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数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)
考点 4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、 分组求合法等）1． （2015 江苏苏州市高三上调考）已知数列{ an}共有 2k 项（2≤k 且 k∈N ） ，数列{ an }*的前 n 项的和为 Sn ，满足 a1 =2， an ?1 =（p－1） Sn +2（n=1，2，3，…，2n－1） ，其中常 数
p＞1 （1）求证：数列{ an }是等比数列； （2）若 p= 2 2 k ?1 ，数列{ bn }满足 bn ? 的通项公式 （3）对于（2）中的数列{ bn }，记 cn ?| bn－ | ，求数列{ cn }的前 2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用． 【解】 （1）证明：当 n=1 时， a2 =2p，则21 log 2 （ a1a2 ?an ） （n=1，2，…，2n） ，求数列{ bn } n3 2a2 ? p， a1当 2≤n 时， an ?1 ? （p－ 1）Sn ? 2 ， an ? （p－ 1）Sn-1 ? 2 ， ∴ an ?1－an ? （p－ 1）an ，即 an ?1 ? pan ， ∴an ?1 ? p， an故数列{ an }是等比数列． （2）由（1） ，得 an ? 2 pn?1 （n=1，2，…，2n） ， ∴ a1a2 ?an ? 2n p1?2?3??? n ?1 ? 2n p( n ?1) n 2? 2n 2 2 k ?12?( n ?1) n 2?2n?( n ?1) n 2 k ?1，1 log（ ） 2 a1a2 ? an n 1 (n ? 1)n ) = (n ? n 2k ? 1 (n ? 1) ?1 ， = （n=1，2，…，2n） ， 2k ? 1 ( n ? 1) ?1， 即数列{bn}的通项公式为 bn ? （n=1，2，…，2n） ． 2k ? 1 bn ?3 3 1 | ，设 bn ? ，解得 n≤ k ? ， 2 2 2 3 3 又 n 为正整数，于是：当 n≤k 时， bn＜ ；当 n≥k+1 时， bn＞ ， 2 2（3） cn ?| bn ? ∴数列{ cn }的前 2k 项的和：T2 k ? b1 ?3 3 3 3 ? b2 ? ? ... ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? 2 2 2 23 3 3 3 3 3 ? ( ? b1 ) ? ( ? b2 ) ? ... ? ( ? bk ) ? (bk ?1 ? ) ? (bk ? 2 ? ) ? ... ? (b2 k ? ) 2 2 2 2 2 2? （bk ?1 ? bk ?2 ??? b2k）－（b1 ? b2 ??? bk）? 1 1 ? k ? (k ? 1) ? ... ? (2k ? 1)? ? ?1 ? 2 ? ... ? (k ? 1) ? 2k ? 1 2k ? 1?k2 ． 2k ? 1}的前 n 项和记为 Sn ， 且 Sn ? n2 ? 3n ? 4 ．2． （2015 江苏高考冲刺压轴卷 （三） ） 设数列{ an（1）求数列{ an }的通项公式； （2）设 bn ?an 2 5 ，记数列{ bn }的前 n 项和记为 Tn ， ，求证： ≤Tn＜ . n 3 3 6【考点】错位相减法求和 【解】 （1）当 n=1 时，a1 ? 2 ，当 n≥2 时，an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 4 ，故 an ? ?1 ? 2, n ? ， 2 ?2n ?4, n≥? 2 ,n ?1 an ? 2 2 0 2n ? 4 ? 3 （2） bn ? n ? ? ，其中 T1 ? ，当 n≥2 时， Tn ? ? 2 ? ... ? ①， 3 3 3n 3 3 ? 2n ? 4 ,n ? 2 ? ? 3n1 2 0 2n ? 4 2 2 2 2 2n ? 4 Tn ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ②，∴①－②得， Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ， 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 2n ? 1 2 5 (n≥2) ，由于 bn≥0 ，∴ ≤Tn＜ ． ∴ Tn ? ? n 6 2?3 3 63． （ 2015f ( x )?江苏高考冲刺压轴卷（三） ） 已 知 数 列 ?an ? 中 ， a1 ? 1 ， 二 次 函 数1 1 an ? x 2 ? ( ? 2n ? an ?1 ?)x 的对称轴为 x= ， 2 2n （1）试证明 2 an 是等差数列，并求 ?an ? 的通项公式；??（2）设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，试求使得 Sn＜3 成立的 n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】 （1） ∵二次函数 f ( x) ?1 1 an ? x 2 ? (2? n ? an ?1 ) ? x 的对称轴为 x= ， 2 22? n ? an ?1 1 1 1 ? ∴ an ≠0， ，整理得 an ?1 ? an ? n ， 1 2 2 ? an 2 2 2 ?左右两边同时乘以 2 n ?1 ，得 2n?1an?1 ? 2n an ? 2 ，即 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 (常数)，n ∴ 2 an 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，??∴ 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ，2n n ? n ?1 ． n 2 2 1 2 3 n ?1 n （2）∵ Sn ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 ， ① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n? 1 n Sn ? ? ? ... ? n ? 1 ? n， ② 2 21 2 2 2 3 2 2∴ an ?1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n ， ①-②得： Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ... ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 整理得 S n ? 4 ? n ?1 ． 2 n?3 n?2 n ?1 ∵ Sn ?1 ? Sn ? 4 ? n ? (4 ? n ?1 ) ? n ＞0 ， 2 2 2∴ 数列{ Sn }是单调递增数列． ∴ 要使 Sn＜3 成立，即使 4 ? ∴ n=1，2，3．n?2 ＜3 ，整理得 n+2& 2 n ?1 ， 2 n ?14． （2015 江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{ an且 S n＝(}的前 n 项之和为 Sn ，an ? k 2 ) 对 n∈ N* 成立． 2（1）求常数 k 的值以及数列{ an }的通项公式；? ，恰成等比数列，其中 k1 ＝2，, k3 ＝ （2）设数列{ an }中的部分项 ak1，ak2，ak3， ?akn ，14，求 a1k1＋a2 k2＋?＋an kn 的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】 （1）法一：条件化为 2 Sn＝an＋k 对 n∈ N * 成立． 设等差数列公差为 d，则 2 na1 ?n(n ? 1)d ＝a1＋(n－ 1)d＋k ． 2? 2 a1 ? a1 ? k ① ? ? 分别令 n＝1，2，3 得： ? 2 2a1 ? d ? a1 ? d ? k ② ? ? ?2 3a1 ? 3d ? a1 ? 2d ? k ③由 ① ＋ ③ － 2? ② 得 ，a1 ? 3a1 ? 3d ? 2 2a1 ? d ． 两 边 平 方 得 ，4a1＋d＝2 3a12 ? 3a1d ．两边再平方得， 4a12－4a1d＋d 2＝ 0 ．解得 d＝2 a1 ． 代入②得， 4 a1＝3a1＋k ，④ 由④－①得， a1＝ a1 ．所以 a1 ＝0，或 a1 ＝1． 又当 a1 ＝0 时，d＝0 不合题意．所以 a1 ＝1，d＝2． 代入①得 k＝1． 而当 k＝1， a1 ＝1，d＝2 时， Sn＝n2，an＝2n－ 1 ，等式 S n＝( 所以 k＝1， an＝2n－ 1． 法二：设等差数列的首项为 a1 ，公差为 d，an ? k 2 ) 对 n∈ N* 成立． 2n(n ? 1) d d d＝ n 2＋(a1－ )n ， an＝a1＋(n－ ． 1)d＝dn＋(a1－d )． 2 2 2 a ?k 2 d d 1 ) 得， n 2＋(a1－ )n＝ [dn＋(a1＋k－d )]2 ， 代入 S n＝( n 2 2 2 4则 S n＝na1＋ 即 2dn ＋(4a1－2d )n＝d n ＋2d (a1＋k－d )n＋(a1＋k－d ) ． 因为上面等式对一切正整数 n 都成立，所以由多项式恒等可得，2 2 2 2? 2d ? d 2 ? ?4a1 ? 2d ? 2d (a1 ? k ? d ) ? a1 ? k ? d ? 0 ??d ? 2 ? 因为 d≠0，所以解得， ? a1 ? 1 所以常数 k＝1，通项公式 an＝2n－ 1． ?k ?1 ?（2）设 cn＝akn ，则数列{ cn }为等比数列，且 c1＝ak1＝a2＝ 3，c3＝ak3＝a14＝27 ． 故等比数列{ cn }的公比 q 满足 q ＝2c3 ＝9 ． c1又 cn ＞0，所以 q＝3．所以 cn＝c1qn－1＝ 3? 3n－1＝3n ． 又 cn＝akn＝2kn－ 1 ，所以 2kn－ 1＝3n ．2n ? 1 n 2n ? 1 ?3 ＋ ． 2 2 1 1 1 3 2 3 5 3 5 所以 a1k1＋a2 k2＋?＋an kn ? ( ? 3 ? ) ? ( ? 3 ? ) ? ( ? 3 ? ) 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 n 2n ? 1 1 ?? ? ( ?3 ? ) ? [1? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ] 2 2 2 1 1 1 ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? [1? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ] ? n 2 ． 2 2 2由此可得 k n＝ ? 3 ＋ ．所以 an kn＝n1 21 2法一：令 S ? 1? 31 ? 3? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ?1) ? 3n ，2 3 n n?1 则 3S ? 1? 3 +3? 3 +?+(2n ? 3) ? 3 +(2n ?1) ? 3 ，两式相减得: ?2S =3+2 ? 3 +2 ? 3 +?+2 ? 3 ? (2n ?1) ? 32 3 nn?1，? 1 1 ? 3(1 ? 3n ) ?3(1 ? 3n ) ? 3 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? S ? ? ?2 ? ? 3 ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? ? ? ? ? ? 2 2? 1? 3 ?1 ?? ? ?2(n ? 1) ? 3n ?1 ? 6 ? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 ,代入得 a1k1 +a2 k2 +?+an kn ? ? 21 1 2 (n ? 1) ? 3n ?1 ? n2 ? 3 n ?1 ? ? ?? ( n ? 1) ? 3 ? 3 ? ． ? 2n ? 2 ? 2法二：因为 (2k ?1) ? 3 ? [(k ? 1) ? 2] ? 3k k ?1? (k ? 2) ? 3k ? (k ? 1) ? 3k ?1 ?(k ? 2) ? 3k ．所以 S ? [0 ? 32 ? (?1) ? 31 ] ? [1? 33 ? 0 ? 32 ] ? [2 ? 34 ?1? 33 ] ?? ? [(n ?1) ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n ] ＝(n－ 1) ? 3n＋1＋3 ．代入得 a1k1+ a2k2 + ?+ an kn1 1 2 (n ? 1) ? 3n ?1 ? n2 ? 3 n ?1 ? ? ?? ( n ? 1) ? 3 ? 3 ? . ? 2n ? 2 ? 25．(江苏省南京市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷)已知 ?an ? 是等差数列，其前 n 项的和为 Sn ， ?bn ? 是等比数列，且 a1 ? b1 ? 2 ， a4 ? b4 ? 21 ， S4 ? b4 ? 30 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式； (2)记 cn ? anbn , n ? N* ，求数列 ?cn ? 的前 n 项和. 【考点】数列的求和，数列递推式. 【解】(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d，等比数列 ?bn ? 的公比为 q. 由 a1 ? b1 ? 2 ，得 a4 =2+3d， b4 ? 2q3 ， S4 ? 8 ? 6d? 2 ? 3d ? 2q3 ? 21 ?d ? 1 由条件 a4 ? b4 ? 21 ， S4 ? b4 ? 30 ，得方程组 ? 解得 ? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 30所以 an ? n ? 1，bn ? 2n，n ? N* . (2)由题意知， cn ? (n ? 1) ? 2n . 记 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn . 则 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn = 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 22 3 n ?1? （n ? 1） ? 2n ，2Tn ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n ? （n ?1） ? 2n?1 ，所以 ?Tn =2 ? 2 ? (22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? 2n ) ? (n ? 1)2n?1 ，Tn ? n ? 2n?1 (n ? N* ) .6. （15 淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{ an }为等比数列，其中a1 =1，且 a2，a3 ? a5，a4 成等差数列．（1）求数列{ an }的通项公式： （2）设 bn ? （2n ） 1 ? an ，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【解】 （1）设在等比数列{ an }中，公比为 q， ∵ a1 ? 1 ，且 a2，a3 ? a5，a4 成等差数列， ∴ 2（a3 ? a5） ? a2 ? a4 ，∴ 2（q2 ? q4） ? q ? q3 ，1 1 n ?1 ，∴ an ? ( ) ． 2 2 1 n ?1 1 n1 （2n-1） ? an ? （2n-1） （ ? ） （2）∵ an ? ( ) ，∴ bn ? ， 2 2 1 1 2 1 n ?1 ∴ Tn ? 1?1 ? 3 ? ? 5 ? ( ) ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) ，① 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1? ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n ，② 2 2 2 2 2解得 q= ①－②，得： Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? ? (2n ? 1) ? ( ) n1 2?1 ?21 21 2? ?1 21 1 n 2n ? 3 ? 1 ? 2[1-( )n1 ]-(2n
1) （ ? ） =3 ? n ， 2 2 2 2n ? 3 ∴ Tn ? 6 ? n ?1 ． 27．等差数列 ?an ? 的通项公式为 an＝2n＋ 1 ，其前 n 项和为 Sn ，则数列 ? 和为________． 【答案】 75 【分析】 因为? Sn ? ? 的前 10 项的 ?n?Sn 10 ? 9 ?S ? ? n ? 2 ，所以 ? n ? 的前 10 项和为 10×3＋ ＝75. n 2 ?n?? n 2 , 当n为奇数时 8． 已知函数 f ? n ?＝? 2 ， 且 an＝ 则 a1＋ a2 ＋ a3 +? a ? f n? ?f＋ n (＋ 1 ) ， 0 0 1 ??n ,当n为偶数时等于________． 【答案】 100 【分析】 由题意，得 a1＋a2＋a3 +? ? a1002 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1012 ＝ 1 ? 2 ? 2 ＋3 ＋3 ? 4 ? 4 ＋5 ＋?＋99 ? 100 ? 100 ＋＝ ?(1＋2)＋(3＋2)＋? ? (99＋ 100)＋(101＋ 100)100)＋(2＋3＋?＋ 100＋ 101) ＝ ?(1＋2＋?＋99＋100 . ＝ ?50 ?101＋50 ?103＝?， ?， 9． 数列 a1＋2 ， 且其和为 240， 则 a1＋? ＋ ak＋?＋a10 ak＋2k ， a10＋20 共有十项，的值为________．【答案】 130 【分析】a1＋? ＋ ak＋?＋a10 ＝240－(2＋ ? ＋2k＋ ? ＋20)＝240－(2 ? 20) ? 10 2＝240－110＝130. 10．(2015? 泰州质检)已知数列 ?an ? 满足 a1＝ 1 ， an＋1 ? an＝2n (n ? N* ) ，则 S2016 ? ________. 【答案】 【分析】3 ? 21008 ? 3a1＝ 1 ， a2＝a ?a 2n?1 2 ? 2 ，又 n?2 n?1 ? n ? 2 . a1 an?1 ? an 2∴an ? 2 ＝2.∴ a1 ， a3 ， a5 ， ? 成等比数列； a2 ， a4 ， a6 ， ? 成等比数列， an∴ S2016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋?＋a2015＋a2016 ＝ (a1＋a3＋a5＋?＋a2015 )＋(a2＋a4＋a6＋?＋a2016 ) ＝1 ?
? 21008 ) ? ? 3 ? 21008 ? 3 . 1? 2 1? 21 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 9 1 ?， ? ? ? ? ? ， ?， ， ? ? ， 若 bn＝ ， 3 4 4 4 10 10 10 10 an an ?111． 已知数列 ?an ? ： ， ?那么数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 为________． 【答案】4n n ?1an ? 1? 2 ? 3 ?? ? n n ? ， n ?1 2【分析】 ∴ bn ?1 4 1 1 ? ? 4( ? )， an an ?1 n(n ? 1) n n ?11 2 1 2 1 3 1 n 1 )] n ?1∴ S n ? 4[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ＝ 4[1 ?1 4n ]? . n ?1 n ?112． (2015? 扬州测试)在数列 ?an ? 中，a1＝ 记 Sn 为 ?an ? 的前 n 项和， 1 ，an＋1＝(?1)n (an＋ 1) ， 则 S2013 ＝________. 【答案】 －1005 【分析】 由 a1＝ 1 ， an＋1＝(?1)n (an＋ 1, 1) 可得 a2＝? 2 ， a3＝ ? 1 ， a4＝0 ， a5＝ 该数列是周期为 4 的数列，所以 S2013＝ 503(a1＋a2＋a3＋a4 )＋a2 013＝503? (?2)＋ 1＝?1005 .13．(2014? 济南模拟)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 S3＝2S2＋4 ， a5＝36 . (1)求 an ， Sn ； (2)设 bn＝Sn ?1(n ? N* ) ， Tn ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ，求 Tn . b1 b2 b3 bn【解】(1)因为 S3＝2S2＋4 ，所以 a1 ? d＝? 4 ， 又因为 a5＝36 ，所以 a1＋4d＝ 36 .解得 d＝8， a1＝4 ， 所以 an＝4＋8(n ?1)＝ 8n ? 4 ，Sn ?n(4 ? 8n ? 4) ? 4n 2 . 2(2) bn＝4n2 ?1＝ (2n ?1)(2n＋ 1) ， 所以1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1Tn ??1 1 1 1 ? ? ??? b1 b2 b3 bn1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 11 1 n (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 114．(2015? 石家庄模拟)已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列，且 a1 ? a2＝2 ， a3 ? a4＝32 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式； (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn＝n2 (n ? N* ) ，求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和． 【解】(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q，由已知得 ?? a12 q ? 2 ， 2 5 ? a1 q ? 32又∵ a1＞0 ， q＞0 ，解得 ??a1 ? 1 ，∴ an＝2n－1 . q ? 2 ?2(2)由 Sn＝n2 得 Sn?1＝ (n ?1)? n≥2? ，∴当 n≥2 时， bn＝Sn ? Sn ?1＝2n ?1 ， 当 n＝1 时， b1＝ 1 符合上式， ∴ bn＝2n ?1(n ? N* ) ，∴ an ? bn＝(2n ?1) ? 2n ?1 .Tn ? 1 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 ，2Tn＝ 1? 2＋3 ? 22＋5 ? 23＋?＋(2n ? 3) ? 2n－1＋(2n ?1) ? 2n ，两式相减得 ?Tn＝ 1＋2(2＋22＋?＋2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n＝? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ， ∴ Tn＝(2n ? 3)2n＋3 . 15．数列 ?an ? 满足 an＋1＋(?1)n an＝2n ?1，则 ?an ? 的前 60 项和为________． 【答案】 1830 【分析】 ∵ an＋1＋(?1)n an＝2n ?1， ∴ a2＝ 1＋a1 ， a3＝2 ? a1 ， a4＝7 ? a1 ， a5＝a1 ， a6＝9＋a1 ， a7＝2 ? a1 ， a8＝ 15 ? a1 ，a9＝a1 ， a10＝ 17＋a1 ， a11＝2 ? a1 ， a12＝23 ? a1 ，? ， a57＝a1 ， a58＝ 113＋a1 ，a59＝2 ? a1 ， a60＝ 119－a1 ，∴ a1＋a2＋?＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4 )＋(a5＋a6＋a7＋a8 )＋?＋(a57＋a58＋a59＋a60 )＝ 10＋26＋42＋?＋234=15 ? (10 ? 234) ? 1830 . 216．在等比数列 ?an ? 中， a1＝3 ， a4＝81 ，若数列 ?bn ? 满足 bn＝log3an ，则数列 ? 的前 n 项和 Sn ＝________. 【答案】? 1 ? ? ? bn bn ?1 ?n n ?1【分析】 设等比数列 ?an ? 的公比为 q， 则a4 ? q3 ? 27 ，解得 q＝3. a1所以 an＝a1qn ?1＝ 3? 3n?1＝3n ， 故 bn＝log3an＝n ， 所以1 1 1 1 . ? ? ? bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1则数列 ?? 1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? 1? ? . ? 的前 n 项和为 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 ? bn bn ?1 ?1 1 ，Sn 是数列 ?an ? 的前 (n ? N* ) ，且 a1＝ 217．(2015? 南京模拟)数列 ?an ? 满足 an＋an＋1＝ n 项和，则 S21 ＝________. 【答案】 6【分析】 依题意得 an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝1 ， 则 an＋2＝an ， 即数列 ?an ? 中的奇数项、 2偶数项分别相等，则 a21＝a1＝ 1 ， S21＝(a1＋a2 )＋(a3＋a4 )＋? ＋(a19＋a20 )1 ＋a21＝10(a1＋a2 )＋a21＝10 ? ＋1＝6 . 218 ． (2015?长 沙 模 拟 ) 已 知 函 数 f ? n?＝n cos ? n?? ， 且 an＝ f ? n n1 )， 则 ?＋ (f ＋2a1＋a2 ＋a3＋?＋a 1 0 ＝ 0 ________.【答案】 －100 【分析】 若 n 为偶数，则 an＝f ? n?＋f (n＋ 1)＝n ? (n＋ 1) ＝? (2n＋ 1) ，为首项为2 2a2＝? 5 ，公差为 ?4 的等差数列；若 n 为奇数，则 an＝f ? n?＋f (n＋ 1)＝?n2＋(n＋ 1)2＝2n＋ 1 ，为首项为 a1＝3 ，公差为 4 的等差数列．所以 a1＋a2＋a3＋?＋a100＝(a1＋a3＋?＋a99 )＋(a2＋a4＋?＋a100 )＝50 ? 3＋50 ? 49 50 ? 49 ? 4 ? 50 ? （ ? 5） ? ? 4= ? 100 . 2 219 ． 设 f ? x ?＝ ________． 【答案】 54x 1 2 10 ， 利 用倒 序相 加法 ， 可求 得 f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) 的 值 为 x 11 11 11 4 ?2【分析】 当 x1＋x2＝ 1 时， f ? x1 ?＋f ? x2 ?＝ ＝4 x1 4 x2 ? 4 x1 ? 2 4 x2 ? 22 ? 4 x1 ? x2 ? 2 ? (4 x1 ? 4 x2 ) ? 1. 4 x1 ? x2 ? (4 x1 ? 4 x2 ) ? 2 ? 41 2 10 ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ， 11 11 11 1 10 2 9 10 1 ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? 10 ， 11 11 11 11 11 11中 ， a1＝? 5 ， a2＝? 2 ， 记 A ? n ?＝a1＋a2＋?＋an ，设 S＝ f (倒序相加有 2S＝ [ f ( 即 S＝5. 20 ． 在 数 列?an ?* 若对于任意 n ? N ， B ? n ?＝a2＋a3 ＋?＋an＋1 ，C ? n?＝a3＋a4＋?＋an＋2 (n ? N* ) ，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列． (1)求数列 ?an ? 的通项公式； (2)求数列 ?| an |? 的前 n 项和． 【解】(1)根据题意 A(n)，B(n)，C(n)成等差数列， ∴A(n)＋C(n)＝2B(n)， 整理得 an＋2 ? an＋1＝a2 ? a1＝? 2＋5＝ 3，∴数列 ?an ? 是首项为－5，公差为 3 的等差数列， ∴ an＝? 5＋3(n ?1)＝3n ? 8 . (2) |an |= ???3n ? 8, n≤2 ， ? 3n ? 8, n≥3记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 Sn . 当 n≤2 时， S n ?n(5 ? 8 ? 3n) 3 13 ? ? n2 ? n ； 2 2 2当 n≥3 时， Sn＝7＋(n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3 2 13n ? n ? ? 14 ， 2 2 2? 3 2 13 ? n ? n, n≤2 ? ? 2 2 综上， S n ? ? . ? 3 n 2 ? 13n ? 14, n≥3 ? ?2 221. (2014? 广州综测)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn＝n2＋pn＋q( p，q ? R) ，且a2 ， a3 ， a5 成等比数列．(1)求 p，q 的值； (2)若数列 ?bn ? 满足 an＋log2n＝log2bn ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 【解】(1)当 n＝1 时， a1＝S1＝ 1＋p＋q ， 当 n≥2 时， an＝Sn ? Sn－1 ＝ n ＋pn＋q ? [(n ?1) ＋p(n ?1)＋q]2 2＝ 2n ? 1＋p . ∵ ?an ? 是等差数列， ∴1＋p＋q＝2× 1－1＋p，得 q＝0. 又 a2＝ 3＋p ， a3＝5＋p ， a5＝9＋p ， ∵ a2 ， a3 ， a5 成等比数列， ∴ a32 ? a2 a5 ，即 (5＋p) ＝(3＋p)(9＋p) ，2解得 p＝－1. (2)由(1)得 an＝2n ? 2 . ∵ an＋log2n＝log2bn ， ∴ bn＝n ? 2an＝n ? 22n?2＝n ? 4n?1 .∴ Tn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn ?1＋bn＝40＋2 ? 41＋3? 42＋?＋(n－ 1) ? 4n ?2＋n ? 4n ?1 ，①4Tn＝41＋2 ? 42＋3? 43＋?＋(n ?1) ? 4n?1＋n ? 4n ，②①－②得 ?3Tn＝40＋41＋42＋?＋4n ?1 ? n ? 4n?1 ? 4n (1 ? 3n) ? 4n ? 1 ? n ? 4n ? . 1? 4 31 [(3n ? 1) ? 4n＋1] ． 9∴ Tn ?
熟练掌握常考的倒序相加法,错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注 意...an ? ,与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数,那 么求这个数列的前...熟练掌握常考的倒序相加法,错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注意...an ? ,与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数,那么求这个数列的 前 ...数列求和方法_数学_高中教育_教育专区。数列求和的常用方法:分组转化法,裂项相消法,错位相减法,倒序相加法,公式法.数列求和方法一、数列求和的常用方法有: 1 分组...- 1 - 知识点:数列求和的常用方法 1.公式法;2.倒序相加法;3.错位相减法; 4.裂项相消法;5.分组转化求和法;6.并项求和法题型一:公式法 直接利用等差数列...数列总复习之求Sn的五种解题技巧_数学_高中教育_教育专区。裂项相消法、分组求合法、错位相减法、公式法、倒序相加法 星火教育一对一辅导教案学生姓名 授课教师 ...数列求和的方法: 1.分组求和法 2.错位相减法 3.裂项相消法 4.倒序相加法 1.分组求和法 2.已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 2.错位相减法 的前 项和 的通...可以求和的数列一般有如下七种: ① 常数列 ② 等差数列 ③ 等比数列 ④ 倒序相加法 ⑤ 错位相减法 ⑥ 裂项相消法 ⑦ 分组求和法 可以求积的数列则比较少,...那么求这个 数列的前 n 项和即可用倒叙相加法来求, 如等差数列的前 n 项和...的地方 公式法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 分组转化法 并项求和法 ....要首先考查其通项公式,根据通项公式的特点,再来 确定选用何种求和方法; 2、特殊数列求和的常用方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、公 式法,分组求和法...3.倒序相加法. 4.裂项相消法求和与并项求和. 5...5.分组转化法求和 【知识要点】 求数列的前 n 项...2.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列...
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【学霸优课】2017届高考数学（文）一轮复习教案：第6章 第4讲 数列求和、数列的综合应用
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吴国平：很多人说数列就是不会做，估计是这一块知识没掌握好
前几期我们都有讲到与数列相关的高考数学试题，有读者私信本人，希望讲讲数列求和类问题，那么我们今天就讲讲怎么化解数列求和类问题。
数列求和相关知识内容，可以说是数列的核心与基础，只要跟数列相关的数学问题，都会牵扯到数列求和问题。
在高考中，数列求和问题大部分情况下都会与函数、不等式、三角、几何等知识结合，重点考查分组求和、拆项相消、错位相减等求和方法，常以小题或大题的一问的形式出现，有一定的难度。
那么在高考数学中有哪些数列求和的方法？
如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
一些常见数列的前n项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n+1)/2；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2、倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减。
若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为特殊数列，再利用特殊数列的前n和公式求前n项和。
4、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的。
5、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
典型例题分析1：
已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlog1/2an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.
数列作为高考数学的重难点，除了考查大家对数列基础知识掌握程度之外，更加考查大家运用知识解决问题能力水平的高低，如在复杂的综合问题或压轴题当中，我们要学会抓住数列这个突破口，切入问题的要害所在，抓住问题的关键。
具体来说，一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和。
同时解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
1、转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成。
2、不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和。
典型例题分析2：
已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q&0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
若数列中的每一项都可分成两项的差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，常用裂项消去法.常用的拆项公式有：
用错位相减法求和应注意：
1、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
2、在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式。
在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。
对等比数列与等差数列对应项乘积构成的新数列的求和问题，常用错位相减法，即两边同乘以等比数列的公比，然后前后两个和式错位相减即合并同类相，化为等比数列求和问题，用等比数列求和公式求和，注意第一个和式的第一项与第二和式的最后一项相减时符号变化，求和时注意够成等比数列第一项与项数及不构成等比的几项，结果要化为最简形式。
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