扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 下载作业帮安装包 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 乘法中求极限的时候,常数为什么可以提到lim前面去? 如若初见0352 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 因为常数的极限是其本身,这是已经证明了的定理,故乘法中求极限即是对每个因数取极限再相乘,而常数的极限是其本身,故可以直接提到极限符号的前面而方便计算. 其他类似问题 扫描下载二维码《微积分求极限》 ] 求极限方法总结分享? 转载? ? 转载自 ★ 宠儿＂ 日 00:24 阅读(7) 评论(0) 分类：个人日记举报? 字体：中▼ o一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。6运用重要极限求极限（基本）。7乘除法中用等价无穷小量求极限。8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。9常数比0型求极限：先求倒数的极限。10根号套根号型：约分，注意别约错了。11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积 3）2个重要极限4）分式解法（上述） 2011秋微积分A1期中考试试题参考解答 一．填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）21. 设A?xx?2x?3?0，则infA??1??11(?1)n2. 设xn??，则limsupxn?2n2n???3.1??lim?cos??1 x??x??x4. 设an??k?1n1n?k2an?1 ，极限limx?01?1n?a?2bn5. 设a,b均为正数，lim?n???3??1lnx??2??ab。 ??n6. 7.lim(1?cosx)x?0?e2x?0时，?tanx??sinx无穷小的阶为1.?x2?1?,x?1在x?1处间断点的类型为:8. 函数f(x)??x?1?x?1?2,?1?ex?9. 设f(x)??x???1x?0，则f?(0)??1.2x?010. 设f可导，函数y?f(sinx)存在可导的反函数，则sin(2x?1)sin(2x?1)dx1? dyf?(sinx)cosx11. 函数极限y?e的微分dy?2ecos(2x?1)dx12. 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，则f'(0)?100！ 13. 参数曲线x?e?sint,为y?2x?114. 设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3) ，则f?(x)在区间(0,2)内有ty?4t?cost在xy平面上点(1,1)处（即t?0)的切线方程15. 函数xarctanx题在x???时的渐近线为y? 二．?2x?1。计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）d2y1. 设二阶可导函数y?y(x)由方程sin(x?y)?x?y确定，求二阶导数2。dx解：在方程sin(x?y)?x?y两边关于x求导得 cos(x?y)(1?y?)?1?y?，由此得y??1?cos(x?y)。 进一步求导得1?cos(x?y)2(1?y?)2sin(x?y)(1?y?)4sin(x?y)????y?y?或 或 或[1?cos(x?y)]2 [1?cos(x?y)]2[1?cos(x?y)]3y???sin(x?y)(1?y?)2。 y???1?cos(x?y)其中y?由上式给出。2. 求函数f(x)?lnx在开区间(0,??)上的单调区间，极值和极值点，凸性区间以及渐近x11(1?lnx)f"(x)?(2lnx?3)，23xx线（如果存在的话），并画出草图。解：根据函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)?我们不难得到函数f(x)的单调区间以及极值情况如下函数f(x)的凸性区间如下f(x)???，limf(x)?0，可知函数有垂直渐近线x?0和水平渐近线由于limx???x?0?y?0。无其他渐近线。根据上述表格，以及f(x)的渐近线，我们不难定性画出y?f(x)函数图像。这里略去3. 设数列{an}满足条件lima2n?a,lima2n?1?b，求极限limn???n???a1?a2???an。n???n解：由条件a2n?a，可知lim由条件a2n?1?b，可知lima2?a4???a2n?a。 x?0na1?a3???a2n?1?bx?0n。记Sn?a1?a2???ana?b则不难看出limS2n?x?02， n，而limS2n?1?limx?0a1?a2???a2n?a2n?1?2nS2na2n?1?a?b?lim????n???n???2n?12n?12n?12。 ??因此lima1?a2???ana?b?x?0n2。4．用极限的“???”定义直接验证lim11?。x?2x2?13x?2?x?211x2?411???解：考虑 2，故对于???0，?。由于222x?133(x?1)x?133x?1取??min?,??，当0?x?2??时，即当 x?(2??,2??)?(3/2,5/2)，?1?2??1111|x?2||x?2|(5/2?2)|x?2|6|x?2|6?lim?。 故。 ?????x?2x2?13x2?133|x2?1|3(9/4?1)55三．证明题（请写出详细的证明过程！）221.（8分）设0?x?1，证明不等式(1?x)ln(1?x)?x。证明：记F(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2F?(0)?0。，对则于F(0)?00?x?1，，F?(x)?ln2(1?x)?2ln(1?x)?2xF??(x)?222?ln(1?x)?x??0 ln(1?x)??2?1?x1?x1?x故当 0?x?1时，F?(x)?0，从而 F(x)?0。于是0?x?1时，(1?x)ln2(1?x)?x2。 2. (7分)设f(x)于闭区间[0,1]上可导，f(0)?0，f(1)?1，且f(x)不恒等于x。证明存在??(0,1)，使得f'(?)?1。证法一：由于f(x)不恒等于x，因此必存在 x0?(0,1)，使得f(x0)?x0。 若f(x0)?x0，则 1?f(x0)f(x0)?f(0)??f'(?)，??(0,x0)。 x0x0?01?x0f(1)?f(x0)??f'(?)，??(x0,1)。 1?x01?x0若f(x0)?x0，则 1?命题得证。。证法二： 反证。假设f'(x)?1，?x?(0,1)，则F(x)?f(x)?x在闭区间[0,1]上单调下降， 因为 F'(x)?f'(x)?1?0，?x?(0,1)。因此0?F(0)?F(x)?F(1)?0，?x?(0,1)。由此可知F(x)恒为零。即f(x)恒等于x。此与题设相矛盾。证毕。 专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。11xsinx4、 两个重要极限lim?1 lim(1?)?lim(1?x)x?e，注意变形，如将第二个式x??x?0x?0xx子x?0lim(1?x)?e1x?中的x变成某趋向于0的函数f(x)以构造“1”的形式的典型求极限题目。5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如limex?11x?1因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。（4）如果f(x)/g(x)当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g(x)→0，则当x→x0时f(x)也 →0（5）一个重要的不等式：sinx?x（x?0） *其中方法②③考到的可能性较大。6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。xm?1【例1】求极限 limnx?1x?1xm?1(x?1)(xm?1?xm?2?…1)m解 limn= ?limx?1x?1x?1(x?1)(xn?1?xn?2?…1)n注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。 【例2】求极限limx???解limx????limx?12注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。a1xn?a2xn?1?…?an2、一个最基本的多项式极限lim(系数均不为0)：x???bxm?bxm?1?…?b12n①若n>m，则极限为正无穷；②若na1。（本质为比较次数） b1要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的1。1次来2方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限 【例3】设u1un存在并求之??12，un?1?n?1,2,...),证明limn??方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。【例4】求极限lim11???...?n??n?1111??...??? 解 因1=?n?nnn?lim而lim1=n??n??1lim1???...?故由夹逼定理n??n?=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）etanx?exlim【例5】求极限x?0tanx?xex(etanx?x?1)ex(tanx?x)?lim?1 解 原式=limx?0x?0tanx?xtanx?x【例6】求极限 解x???limx(a?a1x1x?121x1x?1)12x?111?xx?11x(x?1)x???limx2a(?a2)=lximax???a(??1)x2l?i?max???1?(=1)1limx???lan?x???x(x?1)la n【例7】求极限x?0?解原式=x?0=limtanx(1?cosx)tanx?sinx=lim x?0x?0sinx4??x??x??x2?2?sinx?x2??3x2?2?x?313x3=lim?x?04x?1?x2?2163【例8】求极限lim1?cosxcos2xcos3xx?01?cosx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得limlim1?cosxcos2xcos3x=x?01?cosxsinxcos2xcos3x4cosxsin2xcos3x9cosxcos2xsin3x=?lim?limx?0x?0x?0x2x3xsinxcos2xcos3x2cosxsin2xcos3x3cosxcos2xsin3x= ?lim?limx?0x?0x?0sinxsinxsinxsinxcos2xcos3x2cosxsin2xcos3x3cosxcos2xsin3x= lim?lim?limx?0x?0x?0xxxsinxcos2xcos3x4cosxsin2xcos3x9cosxcos2xsin3x=1+4+9=14 lim?lim?limx?0x?0x?0x2x3xlimab【例9】求极限limlogx(x?x)x???解： 由换底公式，ln(xa?xb)?axa?bxbaxa?bxb=lim()=lim=lim x???lnx?x???xa?xbx???xa?xb若a?b，则极限为a；若a?b，则极限为b，综上，极限为max{a,b}方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。1???nsin?【例10】limn??n??n2(1?)x21解1?1????sint?tlim?nsin?=lim?xsin??lim???n??x???t?0nxt??????n2?sint??lim1??1???t?0?t?tsint?t1??2sint?ttt?esint?t?0?3?0???t?0?tlim1lnx?et?0?limcost?13t2?e?16???lim?arctanx【例11】??x?+?2??(00)1lnx???ln??arctanx?2?(?)lim?x?+?lnx?解???lim??arctanx?x?+?2??1=e)x????(?x11?x2lim?arctanx?e?e?10()x????arctanx02lim2(?x)?ex???1?x2lim1?x2?ex?e?1?lim?【例12】求极限x????x??arccotx?注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个“?”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。对于之后arccotx的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。?ex?1?arccotxln??x????解 原式=x???lime=e?ex?1?limarccotxln??x??x?????=e1?ex?1?limarctanln???x???x?x??=elnex?1?lnx???lim??x???x?????=e1x???ex?1xlim?ex=e11，故tany?，tanyx?关于第三个等号左右的变化：令y?arccotx，则x?coty?y?arctan11，综上，arccotx?arctan xx方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。 【例13】求极限limx?0x2?2?x(cosx?e)2x2x2x4x24??o(x)，x?0,cosx?1??o(x3)，x?0 解?1?282!ex2?1?x2?o(x2)，x?0 代入原式可得，22x4x4x?2?2?x??o(x4)?o(x4)1原式=lim== ?lim2x?0xx?042?322?64x?1??o(x)?1?x?o(x)??x?o(x)2?2!?方法八：通过定积分的概念来求极限nnnn【例14】求lim(2?2?2?...?2 2n???n?1n?4n?9n?n解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即1n2n2n2n2?2??...?2) 原式=lim(2n???nn?1n?4n2?9n?n2????1?1111? =lim???...?2222n???n??1??2??3??n??1?????1???1???1????n??n??n????n?=lim1 ?2n???i?1?i?n1????n?n1此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数f(x)?1在[0,1]上的定积分，故 21?x1nnnn1?== lim(2?2?2?...?2)dx22?0n???n?1n?4n?9n?n1?x41nn1[n(n?1)(n?2)...2?1]lim(n!)=lim?e【例15】求极限n???nn???n1[n(n?1)n(?lin(!)=n???n???nn1n1n1n1ilimlnn???nni?1?解2)...?21]?nn?(n?1)(?2)...21? n??n???n??1n1n123n?1n?lim(??...?)n???nnnnn1ilimlnn???nni?1?e1123n?1nln(??...?)n???nnnnnnlim?en?n1lnxdx(xlnx?x)|?0?e0?e?e?11k2?sin2k?n2?k2?sin2k?ln?【例16】lim?? 2n???nnk?1??【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的““1”和“f(?i)”。 n1”我们可以类似【例5】，自己把这一项构造出来，而f(?i)这一项不同于我们以往做ni?1i过的题目中f(?i)经常取小区间的左端点或右端点，而是取了中间一个点，但是无nni?1i论如何，由于“取点的任意性”，只要能表示成f(),f(),f(?i)中的一种即可看作为0nn到1上f(x)的定积分。解： 原式=1nk2?sin2k?k2?sin2k?lim?ln?1???22n???nnnk?1???xlnxdx?x12lnx??(xlnx?x)dx11111112?xlnxdx???xdx?? 故原式=?xlnxdx?? 00024【一些核心问题&问的很多的题目】1、求极限的时候到底什么时候可以直接代进去？lim【例子1】x?0?cosx2xsin21?cosxcos2xcos3x【例子2】limx?01?cosx【例子3】x?0?a?1?2?lim??aln1?ax??,?a?0? 【例子4】?2??x?0?xx????2、苏德矿版微积分P104 T107d2ydy1?x?x?dx2dx?y?0 令x?sint，化简方程?2【一些练习题，有点难度，可做可不做】 1、lim?2、u1=1，u2=2，n?3，un?un?1?un?2，求lim?12n???...?? n??2!3!(n?1)!??1n??un3、1?1?...?1??limx?1?1?x?n?1答案： 1、1 2、013、n! 编号学士学位论文利用微积分求极限的简捷方法学生姓名：玛依热姆·图尔迪 级：08-1班 指导教师：姑丽巴哈尔．穆罕默德艾力 完成日期： 2013 年 日中文摘要本论文主要讨论了如何利用微积分计算初等函数（反三角函数，对数函数，幂函数，常数函数）和非初等函数（被积函数）的极限，及其分析性质：导数的定义，微分中值定理，积分中值定理，定积分定义，广义积分定义．其次讨论了上述定义和定理的应用和计算方法，定理的证明，且给出了11个例题．关键词：导数；微分；积分；导数的定义；定积分定义；微分中值定理；积分中值定理；广义积分定义目 录中文摘要 ................................................ 1 引言 .................................................... 3 1.利用微分求极限的特殊方法 ............................... 3 1.1利用导数的定义求极限的方法 .......................... 3 1．2利用微分中值定理求极限的方法 ....................... 5 2.利用积分求极限的特殊方法 ............................... 7 2.1利用定积分定义求极限的方法 .......................... 7 2.2利用积分中值定理求极限的方法 ....................... 11 2.3利用广义积分定义求极限的方法 ....................... 12 总结 ................................................... 15 参考文献 ............................................... 16 致谢 ................................................... 17引言极限是数学分析中的重要概念之一，是解决微积分问题的基本方法．微积分中的重要概念导数，积分都利用极限来定义．计算微分，积分都是计算极限的另一种形式．虽然用求极限方法能计算一些简单式子的极限，但对于复杂式子的极限过程不仅复杂，并且无法计算．所以本文介绍利用微积分除了计算一些简单式子的极限之外，还要计算较复杂式子极限的几种快捷方法．1.利用微分求极限的特殊方法1.1利用导数的定义求极限的方法定义1 （导数的定义）设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，若极限x?x0limf?x??f?x0?x?x0?1?存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f??x0?．令x?x0??x,?y?f?x0??x??f?x0? 则?1?式可改写为f?x0??x??f?x0??y?lim?f??x0? ．x?x0?x?x?0?xlim?e?e???????e?例1 求极限lim??，其中n为自然数． x?x0n??解 令f?x??ln?ex?e2x????????enx?，则f?0?=lnn ，故1?ex?e2x???????enx?lnex?e2x???????enx?lnnlimln? ??limx?0xx?0nx?0???limx?0x2xnx1x??f?x??f?0??f??0? x?0从而，原式 = e =e1?ex?e2x???????enx?limln??x?0xn????x?0limlnex?e2x???????enx?lnnx?0??=ef??0?=e ．例2 设f??x0?，g??x0??0存在，且f?x0??g?x0??0 ，则1nx?x0limf?x?f??x0? ． ??gxgx0证 先仔细观察等式，因为f?x0??g?x0??0，所以limx?x0f?x??f?x0?f?x??f?x0?=limgx?gx0x?x0x?x0f?x??f?x0?x?x0limg?x??g?x0? x?x0=limx?x0x?x0g?x??g?x0?x?x0?f??x0?g?x0?由导数的定义??limx?x0f?x?f??x0? ． ?gxg?x01．2利用微分中值定理求极限的方法定理1 (拉格朗日中值定理)若函数f满足如下条件：?i??ii?f在闭区间?a，b?上连续； f在开区间?a，b?内可导，则在?a，b?内至少存在一点C，使得f?b??f?a??f???a???b?a????b?a?， ?0???1?．证 作辅助函数f?b??f?a?b?a??x??f?x??f?a???x?a?．已知函数??x?在?a，b?上连续，在?a，b?内可导，又有??a????b??0，根据罗尔定理，在?a，b?内至少存在一点C，使???c??0．而???x??f??x??f?b??f?a?．b?af?b??f?a??0. 即，b?af?b??f?a?b?a于是 ???c??f??c??f??c???2?f?b??f?a?不变，所以?2?式对a?b或a?b， b?af?b??f?a?成立，即 b?a因为不论a?b或a?b，比值或f?b??f?a??f??c??b?a?，在C在a与b之间．1?，使c?a???b?a?，所以?2?式也常写为 因为?c??a，b??????0，f?b??f?a??f??a???b?a???b?a?，0???1 ．ex?esinx例3 计算lim ．x?0x?sinx解 设f?x??exex?esinx?f?x??f?sinx???x?sinx?f??sinx???x?sinx?? ??x?sinx?esinx???x?sinx??ex?esinxx?sinx?esinx???x?sinx??lim ?limx?0x?sinxx?0x?sinx?limesinx???x?sinx?x?0?e0?1 ， ?0???1?ex?esinx?1. ?limx?0x?sinx例4 证明x?1时，存在???0，1?，使得arcsinx?1x??x2且有lim??x?0．证明 设f?x??arcsinx，由Lagrange中值定理，存在???0，1?，使得 arcsinx?arcsinx?arcsin0?f?x??f?0? ??x?0?f??0???x?0?? =x??x2为了解出?，需要利用arcsinx的Maclaurin展开式1?x?0? arcsinx?x?x3?0x43!??所以x??x2?x?13x?0x43!??2?x?0?x21??x21????x?x3?0x4?3!?????x?0?2x2?1???x?x?1???x?2??2??13?4?x?x?0x??3!?????x?0? ?x?0? ?x?0?214?5?x?x?0x??3!????21??2?0?x??03故 lim??x?013．2.利用积分求极限的特殊方法2.1利用定积分定义求极限的方法积分和的极限简称为定积分．所以计算某一式子的极限时，若能把此式子表示出某一个被积函数，在某一区间内的积分和，则此式子的极限就是我们所选定的被积函数在它定义某一区间内的定积分．定义2 （定积分定义）设f是定义在?a，b?上的一个实值函数.若存在某一实数J，使得任给??0，总存在相应的??0，当对?a，b?所作的分割T的细度T??时，属于T的一切积分和?f??i??xi都满足i?1n?f????x?Jiii?1n??则，称函数f在?a，b?上黎曼可知，记作f?R?a，b?数J称为f在?a，b?上的定积分或黎曼积分，记作J??f?x?dxab借用极限记号来表示定积分，则写成?f?x?dx??f????xa?0ii?1bni?3?例5 利用定积分定义求极限 ；11??1lim?????????????Jn??n?1n?22n??解 把此极限式化为形如?3?式的积分和的极限，并转化为定积分计算，为此作如下变形：J?lim?n??1? 1ni?11?n1在区间?0，1?上的一个特殊的积分和1?xn1不难看出，其中的和式是函数f?x??T为n等分割，?xi?1i?i?1i?，2.??????n，由于f在?0，；取?i???1?上满?，i?1nn?nn?足牛顿-莱布尼兹公式的条件，故由定积分定义和牛顿-莱布尼兹公式求得J??11dx?ln?1?x??ln2 01?x01例6 求极限lim?n??i?1nkn32．解i?1n1???ni?12nn?4?（4）式的和是函数f?x??x在区间?0，1?的特殊积分和．它是把?0，1?n等分，?i取为??i?i?1i?即??，f??构成的积分和，因为函数?的右端点??i?i?n?nn??1?可积，由定积分定义，有 f?x??x在?0，lim?n??k?1nkn32?1?1?12n?2??? ． ?lim??????????xdx???0n??n?nnn??3????定理2 若函数f?x?，f??x?在?a，b?上连续，且有?n??ba1b?an?b?a??b?a??f?a??f?b??； limn?n?，则f?x?dx?fa?k???n??2nk?1?n?证 因为函数f?x?在?a，b?上连续，所以f?x?在?a，b?上可积，把?a，b?分成n个小区间a?x0，x1，?????，xn?b?f?x?dx???abb?anb?aa??k?1?k?1nna?kf?x?dx所以?n???nb?anb?aa??k?1?k?1nna?ka?kb?an?b?a?f?x?dx?fa?k?? ?nk?a?n??b?a?????fx?fa?k???dx ?n????b?a??f?????a?k?x?dxn?????nb?anb?aa??k?1?k?1na?k????b?anb?aa??k?1?k?1nb?ab?a??其中 ?k??a??k?1?，a?k?nn??令 inf?f??x???mk，sup?f??x???Mkb?ab?a??又因为x??a??k?1?,a?k?，因此nn???b?anb?aa??k?1na?kb?a???x?dx ?a?kn??a?k2b?a??b?a?x2?n=??a?k ??x??b?an?2???a??k?1?n1?b?a??? 2?n?且mk?f???k??Mkb?a?b?ab?a??????mk?a?k?f?a?k?x?Ma?k?x??k?k???? nnn????????b?anb?aa??k?1?k?1nna?kna?kb?ab?a????mk?a?k?x?dx???nb?af???k??a?k?x?dxa??k?1?nn????k?1nb?a???b?anb?aa??k?1?k?1nna?kb?ab?a??Mk?a?k?x?dxn????nb?anb?aa??k?1?k?1nna?kb?anb?aa??k?1?k?1na?kna?kb?ab?a????mk?a?k?x?dx???n???nb?aMk?a?k?x?dxa??k?1?nn????k?1nna?kb?ab?a?????x?dx???n??Mk?nb?a?a?k?x?dx ?a?ka??k?1?nn???k?1n?b?a??1?b?a???2?n?2n1?b?a?m???n????k2?n?k?12n?Mk?1knn1b?a1b?a?b?a??mk??n?n??b?a??Mk2n2nk?1k?1因为f??x?在?a，b?上连续，所以f??x?在?a，b?上可积，nbb?ab?alim?mk?lim?Mk??f??x?dx?f?b??f?a?an??n??nnk?1k?1n所以limn?n?n??1?b?a??f?a??f?b?? ． 2?n4n?12例7 计算limenn???1，2,3123????n1n?n?．11解 令f?x??xlnx， ?a，b???0,1? ，则 ?xlnxdx??04把区间?0，1?分成n小区间，即0?112n?1n?????????1 nnnn1nkk?n??xlnxdx??ln0nk?1nn11???24n11nlnnnk?lnk?lnn? ???2?klnk?2?k ?4nk?1nk?1k?1n11nn?1???2?klnk?lnn4nk?12nn1nn?1n?n????klnk?lnn4nk?12由定理2，有?n1n?1n?1limn?n?lim????klnk?lnn???f?0??f?1???0 n??n??2?4nk?1?2n?1??n22,33????nn又limln?e4n211，n???????1n???0 ???limenn???n4n?12?1，2,3123????n1n?n??1 ．2.2利用积分中值定理求极限的方法定理3 （推广的积分第一中值定理）若f与g都在?a，b?上连续，且g?x?在?a，b?上不变号，则至少存在一点???a，b?，使得?f?x?g?x?dx?f????g?x?dxaabb?5?证 不妨设g?x??0，x??a，b?.这时有 mg?x??f?x?g?x??Mg?x? ，x??a，b?，其中M，m分别为f在?a，b?上的最大，最小值.由定积分的不等式性质，得到m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb若?g?x?dx?0，则由上式知?f?x?g?x??0，从而对任何???a，b?，（5）aabbf?x?g?x?dx??M. 式都成立．若?g?x?dx?0 ，则得 m??g?x?dxbababa由连续函数的介值性，必至少有一点???a，b?，使得f?x?g?x?dx?f????， ?g?x?dxabab??f?x?g?x?dx?f????g?x?dx.aabb例8 计算lim?xn2?xdx ．n??01解 令f?x??2?x ，g?x??xn ，因知f?x?，g?x?在?0，1?上满足上述定理的条件．所以由推广的积分第一中值定理，有111 ?x?xndx??0???1? 00n?111?0. lim?xn2?xdx?lim2???n??0n??n?1xndx?0 ． 例9 证明：lim?n??01?x1证明 由推广的积分第一中值定理，存在???01，?，使得xn10??dx?01?x1??11xn?11?0xdx?1??n?101n?11111? ?1?0??1??n?11??n?1n?11xn1dx?lim?0 lim0?lim?n?0n??01?xn??n?1xndx?0. lim?n??01?x12.3利用广义积分定义求极限的方法定理3 （广义积分定义）设函数f?x?在无限区间?a，???上连续，取b?a，若极限 lim?f?x?dx存在，则称这个极限值为f?x?在无限区间?a，???上的广义b???ab积分.记作???即 ???aaf?x?dxf?x?dx?lim?f?x?dxb???a??ab这时也称广义积分?f?x?dx是收敛的．若上述极限不存在，则称广义积分???af?x?dx发散．类似地，函数f?x?在无限区间???，b?上的广义积分定义为：??b??f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab?a?b?函数f?x?在无限区间???，???上的广义积分定义为：????f?x?dx??f?x?dx????c??cf?x?dx其中c是任一有限数，仅当等式右端的两个广义积分都收敛时，左端的广义积分才收敛；否则发散.例10 讨论下列广义积分的收散性：?1??0??arctanx； ?2?1?x2???2dx． xlnx解 （1）对任意b?0 ，有 barctanxb?01?x2dx??0arctanxd?arctanx? ?12barctanx??021?arctanb?2 2barctanx12???lim?dx?limarctanbb???01?x2b???21??? ????2?2?2?2? ．8?2． ?该广义积分收敛，其值为8（2）对任意b?0 ,有 ?bb1bdx?1???d??lnlnx?22xlnxlnx?lnx?2?lnlnb?lnln2dx?lim?lnlnb?lnln2???2xlnxb???所以该广义积分发散．???例11 求下列广义积分： （1）?e2xdx ；（2）???01dx ．??1?x2??12x0解 （1）由广义积分定义，有?edx?lim?edx?lime??a???aa???2a2x2x11lime0?e2a?lime0?lime2aa???2a???2a???11??1?0?? ．22（2）由广义积分定义，有 ??c??111dx?dx????1?x2???1?x2?c1?x2dx cc11dx?limdx ????a????a1?x21?x2?????c?lim?arctanx?a???a ?lim?arctanc?arctana?a????limarctanc?arctana?arctanc?a????2??*??cbb11dx?limdx?limarctanx?? 22?cb???b???c1?x1?x?lim?arctanb?arctanc?b????limarctanb?limarctancb???b?????2?arctanc??c??111dx?dx????1?x2?c1?x2dx ??1?x2???arctanc? ．?2??2?arctanc总结在具体计算极限时往往很难找准计算的方法．要计算某一初等函数或非初等函数的极限时，可以用一种以上的方法来解决．但又某一初等函数或非初等函数的极限只能用一种方法，不适合其他方法．所以要计算某个式子的极限时，我们应该善于辨别它所属于的类型，再讲行计算．在本文中，介绍了通过和积分中值定理和广义积分定义来解决被积函数；通过导数定义和微分中值定理来解决幂函数；利用微分中值定理来解决反三角函数；又利用定积分定义来解决常数函数等几种方法．利用本文中所介绍的上述方法可以使我们在实际问题中遇到的一些复杂的初等函数和非初等函数的极限计算变得更加简单，快捷且使我们很容易理解其内涵．所以上述的方法对于求极限起到补充作用．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析，上册（第三版）.[M].北京：高等教育出版:.88~219页[2]刘西坦，李正元，周民强，林源梁.考研2005数学专项训练系列（第三版）.[M].北京：机械工业出版社：48页[3]赵红海，李艳.极限的几种特殊求法.[J]. 张家口职业技术学院学报：2007.第20卷（第一期）[4]毛羽辉.数学分析选论.[M].北京：科学出版社.89~107页 [5]李承家，胡晓敏.数学分析全析精解（第三版）.[M].西北工业大学出版社： 92页[6] 苗群.微积分.[M].北京：科学出版社. 180~181页 [7]宋清岳，王龙波，刘月兰. 高等数学.[M].山东大学出版社.85~86致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了提高．在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束．非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础．此致敬礼日 编号学士学位论文利用微积分求极限的简捷方法学生姓名：玛依热姆·图尔迪 学 系 专 年 号： 部：数学系 业：数学与应用数学 级：08-1 班指导教师：姑丽巴哈尔·穆罕默德艾力 完成日期：2013 年 5 月 10 日摘要本论文主要介绍了利用导数定义，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式， 积分中值定理，定积分定义，广义积分定义求极限的方法等几种方法分别讨论 了如何利用微积分计算初等函数（三角函数，反三角函数，对数函数，指数函 数，幂函数，常数函数）和非初等函数（被积函数）的极限.例如，通过导数定 义和微分中值定理来解决幂函数；利用微分中值定理来解决反三角函数；利用 定积分定义来解决常数函数；通过积分中值定理和广义积分定义来解决被积函 数. 其次讨论了上述所说的定义的应用和计算方法，定理的证明，且给出了 13 个例题．关键词：导数；微分；积分；微分中值定理；积分中值定理1目录摘要 ........................................................ 1 引言 ........................................................ 3 1.利用微分求极限的特殊方法 ..................................... 3 1.1 利用导数的定义求极限的方法 .................................. 3 1.2 利用微分中值定理求极限的方法 ................................ 4 1.3 利用洛必达法则求极限的方法................................... 6 1.4 利用 Taylor 公式求限的方法 ................................... 8 2.利用积分求极限的特殊方法 .................................... 11 2.1 利用定积分定义求极限的方法 ................................. 11 2.2 利用积分中值定理求极限的方法 ............................... 14 2.3 利用广义积分定义求极限的方法 ............................... 16 总结 ....................................................... 17 参考文献 .................................................... 19 致谢 ....................................................... 202引言极限理论是微积分学的基础理论，贯全整个微分学，要学好微积分必须认 识和理解极限理论，这是解决微积分问题的基本方法. 微积分的基本思想和基本方法与极限始终有着密不可分的联系.在学习中 若能掌握好极限的使用，对学好微积分有着很大的帮助. 通常我们使用的教材只能计算出一些常见的，简单的式子的极限，但对于 一些复杂式子的计算过程不仅麻烦， 而且有可能导致无法计算.这会使我们在教 学过程中遇到较大的障碍，为了在教学过程中简化运算，本文主要介绍了利用 导数定义，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，定积分定义，积分中值定 理，广义积分定义求极限的方法等 7 种利用微积分求极限的简便方法.1.利用微分求极限的特殊方法1.1 利用导数的定义求极限的方法定义 1 （导数的定义）设函数 y ? f ?x ? 在点 x0 的某领域内有定义，若极限x ? x0limf ?x ? ? f ?x0 ? x ? x0?1?存在，则称函数 f 在点 x0 处可导，并称该极限为函数 f 在点 x0 处的导数， 记作f ??x0 ?.令 x ? x0 ? ?x , ?y ? f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? 则 ?1? 式可改写为f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim ? f ? ? x0 ? ． x ? x0 ?x ?x ?0 ?x lim3? e ? e ? ?????? ?e ? 例 1:求极限 lim ? ? ，其中 n 为自然数． x ? x0 n ? ?x 2x nx1 x解:令 f ? x ? ? ln ? e x ? e 2 x ? ?????? ?e nx ? ，则 f ?0 ? = ln n ，故1 ? e x ? e 2 x ? ? ? ? ? ? ? ?e nx ? ln e x ? e 2 x ? ? ? ? ? ? ? ?e nx ? ln n lim ln ? ? lim ? x?0 x ?0 x n x?0 ? ?? limx ?0??f ?x ? ? f ?0? ? f ??0? x?0ln e x ? e2 x ??????? enx ?ln n从而，原式 =e1 ? e x ?e 2 x ???????e nx ? lim ln ? ? x?0 x ? n ? ? ?1=ex?0lim??x ?0= e f ? ?0 ? = e n ．?? ? 例 2：求极限 lim ? x ? ? ? cot 2 x ? 2? x? ? 2 1 ?? ? 解：取 f ( x ) ? tan 2 x ? ，则 lim ? x ? ? cot 2 x ? cot 2 x 2? x? ? 2 ? x? 1 2 ? lim 1 ? lim ? ? ? ? x ? tan 2 x x ? tan 2 x tan 2 x ? tan(2 ? ) 2 2 ? 2 lim x? ? ? x? 2 x? 2 2? lim ?x? 21f ( x) ? f ( ) 2 x???1?f ?( ) 2??122sec (2 ? ) 2??1 1 ? 2 2 ?1 2?21.2 利用微分中值定理求极限的方法定理 1 (拉格朗日中值定理)若函数 f 满足如下条件：,4?i ? f 在闭区间 ?a，b? 上连续； ?ii ? f 在开区间 ?a，b ? 内可导，则在 ?a， b ? 内至少存在一点 C ，使得f ? b ? ? f ? a ? ? f ? ?a ? ? ? b ? a ?? ?b ? a ? ， ? ?? 0 ? ? ? 1? ．证 :作辅助函数? ? x? ? f ? x? ? f ?a? ?f ?b? ? f ? a ? b?a? x ? a? ．已知函数 ? ? x ? 在 ?a， b ? 上连续，在 ?a， b ? 内可导，又有 ? ? a ? ? ? ? b ? ? 0 根据罗尔定理，在 ?a， b ? 内至少存在一点 C ，使 ? ? ? c ? ? 0 ．而?? ? x? ? f ? ? x? ?即， f ? ? c ? ?f ?b? ? f ? a ? b?a．于是?? ?c? ? f ? ?c? ?f ?b? ? f ? a ? ?0. b?af ?b? ? f ? a ? ? 2? b?a因为不论 a ? b 或 a ? b ，比值 成立，即 f ? ? c ? ?f ?b? ? f ? a ? ，或 f ?b? ? f ?a ? ? f ??c??b ? a ? ，在 C 在 a 与 b之间． b?af ?b ? ? f ?a ? 不变，所以 ?2 ? 式对 a ? b 或 a ? b ， b?a因为 ?c ? ?a，b? ? ?? ? ?0， ，使 c ? a ? ? ?b ? a ? ，所以 ?2 ? 式也常写为 1?f ?b? ? f ?a? ? f ??a ? ? ?b ? a???b ? a? ， 0 ? ? ? 1 ．例 3 :计算 lim 解 ：e x ? e sin x ． x ?0 x ? sin x假设 f ?x ? ? e xe x ? e sin x ? f ?x? ? f ?sin x? ? ?x ? sin x? f ??sin x ? ? ?x ? sin x??5? ?x ? sin x?e sin x?? ? x?sin x ?? lim?x ? sin x ?e sin x?? ? x?sin x ? e x ? e sin x ? lim x ?0 x ? sin x x ?0 x ? sin x? lim esin x?? ?x?sin x ? ? e 0 ? 1 ， ?0 ? ? ? 1? x?0? lime x ? esin x ? 1. x ?0 x ? sin x1.3 利用洛必达法则求极限的方法在极限的四则运算中， limx? x 0lim f ( x ) x? x f ( x ) ? g ( x ) lim g ( x )0x? x 0lim 成立的条件是： f ( x),lim g ( x) 必须都存在，且 lim g ( x ) ? 0x ? x0然而，当 lim f ( x ) ? lim g ( x ) ? 0 ? ? ? 时，就不能其他方法去计算极限f ( x) f ( x) 0 lim ，这时 lim g ( x ) 这个极限分别称为未定式“ ”型或未 x ? x0 g ( x) x ? x0 0定式“ “? ”型未定式，将利用柯西定理得求这些未定型求极限的简单而实用 ? 的方法，称为洛必达法则. ? 0 众所周知，在数学分析和高等数学中， L, Hospital 法则是“ ”“ ”等型 ， 0 ? 不定式极限计算的有效方法. 0 型未定式 00 ? cot x sin x ”型。例如，lim 是“ ”型的未定式， lim 是 x ?0 ln x 0 ? x?0 x?例 4：求 lim 2x ???? arctan x sin 1 x0 解：这是 型未定，于是 06??x ???lim 2? arctan x sin 1 x? lim1 1 ? x2 ? lim x ??? 1? 1 ? cos ? ? 2 ? x? x ? ??x2 ?1. 1 x ??? 1 ? x 2 lim cos x ??? x 1? 型未定式 ?ln sin mx ln sin nx 解： limlnsin mx ? limlnsin nx ? ??,例 5：求 lim x?0x?0 x?0? 此极限是? 型的； ?m ? cos mx sin mx(ln sin mx)? ? ? limx ?0，(ln sin nx )? ?n ? cos nx sin nxln sin mx m cos mx sin nx m sin nx m n ? lim ? lim ? ? ? 1? x ?0 n sin mx cos nx x ?0 sin mx ln sin nx n n m0 有时候对于 “ ”型不定式极限利用 L, Hospital 法则计算不了它的极限. 0x ? sin x 比如：求 lim x ? ? x ? sin x0 显然，此题是“ ”型不定式，若分子分母分别求导，则得 0x ? sin x 1 ? cos x x ? sin x lim = lim ，从题可以看出 lim 不存在，所以 x ? ? x ? sin x x ? ? 1 ? cos x x ? ? x ? sin x x ? sin x 用 L, Hospital 法则不能判断 lim 的值. x ? ? x ? sin x7sin x 1? x ? sin x x ? lim 1 ? 0 ? 1 . 因为 lim = lim x ? ? x ? sin x x ? ? 1 ?sin x x ? ? 1 ? 0 x所以使用 L, Hospital 法则求极限时应注意以下两个问题：lim f ( x ) 0 x ? x0 （1）每次使用 L Hospital 法则前必须检验函数 是否属于“ ”或 lim g ( x ) 0 x ? x0,“0 ? ? ”型不定式，若不是“ ”或“ ”不定式，则不能用此法则. 0 ? ?f '( x) (2)若经检验能使用 L, Hospital 法则，但求出的 lim 不存在时并且不为 ? x ? a g '( x) f '( x ) 时，不能判定 lim 是否存在，此时不能应用 L, Hospital 法则，使用其它 g '( x ) x?a求极限的方法进一步求解.1.4 利用 Taylor 公式求限的方法泰勒公式是数学分析中重要内容之一.实际上泰勒公式在证明，极限计算方, 面有着广泛而独特的应用.很显然，当用 L Hospital 法则计算问题时，便可多次反复使用此法则.有时有些问题不简捷反而变的复杂，导致复杂的运算过程， 甚至计算不出来这些问题.应用 Taylor 公式来计算这种极限是十分方便的. 首先讨论下面的例题：cos x ? e例 6：求极限 lim x?02 ?x 2?x4 12x2 2x6cos x ? e?0 分析:此题为“ ”型不定式，为求 lim 0 x?08?x6x4 12 应该接连以用L, Hospital 法则六次（或六次求导分子分母每一项）.cos x ? e解 ：? x2 2lim x?02x6? x 22x -sin x ? xe ? 12 ( 0 ) ＝ lim 0 x?? 6 x534-x2 2x3 ? 3 (0) 0x2 2= lim? cos x ? x e 30 x 4 x?0?x20 sin x ? x e ? 3xe ( ) ? lim 0 x?0 120 x 3?x 22?x2 2?? 2x 0 ( ) 0= limcos x ? x e?x 2 42? 6x2e? 3e?x 22x?0360 x 2??2 0 ( ) 0? x2 2= lim x?0? sin x ? x5ex2 2?? 10 x 3e 720 x?x2 2? 15 xe0 ( ) 0? x2 2?? lim x?0? cos x ? x 6ex2 2? 15x 4e ? 45x 2e 720x2 2? 15e2 ?x 2?14 7 ? 720 360对次问题应用 Taylor 公式，由于?ex2 2x2 x4 x6 x2 x4 x6 6 ? ? ? 0( x 6 ) ? 1? ? ? ? 0( x ) ,cos x ? 1 ? 2 24 720 2 8 48?，把展开式代入函数中，得 cos x ? ex2 2cos x ? e lim x?0?x2 2?x67 6 x4 x ? 0( x 6 ) 7 12 ? lim 360 ? ; 360 x?0 x6x4 7 6 ? ? x ? 0( x 6 ) 12 360从上面的例题可以看出，Taylor 公式是非常有用的工具.有时对于有些极 ? 限问题采用 L, Hospital 法则， 将会遇到比较繁杂的求导运算， 这时候运用 Taylor 公式来解决这些问题就可以把问题更简便.9例 7 ：计算极限 lim x?0ln(1 ? sin 2 x) ? x 2 sin 4 xsin 4 x ? 1 ，所以 ln(1 ? sin 2 x ) 的带有 Peano 型余项的 分析：因为 lim 4 x?0 xTaylor 展开式只要取到 x4 项即可.1 解 ：由于 ln(1 ? sin 2 x ) ? sin 2 x ? sin 4 x ? 0(sin4 x ) 2因此 lim x?0ln(1 ? sin 2 ) ? x 2 sin 4 x1 sin 2 x ? sin 4 x ? 0(sin 4 x) ? x 2 2 = lim x?0 sin 4 x 2 sin 2 x ? x x4 14 1 4 sin x sin x 2 x ? x2 sin ?2 ) ? lim ? lim 2 x?0 x ? 0 x4 x4 x4= lim ( x?0sin 2 x ? x 2 1 1 ? ?I? = lim 4 2 2 x?0 x sin 2 x ? x 2 ? lim 由于 I ? lim x?0 x?0 x42 ? x 4 ? 0( x 4 ) 1 3 ? lim ?? 3 x?0 2 x4? sin 2 x ? x2 ? ? I ? lim ? ? ? x?0 x4 ? ?2 x2 ? 2 4 x ? 0( x 4 ) ? 2 x 2 3 2 x4? lim x?0ln(1 ? sin 2 x) ? x 1 1 1 5 ?I? ?? ? ?? . 2 3 2 6 sin 4 x102.利用积分求极限的特殊方法2.1 利用定积分定义求极限的方法积分和的极限简称为定积分．所以计算某一式子的极限时，若能把此式子 表示出某一个被积函数，在某一区间内的积分和，则此式子的极限就是我们所 选定的被积函数在它定义某一区间内的定积分． （定积分定义）设 f 是定义在 ?a， b ? 上的一个实值函数.若存在某定义 2一实数 J ，使得任给 ? ? 0 ，总存在相应的 ? ? 0 ，当对 ?a， b ? 所作的分割 T 的细 度 T ? ? 时，属于 T 的一切积分和 ? f ??i ? ?xi 都满足i ?1 n? f ?? ??x ? Ji ?1 i in??则，称函数 f 在 ?a， b ? 上黎曼可积，记作f ? R?a，b?数 J 称为 f 在 ?a， b ? 上的定积分或黎曼积分，记作J ? ? f ?x ?dxb a用极限记号来表示定积分，则写成?a f ?x?dx ? lim0 ? f ?? i ??xi T ?b i ?1n?3?例 8： 利用定积分定义求极限 ；1 1 ? ? 1 lim? ? ? ??????? ? ? ? J n?? n ? 1 n?2 2n ? ?11解: 把此极限式化为形如 ?3? 式的积分和的极限，并转化为定积分计算，为此作 如下变形：1 n?? 1 i ?1 1? n n 1 不难看出，其中的和式是函数 f ?x ? ? 在区间 ?0， 上的一个特殊的积分 1? 1? x J ? lim ? ?i ?i ? 1 i ? 1 ， ；取 ?i ? ? ? ， ，i ? 1 2. ? ? ? ? ? ?n ，由于 f 在 ?0， 上 1? n ? n n ? n ?n1和 T 为 n 等分割，?xi ?满足牛顿-莱布尼茨公式的条件，故由定积分定义和牛顿-莱布尼茨公式求得J ??1 1 dx ? ln ?1 ? x ? ? ln 2 0 1? x 01定理 2若函数 f ? x ? ， f ??x ? 在 ?a， b ? 上连续，且有b?n ? ? f ?x ?dx ?a1 b?a n ? b?a? ? f ? a ? k n ? ，则 lim n?n ? 2 ?b ? a ?? f ?a ? ? f ?b?? n ?? n k ?1 ? ?证 :因为函数 f ? x ? 在 ?a， b ? 上连续，所以 f ? x ? 在 ?a， b ? 上可积，把 ?a， b ? 分成 n 个小区间n, a ? x0，x1， ? ? ?，xn ? b ， ??a?k?baf ?x ?dx ? ? ?b?a n b?a a ? ? k ?1? k ?1 n n a?kf ?x ?dx所以 ?n ? ? ?b?a n b?a a ? ? k ?1? k ?1 nf ?x ?dx ?b?a n ? b?a? ? f ?a ? k n ? n k ?a ? ?n b?a? ?? ?b?a n b?a a ? ?k ?1? k ?1 n n a?kb ? a ? ? ? a ? k n ? f ?x ? ? ? ??? ?? a ? k ?a??k ?1?b?a ? f ? x ?dx k ?1 n ? n ? ?b ? a ?? ? f ?a ? k ? dx n ?? ? ?b?a b?a ? ? ，a ? k 其中 ?k ? ? a ? ? k ? 1? ? n n ? ?sup 令 inf?f ??x?? ? mk， ?f ??x?? ? M k12b?a b?a? ? 又因为 x ? ? a ? ?k ? 1? ,a ? k ? ，因此 n n ? ??b?a a?k n b?a a ? ? k ?1? nb?a ?? b?a b?a? x ? ? ? n ? a ? k n ? x ?dx ? ?? a ? k n ? x ? 2 ? ? ? ? ?? ? a ? ? k ? 1? b ? a n 22a?k1?b?a? ? ? 2? n ? ?且 mk ? f ? ??k ? ? M kb?a b?a b?a ? ? ? ? ? ? mk ? a ? k ? x ? ? f ? ?? k ? ? a ? k ? x ? ? Mk ? a ? k ? x? n n n ? ? ? ? ? ???b ?a n b?a a ?? k ?1? k ?1 n n a?kn a ?k b?a b?a ? ? ? ? mk ? a ? k ? x ? dx ?? ? n b?a f ? ??k ? ? a ? k ? x ? dx a ?? k ?1? n n ? ? ? ? k ?1 nb ?a? ??b?a n b?a a ? ?k ?1? k ?1 n n a?kb?a ? ? Mk ?a ? k ? x ?dx n ? ?b?a??b?a n b?a a ? ? k ?1? k ?1 n n a?kn a?k b?a ? b?a ? ? ? mk ? a ? k ? x ?dx ? ? ?n ? ? ? n b ? a M k ? a ? k ? x ?dx a ? ? k ?1? n n ? ? ? ? k ?1 n2 n1?b?a? ? ? 2? n ?2 n1?b?a? ? mk ? ? ?n ? 2 ? n ? ? ? k ?1?Mk ?1kn n 1 ?b ? a ?? mk b ? a ? ? n?n ? 1 ?b ? a ?? M k b ? a 2 n 2 n k ?1 k ?1因为 f ??x ? 在 ?a， b ? 上连续，所以 f ??x ? 在 ?a， b ? 上可积，lim ? mkn?? k ?1 n n b b?a b?a ? lim ? M k ? ? f ??x ?dx ? f ?b ? ? f ?a ? a n?? n n k ?1所以 lim n?n ?n ??1 ?b ? a ?? f ?a ? ? f ?b ?? ． 213例 9： 计算 lim e nn ???n 4n ?1 2?1 ， ,3 ? ? ? ?n ? 21 2 31 n ?n．解 : 令 f ?x ? ? x ln x， ? a，b? ? ?0,1? ，则 把区间 ?0，分成 n 小区间，即 1?0?? x ln xdx ? ? 40111 2 n ?1 n ? ? ? ? ?? ? ? ?1 n n n n?n ? ? x ln xdx ?011 n k k 1 1 ? n ln n ? ? 4 ? n 2 n k ?1? k ?ln k ? ln n?k ?1n1 1 ?? ? 2 4 n? k ln k ?k ?1nln n n 1 1 k ?? ? 2 2 ? n k ?1 4 n? k ln k ?k ?1nn ?1 ln n 2nn 1 n n ?1 n?n ? ? ? ? k ln k ? ln n 4 n k ?1 2由定理 2，有? n 1 n ? 1 n ?1 lim n?n ? lim?? ? ? k ln k ? ln n? ? ? f ?0? ? f ?1?? ? 0 n?? n?? 2 ? 4 n k ?1 ? 2? ? ? n n2 11 2 3 4 又 lim ln ?e n 1 ， ,3 ? ? ? ?n n 2 n ?? ? ????1 n? ??0 ? ?? lim e 4 nn ???nn ?1 2?1 ， ,3 21 23? ? ? ?n n??1 n?1 ．2.2 利用积分中值定理求极限的方法定理 3 （推广的积分第一中值定理）若 f 与 g 都在 ?a， b ? 上连续，且 g ? x ? 在 ?a， b ? 上不变号，则至少存在一点 ? ?? a，b? ，使得? f ? x ?g ? x ? dx ? f ?? ? ? g ? x ? dxb b a a? 5?14证 :不妨设 g ?x ? ? 0 ， x ? ?a，b? .这时有mg?x? ? f ?x?g ?x? ? Mg?x? ， x ? ?a，b? ，其中 M， m 分别为 f 在 ?a， b ? 上的最大，最小值.由定积分的不等式性质， 得到m? g ?x ?dx ? ? f ?x ?g ?x ?dx ? M ? g ?x ?dx .b b b a a a若 ? g ?x ?dx ? 0 ，则由上式知 ? f ?x ?g ?x ? ? 0 ，从而对任何? ?? a，b? ， （5）b b a a式都成立．若 ? g ?x ?dx ? 0 ，则得 m ?b a? f ? x ? g ? x ? dx ? M . ? g ? x ? dxb a b a由连续函数的介值性，必至少有一点 ? ?? a，b? ，使得? f ? x ? g ? x ? dx ， f ?? ? ? ? g ? x ? dxb a b a? ? f ? x ? g ? x ?dx ? f ?? ? ? g ? x ? dx .b b a a例 10:计算 lim ? x n 2 ? x dx ．n ?? 01解 :令 f ?x? ? 2 ? x ， g ?x ? ? x n ，因知 f ? x ? ， g ? x ? 在 ?0， 上满足上述定 1? 理的条件．所以由推广的积分第一中值定理，有 1 1 1 n n ?0 x 2 ? xdx ? 2 ? ? ?0 x dx ? 2 ? ? ? n ? 1 ? 0 ? ? ? 1? 1 1 lim ? x n 2 ? xdx ? lim 2 ? ? ? ? 0. 0 n ?? n ?? n ?1 例 11： 证明： lim ?n ??xn dx ? 0 ． 0 1? x11? 证明 : 由推广的积分第一中值定理，存在? ? ? 0， ，使得150???xn 1 dx ? 0 1? x 1? ?1?10xn dx ?1 xn?1 1 1? ? n ?1 01 1 1 1 1 ? ?1 ? 0 ? ? 1? ? n ?1 1? ? n ?1 n ?11xn 1 lim 0 ? lim ? dx ? lim ? 0. n ?0 n ?? 0 1 ? x n ?? n ? 1故lim ?n ??xn dx ? 0 . 0 1? x12.3 利用广义积分定义求极限的方法? 定理 3 （广义积分定义） 设函数 f ? x ? 在无限区间 ? a， ? ? 上连续， b ? a ， 取若极限 limb ? ?? a? ? f ?x ?dx 存在，则称这个极限值为 f ?x ? 在无限区间 ?a， ? ? 上的广b义积分.记作???af ?x ?dx ,即?? a???af ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dx .b b??? a这时也称广义积分 ?f ?x ?dx 是收敛的．若上述极限不存在，则称广义积分???af ?x ?dx 发散．类似地，函数 f ? x ? 在无限区间 ? ??，b? 上的广义积分定义为：?b??f? x ? dx ? lim ? f ? x ?dxb a ??? a? a ? b?? 函数 f ? x ?在无限区间 ? ??， ? ? 上的广义积分定义为：?????f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx ? ?c ????cf ?x ?dx其中 c 是任一有限数，仅当等式右端的两个广义积分都收敛时，左端的广义积 分才收敛；否则发散.16例 12： 解:利用广义积分求极限 lima ??? 2?adx x ln xa ??? 2lim?aa 1 a dx ? lim ? d (ln x ) ? lim ln | ln x | a ??? 2 x ln x a??? 2 ln x? lim ?ln | ln a ? ln 2 |? ? ? ?x ???例 13:求下列广义积分：01 dx ． ?? ?? 1 ? x 2 0 0 1 2x 0 2x e2 x 解:（1）由广义积分定义，有 ??? dx ? alim ?a e dx ? alim e ??? ??? 2 a 1 1 1 1 0 2a 0 2a ? lim e ? e ? lim e ? lim e ? ?1 ? 0? ? a ? ?? 2 2． 2 a ??? 2 a ???（1） ? e 2 x dx ； （2） ???????（2）由广义积分定义，有 ???c??c 1 1 dx ? lim ? 2 a 1? x2 a ? ?? 1? xc ?? 1 1 1 dx ? ? dx ? ? dx 2 2 ?? 1 ? x ?? 1 ? x c 1? x2 c ? lim ? arctan x ? ? lim ?arctan c ? arctan a ? a ??? a a ??? dx??? lim arctan c ? lim arctan a ? arctan c ?a ? ?? a ? ???2????cb b 1 1 dx ? lim ? dx ? lim ? arctan x ? 2 2 b??? c 1 ? x b??? c 1? x ? lim ?arctan b ? arctan c ? ? lim arctan b ? lim arctan cb ? ?? b ? ?? b ? ????2? arctan c??????c ?? 1 1 1 dx ? ? dx ? ? dx 2 2 ?? 1 ? x c 1? x2 1? x? arctan c ??2??2? arctan c ? ? .17总结总之，利用上述方法可以比较简单地计算出一些比较复杂式子的极限，所 以这些方法可以看作计算极限的补充性算法. 在具体计算极限时往往很难找准计算的方法．要计算某一初等函数或非初 等函数的极限时，可以用一种以上的方法来解决．但又某一初等函数或非初等 函数的极限只能用一种方法，不适合其他方法．所以要计算某个式子的极限时， 我们应该善于辨别它所属于的类型，再讲行计算． 在本文中，介绍了通过导数定义和微分中值定理来解决幂函数；利用微分 中值定理来解决反三角函数；利用定积分定义来解决常数函数；又利用积分中 值定理和广义积分定义来解决被积函数等几种方法．利用本文中所介绍的上述 方法可以使我们在实际问题中遇到的一些复杂的初等函数和非初等函数的极限 计算变得更加简单，快捷且使我们很容易理解其内涵．所以上述的方法对于求 极限起到补充作用．18参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析，上册（第三版）.[M].北京：高等教育出 版:.88～219 页 [2]刘西坦， 李正元， 周民强， 林源梁.考研 2005 数学专项训练系列 （第三版） .[M]. 北京：机械工业出版社：48 页 [3]赵红海，李艳.极限的几种特殊求法.[J]. 张家口职业技术学院学报：2007. 第 20 卷（第一期） [4]毛羽辉.数学分析选论.[M].北京：科学出版社.89～107 页 [5]李承家，胡晓敏.数学分析全析精解（第三版）.[M].西北工业大学出版社： 92 页 [6] 苗群.微积分.[M].北京：科学出版社. 180～181 页 [7]宋清岳，王龙波，刘月兰. 高等数学.[M].山东大学出版社.85～86 [8]陈传璋，金福临编，数学分析（上、下册）第三版.高等教育出版社.62～68 [9]侯风波，蔡谋全．经济数学［Ｍ］．沈阳：辽宁大学出版社， 页，75 [10]冯丽珠，变形法求极限的变法技巧.武汉职业技术学院学报,2003 年 3 月， 35～3619致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到 了提高． 在姑丽巴哈尔老师的指导下我的毕业论文顺利通过， 她帮我批阅了好多次， 提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下， 我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束． 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我 在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础． 此致敬礼 玛依热姆·图尔迪 2013 年 5 月 10 日20 浅谈微积分中求极限的方法孟凡洲（河南大学数学与信息科学学院 开封475004） 摘 要 极限是微积分的一条基本线索，本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法：利用极限的定义验证极限；利用单调有界定理求极限；利用初等变换求极限；利用夹逼性求极限；利用两个主要极限求极限；利用洛必达法则求极限；利用等价量代换求极限；利用定积分求极限；利用上下极限法求极限；利用压缩性条件求极限；利用递推公式求极限；利用泰勒展开式求极限等.关键词 极限;洛必达法则;单调有界.1利用数列极限的定义验证极限利用极限的定义验证极限，应先根据极限的唯一性求出极限，然后再证明极限的存在[1].例1 求lim解 因2n?13n?2222n?13n?222=23.n???23?6n?3?6n?43(3n?2)222?733n?2?12?3?13n2?1n要证：???0,1n??只需证：n??11?1N=max??,1? 因此 只要n?N???既有：n?所以，2n?12???0,?N,?n?N,2???33n?2即：lim2n?13n?2222n???232利用单调有界定理求极限利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有极限.所以我们在求极限时一般分三个步骤：1 证单调性 2 证有界性 3 设出极限，求解关于极限的方程.例2 证明序列x0?0,xn?1?存在，并求limxn.n??xn(xn?3a)3xn?a22(a?0) 的极限证明 令f(x)=2x(x?3a)3x?a2222则：f(x)?'3(x?a)(3x?a)2?0故，由xn?1?f(xn)及f(x)的单调递增性知：（1）若 x1?x0，则x2?f(x1)?f(x0)?x1 设n?k时 xk?xk?1 则xk?1?f(xk)?f(xk?1)?xk由归纳法可知：xn?1?xn 于是即 xn?a2xn(xn?3a)3xn?a22?xn显然：xn?x0?0 故 x0?xn?a.于是：?xn?单调递增且有上界，于是收敛，我们记?xn?收敛于x，则0?x0?x?2a于是在xn?1?2xn(xn?3a)3xn?a2(a?0)中取极限值，得：x?x(x?3a)3x?a2可得x?a而limxn?n??a.（2）x1?x0时则同理可证：xn?1?xn(n?0) 于是：xn(xn?3a)3xn?a22?xn 即xn?a2显然 xn?0 故a?xn?x0故 ?xn?单调递减，且有下界，故收敛. 同样可知 limxn?n??a.3 利用初等变换求极限利用初等变换是将xn变形，然后求极限。利用初等变换求极限也是求极限的一个重要方法，应该熟练的掌握。利用初等变换求极限时要注意变形的准确性，要做有利于解题的变形.例3 设xn=cosx2cosnx22cosx23?cosx2n求limxn.n??2sinx2 ，则可以得到： x2nn解 两边同乘以2sinxn=cosx2ncosx22cosx23?cosx2n=nsinx2sinx2n=sinxx?x2nnsinx2?sinxx.4 利用夹逼性定理求极限夹逼性是指若存在自然数N，当n?N时，恒有xn?yn?zn若limxn?limzn?an??n??则 limyn?a，利用夹逼n??性求极限时，应注意将xn做适当的放大或缩小.例lim(n??41?2n?n?22求?...?nn?n?n2极).限n?n?12解 记G?1n?n?12?2n?n?22?...?nn?n?n2则1?2?3?????nn?n?n2?G?1?2?3?????nn?n?12.又limn(n?1)2(n?n?n)122n???limn(n?1)2(n?n?1)2n???12从而 limG?n??.1n例5 求lim（nn?1.n??解 由:n?1?n?11?(n)?(n)???(n)n?12n?1?n?111?en?lnnlnn2?enlnnn?1???e?2lnnnlnn?1?2(n?1)2?(n?1)lnn1nlnn?2nlnn?3nlnn???n?1n从而1n2?nn?1?2lnn?4不等式两边同时开n次得：1(n)21?(n?1)n?n4因为limn??n?1，limnn??4?11n?1. 由夹逼定理知：lim（n?1n??5 利用两个重要极限求极限两个重要极限是：（1）limsinxxx?0?1 （2） lim(1?x??1x)x?e.其中第一种重要极限limsinxxx?0?1可理解为limsin??1???0?1，而第二种极限lim(1?)x?e可以理解为x??1x1lim(1????)??e或者lim(1??)??e.??0两个重要求极限是求极限的一个重要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式，以使运算更加便捷[2].例6 求lim(cosn??1n)n2.解1lim[1?(cosn??1n?1)]n2?lim[1?(cosn??121n?1)]cos1n?n(cos?121n?1)?lim[1?(cosn??1n?1)]cos1n?1111?n?[????()]222nn?e?12?1e6 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限的时候应该注意到limf(x)g(x)''f(x)g(x)''x?x0或lim在.x??不存在不能得出limf(x)g(x)x?x0或limf(x)g(x)也不存x??洛必达法则是处理未定式极限的重要手段，且非常有效.但它只能应用于（??00）型和()型的未定式.只要是（??00）型和()型的，都可一直进行下去.每完成一次法则都要将式子化简.而对于???,0??,?0,1?,00等形式，需化为（）型和(??)型的形式求解.xt22例7 求(lim?20edt)0x???3xe2t2dt2xt22x22解 (dt)22tdt2e4xlim?0e0= x??lim?ee2t2?3e18x2?x??3xdt2xt2= dt?43lim?ex??14x2e= ?43lim2e4x4x??28xe14x2=?43?114lim1x??xe10x2= 01例8 证明：lim(nn?1)lnn?e?1.n??证明1limln(n??n?1)lnn1?lim?lim?lim1lnn1lnxxlnxn??ln(enln(ee?1lnn?1)lnxxx???1)xlnxx??(1?lnxx2)exlnx?limxlnxlnxx??e?1x(1lnx?1)e??lim??1x??xt1?et其中用了变量代换例t?lnxx1,故 lim(n?1)n??lnn?e?1.7 利用Stolz定理求极限Stolz定理是求分式数列极限的常用方法，是求极限的重要手段.定理：设?yn?是单调增加的正无穷大量，limxn?xn?1yn?yn?1xnyn?an??（a可以是有限量，??,??），则limx???a .n?lnC例9设Sn?k?0knn2（其中Cn?kn(n?1)???(n?k?1)1?2?3???k）.求 limsn.x??解 因n2单调递增且趋近于n?1??，应用Stolz公式，nkn?1?lnClimsn?limn??k?0n???2?lnCk?02kn(n?1)?nn?1?ln=limk?0n??Cn?1Cnkk?lnCn?1n?1n?1n?ln?limk?0n??n?1n?k?12n?1n?1(n?1)ln(n?1)??lnkk?0?limn??2n?1（再次用Stolz公式）?lim(n?1)ln(n?1)?nlnk?ln(n?1)(2n?1)?(2n?1)n??ln(?limn??n?1n2)n?12.8 利用等价量代换求极限等价量代换是我们求解极限问题常用的方法.解题时要注意无穷小量的代换，熟悉常用的无穷小量代换，能便捷的求出极限.注意几个几个常用的无穷小量等价替换：x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(x?1)~e?11?cosx~12x,(1?x)2x??1~?x,a?1~xlnax其中x?0,a?0,且a?1,? 为常数 .例10 求极限lim?tanx?x?tanxx?0e?1?tanx.解 lim?tanx?xx?0e?1=lim2tanx(e?1)(?tanx?2x??(x)(x??(x))(?tanx?2xx(?tanx??tanx)x?tanx)x?0=lim?tanx)x?0=limx?0=1 .9 利用定积分求极限定义：若f（x）在[a,b]上可积，则对[a,b]的任一分割T ：a?x0?x1?????xn?b，及介点?i?[xi?1,xi],都有?baf(x)dx?f(?i)?xiT0其中?xi?xi?xi?1 ，?max??xi? .1?i?n例11 求极限lim1n1nnnn???(n?k) .k?1nnnn解 记 an?1n?k?1(n?k)??k?1(1?kn)则，lnan?ln(1??nk?1kn它可看作f(x)?ln(1?x)在[0,1]上对应)，kn于n等分割T以及介点?k?limlnan?limn??的积分和.于是，)?1nnn??ln4e?(1?k?1kn?1ln(1?x)dx?2ln2?1故liman?e2ln2?1?n??.10 利用上下极限法求极限利用上下极限法求极限是一个很好的求极限方法，适用于一般的求数列极限，要很好的掌握.limxn收敛的充分必要条件是：limxn?xnn??n??n??____.，例121an?12设?1an2a?0,b?0a1?a,a2?b,an?2?2?,n?1,2,???.则?an?收敛____n??证明 若limxn?0，则lim?n??_____1xnn??.____由n?2时，an?2知，an?0，设liman??,an??n??n??n??11在已知等式中，分别取上下极限，知：??2?2,??2?2?2?2，易知???故?an?收敛.11 利用微分中值定理求极限微分中值定理和其他求极限的方法联系起来，能使问题更简便例13 求极限lim1????tan(?3x)?tan(?x)?x?44??.x?0解 设f(t)?tant，f(t)在上应用Lagrange中值定理：lim?4?3x与?4?x所构成的区间x?01????'(tant)tan(?3x)?tan(?x)??x?44??(t??[(?4?3x)??4?x)]1x2cos?2?limx?0?4(?介于?4?3x与?4?x之间).12 利用压缩性条件求极限原理：设?xn?满足：xn?1?xn?kxn?xn?1,0?k?1,n?2,3???则?xn?收敛.例14 设x1?0,xn?1?12?xn,(n?1)，求limxn.n??12解 首先证明limxn的存在：n??由已知条件：xn?1?xn?12?xn,(n?1)?12?xn?1?xn?1?xn(2?xn)(2?xn?1)又显然0?xn?12,于是，(2?xn)(2?xn?1)?4 故xn?1?xn?14xn?xn?1于是limxn存在，记为an??则在上式中求极限：a?又0?xn?n??12?a12，即a?2?112故：0?a?2?1）.于是：limxn?2?1（舍去13 利用递推公式求极限理论：我们常常见到一些数列满足xn?1?f(xn) ,我们可以利用f(x)的规律性来推得某些关系再结合其他求极限的方法，可求得?xn?的极限[3].例15 Fibonacci数列 ,a0?a1?0,an?2?an?1?an,n?0,1,2,???， 那么liman?1ann???5?12.an?1an1bn?1证明 记bn?（1）.则：b0?1,bn?1?,n?1,2,???，13则bn?1?bn?(1?1bn)?(1?1bn?1)?bn?1?bnbnbn?1由（1）可得：bnbn?1?bn?1?1 于是 bn?1?bn?bn?1?bn1?bn?1显然; bn?1,n?0,1,2,???n 于是：bn?1?bn?11?bn?1bn?bn?1?12bn?bn?1.满足压缩性条件，故?bn?收敛于b，在（1）中两端取极限，b?1?1b，且由b?1，可知b?5?12,即liman?1ann???limbn?b?n??5?12.nxn例16 设x0?0,xn?1?xn?n,n?1,2,??? ，求lim1xnn??.解 令yn?则1yn?11yn1yn1yn???从而0?yn?1?yn,于是?yn?单调有界 从而收敛，记收敛于a，则a?0.14由yn?1?nxnyn1?yn，知：a?nyna1?a,从而a?0limn???limn???lim11yn?1?ynn???lim1yn?1?11yn?1?1ynynn??（利用Stolz公式）?lim1yn?1?1ynyn?lim(n??ynyn?1n???1)?lim(?n??yn?1)?2.14 利用泰勒展开求极限用泰勒公式求极限是将复合函数在某点展开，化为统一的多项式形式.例17 求极限lim解 由tanx?x?可得：tan(tanx)?sin(sinx)tanx?sinx.x3x?0x33??(x),sinx?x?36??(x),315tan(tanx)?tan[(x??x??x?x3x333??(x)]3332x3??(x)?33x3??(x)??(x),3sin(sinx)?sin[x??x??x?xx3x36??(x)]3363??(x)???(x)3x36??(x)33x?于是原极限?limx?02x33x33??(x)?x???(x)?x?33xx3336??(x)?lim??(x)3x?03x??(x)x333?2x?2?o(x)3.综上所述，以上归纳了求极限的几种求法.当然还有一些其他的方法，如利用麦克劳林公式、利用柯西准则等等.由于篇幅有限，不再赘述.参考文献[1]陈纪修,於崇华等,数学分析,高等教育出版社,2002 . [2]陆庆乐,高等数学,西安交通大学出版社,1998. [3]裴礼文,数学分析问题中的典型例题和方法,高等教育出版社,2001.16 2006年第4期　　　　　　　　　　　牡丹江教育学院学报　　　　　　　　　　　No.4,2006(总第98期)　JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATION　　TotalNo198略论微积分中求极限的方法林　佳　蕙(福建生物工程职业技术学院,福建　福州　350002)[摘　要]　极限是微积分中的一条基本线索,本文主要列举了五种常用的求极限方法:一是利用单调有界原理求极限;二是利用两边夹定理求极限;三是利用两个重要极限求极限;四是利用洛必达法则求极限;五是利用定积分求极限。[关键词]　微积分;求极限;单调有界;洛必达法则[中图分类号]O172　　　　　[文献标识码]A[文章编号]06)04-0070-02n解:∵an=(1+)是单调递增数列,n微积分是理工科等非数学专业最重要的一门基础专业课,学好微积分对学生今后发展起着至关重要的作用。微积分的基本思想和基本方法与极限从始至终有着密不可分的联系。极限是微积分的一条基本线索,以极限为基础引入微分和积分的定义;反过来又以微分和积分的知识作为对于极限的运算。在学习中能掌握住这条主线,对学好微积分有着很大的帮助。下面笔者就微积分中几种求极限的方法作些归纳和探讨。1.利用单调有界原理求数列极限用此原理求数列极限归纳为三步:(1);(2证有界性;(3)设liman=A,解关于An→∞)而βn=(1+nn+1β是单调递减数列,且lim5n=limn=e,n→∞n→∞∴(1+nn)+1nnn+1n∴0-(1(1)-(1+))n∴0n→∞,又∵nx>0,nn)n例1　已知a>1,an+2,A,求limann→∞(),n=1,an+ann∴limnxe-(1+)=0n解:∵a>0,a1>0,由递推公式可知　an>0,又an+1=(an+)2an231利用两个重要极限求极限方法:把函数化成满足重要极限条件的形式,特别注意三处的变量要一致,然后用公式求出极限。例3　求极限的lim(cos)x→∞xx2?2=,∴{an}有下界,且有a2an≥(an+)(1+2)(1+)=1,==anan22aan∴an+1≤an,{an}单调减少。由原理知liman存在。n→∞解:原式=lim(x→∞-sin2)x2=lim(1-sin2)x→∞xx2sin2x222]-sin2x)=lim[(1-sin2x→∞x)lim(-sin22x→∞x2=e=e设liman=A,由递推公式得A=n→∞(A+),2A解A=,∴liman=n→∞41利用洛必达法则求未定式极限法则说明:(1)若lim不存在,不能得出(x→xng′x)(x→∞)x→xn(x→∞)2.利用两边夹定理求极限求极限方法:当an≤bn≤cn,则liman=A,limcn=An→∞n→∞lim也不存在;g(x)故limbn=An→∞(1)对bn作适当放大和缩小,且满足liman=A,limcn=A;n→∞n→∞(2)然后用定理得出结果。n例2　求极限limnxe-(1+)(xn→∞n型或型后再求极限;0∞(3)洛必达法则应用中注意和其他方法结合使用则更简捷。(下转第74页)(2)未定式极限需先化为[收稿日期][作者简介]林佳蕙(1962-),女,福建福州人,福建生物工程职业技术学院高级讲师。再由加法原理,2n根绳结成2个环的方法数有(2n-n-11)!!(2n-2)!!.故r=12n-2rn-1(2n-1)!!(2n-2)!!P1(A2)=2()[2n-1!!]n-1n-1==(2n-1)!!r=12(n-r)(2n-1)!!2r=1k②n根绳的2n个头任意两个相连,恰结成2个环.由文献[2]知,有基本事件总数为(2n)!,同样地把n根绳中的r根绳结成一个环,余下的(n-r)根绳结成一个环,其中r=1,2,…,n-1.现不考虑n根绳位置的排法及每种排法中每根绳的头与尾的排法,取定一个头,它可与(2n-2)个头相连,其中排除了第1根绳的头与尾,与取定的第1根绳相连的第2绳的另一绳头只能与余下的(2n-4)个头相连,循此下去,第(2r-2)个头可与余下的(2n-2r+2)个头相连,此时把已连接的r根绳中剩余的头连接.仿此,剩余的(n-r)根绳共有(2n-2r-2)!!种接法,这时的方法数为(2n-2)(2n-4)(2n-2r+2)(2n-2r-2)!!=(2n-2)!!,考虑2n-2r到n根绳位置的排法及每种排法中每根绳的头与尾的排法的方法数为n!2n,由乘法原理知,取r根绳结成一个环,余下的(n-r)根绳结成一个环的方法数为n!2n(2n-2)!!,再由加法原理n根绳结成2个环的方法数有2n-2rn-1n!2n(2n-2)!!,故r=12n-2rn-1n!2n(2n-2)!!P2(A2)=[(2n-1)!!]2n-1n-1==(2n-1)!!r=12(n-r)(2n-1)!r=1kn1综合①②可得P1(A2)=P2(A2)1)!r=1k)假设k=r,(2时,ⅱP1(Ak)=P2(Ak)=(上接第70页)(∑①成立,k-1)2n-1!!21≤i1则k=r+1时:①对第一种结绳方法,把2n根绳分成2s根绳和(2n-2s)根绳两部分,其中2s根绳结成一个环,(2n-2s)根绳结成r个环,1≤s≤n-r.故n-1P1(Ar+1)=2∑[(2n-1)(2n-2)(2n-3)[(2n-1)!!]r=1(2n-4)…(2n-2s+1)?(2n-2s-1)!!(2n-2s-2)!!r-1∑]ir-121≤i1==n-1(r-1)∑(2n-1)!!r=12n-2s21≤i1(2n-1)!!2r1≤i1②对第二种结绳方法,把n根绳分为s根绳和(n-s)根绳,其中s根绳结成一个环,(n-s)根绳结成r个环,1≤s≤n-r.故n()P2Ar+1=[(2n-4)!!r-1∑(2n)!1≤i1n-r+∑(2n-2)(2n-4)…(2n-2s+2)(2n-2s-i1i2…ir-1s=22)!!r-1∑21≤i1==n-r()∑(2n-1)!!s=12n-2s2r-11≤i1i(2n-1)!21i1kr+1.2≤k≤n时,①式成立..[参　考　文　献][1]魏宗舒等.概率论与数理统计[M].高等教育出版社,1983.[2]杨振明.概率论[M].科学出版社,1999.[责任编辑:丛爱玲]tanxxtanx-xx=lime=limex=1x→0tanx-xx→0tanx-xx→0tanx-x例4　求极限lim(x→0x2-cot2x)　(∞-∞型)51利用定积分求极限222222解:原式lim=lim22x→0x→0xsinxx4=limx→0xx3=lim(+cosx)?lim3x→0因为n∫abf(x)dx=lim∑f(ξi)Δxi,反过来,则由黎曼Δxi→0i=1nΔxi的极限转化为定积分,转化过程掌握好两和∑f(ξi)?i=1xx→0x=2=2333xtanxx例5　求极限limx→0tanx-x本题虽为型,但用洛必达法则求则相当繁琐,故洛必达法则不一定十分有效,可考虑用其他方法。解法一:(用拉格朗日中值定理)设f(t)=et,∵f(t)在[x,tnx]上满足拉格朗日中值=2?limx→0关键:(1)由f(ξi)确定被积函数;(2)Δxi确定积分区间。ppp(P>0)例6　求极限limp+1x→0n解:limx→0np+1pppp=limx→0ppppnnpp)]n10=limx→0nx→0i=1n[(n)np)+(n)+…+(p+1lim∑(bp=∫axdx=xp+1|=p+1以上几种方法归纳了微积分在求极限上的运用,当然还有一些其他方法:如f(x)在x0点连续,则limf(x)=fx→x0定理条件,,tanx-xξ(ξ)=lime且当x→0ξ,→0,∴limf′=1(ξ)=∴存在ξ∈(x,tanx)使得f′ξ→0ξ→0tanxx解法二:(等价无穷小替换)(x);利用极限存在的充要条件来分段函数在分界点处的极限;利用麦克劳林公式极限等等。在求极限运算中,师生根据题目给出的条件灵活选择适当的方法,结合使用,能使运算更简捷;同时又能加强对微积分知识在整体上的深层次认识,对学好微积分是大有裨益的。[责任编辑:丛爱玲] 对于微积分——我之小感想和小总结（含有一点的水分）微积分顾名思义就是微分和积分，两本微积分书就是研究这两部分，而微分和积分是互为逆运算的（印象中是这样呵呵），也就说我们只要研究二者其一另外一个的谜团也就自然而然揭开了。确立了这个思想之后我们不妨把微分作为我们的研究对象。微分，何为微分直观的了解：微是微小的意思，分为分割的意思。例如一个条线段从中间去二分之一，无限重复这个操作；再例如如图一个直角三角形：当它的三边不断缩小的时候，这个三角形各项属性如何？等等诸如此类的为题。咋一看 这个东西无限的小，小到我们看不到那该如何研究它呢?这时聪明的牛顿说为了更好的理解和研究微分我们还是先来看看“极限”吧，哦 到这里我才明白极限只不过是一种工具和学习微分和积分的基础和铺垫罢了，那什么叫做极限呢？你问我啊？ 自己看书去(P16)求极限的大致的解题思路：第二步：极限计算方法与思路前提．定义要理解1．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有lim2．极限运算法则定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1（2x?x0f(x)?f(x0)。（3学了说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。需要注意的还有我们中学学的初等数学的化简运算 三角函数 分子分母有理化啦 总之各种化简 3．两个重要极限 （1（2）一个公式变形）说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 万1?2x例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x?e，lim(1?)?e；等等。x??x34．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x?0时，定理4 如果函数e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2) ～ ?x2。f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0时的无穷小，且f(x)～f1(x)f(x)lili存在时，也存在且等于f1(x)，g(x)～g1(x)，则当x?x0g(x)x?x0g(x)1f(x)lix?x0f1(x)f1(x)f(x)，即lim=lim。x?xx?x00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；f?(x)（3）lim存在（或是无穷大）；g?(x)则极限limf(x)f?(x)lim也一定存在，且等于。g(x)g?(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0?”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕0?6．极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。定理8（准则2） 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)（2）n??limyn?a，limzn?an??n??则极限limxn一定存在，且极限值也是a ，即limn??xn?a。二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 limx?1x?1?2x?1(3x?1)2?22(x?1)(3x?1?2)?lim3x?3(x?1)(3x?1?2)?3 。 4解：原式=limx?1x?1注：本题也可以用洛比达法则。 例2limn(n?2?n?1)n??解：原式=limn??n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以?n?2?n?1nlim3?21??nnn???3。 2(?1)n?3n例3 limn??2n?3n上下同除以3n解：原式?1(?)n?1lim?1 。 n??2n()?132． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4limx2ex?21x12x解：因为x0?2是函数 原式=2212f(x)?xe的一个连续点，e?4e 。3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1?cosxx?03x22sin2解：原式=limx?0xx2sin2?lim?1x?0x26 。 3x212?()2注：本题也可以用洛比达法则。 例6lim(1?3sinx)x?01?6sinx1?3sinx?6sinx2x解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6 。n?2n) 例7 lim(n??n?1?3?3?)解：原式=lim(1?n??n?14． 利用定理2求极限n?1?3n?3?3?lim[(1?)]?e?3 。 n??n?1n?1?3n12limxsin例8 x?0x解：原式=0 （定理2的结果）。5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 limx?0xln(1?3x)arctan(x2)2解：?x?0时，ln(1?3x)～3x，arctan(x)～x，2? 原式=limx?0x?3x?3 。 2xex?esinx例10 limx?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1 。 解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是错误的：(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1 。 原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx正如下面例题解法错误一样：limx?0tanx?sinxx?x?lim?0 。 33x?0xx2例111tan(xsin)limx?0sinx解：?当x?0时，x2sin111是无穷小，?tan(x2sin)与x2sin等价， xxxx2sin所以， 原式=limx?01?limxsin1?0 。（最后一步用到定理2）x?0xx6． 利用洛比达法则求极限（现在这种方法只求记住后面会有它的来龙去脉的介绍的）说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim1?cosx（例4）x?03x2sinx1? 。（最后一步用到了重要极限）x?06x6解：原式=limcos例13?xlimx?1x?1?解：原式=limx?1?sin?x??? 。 12例14 limx?0x?sinx x31?cosxsinx1lim? 。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 2x?0x?06x63x解：原式=lim例15 lim解：sinx?xcosxx?0x2sinx原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2xsinx1?lim?x?03x23例1811lim[?] x?0xln(1?x)11解：错误解法：原式=lim[?]?0 。x?0xx正确解法：原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01?1x1?lim?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2x?2sinx3x?cosx1?2cosx0”型，但用洛比达法则后得到：lim，此极限x??3?sinx0应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19limx??解：易见：该极限是“不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：2sinx原式=lim （分子、分母同时除以x）x??cosx3?x1?=1（利用定理1和定理2） 37． 利用极限存在准则求极限例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limxnn??解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0xnn??两边求极限，得：limxn?a。对已知的递推公式 xn?1?2?xnn??a?2?a，解得：a?2或a??1（不合题意，舍去）所以limxn?2。n??例21 lim(n??1n?1n2?1n?2?12???11n?n2)1n?n2解： 易见：n?n2n?12?n?22????nn?12因为limnn?n2n??

?1，lim(1nn?1?12n??2?1???1n?n2所以由准则2得：limn??n?12n?2)?1 。使用方法：大多时候是可以按照以上6个步骤依次使用，直到起作用为止一般都能解决问题最后 当你把所有的招式全施展之后这个“boss”——难题，还是解决不掉怎么办？没关系还有最后一手叫做绝地逢生——“夹逼定理”，这种武功无招无式，无形灵活是它的特点运用时要求你要根据题目的自身特点，自己想招式来解决——所以才会很难。内功修炼不到家一般人还很难灵活运用。如果还是掌握不住怎么办呢？ 纠结啊！ 没关系 还是不理解的话就先把以上的方法记住 当做题时对号入座一个一个的比较看它是属于什么类型的然后从这几种方法中选择，就像女孩子试衣服一样嘛 慢慢的你的眼光就会越来越准了 呵呵补充一句：版权所有！！！嘿嘿 摘 要： 极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限计算又是学好微积分的前提条件。本文对微积分中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结，旨在提高微积分的教学水平和学习方法，给初学者提供帮助。关键词： 微积分 极限 常用计算方法微积分是研究变量的一门学科，极限又是微积分的一个重要概念。 其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础， 使得微积分在日常生活和科学研究中得以更广泛合理地应用和发展， 所以求极限成为微积分的重中之重。极限计算是学好微积分的前提条件，熟练掌握求极限的方法，能够提高微积分的学习能力。求极限的方法有很多，这些方法应因题而异，灵活运用。我结合自己的工作经验，总结和分析了微积分中极限若干求法及注意事项以供参考。一、利用极限定义求极限例1：证明e=0证明：|f(x)-A|=|e-0|=e，故?坌0＜ε（ε＜1），欲使|f(x)-A|＜ε，只要e＜ε，或者x＜lnε.取正数X=-lnε，则当x＜-X时，有|e-0|＜ε，因此e=0注意：当x→+∞时，函数f(x)=e的极限是不存在的。由指数函数的图像得知其值是趋于正无穷大的。即当x→∞时，函数f(x)=e的极限也是不存在的。二、利用极限运算法则1.无穷小运算法则无穷小量本身就是一个极限定义。在求解极限的过程中，巧妙地应用无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系，以及无穷小量的等价代换求解极限将起到事半功倍的效果。但无穷小的等价代换是计算极限时学生最容易出错的方法之一。此方法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象，还有就是对无穷小的等价概念不清，所以要注意等价是有极限条件的。例2： 求ocosx解：因为=0，|cosx|≤1，所以，由无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量，因此 ocosx=0.对同一变化过程，α、β为无穷小，由等价无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则：①和差取大规则：若β=o（α），则α+β～α例如，==.②和差代替规则：若α～α′，β～β′且β与α不等价，则α-β～α′-β′，且lim=lim，但α～β时此结论未必成立，例如，==2.③ 因式代替规则：若α～β且φ（x）极限存在或有界，limαφ（x）=limβφ（x），例如，arcsinxosin=xosin=0.当x→0时，常用的等价无穷小有x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（x+1）～e-11-cosx～x，α-1～xlnα，-1～x一般的，有当u（x）→0时有u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（u（x）+1）～e-1α-1～u（x）lnα，-1～u（x）这些等价关系在极限的运算中非常重要。需要注意的是在利用等价穷小求极限时无穷小与函数其他组成部分必须是乘、除关系，否则就会产生错误。例3：求解：因为x→0时，ln（1+3xsinx）～3xsinx～3x，tanx～x，所以==3.2.极限四则运算法则利用极限四则运算法则的条件是充分而非必要的。因此，在对极限四则运算法则进行利用时，一定要逐一对所给的函数进行验证。看其是否满足极限四则运算法则条件，若满足只要把x代替函数中的x就行了；若不满足条件的，不能对其直接利用。例如对于分式函数直接代入后如果分母为零，这样代入就没有意义。我们应对函数进行适当的分解因式、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次幂、三角函数等恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则。例4：求结论：①在分式函数求极限中，当g(x)≠0时，=，当g(x)=0，f(x)≠0时，极限为无穷大；当g(x)=0、f(x)=0时，应消去零因子x-x；②分子、分母同为多项式，求当x→∞时的型极限。=?摇?摇n=m 0?摇?摇 n＞m∞?摇?摇n＜m?摇?摇（ab≠0）三、两个重要极限=1与(1+)=e这两个公式在极限中占有重要位置。而我们在使用公式时并非完全套用公式，而是对其进行适当的变形。如=1，或=1，(1+)=e或(1+f(x))=e，其中f(x)代表相同的表达式。例5：求(sin+cos)解：原式=［(sin+cos)］=(1+sin)=［(1+sin)］=e注意：在利用重要公式时要注意条件=1，(1+x)=e，但=0，(1+)≠e.四、利用洛必达法则求极限洛必达法则是一种常用的、有效的求极限得的方法，它可以求形如，型的未定式，对于形如0o∞、1、∞、∞-∞，0型的未定式，可将它们转化为或型的未定式来计算，其中0o∞和∞-∞型的未定式可通过代数恒等变形将它们转化为或型的未定式，而1、∞、0型的未定式可通过取对数化成0o∞型的未定式。例6：求解：当x→0时，(e-1)sinx～x，因此有====从例子中可看出先对极限进行无穷小量的等价代换， 然后再应用洛必达法则，这种方法在应用洛必达法则计算未定式过程中往往能使计算简单化。例7：求（-1）解：方法一：用洛必达法则。分析可用洛必达法则，必须改为求（-1），但对本题用洛必达计算较为繁琐。方法二：原式=洛必达法则虽然是有效的求极限得方法，但它不是万能的求极限的方法。应用时要注意几点：（1）lim必须是或型未定式。（2）如果lim不存在，不能判定lim不存在，只能用其他方法来判定这个极限是否存在。（3）在计算过程中要及时化简极限后面的分式及检查是否满足所要求的未定式，若不是则不能对它应用洛必达法则，否则将导致结果。（4）lim存在时，式子是分别对分子分母求导数再求极限而不是对整个分式求导数。总之，除了上面所列的求极限的常用方法外还有其他的方法。例如利用数列的前n项和公式，夹逼定理，拆项或添项，定积分的定义、 利用收敛级数求极限、 利用泰勒展式求极限、利用左右极限与极限关系来求分段函数分段点处的极限等。函数极限涉及到很多方面的知识， 在求极限时应该充分考虑， 首先应该分析已知函数极限的类型， 再根据条件考虑求解方法。各种求极限方法应灵活掌握，一种方法并不一定就可以解决极限的计算，有些时候要注意极限方法的综合应用，以求达到最终的目的。参考文献：［1］韩汉鹏，马少军，徐光辉.大学数学微积分.北京：高等教育出版社，2010.［2］田军辉.浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法.科技信息，2009.［3］同济大学数学教研室编著.高等数学.北京：高等教育出版社，2005.本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 【摘要】极限在微积分理论是一个非常重要的概念，是贯穿着微积分理论的一条主导线索，极限的计算基础应当作为学习微积分的重要前提，对微积分理论中一元函数极限的常见计算方法进行相关的归纳总结，主要目的在于提升微积分理论课程的教学质量水平与学习方法。【关键词】微积分 极限 常用方法【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】（0-021.引言微积分属于研究变量形式的一门学科，极限作为微积分理论中的一个重要概念，其理论体系的确定使微积分具备了充分的逻辑思想基础，促使微积分理论在日常科学领域中能够得到更为广泛的应用与发展，因此计算极限成为微积分理论的重点内容。求取极限是掌握微积分理论的重要前提，熟练运用求取极限的各种方法，可以有效地提升微积分理论课程的学习效果。求取极限的方法是有许多的，各种求解方法都是因题而异，可以灵活变通使用[1]。2.微积分中求极限的常用方法⑴利用极限定义求极限例题1：求证■ex=0证明：|f（x）-A|=|ex-0|=ex所以？坌ε（0　　设正数x=-lnε，则只有x　　所以■ex=0。注意事项：如果x→+∞时，函数f（x）=ex的极限是不存在的，根据指数函数的相应图像可知其极限值是趋向于正无穷大。⑵利用极限运算法则①无穷小运算法则无穷小量属于一种具体的极限定义。在相应极限计算的过程当中，可以灵活地运用无穷小量的有关性质，无穷小和无穷大的相互关系，与无穷小量有关的等价变换的极限计算方法从而达到事半功倍的求取效果。然而无穷小的等价变换在极限求取过程中是最容易出现错误的方法。这种方法的主要难点在于无法弄明白替换的原理与对象，同时对无穷小相应的等价概念含糊不清，因此需要注意等价变换是存在着极限条件的[2]。例题2：求证■■?cosx证明：由于■■=0，|cosx|≤1因此，根据无穷小量的性质，有界变量和无穷小量的乘积仍然是无穷小量，所以■■?cosx=0。②极限四则运算法则使用极限四则运算法则的基本条件是充分非必要的。所以在使用极限四则运算法则求取极限过程时，需要逐个对所给出的函数进行有效的验证。观察其能否符合极限四则运算法则的使用条件，如果可以符合只需要将x0代替函数中的x就可以完成了； 如果不能够满足条件的则无法对其直接使用。比如对于分式函数直接进行代入处理之后假如分母是零，则代入不能体现出实际意义，需要对函数进行合适有效的因式分解、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次幂与三角函数等各种恒等变换处理方法，令其满足使用条件之后，再使用极限四则运算法则。推论：在分式函数的极限计算过程中，■■，如果有g（x0）≠0，■■=■；如果有g（x0）=0且f（x0）≠0，则极限是无穷大；如果有g（x0）=0、f（x0）=0，可以消去零因子x-x0。⑶两个重要极限⑷洛必达法则洛必达法则属于一种非常有效可行的极限计算方法，其能够求出■、■等类型的未定式，而0?∞、1∞、∞0、∞-∞、00等类型的未定式可以进行代数恒等变化或者取对数等方法转化成为■、■类型的未定式。即使洛必达法则是非常有效的极限计算方法，然而并非是万能的求极限方法。在运用洛必达法则求极限时需要注意以下几点：①lim■应当为■或者■类型的未定式。②若lim■不存在，则无法判断lim■不存在，只可以使用其它方法来求取极限。③在极限计算过程中需要及时地简化极限后部分的分式与检查能否满足要求的未定式，如果不能满足则不能使用洛必达法则，否则会出现得到结果[3]。④若lim■存在时，应当分别对式子的分子分母求导再求极限。3.结束语对于极限的求取方法，除了上文所提到的各种常用方法之外还存在其它的计算方法。比如使用数列的前n项和公式、夹逼定理、拆项或者添项、定积分的定义概念、使用收敛级数求取极限、使用泰勒展式求取极限、使用左右极限和极限关系求取分段函数在分段点处相应的极限等各种具体方法。函数极限一般都会涉及到各个方面的理论知识，在求取极限的过程中需要进行全面的考虑，首先需要分析已给出的函数极限的具体类型，再根据具体的有效条件考虑需要使用的求解方法。各种形式的极限计算方法可以灵活变通使用，固定一种方法不一定能够得到各种极限的求取结果，有时需要考虑对各种极限方法进行综合应用。参考文献：[1]韩汉鹏，马少军，徐光辉.大学数学微积分[M].北京：高等教育出版社，2010.[2]田军辉.浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法[J].科技信息，2009.[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2005.作者简介：杨盛用（1965.2-），男，河南封丘人，副教授，本科学士学位，研究方向：数理应用。