = ? 2 1 ?. ? 0 ?1 ? ? ?T矩阵的转置也可看做是一种运算，满足下列规律： (i) (AＴ）Ｔ＝A; (ii) (A+B)Ｔ＝AＴ＋BＴ； (iii) （λA)Ｔ＝λAＴ（λ为数)； (iv) (AB)Ｔ＝BＴAＴ． 性质(i)～性质(iii)可直接按定义验证，下面只证明(iv)． 证设 A＝( aij ）m×n， B＝( aij ）n×p， AB＝( cij ）m×p.(AB)Ｔ中第 i 行第 j 列的元素 即 AB 中第 j 行第 i 列的元素，由乘法定义，即为∑ak =1njk kib(j=1,2,…,m; i=1,2,…,p).而 B 的第 i 行为(b1i，…，bni)， A 的第 j 列为(aj１，TTT T T T T aj２，…，ajn）Ｔ，因此 B A 的第 i 行第 j 列的元素为 ，表明 ( A B) 与 A B对应元素相等．且 ( A B)T 是 p×m 矩阵，也是 p×m 的矩阵，所以 ( A B)T = AT BT 性质(ii)、 性质 （iv） 还可推广到一般情形：( A1 + A2 + L + An ) = A 1 + AT T T2+ L + AT n ,( A1 A2 L An )T = AT n AT n ?1 L A1T ,定义 2.5 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 AT ＝A，即aij = ? a ji (i,j=1,2,…,n),那么 A 称为对称阵，其特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等． 例如?2 1 3 ? ? ? A = ? 1 ?1 ?4 ? ? 3 ?4 0 ? ? ?即为对称阵．定义 2 ? 6 若 n 阶方阵满足AT ＝－A，即aij = ? a ji (i,j=1,2,…,n)，则称 A 为反对称阵．据此定义，应有 aii = ?aii (i=1,2,…,n),即 aii = 0 ，表明主对角线上的元素全为零．例如?0 1 3? ? ? A = ? ?1 0 ?2 ? ? ?3 2 0 ? ? ?为反对称阵． 例 5 设 列 矩 阵 x = ( x1 , x2 ,L xn )T满足x T x = 1, E 为 n 阶 单 位 矩 阵 ，H = E ? 2 xx T 证明 H 是对称阵，且 HH T = E .H T = ( E ? 2 xxT )T = E T ? (2 xxT )T证= E ? 2( xx T )T = E ? 2 xx T = H ,所以 H 是对称阵．HH T = H 2 = ( E ? 2 xx T )( E ? 2 xx T ) = E ? 4 xx T + 4( xx T )( xx T ) = E ? 4 xx T + 4 x ( x T x ) x T = E ? 4 xx T + 4 xx T = E .五、 方阵的行列式 定义 2.7 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式， 记为｜A｜． 注意 方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是 n２个数按一定的顺序排成的数表， 而 n 阶行列式则是 n２个数按一定的运算法则所确定的一个数． 方阵的行列式有下列性质： (i) (ii) (iii)AT = A (行列式的性质 1)；λ A = λn A ;AB = A B其中 A，B 为 n 阶方阵，λ为数． 性质(i)和性质(ii)由行列式的性质容易验证．下面我们证明性质(iii)． 证 设 A＝（ aij ） ，B＝（ bij ） ，记 2n 阶行列式a11 L a1n M M D=oan1 L ann A O = , ?1 b11 L b1n -E B O M M ?1 bn ?1 L bnn由第一章第三节中的例 4 可知 D=｜A｜｜B｜,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列， 乘第 2 列， b2j …… bnj 乘第 n 列，都加到 n+j 列上(j=1,2,…,n)有D=AC-E O,其中 C = (cij ), cij = b1 j ai1 + b2 j ai 2 + L + bnj ain , ,故 C=AB. 再对 D 的行作 rj ? rn + j (j=1,2,…,n)有D = (?1) n-E O A C.由第一章第三节中例 4 有D = (?1)n ? E C = (?1) n (?1) n E C = C = AB ,所以｜AB｜=｜A｜｜B｜． 对于 n 阶方阵 A，B，一般来说 AB≠BA,但总有｜AB｜=｜BA｜=｜A｜｜B｜. 例 6 利用行列式证明(a 2 + b 2 )(a12 + b12 ) = (aa1 ? bb1 ) 2 + (ab1 + a1b ) 2 .证(a 2 + b 2 )(a12 + b12 ) = = aa1 ? bb1 ? a1b ? ab1b a1 ?b a ?b1 ab1 a1ab1 + a1b bb1 ? aa1= (aa1 ? bb1 ) 2 + (ab1 + a1b ) 2 .第三节 逆矩阵我们先来看一个具体问题． 设有从变量组 x1 , x2 ,L xn , 到变量组 y1 , y2 ,L yn , 的线性变换? y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , ? y = a x + a x +L + a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? LLLL ? ? yn = an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn , ?（３．１）? a11 ? a A = ? 21 ? M ? ? an1则(3.1)式可记为a12 a22 M an 2y=AxL a1n ? ? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? L a2 n ? ? x2 ? , y = ? y2 ? , ,x= ?M ? ? M ? M ? ? ? ? ? ? L ann ? ? xn ? ? yn ?.(3.2) 表示 x1 , x2 ,L xn , 的线性表达式若｜A｜≠0，则可用克莱姆法则解得： y1 , y2 ,L yn ,? x1 = b11 y1 + b12 y2 + L + b1n yn , ?x = b y + b y +L + b y , ? 2 21 1 22 2 2n n ? LLLL ? ? xn = bn1 y1 + bn 2 y2 + L + bnn yn , ?（３．3）这就是从变量组 y1 , y2 ,L yn , 到变量组 x1 , x2 ,L xn , 的逆变换，记? b11 L b1n ? ? ? B=? M M ?, ?b L b ? nn ? ? n1则(3 ? 3)式可记为 x=By. (3.4) 把(3.4)式代入(3.2)式有 y=A(By)=(AB)y， 这个线性变换是一个恒等变换，于是 AB=E(E 为 n 阶单位阵)． 把(3.? 2)式代入(3.? 4)式有 x=By=B(Ax)=(BA)x， 这也是一个恒等变换，于是 BA=E, 因此线性变换(3 ? 1)与其逆变换(3 ? 3)的矩阵 A 与 B 满足 AB=BA=E． 定义 3 ? 1 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得 AB=BA=E， 则称方阵 A 是可逆的，称 B 是 A 的逆矩阵或逆阵． 由定义 3 ? 1 可知： (i) 若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 的逆矩阵． (ii) 若线性变换(3 ? 1)有逆变换(3 ? 3)， 则(3 ? 3)的矩阵必定是(3 ? 1)的矩阵的逆矩阵． (iii) 若方阵 A 有逆矩阵，则 A 的逆阵是唯一的． 事实上，若 B，C 都是 A 的逆矩阵，则 AC=E，BA=E，于是 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. A 的逆矩阵(如果存在)记为 A?1 ，依定义 3.? 1，有AA ?1 = A ?1A = E, ．下面给出方阵存在逆矩阵的条件及逆阵的求法． 定理 3.1 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是｜A｜≠0．且当 A 可逆时，有A ?1 =其中1 ? A ,? A? A11 ? A A? = ? 12 ? M ? ? A1nA21 L A22 M A2 nAn1 ? ? L An 2 ? , M ? ? L Ann ?称为 A 的伴随矩阵，其中 Aij 是｜A｜的元素 aij 的代数余子式． 必要性．设 A 可逆，即 A ?1 存在，则证AA ?1 = E ，于是 AA ?1 = A ?1 A = E = 1 ，所以｜A｜≠0． 充分性．设｜A｜≠0， 注意到ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L + ain Ajn= a1i A1 j + a2i A2 j + L + ani Anj?A, ? = A δ ij = ? ?0, ?因此，i = j, i ≠ j,A(1 ? 1 1 n A )= ( AA? ) = (∑ aik Ajk ) n×n A A A k =1=1 ( A δ ij ) n×n = (δ ij ) n×n = E, A(1 ? 1 1 n A )A = ( AA? ) = (∑ Aik a jk ) A A A k =1=1 ( A δ ij )n×n = (δ ij )n×n = E, A所以 A ?1 存在，且A ?1 =1 ? A, A推论若 A，B 都是 n 阶方阵，且 AB＝E，则 BA=E． ＝ 证 因为 AB=E，所以｜ＡＢ｜=｜A｜｜B｜=｜E｜=1,由此可知｜A｜≠0，｜B｜≠0，于 是根据定理 3 ? 1，A，B 都可逆，从而AB = E ? A ?1 ( AB) A = A ?1EA ? ( A ?1A)(ΒΑ) = A ?1A ? BA = E.这个推论说明，要验证 B 是 A 的逆矩阵，只需验证 AB=E 或 BA=E 其中的一个就可以了． 定义 3 ? 2 设 A 为方阵，若｜A｜≠0，则称 A 为非奇异方阵；若｜A｜=0，则称 A 为奇异 方阵． 由定理 3 ? 1 知，可逆方阵即为非奇异方阵． 方阵的逆具有以下性质： (i) （ii） （iii） 若 A 可逆，则 ( A?1 ) ?1 = A; ； 若 A 可逆，数λ≠0，则λA 可逆，且 (λ A )?1=1λA ?1 ;若 A，B 为同阶方阵，且 A，B 都可逆，则 AB 可逆，且( AB)?1 = B ?1A ?1（iv） 若 A 可逆，则 AT 可逆，且 ( AT ) ?1 = ( A ?1 )T ； 若 A 可逆，则 A?1（v）=1 ?1 = A ． A我们只证明性质(ii)、性质(iii)，其他结论读者可以自己证明． 证(ii) 设 A 为 n 阶方阵， 因为 A 可逆， λ≠0， 所以｜λA｜=λn｜A｜≠0， 从而λA 可逆， 且由1 1 (λ A )( A ?1 ) = λ × ( AA ?1 ) = E, ，λλ所以( λ A ) ?1 =1λA ?1 ．证(iii) A，B 均可逆，可知｜A｜≠0，｜B｜≠0，从而｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，所以 AB 可逆．因为( AB) ( B ?1A ?1 ) = A(BB ?1 ) A ?1 = AEA ?1 = AA ?1 = E, ，所以 ( AB) ?1 = B ?1A ?1 性质(iii)可推广为： 设 A1 , A2 ,L , An 都是 n 阶可逆阵，则 A1 , A2 ,L , An 可逆，且 ．( A1 A 2 L A n )?1 = A n ?1A n ?1?1 L A1?1 ．例1设? 1 ?1 2 ? ? ? A = ? ?2 ?1 ?2 ? , ? 4 3 3? ? ?求A 解?1经计算1?12A = ?2 ?1 ?2 = 1 ≠ 0, 4 3 3已知 A 可逆，且A11 = A31 = A22 = A13 = A33 =故?1 ?2 = 3, 3 3 ?1 2 = 4, ?1 ?2 1 2 = ?5, 4 3 ?2 ?1 = ?2, 4 3 1 ?1 = ?3, ?2 ?1A21 = ? A12 = ? A32 = ??1 2 = 9, 3 3 ?2 ?2 = ?2, 4 31 2 = ?2, ?2 ?2 1 ?1 = ?7, 4 3A23 = ?? 3 9 4? 1 ? ? ? A = A = ? ?2 ?5 ?2 ? . A ? ?2 ?7 ?3 ? ? ??1例2 设? 1 ?1 2 ? ? ?2 0 ? ?2 4? ? ? ? ? A = ? ?2 ?1 ?2 ? , B = ? ?,C = ? 0 1 ?, ? ?3 ?5? ? 4 3 3? ? ? ? ? ? 1 ?3 ?解矩阵方程 AXB＝Ｃ ＝Ｃ． ＝Ｃ 解 因为｜A｜=1≠0，｜B｜=2≠0，所以 A ， B ?1 存在，分别以 A ， B ?1 矩阵方程的两边，得?1 ?1左乘与右乘A ?1 ( AXB)B ?1 = A ?1CB ?1 ,于是X = A ?1CB ?1. ．由例 1 有4? ? 3 9 ? ? A ? 1 = ? ?2 ?5 ?2 ? , ? ?2 ?7 ?3 ? ? ?? 5 ? ?5 ?4 ? ? 2 1 ? 1? ?1 B = B = ? =? B 2? 3 2 ? ? 3 ? ? 2 ?所以? ?2 ? ?, 1? ? ?4 ?? ?2 0 ? ? ? 5 ? 3 9 ? X = A ?1CB ?1 = ? ?2 ?5 ?2 ?? 0 1 ? ? 2 ? ?? ? ? ?2 ?7 ?3 ?? 1 ?3 ? ? 3 ? ?? ?? 2 ? ? 1 ?? 2 ? 7 = ?? ? 2 ? ? 1 ? ? 2例 3 已知方阵 A 满足? ?2 ? ? 1? ? ?? 1? ? ?3 ? . ? ? 0? ? ?A 2 ? 2 A + 3E = O,试证 A 与 A-3E 都可逆，并求 A 与 证?1( A ? 3E) ?1 ．由 A2 ? 2 A + 3E = O, 得 A(A-2E)＝－３Ｅ，故? 1 ? A ? ? ( A ? 2E) ? = E, ? 3 ?因此 A 可逆，且 A?11 = ? ( A ? 2E). 3又由 A 2 ? 2 A + 3E = O, 得(A+E)(A-3E)＝－6Ｅ，故? 1 ? ? ? 6 ( A + E) ? ( A ? 3E) = E, ， ? ?因此 A-3E 可逆，且 ( A ? 3E) 例 4 设P = ??11 = ? ( A + E). 6?1 2 ? ?1 0? n ?, Λ = ? ? AP = PA 求 A ． 1 4? 0 2? ? ?解｜Ｐ｜＝２， P?11 ? 4 ?2 ? = ? ?. 2 ? ?1 1 ?A = PΛP ?1 , A 2 = PΛP ?1PΛP ?1 = PΛ 2 P ?1 ,LL A n = PΛ n P ?1 ,而易验证?1n Λ =? ?0n0 ? ?1 ?=? 2n ? ? 00? ?, 2n ? 2n ? 1 ? ?. 2n +1 ? 1?故?1 2 ?? 1 0 ? 1 ? 4 ?2 ? ? 2 ? 2n An = ? . ? ?? ?=? n? n +1 ?1 4 ?? 0 2 ? 2 ? ?1 1 ? ? 2 ? 2最后，我们给出以下结论，而把证明留给读者． (1) 设? λ1 ? ? ? λ2 ? ? (未写出的元素都为零)， Λ= ? ? O ? ? λn ? ?则? λ k1 ? ? ? k λ 2 k ? ? (k 为正整数)； Λ = ? ? O ? ? k ? ? λ n? ?(2) 当｜A｜≠0 时，定义A 0 = E , A ? k = ( A ?1 ) k (k 为正整数)，设λ，μ都是整数，有A λ A ? = A λ + ? , ( A λ ) ? = A λ? ．第四节分块矩阵一、 分块矩阵 定义 4.1 用若干条纵线和横线把 A 分成若干个小块，每一个小块构成的小矩阵称为 A 的子块；以子块为元素的矩阵称为 A 的分块矩阵． 例如? a11 ? A = ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? a24 ? , ? a34 ?可如下分块：? a11 ? A = ? a21 ?a ? 31其中 Aij 是子块的记号．a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? ?A a24 ? = ? 11 A ? a34 ? ? 21A12 ? ?, A22 ?一个矩阵可以按不同的方式分块，上述矩阵 A 也可如下分块：? a11 ? A = ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? ?A a24 ? = ? 11 A ? a34 ? ? 21A12 A22A13 ? ?. A23 ?又如 A = ( aij ) m×n 按行分块得? a11 ? a A = ? 21 ? M ? ? am1a12 a22 M am 2L a1n ? ? A1 ? ? ? ? L a2 n ? ? A1 ? = , M ? ? M ? ? ? ? L amn ? ? A m ?其中 Ai = ( ai1ai 2 L ain ), i=1,2,…,m.A = (aij ) m×n 按列分块为? a11 ? a A = ? 21 ? M ? ? am1a12 a22 M am 2L a1n ? ? L a2 n ? = (B1B 2 L B n ), M ? ? L amn ?T其中 B j = ( a1 j a2 j L amj ) ，j=1,2,…,n.究竟采用哪种方式分块，要根据矩阵的具体运算来确 定． 二、 分块矩阵的运算 分块后的矩阵，把小矩阵当作元素，按普通的矩阵运算法则进行运算． (1) 设 A，B 是两个 m×n 矩阵，且用相同的分块法，得分块矩阵为? A11 L A1r ? ? B11 L B1r ? ? ? ? ? A=? M M ?, B = ? M M ?, ?A L A ? ?B L B ? sr ? sr ? ? s1 ? s1其中各对应的子块 Aij 与 Bij 有相同的行数和列数，则? A11 ± B11 L A1r ± B1r ? ? ? M M A± B = ? ? （４．１） ?A ±B L A ±B ? s1 sr sr ? ? s1设λ为数，? λ A11 L λ A1r ? ? M ? . （４．２） λ A = Aλ = ? M ? ?λA L λA ? sr ? ? s1(2) 设 A 为 m×l 矩阵，B 为 l×n 矩阵，分块为? A11 L A1r ? ? B11 L B1r ? ? ? ? ? A=? M M ?, B = ? M M ?, ?A L A ? ?B L B ? sr ? sr ? ? s1 ? s1此处 A 的列数的分法与 B 的行数的分法一致，即Ai1 , Ai 2 ,L Ait 的 列 数 分 别 等 于B1 j , B2 j ,L Btj 的行数,则? C11 L C1r ? ? ? AB = C = ? M M ? , （４．３） ?C L C ? sr ? ? s1其中 Cij =∑Ak =1tikBkj (i=1,2,…,s;j=1,2,…,r).(3) 设 A 分块为? A11 L A1r ? ? ? A=? M M ?, ?A L A ? sr ? ? s1则? AT 11 L AT s1 ? ? ? AT = ? M M ?, T ? ? AT ? 1r L A sr ?(4) 若方阵 A 分块为(4.4)? A1 ? A=? ? ? ?A2? ? ? (未写出的子块都是零矩阵)， ? O ? As ?其中只有在对角线上有非零子块，其余的子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方 阵，此时称 A 为分块对角矩阵，则有 1°｜A｜＝｜Ａ１｜｜Ａ２｜…｜Ａs｜； 2°当｜Ai｜≠0(i=1,2,…，s)时，有? A 1?1 ? ?1 A =? ? ? ? ??A?1 2? ? ?, ? O ? ? A s ?1 ?若? A1 ? A=? ? ? ?A2? ? B1 ? ? ? ? B2 ? ,B = ? ? ? ? ? O O ? ? ? As ? Bs ? ?是两个分块对角矩阵，其中 Ai 与 Bi 是同阶方阵，则? A1 ± B1 ? A±B =? ? ? ? ? ? A1B1 ? AB = ? ? ? ? ?A2 ± B2? ? ? （４．６） ? O ? ? As ± Bs ? ? ? ? (4.7) ? O ? ? AsBs ?A2B2由以上可看出，对于能划分为分块对角矩阵的矩阵，如果采用分块来求逆阵或进行运算是十 分方便的． 例1 设?1 ? ? 0 A=? 0 ? ?1 ? ?2 ?求 AB． 解0 0 0 0? ? ?1 2 ? ? 1 0 0 0? ? 4 0 0 1 0 0?, B = ? 0 1 ? ? 2 0 1 0? ? ?2 0 ? ? 2 ?1 0 0 0 1? ?1 0? ? 0 1? 0 0?, ? 0 0? ? 0 0??1 ? ? 0 A=? 0 ? ?1 ? ?2 ?0 1 0 20? ? 0? ? E2 0? = ? A1 ? 0? ? ? 0 0 0 1? 0 0 1 0 0 0 0 1O? ?, E3 ?? ?1 2 ? ? 4 0 B=? 0 1 ? ? ?2 0 ? 2 ?1 ?1 0? ? 0 1? ? B1 0 0? = ? ? ? B2 0 0? ? 0 0?E2 ? ?, O??E AB = ? 2 ? A1O ? ? B1 ?? E3 ? ? B2E2 ? ? B1 ?=? O ? ? A1 B1 + B2E2 ? ?, A1 ?? 0 1? ? 0 1 ? ?4 1 ? ? ? ? ?1 2 ? ? ? ? ? A1 B1 + B2 = ? 1 2 ? ? ? + ?2 0 ? = ? 5 2 ? , 4 0? ? ? ?2 0 ? ? ? 2 ?1? ? 4 ?5 ? ? ? ? ? ? ?所以? ?1 2 1 ? ?4 0 0 AB = ? 4 1 0 ? ?5 2 1 ? 4 ?5 ?2 ?例2 设0? ? 1? 1 ?. ? 2? ? 0??3 ? ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 ?求 A ?1 ．0? ? 0? 0?, ? 0? ? 0 0 0 1? 0 0 2 0 0 1 5 0 0 0 0 1解 将 A 分块如下：?3 ? ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 ?其中0 0 0 0? ? 0 1 0 0 ? ? A1 ? 2 5 0 0? = ? ? 0 0 1 0? ? ? ? 0 0 0 1?A2? ?, ? ? E2 ?? 0 1? ?1 0? A1 = (3), A2 = ? ? , E2 = ? ?, ? 2 5? ?0 1?由于?1 1A? 5 1 1 ? 5 ?1 ? ? ? ?1 = ( ), A2 = ? ? ?= 2 3 2 ? ?2 0 ? ? ? 11? ?1 2 ? , E 2 = E2 , ? 0?所以? A1?1 ? A?1 == ? ? ?A2 ?1?1 ?3 0 ? ? ? 5 ? ?0 ? 2 ?=? ?1 ? 0 1 E2 ? ? ?0 0 ? ?0 0? 0 0? ? 1 0 0? ?. 2 ? 0 0 0? 0 1 0? ? 0 0 1? 0例4设 A，C 分别为 r 阶和 s 阶可逆矩阵，求分块矩阵? A B? X =? ? ?O C ?的逆矩阵． 设逆矩阵分块为解?X X ?1 = ? 11 ? X 21即X12 ? ? A B ? ? X11 ?1 ? , XX = ? ?? X 22 ? ? O C ? ? X 21 AX12 + BX 22 ? ? E r ?=? CX 22 ? ?O O? ?, Er ?X12 ? ? = E, X 22 ?? AX 11 + BX 21 ? CX 21 ?比较等式两边对应的子块，有? AX 11 + BX 21 = Er , ? AX + BX = E , ? 11 21 r ． ? CX 21 = O, ? ? CX 21 = E s . ?注意到 A，C 可逆，可解得X 22 = C ?1 , X 21 = O, X11 = A?1 , X12 = ? A?1 BC ?1.所以X?1? A?1 ? A?1 BC ?1 ? =? ?. C ?1 ? ? O第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换一、 矩阵的秩 定义 5.1 在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤min｛m，n｝，位于这些行列交叉处的 k ）k k2个元素按原来的次序所构成的 k 阶行列式，称为 A 的 k 阶子式．矩阵 Am×n 共有 CmCn 个k 阶子式． 例如? 1 1 ?1 2 ? ? ? A = ? 3 0 2 1?, ? ?1 ?2 3 4 ? ? ?从 A 中选取第 1、 2 行及第 2、 4 列， 第 第 它们交叉处元素构成 A 的一个二阶子式 再如取 A 的第 1、第 2、第 3 行及第 1、第 3、第 4 列对应的 A 的三阶子式为1 2 =1 0 11 3 ?1?1 2 2 3 1 = 40 . 4显然 A 的每一元素 aij 都是 A 的一阶子式，当 A 为 n 阶方阵时，其 n 阶子式为｜A｜． 定义 5.2 矩阵 A 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩， 记为 rank(A),简记为 r(A)． 零矩阵的秩为零：r(O)＝０． 由定义，设 A 为 m×n 矩阵，则 (1) r(A)＝r( AT ）, （２） r(A)≤min｛m,n｝. 例如? 1 ?2 1 ? 1 ?2 ? ? A = ? 2 1 0 ? , 易看出 A 有一个二阶子式 = 5 ≠ 0, 而 A 的所有三阶子式， 只 2 1 ? ?2 4 ?2 ? ? ?有｜A｜＝０，所以 r(A)＝２． 按定义，非奇异方阵的秩等于它的阶数，故非奇异方阵称为满秩矩阵，而奇异方阵称为 降秩矩阵． 定理 5.1 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零， 而所有 k+1 阶子式全为零， r(A)=k． 则 证 由 A 的所有 k+1 阶子式全为零，有 A 的任一个 k+2 阶子式按行(列)展开知其必为零， 进而全部高于 k+1 阶的子式皆为零，所以由定义有 r(A)＝k. 矩阵秩是一个重要概念， 它刻画了矩阵的本质属性． 按定义求矩阵的秩需要计算行列式， 故此法只适用行、列较少的矩阵，对于行、列较多的矩阵计算量较大，一般采用下面介绍的 方法． 二、 矩阵的初等变换 定义 5.3 对矩阵施行下列 3 种变换称为矩阵的初等行变换： (i) 互换两行(记为 ri ? rj )； (ii) 以非零数λ乘某一行的所有元素(记作λ×ri,λ≠0)； (iii) 将某一行各元素乘λ后加到另一行的对应元素上去(记作 ri+λrj).将 “行” “列” 换成 ， 称为矩阵的初等列变换(所用记号把“r”换成“c”)．矩阵的初等行变换与初等列 变换，统称初等变换． 定理 5.2 对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变．证 只要证明每一种初等行变换都不改变矩阵的秩，对初等列变换同理可以证明．下面证 明作一次初等行变换时，矩阵的秩不变，由此，对 A 实施多次初等行变换时，矩阵的秩也 不变． (1) 设对 A 实施一次行变换(i)后成为矩阵 B，则因行列式交换两行仅改变正、负号， 知 B 的每一个子式都与 A 中对应的子式或者相等，或者仅改变符号，故秩不变． (2) 设对 A 实施一次行变换(ii)后成为矩阵 B，则因行列式某一行乘以λ≠0 等于用数 λ乘此行列式，知 B 的子式与 A 中对应子式或者相等，或者是其λ倍，故秩不变． (3) 设 A 经初等行变换(iii)后成为矩阵 B，且 r(A)=r，下面证明 r(B)≤r(A),同时 r(A) ≤r(B)，便有 r(A)＝r(B)． 设? a11 ? M ? ? ai1 ? A=? M ? a j1 ? ? M ?a ? m1a12 M ai 2 M a j2 M am 2L a1n ? M ? ? L ain ? ? M ?, L a jn ? ? M ? ? L amn ?不失一般性，假定将 A 的第 j 行乘以数λ加到第 i 行后成为 B，? a11 ? M ? ? ai1 + λ a j1 ? B=? M ? a j1 ? M ? ? a m1 ?L a12 a1n ? ? M M ? ai 2 + λ a j 2 L ain + λ a jn ? ? M M ?, L a j2 a jn ? ? M M ? ? L am 2 amn ?设 M r +1 是 B 的一个 r+1 阶子式，这时有 3 种情况： ① M r +1 中不含 B 的第 i 行，则由于 A 与 B 除第 i 行外彼此相同， M r +1 也是 A 的一 故 个 r+1 阶子式，因 r(A)=r，故 M r +1 =０； ② M r +1 含 B 的第 i 行且含第 j 行，由行列式的性质， M r +1 的值等于 A 中含第 i 行和 第 j 行相应元素对应的子式，故 M r +1 =０； ③ M r +1 只含 B 的第 i 行而不含第 j 行，则由行列式的性质有M r +1 ＝ N r +1 +λ Pr +1 ，负号， M r +1 = 故 其中 N r +1 和 Pr +1 是 A 的 r+1 阶子式或与 A 的 r+1 阶子式相差一个正、０． 由于 M r +1 只有上述 3 种情况， B 的任意一个 r＋１阶子式都为零， 故 因此 r(B)≤r=r(A). 另一方面，我们将 A 看做是由 B 经第 j 行乘以(-λ)加到第 i 行得来的，由以上证明应 有 r(A)≤r(B),故 r(A)=r(B). 据定理，可以用初等变换将矩阵化为较简单的形式，从而可直接看出矩阵的秩．例如 限定只施行初等行变换总可以把矩阵变为一种“行阶梯矩阵” ，其中不全为零的行的行数就 是矩阵的秩．下面举例说明． 例 1 求矩阵? 1 ?2 ?1 ? ?2 4 2 A=? ? 2 ?1 0 ? ? 3 3 3的秩． 解0 2? ? 6 ?6 ? 2 3? ? 3 4?A? 1 ?2 ?1 ?0 0 0 ? ?0 3 2 ? ?0 9 6 ? 1 ?2 ?1 ? ?0 3 2 ?0 9 6 ? ?0 0 00 2? 6 ?2 ? ? 2 ?1 ? ? 3 ?2 ? 0 2? ? 2 ?1 ? 3 ?2 ? ? 6 ?2 ? ? 1 ?2 ?1 0 2 ? ? ? ? 0 3 2 2 ?1 ? ? 0 0 0 ?3 1 ? ? ? ? 0 0 0 6 ?2 ? ? 1 ?2 ?1 0 2 ? ? 0 3 2 2 ?1 ? ? ? ? 0 0 0 ?3 1 ? ? ? ?0 0 0 0 0 ?上式中最后一个矩阵称为行阶梯矩阵，它具有的特征是：每个“阶梯”上只有一行，任 一行的第一个非零元素的左方和下方的元素均为零．从行阶梯矩阵中容易看到：行阶梯矩阵中有 3 行不全为零，我们总可以找到一个三阶的上三角形行列式为它的子式不等于零，如1 ?2 0 0 3 00 2 = ?9, ， ?3而所有四阶子式都为零， 所以 r(A)＝３， 即矩阵 A 的秩等于行阶梯矩阵中不全为零的行的行数． 若对行阶梯矩阵再施行初等行变换，则可将其进一步化为更简单的形式：行阶梯矩阵?1 ? ?0 ? ? ?0 ? ?0 ? ? ?1 ? ?0 ? ? ?0 ? ?0 ??2 ?1 0 2 2 1 3 3 0 0 0 1 0 0 1 3 2 3 0 0 0 0 0 1 02 ? ? 1? ? 3? 1? ? ? 3? ? 0 ?16 ? 9 ? ? 1? 0 ? 9? ? 1? 1 ? 9? ? 0 0 ?上式中最后一个矩阵具有下述特征：非零行的第一个非零元素为 1，且含有这些“1”的列 的其他元素都为零，这个矩阵称为矩阵 A 的行最简形阶梯矩阵，简称行最简形． m×n 矩阵 A 经过初等行变换总可以化为行阶梯矩阵和行最简形，若再经过初等列变换，还 可以化为如下的形式：?1 ? ?0 ?M ? I = ?0 ?0 ? ?M ?0 ?0 L 0 L 0? ? 1 L 0 L 0? M M M? ? 0 L 1 L 0? . 0 L 0 L 0? ? M M M? ? 0 L 0 L 0?矩阵 I 称为 A 的标准形， 其特点是： 的左上角有一个 r 阶单位阵(r(A)＝r)， I 其他元素都为 0． 由此可以看出：所有 m×n 阶矩阵，若秩相等，则它们有相同的标准形． 定义 5.4 若矩阵 A 经过有限次初等变换化为矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记为 A～B． 等价是矩阵间的一种关系，满足： (1) 自反性：A～A； (2) 对称性：若 A～B，则 B～A； (3) 传递性：若 A～B，B～C，则 A～C． 由定理 5 ? 2，若 A～B，则 r(A)＝r(B)． 三、 初等矩阵 对矩阵实施初等变换，可用矩阵的运算来表示． 定义 5.5 由单位阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵． 3 种初等行变换对应 3 种形式的初等矩阵． (1) ri ? rj ，得到?1 ? ? O ? 1 ? 0 L L L ? ? M 1 ? E（i，j）＝ ? M O ? M 1 ? 1 L L L ? ? ? ? ? ??1 M MM0? ? ? ? ? ? ? ? ? ←第 i 行 ? ? ? ? 1 ? O ? ? 1?←第 j 行．(2) ri ×λ（λ≠０） ，得到?1 ? ? ? ? O ? ? ? 1 ? ? E（i（λ） ? ）= λ ? ←第 i 行 ? ? 1 ? ? O ? ? ? ? 1? ?．(3) ri + λ rj ，得到?1 ? ? ? ? O ? ? ? 1 L λ ? ? E（i，j（λ） ? ）= λ M ? ←第 i 行←第 j 行． ? ? 1 ? ? O ? ? ? ? 1? ?同样 3 种初等列变换 ci ? c j , ci × λ ，ci×λ和 ci＋λcj 也分别对应着 E(i，j)，E(i(λ）， ） E(j,i(λ）． ） 可以直接验证(证明留给读者)得到. 定理 5.3 设 A 是一个 m×n 矩阵，则对 A 实施一次初等行变换，相当于用相应的 m 阶初等 矩阵左乘 A；对 A 实施一次初等列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A． 由 逆 矩 阵 的 定 义 及 定 理 5.3 ， 知 初 等 矩 阵 都 是 可 逆 的 ， 且1 E (i, j ) ?1 = E (i, j ), E (i (λ )) ?1 = E (i )), E (i, j (λ )) ?1 = E (i, j (?λ )). 所以初等矩阵的逆矩阵仍然λ为初等矩阵． 定理 5.4 设 A 为可逆阵，则存在有限个初等矩阵 P１，Ｐ２，…，Ｐl,使 A=Ｐ１Ｐ２…Ｐl． 证 A 是满秩矩阵， A 的标准形为单位阵， A～E， E 经过有限次初等变换可变成 A， 则 即 故 也就是存在有限个初等矩阵 P１，Ｐ２，…，Ｐl，使p1 p2 L pr Epr +1 L pl = A, ,即 A = p1 p2 L pl . 推论 m×n 阶矩阵 A～Ｂ的充分必要条件是：存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q， 使 PAQ＝Ｂ． 请读者自己证明． 由定理 5.4，下面给出一种求逆阵的方法． 当｜A｜≠0 时，由定理 5.4 有 A = p1 p2 L pl . ，所以有pl ?1 p ?1l ?1 L p ?12 p ?11 A = E , ,及（５．１）pl ?1 p ?1l ?1 L p ?12 p ?11 E = A?1.（５．２）(5.1)式表明 A 经过一系列初等行变换可变成 E， (5.2)式表明 E 经同样的初等行变换就变成了A?1 ，即 pl ?1 p ?1l ?1 L p ?12 p ?11 ( A, E ) = ( E , A?1 ),所以我们得到用初等变换求逆阵的方法是：作 n×2n 矩阵(A E)，当用初等行变换(仅用行变 换)把左边的矩阵 A 化为 E 的同时，右边的矩阵便化为 A?1 ，即 (Ａ Ｅ）初等行变换 (E A－１). 例2 设? 1 2 3? ? ? A = ? 2 2 1? , ? 3 4 3? ? ??1 求A ．解?1 2 3 1 0 0? ? ? ( A E) = ? 2 2 1 0 1 0 ? ?3 4 3 0 0 1? ? ??1 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?0 ?所以2 ?2 ?2 2 ?2 0 2 ?2 0 0 ?2 0 0 1 00 0? ? ?5 ?2 1 0 ? ? ?6 ?3 0 1 ? 3 1 0 0? ? ?5 ?2 1 0 ? ? ?1 ?1 ?1 1 ? 0 ?2 ?3 3 ? ? 0 3 6 ?5 ? ? ?1 ?1 ?1 1 ? 0 1 3 ?2 ? ? 0 3 6 ?5 ? ? ?1 ?1 ?1 1 ? 0 1 3 ?2 ? ? 3 5? 0 ? ?3 2 2? ? 1 1 1 ?1 ? 3 1? 1 ? 3 A?1 = ? ? ? 2 ? 1 ??2 ? ? 5? ?3 . 2? ? 1 ?1 ? 3对于矩阵方程 AX＝Ｂ，若 A 为 n 阶可逆矩阵，也可以用初等变换求解，因 A 可逆，A = p1 p2 L pl . 则 A?1 = pl ?1 p ?1l ?1 L p ?12 p ?11 ，其中 Pi ?1 (i=1,2,…，l）也是初等矩阵，于是pl ?1 p ?1l ?1 L p ?11 A = E , （５．３） pl ?1 p ?1l ?1 L p ?11 B = A?1 B. （５．４）上面两式说明：一系列初等行变换将 A 化为 E 的同时，就将 B 化为了 A?1 B ( = X ) ，即pl ?1 p ?1l ?1 L p ?11 ( A B ) = ( EA?1 B ), ， 这样， 得到矩阵 AX＝Ｂ的解法是： 先作一个矩阵(A B)，?1 通过一系列初等行变换将左边的 A 化为 E，同时右边的矩阵就化为了 A B = X ，记作(A B)初等行变换(EA?1 B )．例 3 求解矩阵方程 AX＝Ｘ＋Ａ，其中 Ｘ Ａ? 2 2 0? ? ? A = ? 2 1 3 ?. ?0 1 0? ? ?解 矩阵方程变形为 (A - E) X＝Ａ，｜Ａ－Ｅ｜＝１≠０， Ａ Ａ Ｅ?1 ? ( A E A) = ? 2 ?0 ? ?1 2 0 ? r2 ?r3 ? 2 0 3 ? 0 1 ?1 ?2 00 3 2 2 2 1 0 11 ?12 2 0? ? 2 1 3? ? 0 1 0? 0? ? 3? ? 0??1 2 0 2 2 0? r3 + 4r2 ? ? ? 0 0 ?1 ?2 1 3 ??1 2 0 2 2 ? r2 ?r3 ? 0 1 0 2 0 ? 0 0 ?1 ?2 1 ? ? 1 0 0 ?2 2 ? r1 ? 2r2 ? 0 1 0 2 0 ? 0 0 1 2 ?1 ?所以0? ? ?3 ? ? ?3 ? 6? ? ?3 ? , ? ?3 ?? ?2 2 6 ? ? ? X = ? 2 0 ?3 ? . ? 2 ?1 ?3 ? ? ?第六节典型例题例1已知矩阵 A 满足关系式 A + 2 A ? 3 E = 0 ，求 ( A + 4 E ) ?1 .2解设法分解出因子 A + 4 E ，由 A + 2 A ? 3 E = 0 ，有(A+4E)(A-2E)+8E-3E＝0 ?2(A+4E)(A-2E)＝-5E， 即2 1 ( A + 4 E )( E ? A) = E , 5 5得( A + 4 E ) ?1 =2 1 E ? A. 5 5?1? ? ? 100 例 2 已知矩阵 A = PQ ,其中 p = 2 ， Q ＝(2，－1，2),求矩阵 A, A, A . ? ? ?1? ? ? ?1? ? 2 ?1 2 ? ? ? ? ? A = PQ = ? 2 ? (2，－1，2)= ? 4 ?2 4 ? , ?1? ? 2 ?1 2 ? ? ? ? ? ?1? ? ? QP =(2，－1，2) ? 2 ? =2 ?1? ? ?A2 = ( PQ)( PQ ) = P (QP )Q = 2 PQ = 2 A A3 = A2 A = 2 A A = 2 A2 = 22 A.一般地，设 Ak ?1 = 2k ? 2 A ,则.解Ak = Ak ?1 A = 2k ? 2 A A = 2k ?1 A.根据数学归纳法，有 Ak = 2k ?1 A ，于是A100? 2 ?1 2 ? ? ? = 2 A = 2 ? 4 ?2 4 ? . ? 2 ?1 2 ? ? ?99 99? 1 ?1 0 0 ? ?2 ? ? ? 0 1 ?1 0 ? 0 例3 设B =? ,C = ? ? 0 0 1 ?1 ? ?0 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ?01 3 4? ? 2 1 3? , 0 2 1? ? 0 0 2?且矩阵 A 适合方程 AC T ( E ? BC ?1 )T ? 2 E = O ，求 A. 解先将方程化简，得A[( E ? BC ?1 )C ]T ? 2 E = O A(C ? B )T = 2 EA = 2[(C ? B )T ]?1 ?1 ? 2 2? ?3 ? ?4 0 0 0? ?1 0 0 ? ? 1 0 0? ?2 1 0 = 2? ? 1 ?2 1 2 1 0? ? ? 3 2 1? ? 0 1 ?2 ? 2 0 0 0? ? ? ? ?4 2 0 0 ? . = ? 2 ?4 2 0 ? ? ? ? 0 2 ?4 2 ??10? ? 0? 0? ? 1?? 1 1 ?1 ? ? ? 例 4 A = ?1 1 1 ? , 又 A? X = A?1 + 2 X , ，求 X. ? ? 1 ?1 1 ? ? ?分析如果由 A 求出 A*， A?1 ，再代入方程求解会很麻烦， 注意到 A， A?1 ，A *的关系， 方程两边同时左乘 A. 解 方程两边同时左乘 A，有 AA*X=E+2AX, (AA*-2A)X=E,即(|A|E-2A)X=E. 所以 X = ( A E ? 2 A) ，且|A|=4，所以?1? 2 ?2 2 ? ?1 1 0? ? ? 1? ? X = (4 E ? 2 A) = ? 2 2 ?2 ? = ? 0 1 1 ? . ? ?2 2 2 ? 4 ? 1 0 1 ? ? ? ? ??1例5设 A = ( aij ) n×n 为 n 阶非零方阵，且对任意元素 aij 都有 aij = Aij .证明 A 可逆.分析 证 A 可逆，可证 A ≠ 0, |A|与代数余子式有关系，联系到行列式按一行（列）的展开式. 证 因为 A ≠ 0, A 中至少有一个元素不为零，设为 aij ，则|A|按第 i 行展开，得A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + aij Aij + L + ain Ain .又因为aij = Aij ，所以A = ai12 + ai 2 2 + L + aij 2 + L + ain 2 & 0, ，由于 A ≠ 0 ，所以 A 可逆.例 6 证已知 E+AB 可逆，证明 E+BA 可逆，且 ( E + BA ) = E 因为-1B( E + AB )-1 A( E + BA)[ E ? B ( E + AB )?1 A] = E ? B ( E + AB ) ?1 A + BA ? BAB ( E + AB ) ?1 A = E + BA ? B ( E + AB )( E + AB )?1 A =E所以 E+BA 可逆，且.( E + BA) ?1 = E ? B ( E + AB ) ?1 A.例 7 讨论 n 阶方阵 A 的秩?a b L b? ? ? ? b a L b ? (n ≥ 2). A= ?M M M? ? ? ?b b L a?解 对矩阵 A 作初等变换? a + (n ? 1)b b L b ? ? ? A i = 2, 3,L , n ? a + (n ? 1)b a L b ? ? M M M? ? ? ? a + (n ? 1)b b L a ? 1 L 1 ? ? a + (n ? 1)b ? ? 0 a ?b L 0 ? ? j = 2, 3,L , n ? M M M ? ? ? 0 0 L a ?b? ?所以当 a≠b， a≠-(n-1)b 时， r(A)=n； a=b=0 时， 当 r(A)=0， 此时 A=0； a=b≠0 时， 当 r(A)=1； 当 a=-(n-1)b 时，r(A)=n-1. 注 只求矩阵 A 的秩时，既可作行变换，也可以作列变换.它们都不会改变矩阵的秩. 例 8 设方阵 B 为满秩矩阵，证明 r(BC)=r(C). 证 因方阵 B 为满秩矩阵，则 B 可以表示为有限个初等矩阵 p1 , p1 ,L , pl 的乘积，即B = p1 , p1 ,L , pl ，从而 BC = p1 , p1 ,L , pl C .此式说明 BC 是由 C 经若干次初等行变换（用初等矩阵左乘 C） 所得，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以 r(BC)=r(C). 例 9 设 C=A+B，其中 A 是对称阵，B 为反对称阵，证明下列 3 个条件是等价的： （1） CTC=CCT； （2） AB=BA； （3） AB 是反对称阵. 证（1） ? ?（2）. 因 C = A + B = A ? B ，由 C C = CC ，得T T T T T(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)， 由此可得 AB=BA. （2） ? ?（3）. 由 ( AB )T = BT AT = ? BA = ? AB ，即得 AB 是反对称阵. （3） ? ?（1）.C T C = ( AT + BT )( A + B ) = ( A ? B )( A + B ) = A2 + AB ? BA ? B 2 = A2 + BA ? AB ? B 2 = ( A + B )( A ? B ) = C T C第三章向量组的线性相关性 n 维向量第一节 一， n 维向量的概念 定义 1．1n 个有顺序的数 a1 , a2 ,L , an 所组成的数组α = (a1 , a2 ,L , an )称为 n 维向量，数 a j 称为向量 α 的第 j 个分量(或坐标)．分量是实数的向量称为实向量，分量是 复数的向量称为复向量．本章只讨论实向量． 可以用 n 个数组成的有序数组(a１， 如一个含 n 个未知数的线性方程 a1 x1 + a2 x2 + L + an xn = 0 ，(a1 , a2 ,L , an ) 简单表示，这就是一个 n 维向量．在解析几何中，以坐标原点 O 为起点，以点 P(x，y，z)为终点的向量ＯＰ＝｛x，y，z｝ ，就是一 个三维向量．为了区分点(x,y,z)与向量｛x,y,z｝ ，用了两种不同的括弧表示，而线性代数中向量常用圆 括弧．n 维向量可以说是几何中三维向量的推广，不过三维向量可以用有向线段直观地体现出来，而 n 维向量(n＞3)就没有直观的几何意义了． 向量可以写成一行α = (a1 , a2 ,L , an ) ，也可以写成一列? a1 ? ? ? a α = ? 2 ?. ?M ? ? ? ? an ?为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量，两种向量的本质是一致的，其差别仅在于写法不 同．为了沟通向量与矩阵的联系，行向量亦可看做行矩阵，列向量可看做列矩阵． 设 n 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ， = (b1 , b2 ,L , bn ) 则当且仅当它们对应的分量都相等， ai = bi β 即（i=1,2,…，n）时，称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．分量是零的向量，称为零向量，记为 0＝（０，０，…，０） ． 维数不同的零向量是不相等的． 向量 (a1 , a2 ,L , an ) 称为 α = ( a1 , a2 ,L , an ) 的负向量，记为- α ． 2 定义 1． ． 设 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ， = (b1 , b2 ,L , bn ) ， β 那么， 向量 ( a1 + b1 , a2 + b2 ,L , an + bn )称为向量 α 与 β 的和，记为 α + β ，即α + β ＝ (a1 + b1 , a2 + b2 ,L , an + bn ) ．定义向量 α 与 β 的差为α - β = α +（- β ）＝ (a1 ? b1 , a2 ? b2 ,L , an ? bn ) ．定义 1．3 设 α = ( a1 , a2 ,L , an ) 为 n 维向量，λ为实数，向量 (λ a1 , λ a2 ,L , λ an ) 称为向量 α 与数λ的乘积，记为λ α 或 α λ，即λ α = αλ = (λ a1 , λ a2 ,L , λ an ) ．向量相加及向量的数乘两种运算合起来，统称为向量的线性运算，可以验证，它满足下列运 算规律(其中α，β，γ都是 n 维向量，λ，μ是实数)： （i）α + β = β + α;（ii） (α + β ) + γ = α + ( β + γ ); （ii）α + 0 = α;（iv） α + ( ?α ) = 0; （v） 1 α = α; （vi） λ ( ? α ) = (λ? )α; （vii） λ (α + β ) = λ α + λ β ; （viii） (λ + ? )α = λ α + ? α. 二、 n 维向量空间 定义 1． ４ 设 V 是非空的 n 维向量的集合， V 对向量的加法及向量的数乘这两种运算封闭， 若 则称 V 是一个向量空间． 所谓对运算“封闭”是指，对任何 α ∈Ｖ， β ∈Ｖ，有 α + β ∈V；对任何 α ∈V，λ∈R，有 λα∈V．例 1 所有 n 维向量的全体所组成的集合 Rn是一个向量空间，它是 R2和R3的推广．例 2 集 合 V1 = {(0, x2 ,L , xn ) M x2 ,L , xn ∈ R}是一个 向量空间 ．因为对 任意α = (0, x2 ,L , xn )， β = (0, y2 ,L , yn ) ∈V１，有 α + β ＝ (0, x2 + y2 ,L , xn + yn )∈V１，对数λ∈R，有 λ α = (0, λ x2 ,L , λ xn ) ∈V１． 例 3 集合 V2 = {(1, x2 ,L , xn )M x2 ,L , xn ∈ R} 不是向量空间．因为对任意 α = (1, x2 ,L , xn )∈V２，而 2α = (2, 2 x2 ,L , 2 xn ) ? V2 . ． 定义１．５ 设有 m 个 n 维向量 α1 , α2 ,L , αm ，对于任给的实数 c1 , c1 ,L cm , 由向量线性运算构 成的式子c1α1 + c2 α2 + L + cm αm称为向量 α1 , α2 ,L , αm 的一个线性组合． 对于 n 维向量 α ，若存在实数λ1 , λ2 ,L , λm ，使得α = λ1α1 + λ2 α2 + L + λm αm ,则称向量 α 能由 α1 , α2 ,L , αm 线性表示(或 α 是 α1 , α2 ,L , αm 的线性组合)． 例4 设 V＝｛x＝ λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m ｜λ１，λ２，…，λm∈R｝ ， 证明 V 是向量空间． 证 设α，β∈V，则存在λi，μi（i＝１，２，…，m） ，使得α = λ1α1 + λ2 α2 + L + λm αm , ，β = ?1α1 + ?2α2 + L + ?m αm , ，于是 α＋β＝ (λ1 + ?1 )α1 + (λ2 + ?2 )α 2 + L + (λm + ?m )α m ∈V， 又对任意实数 k 有kα = (k λ1 )α1 + (k λ2 )α2 + L + (k λm )αm , ∈V，因此 V 是向量空间．定义 1．6 设有 n 维向量 α1 , α2 ,L , αm ，它们的一切线性组合所成的集合V＝｛x＝ λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m ｜λ１，…，λm∈Ｒ｝,称为由向量 α1 , α2 ,L , αm 所生成的向量空间，记为 L( α1 , α2 ,L , αm ） ，即 ． L（ α1 , α2 ,L , αm ）＝｛x＝ λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m ｜λ１，…，λm∈Ｒ｝ 例6 设有三维向量 量空间 V１＝｛ x = λ1α1 + λ2 α2 ｜λ１，λ２∈Ｒ｝ ， V２＝｛ x = λ1α1 + λ2 α2 + λ3α3 ｜λ１，λ２，λ３∈Ｒ｝ ， V３＝｛ x = λ1α1 ｜λ１∈Ｒ｝. 验证： (1) V１＝Ｖ２； Ｖ 证 有 （２） Ｖ３≠Ｖ１．α1 ＝（１，０，０） α2 ＝（０，１，０） α3 ＝（１，１，０）及向 ， ，(1) 对? ?x ∈V１，存在λ１，λ２∈Ｒ，使得 x = λ1α1 + λ2 α2 ，取λ３＝０，则x = λ1α1 + λ2 α2 + λ3α3 ∈V２，所以 V１? ? Ｖ２．显然 α3 = α1 + α2 ，对? x∈V２，存在λ１，λ２，λ３∈R，使得x = λ1α1 + λ2 α2 + λ3α3 ，有 x = λ1α1 + λ2 α2 + λ3 (α1 + α2 ) = (λ1 + λ3 )α1 + (λ2 + λ3 )α2 ∈ V1 ，所以Ｖ２?Ｖ１．因此Ｖ１＝Ｖ２． Ｖ Ｖ （２） 设有 x = λ1α1 + λ2 α2 ∈V１，其中当λ２≠0 时，有 x∈Ｖ３．否则存在λ∈R， 使 x＝λα１，于是（λ１－λ）α１＋λ２α２＝０，即 （λ１－λ，λ２，０）＝（０，０，０） ， 从而λ２＝０，矛盾．由于 x∈Ｖ１，x∈Ｖ３，故Ｖ１≠Ｖ３． 如果把三维向量看做空间点的向径，那么例 5 中的Ｖ１，Ｖ２就是 xOy 平面上的向径的 全体所成的集合，而 V３是 x 轴上点的向径全体所成的集合．显然 V3 ? V1 ? R3．定义 1．７设有向量空间Ｖ１，Ｖ２，若Ｖ１?Ｖ２，则称Ｖ１是Ｖ２的子空间． Ｖ Ｖ Ｖ ? Ｖ Ｖ 如例 5 中，Ｖ３是Ｖ１的子空间，Ｖ３，Ｖ１都是 R 的子空间．又如任何 n 维向量所构 Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ 成的向量空间都是 Rn 3的子空间． 特别若 α1 , α2 ,L , αm 是 n 维向量， L α1 , α2 ,L , αm ） R 则 （ 是n的子空间． 显然，若 V 是向量空间，0 是 V 中的零向量，则 V 与｛０｝都是 V 的子空间，这两个子 空间称为向量空间 V 的平凡子空间，V 的其他子空间称为非平凡子空间． 现在再回到例 5，由上面对例 5 的几何解释可知，xOy 平面上点的向径的全体所构成的向 量空间可以由α１，α２通过线性运算生成，也可由α１，α２，α３通过线性运算生成，但却 不能由α１通过线性运算生成．现在要问：一般的向量空间能否由其中某些向量线性生成?如果能由某些向量线性生成，那么生成这个向量空间，最少需要几个向量?如果上述问题有肯定的答案， 那么只要把握用以生成向量空间的最少的几个向量，就把握了向量空间．要回